（期末易错自测）第二单元因数和倍数（综合训练）-2025-2026学年五年级数学下册高频易错题思维综合练（人教版）

**基本信息** 聚焦因数和倍数核心概念，通过多题型融合生活情境，系统提炼概念辨析、特征应用及实际问题解决方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养抽象能力与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-6|质数合数判断、奇偶性运算规律|从定义出发，通过对比辨析强化概念理解| |特征应用|填空8/11/13|2/3/5倍数特征分析、因数倍数关系推导|结合数的特征，构建“判定-推理-验证”思维路径| |实际问题|解答25/26/29|生活情境数量关系转化、质数合数性质应用|以真实问题为载体，实现数学思维向现实应用迁移|

（期末易错备考）第二单元因数和倍数（综合训练） 一、选择题 1．在50以内的自然数中，最小的合数与最大的质数的和是（    ）。 A．49 B．51 C．53 D．54 2．下面四张卡片中选两张求和，和是奇数的一共有（    ）种不同选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．两个质数相乘的积，一定是（    ）。 A．奇数 B．偶数 C．质数 D．合数 4．一个四位数，千位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十位上既是奇数又是合数，个位上既不是质数也不是合数，这个四位数是（    ）。 A．1249 B．2491 C．4129 D．1429 5．把24写成两个质数相加的形式，下面错误的是（    ）。 A．11＋13 B．19＋5 C．15＋9 D．17＋7 6．一个两位数，十位数字是最小的质数，个位数字是最小的合数，这个数是多少？它的所有因数的和是多少？（    ） A．24，60 B．24，36 C．34，60 D．34，36 7．把一根长20cm的绳子剪成两段，下面的结果中，不可能出现的是（    ）。 A．两段长度的厘米数都是奇数 B．两段长度的厘米数都是偶数 C．一段长度的厘米数是奇数，一段长度的厘米数是偶数 D．一段长度的厘米数是质数，一段长度的厘米数是合数 二、填空题 8．一个四位数3□4□，它是2和5的倍数，也是3的倍数，这个数最大是（ ），最小是（ ）。 9．《水浒传》是我国四大名著之一，书中描写了108位梁山好汉，“108”的最大因数是（ ），最小倍数是（ ），108的所有因数中，质数有（ ）。 10．烩面是河南特色美食，有着悠久的历史，配方中含有12种食材，汤底需要大火熬煮5个小时以上，其中有7~8味滋补中药，至今已发展出18种特色做法。以上信息中的质数有（ ），合数有（ ），请选择其中一个偶数将其表示为两个质数之和（ ）。 11．如果三位数“63□”既是3的倍数，又是5的倍数，方框里可以填（ ）；若三位数“1□6”既是2的倍数，又是3的倍数，方框里最大填（ ）。 12．筷子的标准长度是七寸六分，大约25厘米，一双筷子两根放在一起像数字11，超市里卖的一盒筷子通常是8双或者10双。筷子中的数字：7，6，25，1，2，11，8，10，在以上这些数字中，偶数有（ ）个，奇数有（ ）个，质数有（ ）个，合数有（ ）个。 13．三位数10□，既是5的倍数又是3的倍数，□里填（ ）；三位数10□，既是2的倍数又是3的倍数，这个三位数最大是（ ）。 14．我国著名数学家陈景润被称为“哥德巴赫猜想第一人”。他证明了：任何一个充分大的偶数都可以表示成两个质数的乘积与一个质数之和。例如12＝2×5＋2，40＝3×11＋7，国际上称它为“陈氏定理”请将下面的偶数表示成几个质数的乘加算式。 48＝（ ）×（ ）＋（ ）    32＝（ ）×（ ）＋（ ） 三、判断题 15．任意两个质数的和一定是合数。（ ） 16．因为，所以4是1.2的因数，1.2是3的倍数。（ ） 17．凡是4的倍数就一定是8的倍数。（ ） 18．两个质数的乘积不一定是合数，两个奇数的和一定是偶数。（ ） 19．转动如下图的转盘，指针停在合数和质数区域的可能性一样大。（ ） 20．200的因数的个数比20的倍数的个数多。（ ） 四、作图题 21．小兔子因为贪玩、现在找不到回家的路了，它回家的路线必须是72的因数，请你帮它找到回家的路。（画出箭头表示） 五、解答题 22．A、B两盏灯各自装有一个开关，开始A灯不亮，B灯亮着，如下图所示，小明和小兰分别按A、B的开关，小明按A的开关119次，小兰按B的开关132次，这时A、B两盏灯的状态是怎样的？ 23．“逢七过”是一个有趣的数字游戏。游戏规则如下：从1开始按顺序报数，当遇到7的倍数或者个位数是7时，就要喊“过”。现在请你思考：在1到40的数字中，有多少个数字需要喊“过”？请把这些数字都列出来。 24．非遗文化进校园，同学们制作剪纸作品，一共制作了48幅作品，要把这些作品贴在展板上，每行贴的数量相同，且不少于6幅，不多于16幅，有几种贴法？分别每行贴多少幅作品？ 25．体育老师新买了3个足球，可是他不小心把发票弄上了墨水，只能看到总价是··5元，经了解每个足球的售价是60多元，请你推算出每个足球多少元？一共花了多少元？ 26．小刚到文具店购买学习用品。他购买了一些笔记本和笔袋（笔记本和笔袋都有购买，但数量未知），付给售货员阿姨100元，找回了13元。小刚说：“阿姨，您把账算错了。”小刚是如何判断出售货员阿姨算错的？请说明理由。 笔记本  5元/本 笔  袋  10元/个 签字笔  2元/支 27．王叔叔买了5个汽车模型，付给营业员600元，营业员找给他58元。营业员找的钱对吗？为什么？（每个汽车模型的价钱是整数） 28．取件码的出现，提高了快递服务的安全性和便利性。刘阿姨的取件码是一个六位数，从左向右数第一位数是最小的质数，第二位数是两个不同质数的乘积，第三位数是最小的偶数，第四位数是最小合数的2倍，第五位数最大的因数是7，第六位数是10以内最大的奇数，刘阿姨的取件码是多少？ 29．某小区物业为了美化小区环境，需要用篱笆围一个长方形的花坛种植月季。花坛的长和宽都是以米为单位的质数，且篱笆总长为42米。这个花坛的面积是多少平方厘米？ 30．学校开展阅读比赛，五年级几个班（班级个数＜10）都组织同学积极参加，且参加的人数相同。 （1）对于五年级参加的总人数几位同学的说法不一：小薇说有59人；小慧说有61人；小萌说有65人；小昕说有67人。他们只有一人说对了，谁说对了？请你说明理由。 （2）推算一下每班有多少人参加比赛？ 参考答案 1．B 【分析】合数是除1和本身外还有其他因数的数，质数是只有1和本身两个因数的数，据此找到符合条件的质数和合数，最后再将两者相加即可。 找最小合数：从1开始往后找最小的合数，在自然数中，1既不是质数也不是合数，2和3是质数，4的因数有1、2、4，所以，最小的合数是4。 找最大质数：从50开始向下寻找质数，50是偶数，除了1和本身还有其他因数，50是合数；49的因数有1、7、49，是合数；48是偶数，是合数；47的因数只有1和47，是质数。所以，50以内最大的质数是47。 【解答】4＋47＝51 在50以内的自然数中，最小的合数与最大的质数的和是51。 2．C 【分析】根据偶数、奇数的意义：是的倍数的数叫做偶数；不是的倍数的数叫做奇数；可知第一张和第三张卡片上的数字是奇数，第二张和第四张卡片上的数字是偶数，再根据奇数和偶数的运算性质：偶数奇数奇数，据此解答。 【解答】根据分析得，第一张、第三张卡片上的数字是奇数，第二张、第四张卡片上的数字是偶数；要使两个数的和是奇数，则需要选择一个奇数和一个偶数。 选择第一张卡片上的数字时，可选择第二张或第四张卡片上的数字，和是奇数，有两种选法； 选择第三张卡片上的数字时，可选择第二张或第四张卡片上的数字，和是奇数，有两种选法； 综上，和是奇数的一共有种不同的选法。 3．D 【分析】除了和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。能被2整除的数是偶数，不能被2整除的是奇数。 【解答】两个质数相乘，积的因数除了和它本身，还有这两个质数，积一定是合数。 4．B 【分析】质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数；合数是大于1且除了1和它本身还有其他因数的自然数，其中1既不是质数也不是合数；奇数是不能被2整除的整数，偶数是能被2整除的整数（0也是偶数）。据此解答。 【解答】最小的质数是2，所以千位是2； 最小的合数是4，所以百位是4； 一位数中既是奇数又是合数的是9，所以十位是9； 既不是质数也不是合数的是1，所以个位是1； 这个四位数是2491。 5．C 【分析】质数是指只有和它本身两个因数的数。解题时需验证每个选项中的两个加数是否均为质数，且和是否为。 【解答】A．是质数，是质数，，符合“两个质数相加”的要求； B．是质数，是质数，，符合“两个质数相加”的要求； C．的因数有，是合数；的因数有，是合数。不符合“两个质数相加”的要求，是本题要求的错误选项； D．是质数，是质数，，符合“两个质数相加”的要求。 6．A 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数；求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；先确定这个两位数，再求出它的所有因数，最后相加求和。 【解答】分析可知，最小的质数是2，最小的合数是4，则这个两位数是24。 24÷1＝24 24÷2＝12 24÷3＝8 24÷4＝6 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24。 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋24 ＝（1＋2＋3＋4＋6）＋（8＋12＋24） ＝16＋44 ＝60 这个数是24，它的所有因数的和是60。 7．C 【分析】根据奇数＋偶数＝奇数，偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，偶数：是2的倍数的数叫做偶数，如：2、4、6、8等。奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，如：1、3、5、7等。；一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数，最小的质数是2，合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数，据此即可解答。 【解答】A．1＋19＝3＋17＝5＋15＝20，1和19或3和17或5和15都是奇数，选项说法正确； B．2＋18＝4＋16＝6＋14＝20，2和18、4和16、6和14都是偶数，选项说法正确； C．20是偶数，根据奇数＋偶数＝奇数，所以不可能一段长度是奇数，一段长度是偶数，选项说法错误； D．2＋18＝20，2是最小的质数，18是合数，选项说法正确。 所以不可能出现的是C选项。 8． 3840 3240 【分析】根据2和5的倍数特征，先确定个位数，再根据3的倍数特征，确定百位数即可。 【解答】它是2和5的倍数，所以个位是0，3□40，3＋□＋4＋0＝7，当□＝8时，3＋4＋8＝15，这个数最大是3840，当□＝2时，3＋4＋2＝9，这个数最小是3240。 9． 108 108 2，3 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身，把108分解质因数是：108＝2×2×3×3×3，所以108的所有因数中，质数有2和3，据此解答。 【解答】由分析可得：108的最大因数是108，最小倍数是108，108的所有因数中，质数有2和3。 10． 5、7 12、8、18 12＝5＋7 【分析】如果一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除，那么它是质数；如果一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能被其他自然数整除，那么它是合数。从所有数中筛选出偶数，再根据质数的定义，选择两个质数相加等于该偶数即可。 【解答】在数字 12、5、7、 8、18，，12的因数有1，2，3，4，6，12，5的因数有1，5；7的因数有1，7；8的因数有1，2，4，8；18的因数有1，2，3，6，9，18，所以5和7是质数，12，8，18是合数。其中12，8，18是偶数，可选12拆成5与7的和。 11． 0 8 【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此解答。 【解答】根据分析：5的倍数个位必须是0或5，3的倍数必须满足各个数位上的数字和是3的倍数，当个位是0时：6＋3＋0＝9，是3的倍数，当个位是5时，6＋3＋5＝9＋5＝14，不是3的倍数，所以方框里只能填0；2的倍数个位是6，已满足，3的倍数条件1＋□＋6＝7＋□需为3的倍数，最大可能是8，此时和为15，满足是3的倍数。 12． 4 4 3 4 【分析】根据偶数、奇数、质数、合数的定义，逐个判断给定数字的类别，统计各类别的数量。能被2整除的数是偶数，不能被2整除的数是奇数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数是质数，否则是合数，1既不是质数也不是合数。 【解答】给定数字：7，6，25，1，2，11，8，10 偶数：6，2，8，10，共4个 奇数：7，25，1，11，共4个 质数：7，2，11，共3个 合数：6，25，8，10，共4个 13． 5 108 【分析】既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【解答】三位数10□，如果是5的倍数，个位只能填0或5，1＋0＋0＝1，100不是3的倍数，1＋0＋5＝6，105既是5的倍数又是3的倍数，□里填5； 三位数10□，如果是2的倍数，个位的数字可以是0、2、4、6、8，从最大的数开始，先验证个位填8是否是3的倍数，1＋0＋8＝9，108是3的倍数，既是2的倍数又是3的倍数，这个三位数最大是108。 14． 5 7 13 3 7 11 【分析】质数：只有1和它本身2个因数的数；20以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，据此代入数据尝试。 【解答】5、7、13都是质数，5×7＝35，35＋13＝48，所以48＝5×7＋13； 3、7、11都是质数，3×7＝21，21＋11＝32，所以32＝3×7＋11 15．× 【分析】判断全称命题“一定是”是否正确，只需举出一个反例即可证明其错误。在质数中，2是唯一的偶数，其余质数均为奇数。思考包含2在内的两个质数相加的情况，验证其和是否可能为质数。 【解答】根据质数的定义，2是质数，3也是质数。 2＋3＝5，5的因数只有1和5，所以5是质数，不是合数。 因为存在两个质数的和是质数的情况，所以“任意两个质数的和一定是合数”的说法错误。 故答案为：× 16．× 【分析】因数和倍数的研究范围限定在大于零的自然数内，不适用于小数。 【解答】1.2和0.3均为小数，不是自然数。因此，不能称4是1.2的因数，也不能称1.2是3的倍数。 故答案为：× 17． × 【分析】4的最小倍数是4，4÷8＝0.5即4不是8的倍数。 【解答】根据分析： 4的倍数不一定是8的倍数。原说法错误。 故答案为：× 18．× 【分析】根据质数和合数的定义，质数是大于1且只有1和它本身两个因数的自然数，合数是大于1且有至少三个因数的自然数。两个质数相乘，积的因数包括1和这两个质数，因此积一定是合数。两个奇数相加，根据奇偶性运算规律，和一定是偶数。据此判断即可。 【解答】例如，质数2和3相乘得6，6的因数有1、2、3、6，6是合数；质数3和5相乘得15，15的因数有1、3、5、15，15是合数。所以，“两个质数的乘积不一定是合数”的说法错误。两个奇数相加，和是偶数，例如，1＋3＝4（偶数），3＋5＝8（偶数），符合奇偶性运算规律。因此，原题说法错误。 故答案为：× 19．× 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数；合数是指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。然后分别数出转盘中质数、合数的个数，个数相同可能性才一样大，据此解答。 【解答】转盘中的数：1既不是质数也不是合数；2、5、7是质数，共3个；4、10是合数，共2个。质数个数与合数个数不同，所以指针停在合数和质数区域的可能性不一样大。 故答案为：× 20．× 【分析】一个数的因数的个数是有限的，而一个数的倍数的个数是无限的。200的因数个数有限，20的倍数个数无限，因此有限的数量不可能比无限的数量多。 【解答】200的因数个数是有限的，具体有12个（如1、2、4、5、8、10、20、25、40、50、100、200）。20的倍数有20、40、60、80……，个数无限。有限的数量不可能比无限的数量多，所以原说法错误。 故答案为：× 21．见详解 【分析】先列乘法算式找出72的所有因数，再从小兔子位置出发只走这些因数的数字，用箭头连接起来即可。 【解答】72＝1×72 72＝2×36 72＝3×24 72＝4×18 72＝6×12 72＝8×9 所以72的因数有：1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、36、72。 如图： 22．A、B两盏灯都亮着 【分析】开关按动次数的奇偶性决定灯的状态变化，灯初始状态与开关按动奇偶性的对应关系：初始不亮的灯，按奇数次变亮，偶数次保持不亮；初始亮着的灯，按奇数次变不亮，偶数次保持亮着。 【解答】开始A灯不亮，小明按A的开关119次，119是奇数，这时A灯亮着。 开始B灯亮着，小兰按B的开关132次，132是偶数，这时B灯亮着。 23．8个；7，14，17，21，27，28，35，37 【分析】先找出1到40之间所有7的倍数；再找出1到40之间所有个位数字是7的数；最后将两组数合并，注意去掉同时满足两个条件的重复数字，统计总个数并列出所有符合条件的数字。 【解答】找出1到40之间7的倍数： 7×1＝7 7×2＝14 7×3＝21 7×4＝28 7×5＝35 7×6＝42（超过40，舍去） 符合条件的倍数有：7，14，21，28，35，共5个。 找出1到40之间个位是7的数： 符合条件的数有：7，17，27，37，共4个。 观察发现，数字7既是7的倍数，个位也是7，在两组中均出现，属于重复数据。 总个数为：5＋4－1＝8（个） 将所有数字按从小到大排列列为：7，14，17，21，27，28，35，37。 答：有8个数字需要喊“过”，分别是7，14，17，21，27，28，35，37。 24．4种； 6、8、12、16幅 【分析】作品总数固定为 48 幅，且每行贴的数量相同，说明每行贴的数量必须是48的因数。题目还限制了每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅。先有序地找出48的所有因数，然后根据给定的范围（每行贴的数量范围是不少于6幅且不多于16幅）进行筛选，符合条件的因数个数即为贴法的种数，具体的因数即为每行贴的作品数量。 【解答】48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。 根据条件“不少于6幅，不多于16幅” 在48的因数中，大于或等于6且小于或等于16的数有：6、8、12、16。 符合条件的因数共有4个，所以对应有4种贴法。 答：有4种贴法，分别每行贴6、8、12、16幅作品。 25．65元；195元 【分析】已知体育老师买了3个足球，每个足球的售价是60多元，总价是··5元，根据“总价＝单价×数量”可知，总价一定是3的倍数，单价一定是整数，则每个足球的售价最少是61元，最多是69元，由此求出总价的范围，再根据总价的个位数字“5”，以及3的倍数特征（各位上数字相加的和是3的倍数）来判断一共花的钱数，最后根据“单价＝总价÷数量”求出每个足球的价格。 【解答】分析可知，每个足球的售价最少是61元，最多是69元。 61×3＝183（元） 69×3＝207（元） 在183~207之间个位数字是5的数有185、195、205。 1＋8＋5＝14，14不是3的倍数，不符合题意； 1＋9＋5＝15，15是3的倍数，符合题意； 2＋0＋5＝7，7不是3的倍数，不符合题意。 所以，一共花了195元。 195÷3＝65（元） 答：每个足球65元，一共花了195元。 26． 算错了，因为花费的钱数不是的倍数 【分析】笔记本单价元，无论买多少本，总价都是的倍数。笔袋单价元，是的倍数，无论买多少个，总价也都是的倍数。两个的倍数相加，和一定是的倍数。计算出的实际花费金额是否符合的倍数的特征（个位上是或）。若不符合，则说明账目算错。 【解答】（元） 因为笔记本和笔袋的单价都是的倍数，且两种商品都有购买，所以购买笔记本和笔袋的总钱数一定是的倍数，不是的倍数。 答：售货员算错了，因为花费的钱数不是的倍数。 27．不对；理由见详解 【分析】先用付给营业员的钱减去找回的钱，求出买5个汽车模型的实际花费；根据“单价×数量＝总价”可知买5个汽车模型的实际花费应是5的倍数，结合5的倍数特征“个位上是0或5的数”判断实际花费是否是5的倍数，即可得出营业员找的钱数是否正确。 【解答】实际花费：600－58＝542（元） 542的个位上是2，不是5的倍数，所以营业员找的钱不对。 答：营业员找的钱不对。因为实际花费应是5的倍数，而542元不是5的倍数，所以营业员找的钱不对。 28．260879 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】第一位数：最小的质数是2； 第二位数：该数是一位数，且是两个不同质数的乘积。一位数中的质数有2、3、5、7， 只有2×3＝6，是一位数，符合题意，所以第二位数是6； 第三位数：最小的偶数是0； 第四位数：最小的合数是4，4的2倍是8； 第五位数：一个数最大的因数是它本身，最大的因数是7，所以这个数就是7； 第六位数：10以内最大的奇数是9。 答：刘阿姨的取件码为：260879。 29．380000平方厘米 【分析】篱笆的长度是长方形花坛的周长，根据长方形周长＝计算长与宽的和是21。 长和宽都是质数，两个质数相加等于21，两个质数就分别作为长和宽。 确定了长和宽，那么根据长方形面积＝长宽计算出面积，最后将面积单位从平方米换算为平方厘米。 【解答】42÷2＝21（米） 2＋19＝21 花坛长19米，宽2米 19×2＝38（平方米）＝380000（平方厘米） 答：这个花坛的面积是380000平方厘米。 30．（1） 小萌说对了 （2） 13人 【分析】根据题意，总人数等于班级个数乘每班人数。因为班级个数小于10且为“几个班”，说明班级个数是2到9之间的整数。这意味着总人数必须是一个合数，且拥有一个在2到9之间的因数。通过验证59、61、65、67这四个数的因数情况，排除质数，找到符合条件的合数，即可确定正确的总人数和每班人数。 【解答】（1）因为每班参加的人数相同，所以总人数是班级个数的倍数。 已知班级个数小于10，且“几个班”表示班级个数大于1，所以班级个数是2至9之间的整数。 这说明总人数除了1和它本身外，至少还有一个小于10的因数，即总人数应为合数。 59的因数只有1和59，是质数； 61的因数只有1和61，是质数； 67的因数只有1和67，是质数； 65的因数有1、5、13、65，是合数，且含有因数5，5小于10。 所以总人数是65人，小萌说对了。 （2）由（1）可知，总人数为65人，班级个数为5个。 （人） 答：每班有13人参加比赛。 学科网（北京）股份有限公司 $