四川成都市龙泉驿区向阳桥中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

**基本信息** 成都龙泉驿区向阳桥中学八年级期中数学卷，聚焦几何变换与代数运算，通过“和谐分式”“妙点”等创新定义题及“低碳生活”应用题，考查抽象能力、推理意识与模型观念，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|中心对称图形、分式意义、因式分解|基础概念辨析，如第8题“和谐分式”新定义| |填空题|10/40|旋转角度计算、不等式整数解、“妙点”定义|几何代数融合，如第22题“妙点”与一次函数结合| |解答题|8/78|因式分解、一次函数综合、正方形翻折|分层设计，如第26题正方形翻折探究，考查推理与空间观念|

四川省成都市龙泉驿区向阳桥中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．（4分）下列标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3 3．（4分）下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 B．﹣2a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a+2） C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1） 4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 5．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点的坐标是（　　） A．（3，8） B．（1，8） C．（1，4） D．（3，4） 6．（4分）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当0＜kx+b＜3时，x的取值范围为（　　） A．﹣4＜x＜0 B．0＜x＜3 C．x＞﹣4 D．x＞0 8．（4分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　） A． B． C． D． 二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若分式的值为0，则x＝　 　 ． 10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝15°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′．若点B刚好落在BC边上，则α＝　 　 ． 11．（4分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝　 　 ． 12．（4分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 　 　 ． 13．（4分）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 　 　 ． 三.解答题（本大题共5小题，共48分） 14．（12分）因式分解： （1）2x2+7x+3； （2）4x（x﹣a）+2y（a﹣x）+6（x﹣a）； （3）x2﹣6xy+9y2﹣4． 15．（8分）（1）解不等式组； （2）解方程：． 16．（8分）化简：，并在0、1、2中选一个恰当的数代入求值． 17．（8分）已知直线l1：y＝kx+b平行于直线y＝2x，且过点A（﹣2，0）． （1）求直线l1的解析式，并在下面坐标系中画出直线l1的图象； （2）若直线l2与x轴的交点为B，直线l1和l2的交点为C，在第一象限是否存在点P，使得以BC为直角边的Rt△PBC的面积为△ABC面积的2倍？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 18．（12分）如图1，△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，且∠AEC＝∠BEC＝90°，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F． （1）求证：AF⊥BC； （2）当点G为CE的中点，AE＝2时，求CF的长； （3）如图2，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得AH＝CG，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明． 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）若等式x2﹣3x+m＝（x﹣1）（x+n）恒成立，则nm＝　 　 ． 20．（4分）已知＝+（其中A、B均为常数），则A＝　 　 ，B＝　 　 ． 21．（4分）若关于x的方程无解，则k的值为　 　 ． 22．（4分）定义：若x，y满足x2＝4y+k，y2＝4x+k（k为常数）且x≠y，则称点M（x，y）为“妙点”，比如点（5，﹣9）．若函数y＝2x+b的图象上的“妙点”在第三象限，则b的取值范围为 　 　 ． 23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4.5，PD＝1.5，点E为直线CD的一个动点，连接PE，以PE为边向下方作等边△PEG，连接AG，则AG的最小值是　 　 ． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 24．（8分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求a，b的值； （2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 25．（10分）新定义：如果两个实数a（a≠0）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：a＝2，b＝﹣3使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣3]就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．①[2，1]（　 　 ）；②[3，﹣4]（　 　 ）． （2）请判断数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对[﹣3，kn]（k＜﹣2，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 26．（12分）如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线CD于点F． （1）如图1，若点F在线段CD上，写出BE与EF的数量关系并加以证明； （2）若AB＝6，CF＝2，求EC的值； （3）如图3，若点F在线段CD上，AB＝6，连接BF，交AC于点M，将△EFM沿EF翻折，得到△EFN，连接BN，交AC于点I，请按题意画出图形，探索当∠EIN＝90°时，EN的值是多少？ 四川省成都市龙泉驿区向阳桥中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．（4分）下列标志中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点评】此题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 2．（4分）使分式有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠3 B．x＞3 C．x＜3 D．x＝3 【分析】根据分式的分母不为零分式有意义，可得答案． 【解答】解：由分式有意义，得 x﹣3≠0， 解得x≠3， 故选：A． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用分式的分母不为零得出不等式是解题关键． 3．（4分）下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 B．﹣2a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a+2） C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）（4a+1） 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行因式分解后再进行判断即可． 【解答】解：A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，因此选项A不符合题意； B．﹣2a2b2+4ab2＝﹣2ab2（a﹣2），因此选项B不符合题意； C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项C不符合题意； D．（m﹣n）﹣4a（n﹣m）＝（m﹣n）+4a（m﹣n）＝（m﹣n）（1+4a），因此选项D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式是正确判断的前提． 4．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：， 由①得：x＞﹣3； 由②得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2， 表示在数轴上，如图所示： 故选：C． 【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，求出不等式组的解集是解本题的关键． 5．（4分）在平面直角坐标系中，将点P（2，6）向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点的坐标是（　　） A．（3，8） B．（1，8） C．（1，4） D．（3，4） 【分析】根据平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【解答】解：将点P（2，6）向上平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到的点的坐标是（2﹣1，6+2），即（1，8）， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 6．（4分）下列各式从左到右的变形，一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质，逐项判断即可． 【解答】解：A.＝，故本选项不符合题意； B.＝，故本选项不符合题意； C.，故本选项不符合题意； D.＝﹣，故本选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握其知识点是解题的关键． 7．（4分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，当0＜kx+b＜3时，x的取值范围为（　　） A．﹣4＜x＜0 B．0＜x＜3 C．x＞﹣4 D．x＞0 【分析】利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【解答】解：由所给函数图象可知， 当﹣4＜x＜0时，函数图象在x轴上方且在直线y＝3的下方， 所以当0＜kx+b＜3时，x的取值范围是﹣4＜x＜0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象及一次函数的性质，巧用数形结合的数学思想是解题的关键． 8．（4分）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据“和谐分式”的概念进行判断． 【解答】解：A、是最简分式，且分母可以利用平方差公式进行因式分解，故此分式是“和谐分式”，此选项符合题意； B、是最简分式，但分子、分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意； C、＝，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意； D、＝，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题属于新定义题目，考查最简分式，分式的约分，掌握利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）进行因式分解是解题关键． 二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．（4分）若分式的值为0，则x＝　﹣2　 ． 【分析】根据分式值为零的条件可得：|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0，再解即可． 【解答】解：由题可得，|x|﹣2＝0，且2﹣x≠0， 解得x＝±2，且x≠2， ∴x＝﹣2， 故答案为：﹣2 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少． 10．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝15°．将△ABC绕点A按逆时针方向旋转α度得到△AB′C′．若点B刚好落在BC边上，则α＝　110°　 ． 【分析】根据旋转的性质得到AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B，由等腰三角形的性质得到∠AB′B＝∠B，然后根据∠BAC＝130°，∠C＝15°算出∠B即可得α． 【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△A′B′C′， ∴AB＝AB′，∠C′B′A＝∠B， ∴∠AB′B＝∠B， ∵∠BAC＝130°，∠C＝15°， ∴∠B＝35°， ∴∠BAB'＝180°﹣2×35°＝110°， ∴α＝110°， 故答案为：110°． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，判断得出∠AB′B＝∠B是解决此题的关键． 11．（4分）若点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称，则ab＝　﹣2　 ． 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点（a，1）与（﹣2，b）关于原点对称， ∴a＝2，b＝﹣1， 则ab＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点横纵坐标的符号关系是解题关键． 12．（4分）若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是 　﹣＜m≤﹣　 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，不等式组的整数解的个数得出关于m的不等式组，解之即可． 【解答】解：解不等式2x+1＜3，得：x＜1， 解不等式6（x﹣m）≥3+4x，得：x≥， ∵不等式组只有3个整数解， ∴﹣3＜≤﹣2， 解得﹣＜m≤﹣， 故答案为：﹣＜m≤﹣． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 13．（4分）如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′、EB′分别交边AC于点F、G，若∠ADF＝80°，则∠GEC的度数为 　40°　 ． 【分析】由对顶角相等可得∠CGE＝∠FGB′，由两角对应相等可得△ADF∽△B′GF，那么∠CGE＝∠ADF的度数，则∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， 由翻折可得∠B′＝∠B＝60°， ∴∠A＝∠B′＝60°， ∵∠AFD＝∠GFB′， ∴△ADF∽△B′GF， ∴∠ADF＝∠B′GF， ∵∠EGC＝∠FGB′， ∴∠EGC＝∠ADF＝80°， ∴∠CEG＝180°﹣∠C﹣∠CGE＝180°﹣60°﹣80°＝40°． 故答案为：40° 【点评】本题考查了翻折变换问题，得到所求角与所给角的度数的关系是解决本题的关键． 三.解答题（本大题共5小题，共48分） 14．（12分）因式分解： （1）2x2+7x+3； （2）4x（x﹣a）+2y（a﹣x）+6（x﹣a）； （3）x2﹣6xy+9y2﹣4． 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）先提取公因式x﹣a，再次提取公因数2即可； （3）利用分组分解因式法、完全平方公式和平方差公式进行解答即可． 【解答】解：（1）原式＝（2x+1）（x+3）； （2）原式＝4x（x﹣a）﹣2y（x﹣a）+6（x﹣a） ＝（4x﹣2y+6）（x﹣a） ＝2（2x﹣y+3）（x﹣a）； （3）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣4 ＝（x﹣3y）2﹣22 ＝（x﹣3y+2）（x﹣3y﹣2）． 【点评】本题主要考查了分解因式，解题关键是熟练掌握几种常见的分解因式的方法． 15．（8分）（1）解不等式组； （2）解方程：． 【分析】（1）先分别解两个一元一次不等式，再取它们解集的公共部分，即为不等式组的解集； （2）先去分母将分式方程化为整式方程求解，再检验根是否会使原分式分母为零． 【解答】解：（1）， 解不等式①得，x＜5， 解不等式②得，x≥﹣2， ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜5． （2）＝， 两边同乘最简公分母x（x+1）（x≠0且x≠﹣1）， 去分母得，6x＝x+5， 移项合并同类项得，5x＝5， 系数化为1得，x＝1， 检验：当x＝1时，x（x+1）＝1×2＝2≠0，故x＝1是原方程的解， ∴原方程的解为：x＝1． 【点评】本题考查一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握不等式的基本性质、分式方程的去分母与验根步骤是解题的关键． 16．（8分）化简：，并在0、1、2中选一个恰当的数代入求值． 【分析】根据分式乘除法的计算方法进行化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【解答】解：原式＝×× ＝， 由于x≠1且x≠2， 所以当x＝0时，原式＝． 【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式乘除法的计算方法以及分式有意义的条件是正确解答的关键． 17．（8分）已知直线l1：y＝kx+b平行于直线y＝2x，且过点A（﹣2，0）． （1）求直线l1的解析式，并在下面坐标系中画出直线l1的图象； （2）若直线l2与x轴的交点为B，直线l1和l2的交点为C，在第一象限是否存在点P，使得以BC为直角边的Rt△PBC的面积为△ABC面积的2倍？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据直线平行可知k值相等，再把点A代入即可解答； （2）根据面积先确定CP长度，再讨论∠PCB或∠PBC分别为直角时的点P坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝kx+b与直线y＝2x平行， ∴k＝2， ∴y＝2x+b， 把点A（﹣2，0）代入y＝2x+b中， 得b＝4， ∴直线l1的表达式为：y＝2x+4，图象如图1所示， （2）当∠PCB＝90°，过点P和点C作射线相互垂直且PH交y轴于点N，垂足为点H，作CM⊥x轴，如图1所示， 由y＝﹣x+1，得当y＝0时，x＝1， ∴点B（1，0）， 由联立解方程组， 得， ∴点C（﹣1，2）， MB＝2，CM＝2， ∴CB＝＝2， ∴S△ABC＝AB×CM＝＝3， ∴SRT△PBC＝＝6， ∴CP＝3， ∵∠BCM＝45°，∠PCB＝90°， ∴∠PCH＝45°， ∵∠PHC＝90°， ∴∠HPC＝45°， ∴PH＝CH， ∵PC＝3，PH＝CH， ∴PH＝CH＝3， ∵HN＝1， ∴NP＝2， ∵HC＝3，CM＝2， ∴HM＝5， ∴P（2，5）， 同理，当∠PBC＝90°时，P（4，3）； 综上所述：点P坐标为（4，3）或（2，5）． 【点评】本题考查一次函数综合应用以及函数性质，解题关键是画好图形确定点P，再结合几何图形性质解答． 18．（12分）如图1，△ACE与△BGE均为等腰直角三角形，且∠AEC＝∠BEC＝90°，连接BC、AG，延长AG与BC交于点F． （1）求证：AF⊥BC； （2）当点G为CE的中点，AE＝2时，求CF的长； （3）如图2，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC，AD、CD交于点D，在边AB上取一点H，使得AH＝CG，连接DH，探究CG、CD、DH三条线段之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）证明△BEC≌△GEA（SAS），根据全等三角形的性质得∠BCE＝∠GAE，由∠BCE+∠CBE＝90°得∠GAE+∠CBE＝90°，可得∠AFB＝90°，即可得AF⊥BC； （2）当点G为CE的中点，AE＝2时，可得EB＝EG＝CG＝1，AE＝2，利用面积法求出BF的值，根据勾股定理求出BC，即可得CF的长； （3）过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N，证明△DHN为等腰直角三角形，可得2DH2＝（CD+CN）2，再证四边形ACNH是平行四边形，则AH＝CN＝CG，即可得2DH2＝（CD+CN）2＝（CD+CG）2． 【解答】（1）证明：∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形， ∴EB＝EG，CE＝AE， ∵∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴△BEC≌△GEA（SAS）， ∴∠BCE＝∠GAE， ∵∠BCE+∠CBE＝90°， ∴∠GAE+∠CBE＝90°， ∴∠AFB＝90°， ∴AF⊥BC； （2）解：当点G为CE的中点，AE＝2时， ∵△ACE与△BGE均为等腰直角三角形， ∴EB＝EG＝CG＝1，AE＝CE＝2， ∴AB＝EB+AE＝3，AG＝＝，BC＝＝， 由（1）知AF⊥BC， ∴S△ABG＝AB•EG＝AG•BF， ∴3×1＝BF， ∴BF＝， ∴CF＝BC﹣BF＝﹣＝； （3）解：2DH2＝（CD+CG）2． 证明：方法一：如图，过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG， ∵CD∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴四边形CEMD是矩形， ∴EM＝CD，CE＝DM， ∴EM＝AB， ∴BE＝AM， ∵AH＝CG，CE＝AE， ∴EG＝EH． ∵EB＝EG， ∴EB＝EG＝EH＝AM， ∴∠EHG＝45°，AE＝HM， ∵AE＝CE＝DM， ∴HM＝DM， ∴∠DHM＝45°， ∴∠DHG＝180°﹣∠EHG﹣∠DHM＝90°， ∴DH2＝DG2﹣GH2， ∵∠ECD＝90° ∴DG2＝CD2+CG2， ∴DH2＝CD2+CG2﹣GH2， ∵GH2＝EG2+EH2＝2EH2＝2（）2＝2（）2＝＝， ∴DH2＝CD2+CG2﹣GH2＝CD2+CG2﹣， ∴2DH2＝2CD2+2CG2﹣CD2+2CD•CG﹣CG2， ∴2DH2＝CD2+CG2+2CD•CG， ∴2DH2＝（CD+CG）2． 方法二：如图：过点D作DH⊥AB，交BA的延长线于M，连接DG，HG，延长HG、DC交于N， ∵CD∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵∠AEC＝∠BEC＝90°， ∴∠ECD＝90°， ∴四边形CEMD是矩形， ∴EM＝CD，CE＝DM， ∴EM＝AB， ∴BE＝AM， ∵AH＝CG，CE＝AE， ∴EG＝EH． ∵EB＝EG， ∴EB＝EG＝EH＝AM， ∴∠EHG＝45°，AE＝HM， ∵AE＝CE＝DM， ∴HM＝DM， ∴∠DHM＝45°， ∴∠DHG＝180°﹣∠EHG﹣∠DHM＝90°， ∵CD∥AB， ∴∠CDH＝∠DHM＝45°， ∴△DHN为等腰直角三角形， ∴2DH2＝（CD+CN）2， ∵∠CAE＝45°，∠EHG＝45°， ∴AC∥NH， ∵CD∥AB， ∴四边形ACNH是平行四边形， ∴AH＝CN， ∵AH＝CG， ∴CN＝CG， ∴2DH2＝（CD+CN）2＝（CD+CG）2． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握解直角三角形的相关知识． 四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．（4分）若等式x2﹣3x+m＝（x﹣1）（x+n）恒成立，则nm＝　﹣4　 ． 【分析】先根据多项式乘多项式法则计算（x﹣1）（x+n），再根据已知条件列出关于m，n的方程，解方程求出m，n，然后求出答案即可． 【解答】解：（x﹣1）（x+n） ＝x2+nx﹣x﹣n ＝x2+（n﹣1）x﹣n， ∵x2﹣3x+m＝（x﹣1）（x+n）恒成立， ∴n﹣1＝﹣3，m＝﹣n， 解得：n＝﹣2，m＝2， ∴nm＝﹣2×2＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查了因式分解，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则． 20．（4分）已知＝+（其中A、B均为常数），则A＝　　 ，B＝　　 ． 【分析】把方程的右边通分，然后根据等式的性质得出关于A、B的方程组，求解即可． 【解答】解：＝+， ， ， ， ∴， 解得， 故答案为：，． 【点评】本题考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 21．（4分）若关于x的方程无解，则k的值为　1或2　 ． 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据关于x的分式方程无解，得到x﹣2＝0时有增根，据此求出x的值，代入整式方程求出k的值即可． 【解答】解：去分母，得：1﹣kx＝﹣k﹣2（x﹣2）， ∵关于x的分式方程无解， ∴x﹣2＝0时有增根，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，可得：1﹣2k＝﹣k， 解得k＝1， 此外去分母，得：1﹣kx＝﹣k﹣2（x﹣2）， 即（2﹣k）x＝3﹣k， 当2﹣k＝0，即k＝2时，上述式子不成立， 故k的值为1或2， 故答案为：1或2． 【点评】此题主要考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 22．（4分）定义：若x，y满足x2＝4y+k，y2＝4x+k（k为常数）且x≠y，则称点M（x，y）为“妙点”，比如点（5，﹣9）．若函数y＝2x+b的图象上的“妙点”在第三象限，则b的取值范围为 　﹣4＜b＜8且b≠2　 ． 【分析】根据“妙点”定义可得：x+y＝﹣4，进而计算得出x＝，y＝，即可得出答案． 【解答】解：由“妙点”定义可得：x2＝4y+k，y2＝4x+k， ∴x2﹣y2＝4y﹣4x， ∵x≠y ∴x+y＝﹣4， ∴x＝，y＝， ∴≠， ∴b≠2， ∵函数y＝2x+b的图象上的“妙点”在第三象限， ∴x＜0，y＜0， ∴b＞﹣4，b＜8， ∴﹣4＜b＜8， 故答案为：﹣4＜b＜8且b≠2． 【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，一次函数图象上点的坐标的特征以及新定义问题，正确理解新定义是解决本题的关键． 23．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4.5，PD＝1.5，点E为直线CD的一个动点，连接PE，以PE为边向下方作等边△PEG，连接AG，则AG的最小值是　3　 ． 【分析】以PD为边向下作等边△PDT，连接GT，延长GT交AD的延长线于R，证明△PDE≌△PTG，推出∠PDE＝∠PTG＝90°，推出点G在射线RT上运动，推出当AG⊥RG时，AG的值最小． 【解答】解：如图，以PD为边向下作等边△PDT，连接GT，延长GT交AD的延长线于R， 在矩形ABCD中，AD＝4.5，PD＝1.5，点E为直线CD的一个动点，连接PE，以PE为边向下方作等边△PEG， ∵∠DPT＝∠EPG＝60°， ∴∠DPE＝∠TPG， ∵PD＝PT，PE＝PG， ∴△PDE≌△PTG（SAS）， ∴∠PDE＝∠PTG＝90°， ∴∠PTR＝90°， ∵∠PTD＝60°， ∴∠DTR＝∠R＝30°， ∴DT＝DR＝DP＝1.5， ∵∠PTR＝90°， ∴PT⊥TR， ∴AR＝AD+DR＝6， ∴当AG⊥RG时，AG的值最小，最小值＝， 故答案为：3． 【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，解答本题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 五、解答题（本大题共3小题，共30分） 24．（8分）“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元） 第一周 10 12 20000 第二周 20 15 31000 （1）求a，b的值； （2）若计划第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周总销售额最大，最大总销售额是多少元？ 【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及总销售额，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的2倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数，利用一次函数的性质即可求解． 【解答】解：（1）由题意得， 解得：， 所以a的值为800，b的值为1000； （2）设该专卖店第三周售出A型车x辆，B型车（25﹣x）辆，销售总额为W元， 由题意得：W＝800x+1000（25﹣x）＝﹣200x+25000， 由x＜25﹣x≤2x， 解得； x取整数，x＝9，10，11，12， ∵W随着x的增大而减小， ∴当x＝9时，W取得最大值，此时W＝﹣200×9+25000＝23200（元），25﹣x＝16（辆）． 所以该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元， 答：该专卖店第三周售出A型车9辆，B型车16辆，销售总额为最大，为23200元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 25．（10分）新定义：如果两个实数a（a≠0）、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“友好数对”． 例如：a＝2，b＝﹣3使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣3]就是关于x的分式方程的一个“友好数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“友好数对”，若是，请在括号内打“√”．若不是，打“×”．①[2，1]（　×　 ）；②[3，﹣4]（　√　 ）． （2）请判断数对[n，n﹣3]是否有可能是关于x的分式方程的“友好数对”，如果可能，请求出此时的n需满足什么条件？如果不可能，请说明理由． （3）若数对[﹣3，kn]（k＜﹣2，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”，，，试比较M、N的大小． 【分析】（1）根据新定义，仿照示例，可判断数对[2，1]不是“友好数对”，数对[3，﹣4]是“友好数对”； （2）根据“友好数对”的定义，得到x＝是方程的解，从而得到n的值； （3）根据题意，得到n＝，利用作差法，判断M﹣N＜0，从而得到结果． 【解答】解：（1）关于x的分式方程， ∵x＝＝不是方程的解， ∴数对[2，1]不是关于x的分式方程的“友好数对”； ∵x＝是方程的解， ∴数对[3，﹣4]是关于x的分式方程的“友好数对”； 故答案为：×，√； （2）当n＝1时，数对[n，n﹣3]是关于x的分式方程的“友好数对”，理由如下： ∵若数对[n，n﹣3]是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴x＝是方程的解， ∴n（n+n﹣3）﹣1＝n﹣3， ∴n2﹣2n+1＝0， ∴（n﹣1）2＝0， ∴n＝1， 即n＝1时，数对[n，n﹣3]是关于x的分式方程的“友好数对”； （3）∵数对[﹣3，kn]（k＜﹣2，n≠0）是关于x的分式方程的“友好数对”， ∴x＝是关于x的分式方程的解， ∴﹣3（﹣3+kn）﹣1＝kn， ∴kn＝2， 即n＝， ∴M＝＝＝， N＝＝+＝+＝， ∴M﹣N＝﹣＝， ∵k＜﹣2， ∴k+1＜﹣1， ∴， ∴M﹣N＜0， ∴M＜N． 【点评】本题考查了新定义，解分式方程，读懂题意，熟练解分式方程是解题的关键． 26．（12分）如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线CD于点F． （1）如图1，若点F在线段CD上，写出BE与EF的数量关系并加以证明； （2）若AB＝6，CF＝2，求EC的值； （3）如图3，若点F在线段CD上，AB＝6，连接BF，交AC于点M，将△EFM沿EF翻折，得到△EFN，连接BN，交AC于点I，请按题意画出图形，探索当∠EIN＝90°时，EN的值是多少？ 【分析】（1）作EG⊥AB于G，交CD于H，可证得△BEG≌△EFH，BE＝EF，可证得△BCE≌△DCE，从而DE＝BE，从而得出ED＝EF； （2）根据△BCE≌△DCE得出EG＝FH，BG＝CH，从而得出6﹣AG＝CF+FH＝2+AG，从而AG＝2，进一步得出结果； （3）连接BD，作NW⊥CD于W，作MV⊥CD于V，可证得点N在BD上，由△EFM沿EF翻折，得到△EFN得出∠EFN＝∠EFB＝45°，FM＝FN，从而∠MFN＝90°，可证得△WFN≌△VMF，从而CV＝MV，DW＝WN，进而得出FV+CV＝3，从而得出CF＝3，根据（2）得出6﹣AG＝3+AG，从而AG＝，从而得出AG的值，根据角平分线的性质得出MV＝MT，进而根据S△BCM+S△CFM＝S△BCF得出MV＝2，从而得出CM的值，进一步得出结果． 【解答】（1）证明：如图1， 作EG⊥AB于G，交CD于H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，BC＝CD， ∴GH⊥CD，∠CEH＝90°﹣∠ACD＝45°， ∴∠BGE＝∠EHF＝90°，∠ACD＝∠CEH， ∴∠EBG+∠BEG＝90°，四边形BCHG是矩形，CH＝EH， ∴BG＝CH＝EH， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠BEG+∠FEH＝90°， ∴∠EBG＝∠FEH， ∴△BEG≌△EFH（AAS）， ∴BE＝EF， ∵CE＝CE， ∴△BCE≌△DCE（SAS）， ∴DE＝BE， ∴ED＝EF； （2）解：如图1， 同理（1）可得，AG＝EG， 由（1）知，△BCE≌△DCE， ∴EG＝FH，BG＝CH， ∴6﹣AG＝CF+FH＝2+AG， ∴AG＝2， ∴AE＝AG＝2， ∴AC＝AB＝6， ∴CE＝AC﹣AE＝4； （3）解：如图2， 连接BD，作NW⊥CD于W，作MV⊥CD于V， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD， ∵∠EIN＝90°， ∴BN⊥AC， ∴点N在BD上， 由（1）知，BE＝EF， ∴∠AFB＝∠EBF， ∵∠BEF＝90°， ∴∠EFB＝90°， ∵△EFM沿EF翻折，得到△EFN， ∴∠EFN＝∠EFB＝45°，FM＝FN， ∴∠MFN＝90°， 同理（2）可知，△WFN≌△VMF（AAS），CV＝MV，DW＝WN， ∴WN＝FV，MV＝FW， ∴FV＝DW，CV＝WF， ∵DW+WF+FV+CV＝CD＝6， ∴FV+CV+FV+CV＝6， ∴FV+CV＝3， ∴CF＝3， 由（2）知，BG＝CH＝EH，AG＝EG＝FH， ∴AB﹣AG＝CF+FH＝CF+AG， ∴6﹣AG＝3+AG， ∴AG＝， ∴BG＝6﹣＝，GE＝， ∴AE＝AG＝， ∵AC平分∠BCD， ∴MV＝MT， 由S△BCM+S△CFM＝S△BCF得， CF•MV+BC•MT＝CF•BC， ∴（3+6）MV＝3×6， ∴MV＝2， ∴CM＝MV＝2， ∵AC＝AB＝6， ∴EN＝EM＝AC﹣AE﹣CM＝6﹣＝． 【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $