精品解析：河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版）

高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 六棱锥 B. 五棱柱 C. 四棱台 D. 圆台 2. 复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 在中，点满足，点满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个三角形的三条高的长度分别为，，，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 6. 已知，是复数，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，则与可能相交 D. 若，，则 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 11. 如图，在正四棱台中，，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该棱台的体积为 B. 点到平面的距离为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 该棱台的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则的夹角为______． 13. 如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 14. 已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 17. 如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． （1）若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； （2）求证：平面． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． （1）求证：为的中点； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 19. 如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点满足，与交于． （1）求的值； （2）若是锐角三角形，，，求的取值范围； （3）若，的面积为11，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章～第八章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 六棱锥 B. 五棱柱 C. 四棱台 D. 圆台 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算每个选项中几何体的总面数，筛选出总面数为6的几何体. 【详解】对于A：六棱锥有1个底面+6个侧面，共个面，A错误； 对于B：棱柱总面数 = 侧面数 + 2个底面，五棱柱有5个侧面+2个底面，共个面，B错误； 对于C：棱台总面数 = 侧面数 + 2个底面，四棱台有4个侧面+2个底面，共个面，C正确； 对于D：圆台有上底面、下底面、侧面共3个面，D错误. 2. 复数的虚部为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘方化简后根据复数的定义判断． 【详解】，虚部为． 3. 在中，点满足，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量基本定理即可求解. 【详解】 已知且，所以， 则，故A正确. 4. 已知正方形的边长为，则其水平放置的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法规则进行求解计算即可. 【详解】由斜二测画法规则可知，其水平放置的直观图是底为4，高为的平行四边形， 所以直观图的面积为. 5. 已知一个三角形的三条高的长度分别为，，，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由面积结合三条高表示三边长确定是最大边，对应最大角为，由余弦定理判断的符号，确定三角形形状. 【详解】设三角形面积为，三边长对应高分别为， 由三角形面积公式可得三边长为： ， 因为，因此是最大边，对应最大角为， 由余弦定理： ，由 得， 即最大角为锐角，因此该三角形是锐角三角形. 6. 已知，是复数，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求再由利用三角不等式求解即可 【详解】 ∵， ， 即. 7. 在正三棱锥中，侧面的面积为底面的面积的，则二面角的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点，连接，说明即为二面角的平面角，设，根据侧面的面积为底面的面积的，求出，再利用余弦定理解即可. 【详解】如图，取的中点，连接， 因为，所以， 所以即为二面角的平面角， 设，则， 由，得，所以， 则， 在中，由余弦定理得， 所以，所以， 即二面角的正切值为. 8. 在中，，若对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，根据向量坐标的数量积运算，及恒成立条件得到，进而根据二次函数的性质即可求出的最小值． 【详解】以为原点，以所在的直线为轴，建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，，，， 则，，，， 则，对任意恒成立， 又对任意恒成立，则， 则， 所以的最小值为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则，是异面直线 B. 若，，，则 C. 若，，则与可能相交 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间线线、线面、面面的位置关系，及面面平行、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由，，，可得，异面或平行，错误； 对于B，因为，， 所以，又，所以，正确； 对于C，由，，可得与相交或平行，正确； 对于D，由，，可得或相交或，错误. 10. 已知的内角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆面积为 C. 若，则满足条件的三角形仅有个 D. 周长的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求解判断ABC；利用余弦定理，结合基本不等式求解判断D. 【详解】对于A，由于，结合正弦定理得， 在中，有，所以， 则有，即， 又因为，，所以 又因为，所以，故A正确； 对于B，已知，，由正弦定理得，其中为外接圆的半径， 则，解得，外接圆面积，故B错误； 对于C，已知，，， 由余弦定理，代入数据得， 化简得，解得，舍去负值，则，所以只有一个正解， 因此满足条件的三角形仅有个，故C正确； 对于D，已知，， 由余弦定理，代入数据得， 化简得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 则，解得， 因此周长的最大值为，故D错误. 11. 如图，在正四棱台中，，侧面积为，则下列说法正确的是（ ） A. 该棱台的体积为 B. 点到平面的距离为 C. 直线与所成角的余弦值为 D. 该棱台的外接球的表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正棱台的性质求得斜高、高、侧棱长，由体积公式计算体积判断A，把棱台补成棱锥后利用体积法得点到平面 距离判断B，根据定义求得异面直线所成角的余弦值判断C，确定外接球球心所在位置，求出外接球半径后计算表面积判断D． 【详解】对于A，由已知，， 如图，于，平面于，由在上，连接， 所以正四棱台的侧面积为， 所以， 又，所以， 所以正四棱台的体积为，A正确； 对于B，把正四棱台的侧棱延长交于点得正四棱锥，分别是正四棱台上、下底中心（对角线交点），则是棱锥的高（在上）， ，， 因为，所以平面是正四棱锥的中截面，所以，, 是等边三角形，， 设到平面即平面的距离为，所以， 又，, 因为，所以，解得，B正确； 对于C，取中点，连接，则与平行且相等，所以是平行四边形，所以，所以是直线与所成角或其补角， ， ，又， 在中，C错； 对于D，由正棱台性质知其外接球球心在直线上，是等腰直角三角形，，而（是的一条中位线），即，过的中点，作交直线于点，则，即为外接球球心， ，， 又，所以， 所以，所以，所以， 所以外接球表面积为，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知单位向量满足，则的夹角为______． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得， 所以， 因为，所以， 解得， 因为，所以． 13. 如图，海平面上位于信息中心的正东方向且与相距25海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心的南偏西方向且与相距15海里的处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线去营救渔船，则甲船到达处需要________小时． 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，结合行驶速度即可求得所需时间. 【详解】在中，由题意得：海里，海里， 因在南偏西，在正东，因此。 由余弦定理，  ， 即， 故 得海里， 因甲船速度为30海里/小时，因此甲船到达处所需时间小时。 14. 已知正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点是棱上靠近的三等分点，若，则点的轨迹长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧，求出轨迹长度； 【详解】 由题意 在上，取，则 由正方体的性质可知平面，又平面， 则， 则， 即点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆在正方形内的圆弧， 如图设圆弧与交于，， 所以，则， 则弧长为 故点的轨迹长度为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若复数为纯虚数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义列出方程求出，再根据复数的模的计算公式即可得解； （2）根据复数的几何意义列出不等式组，解之即可. 【小问1详解】 由题意可知， 因为为纯虚数，则，解得， 所以，； 【小问2详解】 ， 因为在复平面内对应的点位于第四象限，所以， 解得或， 即的取值范围是． 16. 已知平面向量，，且． （1）求在上的投影向量的坐标； （2）若向量与的夹角是钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量垂直坐标点积为算出，得到，再求，套用投影向量公式代入求值； （2）先化简两个向量坐标，钝角满足数量积小于且不共线反向，先列式点积不等式求，再由平行条件算出并剔除，合并取值范围． 【小问1详解】 因为，所以，解得， 所以，，，， 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量的坐标为． 【小问2详解】 ，， 因为向量与的夹角是钝角，则，且与不平行， 所以，解得， 又与不平行，则，所以， 所以实数的取值范围为． 17. 如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． （1）若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； （2）求证：平面． 【答案】（1） （2）证明：连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【解析】 【分析】（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可； （2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面． 【小问1详解】 由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， 所以该扇形的弦长为，即该蚂蚁爬行的最短路程为． 【小问2详解】 略 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． （1）求证：为的中点； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． （2）证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （3） 【解析】 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； （3）先确定直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，从而得到，再结合余弦定理，勾股定理，正切函数的定义即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，垂足为，设中点为，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以为直线与平面所成角． 由（2）知平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角，即， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，， 又，所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为． 19. 如图，的内角，，的对边分别为，，，点满足，点满足，与交于． （1）求的值； （2）若是锐角三角形，，，求的取值范围； （3）若，的面积为11，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）6． 【解析】 【分析】（1）设，结合已知条件和向量共线定理即可求解； （2）由（1）知，两边同时平方得，再利用正弦定理得，求出，即可得到的范围，进而可以求出； （3）设，先在中，利用余弦定理得，再利用的面积为11，得到，最后通过同角三角函数的公式列出，即可求出. 【小问1详解】 设， 由题意，， 所以， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知，因为，， 所以， 由正弦定理得，所以， 因为是锐角三角形，解得， 所以，所以， 所以， 所以，即的取值范围为． 【小问3详解】 由（1）可知，则，又，所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 因为的面积为11，则， 又，则， 因为，所以，整理得， 将其看作关于的一元二次方程，则， 解得，故的最小值为6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $