河南省九师联盟2025-2026学年高一下学期6月考数学试题（人教A版）

高一数学参考答案、提示及评分细则 1.C六棱锥和五棱柱均由7个面围成，四棱台由6个面围成，圆台不是多面体.故选C 2.B因为x=3十4的=-3-4i,所以之的虚部为一4.故选B. 3.AD市=A范-A市=2A花-A范.故选A 4D由斜二测法规则可知，其水平放登的直观图是底为4，高为4X号×号一厄的平行四边形，所以直观图的面积为4 2 ×√2=4√2cm2.故选D. 5A因为三条高的长度分别为36,2.放三边之比为号：方·合=2：6：3，显然不可能是等腰三角形，设△AC最 大的内角为0，则心心女2是-祭0，所以子所以该三角形为脱角三角形夜选人 6.C||=√12+(5)2=2，由复数的几何意义可知||2|-|名||≤|2+|≤||+|2|，即||2|-2|≤4≤ |2十2，解得2≤|2|≤6.故选C 7.B取AB的中点E,连接SE,CE,设0为底面△ABC的中心，则0在线段CE上，且OE=号EC, 连接SO,由正三棱锥的性质可知SO⊥平面ABC,SE⊥AB,OE⊥AB,所以∠SEO为二面角 S-AB-C的平面角，侧面△SAB的面积是底面△ABC的面积的7，则SE=?EC,不妨设 EC=2,则OE=号，SE=1,在R△S0E巾，0=号，m∠SB0是号故选R 8.D设tAB=A(E在直线AB上)，则AC-tA-AC-A范-E心，所以对任意1∈R,|AC-1AB1≥2恒成立，即 |E式≥2恒成立，所以C到直线AB的距离为2，设D为AB中点，则CD≥2，所以C·C=(CD+DA)· (市+D成)=(Ci-AB)·(市+号A)-C市-}A-C市-是≥子.故选D 9.BC对于A,若a∥B,mCa,nC3,则m,n平行或异面，A错误；对于B,若a∥B,m⊥a,则mLB,又n∥B,由直线与平面平 行的性质定理，可知存在lCB,使得n∥l,则m⊥l,则m⊥，B正确；对于C,若a⊥3，a⊥Y,则B与Y平行或相交，C正确： 对于D,若a⊥B,mCa,则m∥B或mC3或m与B相交，D错误.故选BC. 10.AC由b=cosA+7a及正弦定理，得sinB=sin(A十C)=sin Ccos A十号sinA,所以sin AcosC+-cos Asin C- sin Ceos A+-号sinA,即sinA·osC-sinA,而simA>0,则cosC-号，又Ce(0,x),所以C-吾，A正确；设外 接圆半径为，则r一2品C=2,即△ABC的外接圆面积为2=4x,B错误：若6=2，区，sinB=snC-= 2,因为b<c, 所以B<C,B=云，C正确；由余弦定理得(25)2=d+-b,则(a+b)2=12+3ab,即a+b2-1卫=ab≤ 3 (士)，整理得a≤4，解得a+4,当且仅当a=b时取等号，所以周长a十b十c的最大值为6尽，D错误 故选AC. 1.AD由题意，正四棱台ABCD-A,BCD,的侧面积为4X宁×(AB+A,B)X√AA-(ABAB)=4X空× 2 4+2)X√AA-(2)=125,解得AA=2,记正四棱台ABCD-ABCD,的上底面的中心为O,下底面的中 【高一数学参考答案第1页（共4页）】 人教A 心为O,连接OO,其上、下底面的边长分别为2,4，得OA=√2，OA=2√2，过点A作AH D A ⊥A0,垂足为H,则AH=E,00=E,所以正四棱台的体积V=号×厄× (4十√而+16)282，A正确：设点A到平面BBCC的距离为h,由题易知S△属，S 3 -.因为V6=V9所以号×5=号×名×2X2X,解得友=2，B正确：取AB的中点M。 连接BM,MC,易得BM∥AA,所以∠MB,C为直线AA1与B,C所成角（或其补角），由余弦定理得cos∠MBC= BMBACE MC-日，即直线AA,与BC所成角的余弦值为，C馆误：设其外接球的球心为G,半径为R,若 2B MXB C 该棱台的外接球的球心在线段O,O的延长线上，则有GO一GO=OO=2,即√R一2一√R一8=√2，解得R= √而，若外接球的球心在线段O,O上，则有GO,十GO=OO,即√R一2+√R一8=√2，此方程无解，故其外接球的 表面积为S表=4R2=4π×（√10）2=40x,D正确.故选ABD. 12行a(3a+2b)=3a+2ab=3+2ab=2,所以a:b合设a.b的夹角为0，则cos0=日=一合，因为 a·b e[0.x],所以0=经 13.6 由题意可知OC=15,OB=25,∠O=120°，由余弦定理可得BC=√OC+OB-2OC×OB×cos120= √15+25一2X15X25×(一7)=35，所以甲船到达B处需要的时间为费=名小时， 14.暂取棱DD上靠近D的三等分点E,连接PE,ME,PM,则PEL平面AA,D,D,MEC平面 B AADD,所以PE⊥ME,则ME=√PM-PE=√（√3）2-32=2，则点M在侧面 AA]DD内的轨迹是以E为圆心，半径为2的劣弧，设该劣弧与AD交于M1,易知∠MED= 晋，∠D,EM=号，劣弧DM的长为号X2-弩 M 15.解：(1)由题意可知名1=(2一2m-3)十(m-3)i,…1分 2-2m-3=0, 因为之为纯虚数，则{ 解得m=一1，… …4分 m-3≠0， 所以之=1-5i,x|=√12+5=√26.… …6分 （2a=㎡-2m2+m-4i-[m-2m2（m4)i=卫_m-m-5+二m+3m-2i.…9分 1+i (1+i)(1-i) 2 （-m-6>0, 2 因为2在复平面内对应的点位于第四象限，所以 …11分 -m+3m-2<0, 2 m>3,或m<-2, 解得 即m>3,或m<-2, m>2,或m<1, 即m的取值范围是（一∞，一2）U(3,十∞).… 13分 16.解：(1)因为a⊥b,所以2×(-3)+3x=0,解得x=2, …2分 所以b=(-3,2),a+b=(-1,5),a+b|=√/26，(a+b)·b=13, 4分 所以b在a十b上的投影向量为a十b.(a十b)=7(Q十b)，……… 所以b在a十b上的投影向量的坐标为(-司，号). …7分 【高一数学参考答案第2页（共4页）】 人教A (2)2a-b=(7,4),ka+b=(2k-3,3k+2),… …9分 因为向量2a一b与ka十b的夹角是钝角，则(2a一b)·(a十b)<0,且2a一b与ka+b不平行， f以7X(2k-3)十4X(3k+2)<0,解得k7, 12分 又2a一b与ka十b不平行，则7×(3k十2)-4X(2k-3)≠0，所以k≠-2，…14分 所以实数的取值范围为（一©，一2U(-2,号）。 …15分 17.(1)解：由题意可知该圆锥的表面积S类=x×()+号×x×AB×PA=15x, 又PA=2AB,解得AB=2√5，PA=45,… ……3分 又店-受，则该圆锥的侧面层开图是一个圆心角为受，半径为45的扇形， …5分 4w3 所以该扇形的弦长为46，即该蚂蚁爬行的最短路程为4√6. 7分 (2)证明：连接OQ,OC,OD, 因为O,Q分别为AB,PA的中点，所以OQ∥PB, 又因为OQC平面QCO,PB过平面QCO,所以PB∥平面QCO. …9分 3π Q 因为劣弧AC的长为，则∠A0C-百 因为CD∥AB,则∠OCD=∠AOC=受，所以△OCD为等边三角形， 所以CD=OB=√3，所以四边形OCDB为平行四边形，所以OC∥BD,…12分 又因为OCC平面QCO,BD吨平面QCO,所以BD∥平面QCO, 又因为PB∩BD=B,PB,BDC平面PBD,所以平面PBD∥平面QCO, 14分 因为QCC平面QCO,所以QC∥平面PBD. 15分 18.(1)证明：连接AF,EF,因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC, 又AD吐平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC,… …2分 又ADC平面ADE,平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF, 所以BC∥EF,… 4分 因为E是PC的中点，所以F为PB的中点.… …5分 (2)证明：因为AB=PA,F是PB的中点，所以AF⊥PB, 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,ADC平面ABCD,且AD⊥AB, 所以ADL平面PAB,… …7分 又PBC平面PAB,所以AD⊥PB, 因为AF∩AD=A,AF,ADC平面ADE,所以PB⊥平面ADE.… …9分 因为PBC平面PBC,所以平面PBC⊥平面ADE.……10分 (3)解：过点F作FH⊥AB,垂足为H,设AD中点为G,连接GH,GF,…11分 因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,FHC平面PAB, 所以FH⊥平面ABCD,所以∠FGH为直线GF与平面ABCD所成角， 由(1)易得DG∥EF,DG=EF,所以四边形DGFE是平行四边形，所以DE∥GF, D 所以∠FGH为直线DE与平面ABCD所成角.…13分 G、 由(2)知AD⊥平面PAB,又APC平面PAB,所以AD⊥AP, 【高一数学参考答案第3页（共4页）】 人教A 又AD⊥AB,所以∠PAB为二面角P-AD-B的平面角，即coS∠PAB=- 3 14分 设PA=AB=a,在△PAB中，由余弦定理得a2+a2-2dX号=PB=,解得a=2, 15分 所以AF=A-F=2E,PH=AF-25,AH=-FF-9, AB 31 又AG=号BC-1,所以GH=VAG+AF=, 3 所以1m∠PGH器-2即直线DE与平面AD所成角的正切值为2一， 19 …17分 19.解：(1)设Aò=入AD(0<a<1), 由题意，A市=A成+B市=A+是成-A店+(AC-A)=A+AC, 所以A0=AA市=冬A+A心-冬×号A花斗A心-受花+坠A心， …3分 因为E,0.C三点共线，所以受+=1，解得入=吕， 所以8品 …5分 (2)由(1)知Ad1A访+A花，因为C=冬=2， 所以亦-（花+）°-6+A·AC+是A衣=+号 9 8c+ 4 …6分 由正玻定理得c6所以一-C-2如(3士B） 6 sin B sin B -smB+cos B-1十B sin B tan B' …7分 |0<C-吾-B< 因为△ABC是锐角三角形， 解得管<B<受 8分 0<B<受， an61,4. 所以tmB号，所以c=1+ 9分 所以=+号+是=-3)+器e[器器)， 所以A∈[渠，年)，即AD的取值范围为[3，」 11分 3由1可知品普，则A0号0D,又A0-号C,所以OD= 12分 设OD=t(t>0),则OC=2t, +(2)-()50-60 在△OCD中，由余弦定理得cos∠DOC= 2Xt×21 4t2 13分 因为△ABC的面积为1，则Sm=音Sam=是×子5=寻×1=子 41 又Sam=2 CCXODXsin∠D0C=Fsin∠D0C,则sin∠D0C-是 422, 14分 因为cos2∠DOC+sin2∠DOC=1,所以 将其看作关于心的一元二次方程，则4-得a-4X9X(236a+9)≥0， 解得a≥6，故a的最小值为6. …17分 【高一数学参考答案第4页（共4页）】 人教A高一数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择題两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答題题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签宇笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择題每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各題的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章一第八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是 A.六棱锥 B.五棱柱 C,四棱台 D.圆台 2.复数z=3+4i的的虚部为 A.4 B.-4 C.3 D.-3 3.在△ABC中，点D满足A市=}A店，点E满足A范+C范=0，则D苑- A-号+2Ad B}A庙-号AC C.-号A+号AC D.号A店-AG 4.已知正方形ABCD的边长为4cm,则其水平放置的直观图的面积为 A.8 cm2 B.8√2cm C.4 cm2 D.4√2cm 5.已知一个三角形的三条高的长度分别为3，W6,2,则该三角形是 A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D,等腰三角形 6.已知，z2是复数，1=√3十i,若|x1十x2|=4,则|2的取值范围为 A.[1,3] B.[2,4] C.[2,6] D.[4,8] 【高一数学第1页（共4页）】 人教A 7在正三棱锥S-ABC中，侧面△SAB的面积为底面△ABC的面积的2，则二面角S-AB-C的正 切值为 A号 R号 C.2 D./3 8.在△ABC中，AB=3,若对任意ER,|AC-A|≥2恒成立，则CA.C的最小值为 A.-号 B-7 c是 n名 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知m,n是两条不同的直线，a,B,y是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A.若a∥B,mCa,nCB,则m,n是异面直线 B.若a∥B,m⊥a,n∥β，则m⊥n C.若a⊥B,a⊥y,则B与y可能相交 D.若a⊥β，mCa,则m⊥β 10,已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a6c,b=c0sA+7a,G=23,则 AC=牙 B.△ABC的外接圆面积为π C.若b=2√2，则满足条件的三角形仅有1个 D.△ABC周长的最大值为2√3+6 11.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=2A1B1=4,侧面积为12√3， 则下列说法正确的是 A该按合的体积为经 B点A到平面B,GC的距离为25 C直线AA与B,C所成角的余弦值为号 D.该棱台的外接球的表面积为40π 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知单位向量a,b满足a·(3a十2b)=2,则a,b的夹角为 13.如图，海平面上位于信息中心0的正东方向且与O相距25海里的B处有一艘 北 +东 渔船遇险，在原地等待救援，甲船位于信息中心O的南偏西30°方向且与O相距 15海里的C处，现甲船以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，则甲船到 C 达B处需要」 小时. 【高一数学第2页（共4页）】 人教A 14.已知正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为3，点M是侧面ADD1A1上的一个动点（含边界），点P是棱 CC,上靠近C的三等分点，若PM=√I3,则点M的轨迹长度为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数x=(m2-2m一2)+(m-4)i(m∈R). (1)若复数z1=z一1十i为纯虚数，求|z的值； (2)若复数=千在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围。 16.(本小题满分15分) 已知平面向量a=(2,3),b=(-3,x),且a⊥b. (1)求b在a十b上的投影向量的坐标； (2)若向量2a一b与a十b的夹角是钝角，求实数k的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，圆锥PO的表面积为15π，AB是底面圆的一条直径，Q是PA的中点，C,D是底面圆上的两点， CD∥AB,劣弧AC的长为，PA=2AB. (1)若一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A,求该蚂蚁爬行的最短 路程； (2)求证：QC∥平面PBD. 【高一数学第3页（共4页）】 人教A 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAB⊥平面ABCD,E是PC的中点，AB= PA,PB=2BC=4,设平面ADE交PB于F. (1)求证，F为PB的中点； (2)求证：平面PBC⊥平面ADE: (3)若二面角P-AD-B的余弦值为3，求直线DE与平面ABCD所成角的正切值， 19.(本小题满分17分) 如图，△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,点E满足A疤=号A店，点D满足Ci=C克，CE与 AD交于O. (①求8的值， (2)若△ABC是锐角三角形，A=号，b=2,求AD的取值范围； (3)若A0=号0C,△ABC的面积为11，求a的最小值 【高一数学第4页（共4页）】 人教A