精品解析：2026年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考二模数学试题

2025-2026学年度下学期初三二模数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，互为相反数的是（ ）． A. 2和 B. 和 C. 与 D. 和2 2. 下列分子结构模型示意图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示的几何体是由8个相同的小正方体搭成的．若抽掉其中一个有标号的小正方体后，分别从正面和上面看到的形状图仍没改变，则抽调的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 从，0，，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　） A. B. C. D. 6. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的方程有解，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 8. 把一根长为的绳子剪成和长两种规格的绳子，并且绳子刚好用完，其中和长的绳子分别有a段、b段，则的最大值为（ ） A. 30 B. 28 C. 26 D. 24 9. 如图，已知是反比例函数图象上的点，轴，交轴于点，连接，动点做匀速运动，轨迹为从坐标原点出发，沿线段运动，再从沿双曲线运动到，最后从沿线段运动到，终点为．过点作轴于，轴于，设四边形的面积为，点运动的时间为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，其与轴的一个交点为，与轴的交点在点，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根分别为，（），则．⑤抛物线上有，，当时则的取值范围是，其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. “嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在19.6亿年前仍存在岩浆活动．数据19.6亿用科学记数法表示为____________． 12. 一个底面半径是3cm的圆锥，其侧面展开图是圆心角为135°的扇形，则这个圆锥的侧面积为_____cm2． 13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 14. 如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为___________． 15. 在中，，，，为中点（如图），为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，如果，那么________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，过点，作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点按照此规律进行下去，点的坐标为____________． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 完成下列各题： （1）计算：； （2）因式分解：． 18. 解下列不等式组，并求它的所有整数解的和． 19. 解方程：． 20. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 21. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 22. A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回，到达C地停止行驶；乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与甲车所用时间x（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题： （1）乙车的速度为______千米/时； （2）求乙车从C地到A地的过程中，y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； （3）请直接写出x为何值时两车距C地的路程之和为120千米？ 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 24. 综合与探究 如图，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为A，连接、． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）如图1，点D是线段的中点，连接，若点E在y轴上，使得是以为斜边的直角三角形，则点E的坐标为________________． （3）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，分别交、x轴于点M、N． ①如图2，当时，请求出满足条件的点P的横坐标． ②如图3，连接，将绕点O按顺时针方向旋转得到，连接，线段长度的最小值为________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期初三二模数学试题 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置． 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列各数中，互为相反数的是（ ）． A. 2和 B. 和 C. 与 D. 和2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零；根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：由题意知，和互为相反数；选项A中两个数符号相同；选项C、D中两个数符号虽相反，但其绝对值不相等，所以它们都不互为相反数； 故选：B． 2. 下列分子结构模型示意图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称，本选项不符合题意； B. 是轴对称图形，但不是中心对称，本选项不符合题意； C. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； D. 是轴对称图形，但不是中心对称，本选项不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式运算法则与二次根式的性质逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：选项A：∵根据完全平方公式，， ∴A错误． 选项B：∵根据积的乘方法则，， ∴B错误． 选项C：∵根据同底数幂除法法则，， ∴C错误． 选项D：∵， ∴D正确． 4. 如图所示的几何体是由8个相同的小正方体搭成的．若抽掉其中一个有标号的小正方体后，分别从正面和上面看到的形状图仍没改变，则抽调的是（　　） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】A 【解析】 【分析】先画出从正面和上面看到的形状图，再进行判断． 【详解】如图所示 从正面看 从上面看 根据从正面和上面看到的形状图，可知抽掉①小正方体后，分别从正面和上面看到的形状图仍没改变． 故选：A 【点睛】本题考查三视图，解题的关键是掌握三视图的画法． 5. 从，0，，3.14，这5个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从所列五个实数中找到有理数的个数，利用概率公式求解即可． 【详解】解：在所列的5个实数中，是有理数的有0，3.14，这3个数， 所以随机抽取一个数，抽到有理数的概率是． 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的定义以及简单的概率计算．根据有理数的定义找出五个数中有理数的个数是解题的关键． 6. 用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，B在直线l上，，，，点A，E，D，F在同一条直线上，当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，根据外角的性质可得的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ． 7. 若关于x的方程有解，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程有解需满足两个条件：一是去分母得到的整式方程有解；二是整式方程的解不是原分式方程的增根，据此计算的取值范围即可. 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且， 解得且. 8. 把一根长为的绳子剪成和长两种规格的绳子，并且绳子刚好用完，其中和长的绳子分别有a段、b段，则的最大值为（ ） A. 30 B. 28 C. 26 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，根据绳子的总长度为，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，可得出a，b的值，再取的最大值，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 又∵a，b均为正整数， ∴或或或， ∴或24或20或16， ∴的最大值为28． 故选：B． 9. 如图，已知是反比例函数图象上的点，轴，交轴于点，连接，动点做匀速运动，轨迹为从坐标原点出发，沿线段运动，再从沿双曲线运动到，最后从沿线段运动到，终点为．过点作轴于，轴于，设四边形的面积为，点运动的时间为，则关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过两段的判断即可得出答案，点在上运动时，此时四边形的面积不变，可以排除；点在上运动时，与的关系为一次函数，从而排除. 【详解】解：点在上运动时，此时四边形的面积为比例系数 ，保持不变，故排除； 点在 上运动时，设路线的总路程为 ，点的速度为 ，则 ，因为均是常数， 所以与成一次函数关系，故排除， 故选：A． 10. 已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，其与轴的一个交点为，与轴的交点在点，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根分别为，（），则．⑤抛物线上有，，当时则的取值范围是，其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴和交点坐标得到的关系，结合的取值范围得到的范围，再利用二次函数的性质逐一判断每个结论即可. 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，与轴一个交点为 ， ∴由抛物线对称性得，抛物线与轴另一个交点为，且，即； 将代入抛物线解析式得，把代入得， ∵抛物线与轴交点在之间， ∴，且抛物线开口向上，， ∵，∴，①错误； ∵，，∴，②正确； ∵，不等式两边同除以得：，③正确； ∵方程变形为，根为抛物线与直线交点的横坐标， ∵时抛物线直线，时抛物线直线，抛物线开口向上， ∴，④正确； ∵开口向上，， ∴点离对称轴比离对称轴更远， 即， 化简得：， 平方整理得：，与结论不符，⑤错误； 综上，正确结论共个， 故选：B. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. “嫦娥五号”返回器携带月球样品顺利返回地球，我国科学家通过研究证明了月球在19.6亿年前仍存在岩浆活动．数据19.6亿用科学记数法表示为____________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中，为整数.解题时先将19.6亿化为整数形式，再确定和的值即可． 【详解】解：亿． 12. 一个底面半径是3cm的圆锥，其侧面展开图是圆心角为135°的扇形，则这个圆锥的侧面积为_____cm2． 【答案】24π 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为cm，利用弧长公式得到2π×3＝ ，解得＝8，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积． 【详解】解：设圆锥的母线长为cm， 根据题意得2π×3＝，解得＝8， 所以这个圆锥的侧面积＝ 故答案为：24π． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 13. 如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 14. 如图，反比例函数在第一象限的图象上有，两点，直线与x轴相交于点C，D是线段上一点．若，连接，记的面积分别为，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】如图，连结BD，证明 再求解反比例函数为：， 直线AB为： 再求解 再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，连结BD， ， 而 在反比例函数图象上， 即反比例函数为：， 在反比例函数图象上， 即 设直线AB为： 解得： ∴直线AB为： 当时， 故答案为：4 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与 性质，证明是解本题的关键． 15. 在中，，，，为中点（如图），为射线上一点，将沿着翻折得到，点的对应点为，如果，那么________． 【答案】或6 【解析】 【分析】当点在线段上时，根据已知条件得出三点共线，在中，勾股定理求得的长，当在的延长线上时，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，当点在线段上时， ∵将沿着翻折得到，， ∴，， ∴三点共线， 设，则，， ∵，为中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：； 当在的延长线上时，如图所示， ∵， ∴ ∴， 又∵，， ∴， 解得：， 故答案为：或6． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分论讨论是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点，过点，作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于点按照此规律进行下去，点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求得点的坐标，同理可求得点的坐标，点的坐标，点的坐标，点的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点的坐标． 【详解】解：由题意可得，点，设点的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点， 同理可得，点的坐标为，点的坐标为； 点的坐标为，点的坐标为； 点的坐标，点的坐标， ∴点的坐标为． 三、解答题（本题共8道大题，共72分） 17. 完成下列各题： （1）计算：； （2）因式分解：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算绝对值化简、零指数幂、负整数指数幂、三角函数，最后算加减即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式计算即可 . 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 . 18. 解下列不等式组，并求它的所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再找出所有的整数解，求和即可． 【详解】解：解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为， ∴所有的整数解为，，，它们的和为． 19. 解方程：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程， 先移项，再提出公因式，求出解即可. 【详解】解： 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得或. 20. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 【答案】（1）80 （2）见解析 （3） （4）300 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 由； 补全图形如下： 【小问3详解】 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； 【小问4详解】 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 21. 如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作于点，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质证明，进而可以得到结论； （2）连接，，推出，根据等腰三角形三线合一，推出，再运用解直角三角形性质求出，通过圆周角定理求出，根据解直角三角形性质分别求出、，然后根据三角形面积公式和中线性质、扇形面积公式分别求出，最后根据代入求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵等腰，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵为直径，， ∴，， ∵等腰，， ∴，， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ． 22. A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回，到达C地停止行驶；乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与甲车所用时间x（单位：小时）之间的函数图像如图所示，请结合图像信息解答下列问题： （1）乙车的速度为______千米/时； （2）求乙车从C地到A地的过程中，y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）； （3）请直接写出x为何值时两车距C地的路程之和为120千米？ 【答案】（1）40 （2）y=40x－120，详见解析 （3）1.2或4.2或7 【解析】 【分析】（1）由函数图像中得出乙车在6小时内走完全程240千米，利用公式求出速度即可； （2）根据图像可知乙车出发3小时后到达C地，再经过3小时到达A地，利用待定系数法求解析式即可； （3）有三种情况下两车距C地之和为120千米，分类讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图像知，乙车在6小时内走完全程240千米， ∴乙车的速度为240÷6=40千米/小时， 故答案为：40． 【小问2详解】 解：设y=kx+b， 由题意知，乙车3小时到达C地，6小时到达A地， ∴将（3，0）、（6，120）代入y=kx+b得： ， 解得：， 即乙车从C地到A地的过程中，y与x的函数关系式为：y=40x－120． 【小问3详解】 解：分三种情况讨论， ①当甲在A至C，乙在B至C的过程中， 由题意知，甲车速度为120÷2=60千米/小时， ∴60x+120+40x=240，解得：x=1.2； ②当甲在C至B，乙在C至A的过程中， 由题意得：40x－120+60（x－1）－120=120， 解得：x=4.2； ③当甲在B至C，乙在C至A的过程中， 由题意得：60（x－1）－240+240－40x=120， 解得：x=9>7，不符合题意， 这种情况为甲车到达A地后，乙车到达C地时，符合题意， 即x=7时， 综上所述，当x的值为1.2或4.2或7时，两车距C地的路程之和为120千米． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用、待定系数法求函数解析式、一元一次方程的应用等知识，解题关键是理解每段函数图像的意义，进行分类讨论． 23. 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 【初步观察】如图1，矩形和矩形重合，，，矩形保持不动，将矩形绕点A逆时针旋转． （1）如图2，当经过点D时，DF的长为______． 【实践探究】 （2）①如图3，当点E落在对角线上时，连接，的度数为______； 的长为______． ②如图4，当点F落在的延长线上时，延长交于点H，请判断与的数量关系并说明理由． 【拓展延伸】 （3）矩形绕点A逆时针旋转，若直线，交于点P，请直接写出点P到直线的距离的最大值． 【答案】（1）；（2）①，；②，理由见解析；（3）4． 【解析】 【分析】（1）由矩形得到，，当经过点D时，勾股定理求出，进而求解即可； （2）①证明出，得到，求出，如图所示，连接，勾股定理求出，由相似得到，设，，则，勾股定理求出，进而求解即可； ②如图所示，连接，，，得到，证明出四边形是平行四边形，得到，证明出，得到，即可得到； （3）首先得到，点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O，当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值，然后利用勾股定理求出，求出，进而求解即可． 【详解】（1）四边形，是矩形，且初始位置重合， ，，， 当经过点D时，中，， ， 故答案为：； （2）①， ，即，， ， ， ， ，即， 如图所示，连接， 根据题意，， ， ， 设，，则， 在中，， ， 整理得，， 解得，不符合题意，舍去，， ， ， 故答案为：，； ②，理由如下， 四边形，是矩形， ， 当点F落在的延长线上时，，即， 如图所示，连接，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 根据题意可得，，， ， ， ； （3）根据（2）中①可得直线，交于点P，同理可得， 点P在以为直径得圆上运动，如图所示，连接，交于点O， 当点P在经过对角线交点O，垂直的直径上时，点P到的距离最大，即的值， 根据矩形，勾股定理得到，，， ， 在中，点O是中点， ， ， 点P到直线的距离的最大值为． 【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 综合与探究 如图，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为A，连接、． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）如图1，点D是线段的中点，连接，若点E在y轴上，使得是以为斜边的直角三角形，则点E的坐标为________________． （3）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，分别交、x轴于点M、N． ①如图2，当时，请求出满足条件的点P的横坐标． ②如图3，连接，将绕点O按顺时针方向旋转得到，连接，线段长度的最小值为________________． 【答案】（1）； （2）或 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）将点和点代入抛物线解析式求出抛物线解析式，再令，求出点坐标； （2）设，是以为斜边的直角三角形，可得，利用勾股定理分别表示出，，，建立方程求解即可； （3）①过点作，交于点，先求出直线解析式，设，则，利用，，可证明，得出，从而得出点的纵坐标为，由点的纵坐标为，建立方程求解即可；②设，则，过点作轴，垂足为，证明，得出，求出旋转后的点坐标，得出点的轨迹是直线上在之间的一段线段，由垂线段最短可知，当时，长度取最小值，利用三角形面积求出长度即可． 【小问1详解】 解：点和点代入抛物线解析式得： ，解得：， ∴抛物线解析式为， 令，得：，解得：或， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）得：，，，如图所示： ∵点D是线段的中点， ∴，即， ∵点E在y轴上， ∴设， ∵，，， ∴，，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴，即，整理得：，解得：或， ∴点E的坐标为或． 【小问3详解】 解：①如图所示，过点作，交于点， ∵点P是直线上方抛物线上的一动点，抛物线解析式为， ∴设，， 设直线解析式为，将，代入得： ，解得：， ∴直线解析式为， ∵轴，交于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵轴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为， 又∵点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴，解得：或（舍去）， ∴满足条件的点P的横坐标即为； ②依然可设，， 由①得：直线解析式为，， 过点作轴，垂足为， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在与中 ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 令，，即，消去得：， ∴点的坐标满足解析式， ∵， ∴，即， ∴点的轨迹是直线上在之间的一段线段， 设直线与轴交于点，与轴交于点， 在中，令，得：；令，得：， ∴，， ∴点的轨迹即是线段， 连接，过点作， ∴当时，长度取最小值，最小值为的长度， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴，解得：， ∴长度的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $