精品解析：2025年黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区中考二模数学试题

2024—2025学年度下学期初三数学模拟试题 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D.   3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图是一个有小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多有（ ）个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 将材质、大小、背面图完全相同的中国象棋四种棋子各一枚背面朝上放置，从中随机翻开两枚，恰好翻到车、帅棋子的概率是（ ） A B. C. D. 7. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 9. 如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④若且，则．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 年月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备．其中，铅（）二维金属厚度约为米．将数据用科学记数法表示为______． 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 13. 如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________． 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为________． 15. 如图，是反比例函数图象上一点，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为______． 16. 在矩形中，，，点E是边上一动点，将沿折叠，使得点A落在点F处，点F分别到的距离分别记为，，若，则的值为_____． 17. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，……，按此规律进行下去，若点B坐标为，则的坐标为______． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）分解因式：； 19. 解方程：． 20. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（）分为四组：组（），组（），组（），组（），将分组结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次调查抽取的学生人数； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数； （3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在 组； （4）若该校九年级有名学生，请估计一周自主学习的时间少于的人数． 21. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点． （1）求证：是切线． （2）若，求的长度． 22. 在一条笔直的公路上依次有A，B．C三地．甲、乙两车同时出发．甲车从A地匀速行驶到C地，休息1小时后掉头（掉头时间忽略不计），按原路原速返回到A地．乙车从C地匀速行驶到B地，到达B地停止行驶，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距各自出发地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）甲车速度为 千米/时，图中括号内的数值为 ； （2）A、B两地间的距离为 千米； （3）求乙车从C地到B地的过程中y与x的函数解析式； （4）在乙车到达B地之前，甲车出发多少小时，甲、乙两车相距150千米？请直接写出答案． 23. 综合与实践 问题发现： （1）如图，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可通过证明 得到线段和的数量关系是 ； 变式探究： （2）如图，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．请写出线段和的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图，在菱形中，，，点M为对角线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和． ①当时，的长为 ； ②线段的最小值为 ． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； （3）点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； （4）将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下学期初三数学模拟试题 一、单选题（每小题3分，满分30分） 1. 2025的相反数是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑，器物，绘画，标识等作品的设计上．下面四个标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不是同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 如图是一个有小正方体搭成的几何体的主视图和左视图，搭成这个几何体的小正方体最多有（ ）个． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有三视图判断几何体，关键是根据主视图和左视图确定组合几何体的层数及列数．根据所给出的图形可知这个几何体共有2层，3列，先看第一层正方体可能的最多个数，再看第二层正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体有2层，3列，最底层最多有个正方体，第二层有个正方体， 则搭成这个几何体的小正方体的个数最多是个； 故选：D． 5. 如图，将一束光线投射在镜面上，其反射线交于点．我们知道入射角等于反射角，，则．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，先证明，由平行线的性质得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故选：D． 6. 将材质、大小、背面图完全相同的中国象棋四种棋子各一枚背面朝上放置，从中随机翻开两枚，恰好翻到车、帅棋子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了用树状图或列表法求概率．画出树状图，根据概率公式求解即可． 【详解】解：分别用1、2、3、4表示， 画树状图如下： 抽取两张共有12种情形，抽到1和4的情况有2种，故恰好翻到车、帅棋子的概率是， 故选：D． 7. 若关于的分式方程无解，则的值是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 8. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资600元全部用于采购甲，乙，丙三种图书．甲种每本40元，乙种每本30元，丙种每本25元，其中甲种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ） A. 6种 B. 5种 C. 4种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出此时有2种购买方案；当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书，利用总价=单价×数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，可得出此时有2种购买方案．综上，即可得出结论． 【详解】解：当购买5本甲种图书时，设购买x本乙种图书，y本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 当购买6本甲种图书时，设购买m本乙种图书，n本丙种图书， 根据题意得：， ， 又均为正整数， 或， 此时有2种方案； 综上所述，此次采购的方案有（种）． 故选：C． 9. 如图，在菱形中，，点P从D点出发，沿运动，过点P作直线的垂线，垂足为点Q，设点P运动的路程为x，的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数的图象，菱形的性质，矩形的判定与性质，解直角三角形，掌握知识点的应用和分类讨论的数学思想是解题的关键．根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出和，即可求出与的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴当点到点时，；当到点时，；当到点时，， 当点在上，即时，如下图所示 此时， ∴，， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 当点在上，即时，如下图所示，过点作于， 此时，， ∴四边形为矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∴，此时图象为逐渐上升一条线段； 当点在上，即时，如下图所示， 此时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，此时图象为开口上的抛物线的一部分； 综上：符合题意的图象为， 故选：． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：①；②；③；④若且，则．其中正确结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象判断式子的符号，二次函数的图象与各系数符号等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键．由抛物线过A、B两点，得抛物线的解析式为，根据抛物线的开口方向可确定a的符号，从而确定b的符号，从而可确定前三个；由且得横坐标分别为的两点关于抛物线的对称轴对称，从而可判断④，最后可确定答案． 【详解】解：抛物线过A、B两点，故设， 整理得：， ∴； 由图象知，抛物线的开口向上，则， ∴，且， ∴，，； 故①③正确，②错误； ∵， ∴， 表明，对于，当自变量分别取时的函数值相等， ∵， ∴， ∴二次函数图象上横坐标分别为的两点关于抛物线的对称轴对称； ∵抛物线的对称轴为直线 ∴， 即； 故④错误； 综上，正确的有2个； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 年月，中国科学院物理研究所团队首次实现大面积二维金属材料的普适性制备．其中，铅（）二维金属厚度约为米．将数据用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 且  【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数．根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】根据题意得：且， 解得： 且 ． 故答案为： 且 ． 13. 如图，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________． 【答案】cm 【解析】 【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角 再利用勾股定理求解即可. 【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示： 设圆锥侧面展开图的圆心角为n°， 圆锥底面圆周长为 则n=90， ∵ 即这根绳子最短长度是cm， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键. 14. 如图，在中，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；②分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，利用基本作图得到平分，再证明得到，接着利用勾股定理计算出，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：由作法得平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． 15. 如图，是反比例函数图象上的一点，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，等腰三角形的性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 过点作轴于点，由三线合一得到，则，而，再由建立方程求解即可． 【详解】解：过点作轴于点， ， ∴， ， 轴， ， ， 解得． 故答案为：4． 16. 在矩形中，，，点E是边上一动点，将沿折叠，使得点A落在点F处，点F分别到的距离分别记为，，若，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查矩形与折叠，勾股定理以及求角的正切，点在矩形内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，当点F在矩形内部时，过点作，交于点，交于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴, 设， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴ 解得，， ∴， ∴， ∴； ②如图，当点F在矩形外，过点作，交于点，交于点，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由折叠得，，， ∴， ∴, 设， 由折叠得，， 在中，根据勾股定理得，， ∴, 解得，， ∴, ∴． 综上，的值为或， 故答案为：或． 17. 如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点A旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，再将绕点旋转180°，得到，……，按此规律进行下去，若点B坐标为，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，由旋转的性质可得为的中点，可求得，同理可得，，，，，…同理可得为的中点，为的中点，为的中点，…从而可依次求得，，，…进一步可推得，将代入即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴，． 过点A作，交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将等边绕点A旋转180°，得到， ∴， ∴，，， ∴，，为的中点， 同理可得，，，，，… 同理可得为的中点，为的中点，为的中点，… 同理可得，，，… 依次类推，， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，以及直角三角形的性质，规律问题，解题关键是根据题意，找到图形变化的规律． 三、解答题（本题共7道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）分解因式：； 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，因式分解，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． （1）先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值，再算乘法和乘方，后算加减即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 19. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法是关键． 根据题意，先化为一般式，再运用因式分解法计算即可． 【详解】解：， 化为一般式得，， 因式分解得，， ∴或， 解得，． 20. 某校为掌握九年级学生每周的自主学习情况，学生会随机抽取九年级的部分学生，调查他们每周自主学习的时间，并把自主学习的时间（）分为四组：组（），组（），组（），组（），将分组结果绘制成如下两幅不完整的统计图： 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出本次调查抽取的学生人数； （2）补全频数分布直方图，并计算扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数； （3）根据调查结果可知，自主学习时间的中位数落在 组； （4）若该校九年级有名学生，请估计一周自主学习的时间少于的人数． 【答案】（1）人； （2）见解析，； （3）； （4）人． 【解析】 【分析】本题考查了频数（率）分布表、扇形统计图、总体、个体、样本、样本容量、中位数、用样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由组人数及其所占百分比可得总人数，即可得到样本容量； （）求出组人数即可补全图形；用乘以组人数所占比例即可得到对应的圆心角度数； （）根据中位数的定义求解即可； （）用总人数乘以样本中，组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：本次调查共抽取人； 【小问2详解】 解：由（）得抽样调查的学生有人， 则组人数有：（人），组所在扇形的圆心角的度数， 补全频数分布直方图， 【小问3详解】 解：自主学习时间中位数是第个数据的平均数，而这两个数均落在组， ∴这组数据的中位数落在组， 故答案为：； 【小问4详解】 解：估计一周自主学习的时间少于的人数为：（人）， 答：估计一周自主学习的时间少于的人数约有人． 21. 如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直径对直角得，由等腰三角形的性质推出，即可求得，由此得到结论； （2）过O作于F，由垂径定理可得，由中位线的性质可得，在，由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 证明：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 过O作于F， 在中，， ， ，， ， ， ， ， ， 在中， ． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，三角形的中位线，勾股定理，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键． 22. 在一条笔直的公路上依次有A，B．C三地．甲、乙两车同时出发．甲车从A地匀速行驶到C地，休息1小时后掉头（掉头时间忽略不计），按原路原速返回到A地．乙车从C地匀速行驶到B地，到达B地停止行驶，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距各自出发地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）甲车的速度为 千米/时，图中括号内的数值为 ； （2）A、B两地间的距离为 千米； （3）求乙车从C地到B地的过程中y与x的函数解析式； （4）在乙车到达B地之前，甲车出发多少小时，甲、乙两车相距150千米？请直接写出答案． 【答案】（1）60，11 （2）60 （3） （4）甲车出发时间小时或或，甲、乙两车相距150千米． 【解析】 【分析】本题考查函数图象的实际应用． （1）由图数据可直接求出甲车的速度和图中括号的数值； （2）由图数据可直接求出A、B两地间的距离； （3）先求出乙车行驶的时间，再用待定系数法求其解析式即可； （4）分三种情况：一是甲乙相遇前相距150千米，二是甲乙相遇后相距150千米，三是甲休息一小时后返回，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图知，甲车的速度为千米/时， 因为甲车停留1小时后原路原速返回，故图中括号填， 如图 故答案为：60，11； 【小问2详解】 解：由图知，A、B两地间的距离为千米； 故答案为：60； 【小问3详解】 解：设乙车从地到地的过程中与的函数解析式为， 则（小时） 将代入得 ； 【小问4详解】 解：甲车速度为60千米/小时，乙车速度为千米/小时， 设甲车时间为小时，则 相遇前相距150千米，有， 解得， 相遇后相距150千米，有， 解得． 甲休息1小时后返回，甲乙相距150千米，有 解得 故甲车出发时间小时或或，甲、乙两车相距150千米． 23. 综合与实践 问题发现： （1）如图，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可通过证明 得到线段和的数量关系是 ； 变式探究： （2）如图，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．请写出线段和的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图，在菱形中，，，点M为对角线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和． ①当时，的长为 ； ②线段的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2），理由见详解；（3）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据是等边三角形，得出，根据旋转得出，即可得，证出，可证明， （2）在中，，，，得出，过点作，根据旋转得出，即可得，证明，得出，证出，结合，根据垂直平分线的性质即可证明． （3）①如图，在菱形中，，，得出，，，证明是等边三角形，得出，，勾股定理求出，当点在上时，画出图形，在中，勾股定理求出，从而得出，证明，得出，证出，再在中，根据勾股定理求出即可；当点在上时，画出图形，同理求出，证明，得出，证出，再在中，根据勾股定理求出即可； ②根据①可得，在点运动过程中，，得出点在与边垂直的射线上运动，故当时，线段最小，解直角三角形求出即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形． ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）， 理由如下： 在中，，， ∴ ∴， 过点作， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴ 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． （3）①如图，在菱形中，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，如图，连接， 在中，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 当点在上时，如图，连接， 在中，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，或； ②根据①可得，在点运动过程中，，， 即点在与边垂直的射线上运动， 故当时，线段最小，如图， 此时， 即线段的最小值为． 【点睛】该题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出图形和辅助线，掌握以上知识点． 24. 综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； （3）点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； （4）将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）先根据对称性，求出，，，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点G作轴于点H，根据，得出，证明，得出，设，则，，得出，求出结果即可； （3）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （4）先求出新抛物线的解析式为：，得出新抛物线的对称轴为直线，连接，，则交y轴于点，先证明四边形为平行四边形，得出，说明当最小时，最小，最小，根据两点之间线段最短，得出当点M在点处时，最小，即最小值为的长，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线，与x轴交于点A，，抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴点， 把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点G作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点G的坐标为； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为， 当时，如图所示： 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点H的坐标为； 当时，过点H作轴于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴此时点H的坐标为； 综上分析可知：点H的坐标为或； 【小问4详解】 解：， ∵， ∴将抛物线射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为：， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为， 连接，，则交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∵点N在直线上，轴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在点处时，最小， 即最小值为的长， ∵点G为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，二次函数平移，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $