黑龙江省牡丹江市2025-2026学年九年级下学期 中考二模数学试卷

二〇二六年牡丹江市初中学业水平考试第二次适应性考试 数学试卷 考生注意： 1．考试时间120分钟 2．全卷共分三道大题，总分120分 3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效 一、选择题（每小题3分，满分30分） 1．下列计算正确的是 A． B． C． D． 2．下列的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 3．一组数据1，2，6，7，，12的平均数为5，则这组数据的中位数是 A．2 B．3 C．4 D．5 4．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的小正方体的个数最少是 A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，某小区有一块矩形场地，，，计划在其中修建两块相同的矩形花坛，这两块花坛的面积之和为，两块花坛之间及周边留有宽度相同的人行通道．若设人行通道的宽为，则可以列出关于的方程是 A． B． C． D． 6．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是 A．且 B． C．且 D．且 7．某工厂为一次性运送50件规格相同的产品，需要同时租用甲、乙两种型号的货车若干辆．若甲种货车装满时，每辆可装载6件产品，乙种货车装满时，每辆可装载4件产品，在租用的车辆全部满载（正好装满）的情况下，该工厂的租车方案共有 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 8．如图，的顶点在反比例函数的图象上，交轴于点，平分，点的纵坐标为1，则点的坐标是 A． B． C． D． 9．如图，在中，，点在上，连接，过点作交的延长线于点，连接，若，，，则的长为 A． B． C． D． 10．如图，点在正方形的对角线上，连接，作交于点，连接交于点，平分交于点，交于点，交于点，连接．下列结论中： ①；②；③；④；⑤若，则．正确的是 A．①②④ B．①③⑤ C．②③④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（每小题3分，满分30分） 11．2026年3月，中国社会消费品零售总额为4161600000000元，将数据4161600000000用科学记数法表示为________． 12．在函数中，自变量的取值范围是________． 13．如图，在中，平分交于点，过点作交于点，点在线段上，连接．请你添加一个条件________，使四边形是菱形． 14．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和为奇数的概率是________． 15．关于的不等式组只有三个整数解，则的取值范围是________． 16．如图，，，分别与相切于点，，，点在上．若，，则________． 17．圆锥的底面圆的半径为1，母线长为3，则它的侧面展开图的圆心角的度数为________． 18．如图，在中，，，点是直线上一动点，是边的中点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，在点运动的过程中，线段的最小值为________． 19．在中，，将折叠，使点与点重合，折痕所在的直线交于点，交直线于点，若，则的面积为________． 20．如图，已知直线的解析式为，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，……，则线段的长为________． 三、解答题（满分60分） 21．（本题满分5分）先化简，再求值：，其中． 22．（本题满分6分）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的，并写出点的坐标； （2）将绕原点逆时针旋转得到，请画出，并直接写出点在旋转到的过程中所经过的路径长（结果保留）． 23．（本题满分6分）如图，抛物线交轴于点，交轴于，两点，直线经过点，与抛物线交于点，且与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上方的抛物线上，且点到直线的距离与点到直线的距离相等，请直接写出点的坐标． 24．（本题满分7分）6月5日是世界环境日，为普及环保知识，增强环保意识，某市第一中学举行了“环保知识竞赛”，共有1000名学生参加比赛并取得相应成绩（满分100分，得分为整数）． 为了解本次竞赛的成绩情况，学校团委从中抽取了部分学生的成绩进行统计，并绘制出如下不完整的频数分布表和频数分布直方图： （1）请直接写出的值，并补全频数分布直方图； （2）小明同学在（1）的条件下，画出了竞赛成绩的扇形统计图，则得分为70～79（含70和79）的同学所对应的扇形圆心角的度数为________°． （3）若成绩在80分以上（含80分）为优秀，求这次参赛的学生中，成绩为优秀的学生约有多少人？ 竞赛成绩频数分布表 分组 频数 频率 49.5～59.5 0.08 59.5～69.5 0.12 69.5～79.5 20 79.5～89.5 32 89.5～100.5 25．（本题满分8分）甲、乙两车从地出发，沿相同路线匀速驶向地，甲车出发1小时后乙车出发，乙车先到达地并在地停留1小时后，甲、乙两车相距，此时乙车再按原路原速返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车与地的距离（单位：）与乙车行驶时间（单位：h）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是________，两地的路程是________； （2）请求出线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出甲车行驶多长时间时，甲、乙两车相距． 26．（本题满分8分）已知在中，，点是直线上一点，且，交于点．当，点在线段上时，如图①，易证：； 当，点在线段的延长线上时，如图②；当°，点在线段上时，如图③，线段，，之间又存在怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并对图②的结论进行证明． 27．（本题满分10分）为迎接“五一”小长假的购物高峰，某专卖店准备购进甲、乙两种商品进行销售，若购进2件甲种商品和3件乙种商品需花费440元；若购进3件甲种商品和4件乙种商品需花费620元．根据市场调查，甲种商品的售价定为每件240元，乙种商品的售价定为每件160元．请解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进价分别是每件多少元？ （2）该专卖店决定一次性同时购进甲、乙两种商品共200件，要求总花费不超过17900元，并且购进甲种商品的数量与20的差大于乙种商品数量的，问该专卖店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，若专卖店本次购进的甲、乙两种商品恰好全部售出，那么专卖店按哪种方案进货能获得的利润最大，最大利润是多少元？ 28．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，线段，的长分别是方程的两个根（），为轴负半轴上的一点，且，连接交轴于点． （1）求点的坐标； （2）若点以每秒个单位长度的速度沿线段由向运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度沿线段由向运动，当，中有一点到达终点时，两点同时停止运动，设，的运动时间为秒，的面积为，求与的函数关系式； （3）在（2）的条件下，当，点在第二象限时，直线与直线交于点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的三角形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $二O二六年牡丹江市初中学业水平考试第二次适应性考试 数学试题参考答案及评分标准 一、 选择题（本题10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 8 9 10 答案 D B B D 9.解：延长AC交BE的延长线于点F ,AE⊥BE,∠ACB=90°，.∠6=∠7，∠BED=∠AEF=∠ACB=∠BCF=90°· ÷△BDE∽A4DC,·BD=BD.∠8-∠9，÷△MDB∽△CDB. AD CD ∴.∠1=∠4（∠1=∠4也可用A,B,E,C四点共圆来证明）. ,∠3+2∠4=90°，∠3+∠1+∠290°，.∠3+2∠4=∠3+∠1+∠2. ∴.∠4=∠2=∠1，∴△ABE≌△AFE. A ∴BE=EF,AF=AB=2√5 ∴.CE=BE=EF=2,.∴.BF=2BE=2X2=4. .∠5=∠4=∠1=∠2 D AE=VAB2-BE2=V(2V5)2-22=4. 5 ∴.AF×BC=BFXAE. E 2V5BC=4x4,·BC=5月 第9题图 ,∠5=∠1，∠BED=∠AEB=90°·.△EBD∽△EAB BD BE AB AE BD2.BD=5.:CD-BC-BD-5V5-15-5 二、填空题（本题10小题，每小题3分，共30分） 11.4.1616×101212.x≥-2 13.DF∥AE等 14. 2-3 1 15.0≤a< 2 29050 16.115 17.120 18.4 19.2或l132 20. 5 32025 说明：第19题两个答案都正确得3分，只填一个正确答案得2分，含有错误答案不得分. 数学试题参考答案及评分标准第1页（共7页） 第18题解答过程： 解：：AB=AC-2,∠BAC=120°，.∠1=∠3=30°，BC=2√5， 将△DBE绕点D逆时针旋转120°得到△DGF,连接BG, .△DBE≌△DGF,∠BDG=120°，.DB=DG,∠1=∠DGF=30°， ÷∠2=∠DGB=a80°-∠BDG=1180°-1209)=30°， 2 .∠DGB=∠DGF=30°，B,F,G三点共线， ∴.点F的运动轨迹是直线BG, A 作点C关于BF的对称点H,连接BH,HC, E AF+CF的最小值为线段AH的长度， B 2 0 ∴.BF是HC的垂直平分线，∴BC=BH, .∠HBC=2∠2=2X30°=60°， G .△HBC是等边三角形， ∴HB=HC=BC=2V3,∠BCH=60°， H ∴.∠ACH=∠3+∠BCH=30°+60°=90°， 第18题图 AH=√AC2+CH=V22+(2V3)2=4. 第19题解答过程： 解：由勾股定理得△AEF的三边长分别为：AE=3,EF-4,AF=5, .FC=AC-AF=6-5=1,或FC=AC+AF=6+5=11, 过点B作BD⊥AC于D, ,∠FAE=∠BAD,∠FEA=∠BDA=90°， ∴.△AEF∽△ADB, FE AF BD AB' 12 小助6：D=24 4=5 SACBF 132 SACBF 5 :SAer=)xFC×BD=xIx3 2412 1 24132 2 21 5=5或S△Cm=二X 二×FCx BD=二×11× 2 5 5 数学试题参考答案及评分标准第2页（共7页） 三、解答题（满分60分） 21.(本题满分5分) 解：原式=2-2x+1 ) …1分 x x2-1 =x-)2 (x+1)x-1) 1分 =x-1 x+1 1分 .x=2sim60°-1=√3-1， 1分 原式5-1152_55-2)3-25 5-1+1V3 3 3 1分 22.(本题满分6分) 解：(1)如图，C1(3,-4):2分（图1分：坐标2分） (2)如图，√5元 3分（图1分：弧长2分） 23.(本题满分6分) 解：(1)直线y=x+m经过点B(5,8),∴8=5+，∴.m=3. .y=x+3. 1分 .当x=0时，y4=3 .A(0,3). …1分 抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3),B(5,8), 「c=3 「b=-4 1分 8=25+5b+c (c=3· .y=x2-4x+3. .】分 (2)P(1,8)或P,(6,15). .2分 数学试题参考答案及评分标准第3页（共7页） 24.(本题满分7分) 个频数人 解：（1)a=0.28, ...1分 321 补全频数分布直方图； 2分 20 (2)72: 2分 3)1000×32+28 =600人. 100 2分 答：成绩为优秀的学生约有600人. 49.559.569.579589.5100.5成绩分 25.(本题满分8分) 解：(1)120：720： ..2分 (2)xp=xg+1=6+1=7h, .F(7,720) 1分 设乙车返回后再经α小时与甲车相遇， 120a+80a=80,a=3 5,0=x,2e7+2=h,y0=720-120x2=672 55 .D37672, 1分 设线段DF的解析式为yor=x+b(k≠O), 37 线段DF经过D(,672)和F(7,720), 6 672=3 「k=-120 720=7k+b b=1560 7 ∴yng=-120x+1560(7≤≤5 2分 (2)6小时或7.5小时. 2分 26.(本题满分8分) 图②猜想：BD-BE=AB: C 图③猜想：BE+AB=3BD.…4分 D 证明：延长BE到F,使BF=BD,连接FD, ,△ABC是等边三角形，∴.∠1=∠3=∠BAC=60°， ,BE∥AC,.∠1=∠2=60°， 图② 数学试题参考答案及评分标准第4页（共7页） ∴.△BFD为等边三角形，∴.BD=BF,∠BDF=∠F=60° ∠3=∠F, .1分 ,∠ADE=∠BAC=60°， .∠5+∠4=60°，∠6+∠4=60°，.∠5=∠6. 1分 在△ABD与△EFD中 「∠3=∠F, BD=FD, ∠5=∠6， ∴.△ABD≌△EFD(ASA). 1分 ∴.AB=EF, ∴，BD=BF=BE+EF=BE+AB. .1分 27.(本题满分10分) 解：(1)设甲种商品的进价为x元，乙种商品的进价为y元. [2x+3y=440, .1分 3x+4y=620. 「x=100, y=80 1分 答：甲种商品的进价为100元/件，乙种商品的进价为80元/件. 1分 (2)设甲种商品购进件，乙种商品购进(200一m件. [100m+80(200-m)≤17900 m-20>二(200-m) 1分 .92<m≤95 1分 ,m为整数， ..1=93,94,95. ..1分 答：共有三种进货方案： 方案一：甲种商品购进93件，乙种商品购进107件： 方案二：甲种商品购进94件，乙种商品购进106件： 方案三：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件.1分 数学试题参考答案及评分标准第5页（共7页） (3)设所获利润为W元. W=(240-100)m+(160-80)(200-m W=60m+16000. 。。。。。。。。 。。。。。。。。 1分 ,k=60>0,.W随m的增大而增大，∴.当取最大值时，W有最大值， ∴.当=95时，W最大=60×95+16000=21700元. .1分 答：甲种商品购进95件，乙种商品购进105件时，专卖店获利最大，最大利润为21700 元 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 1分 28.(本题满分10分) 解：(1)x2-9x+20=0,.(x-4)(x-5)=0,.x=4,x3=5,1分 .OB>OD,..OB=5,OD=4. ,四边形OBCD为矩形，AD=CD,AD=CD=OB=5,OD=BC-4, .0A=√AD2-0D2=V52-42=3,.A(-3,0). 1分 (2):y2=V5,V2=2,AB=A0+0B=3+58, :.CP=51,AQ=21,AC=4B+BC2=82+4=45. ①当点P在线段CB上运动时，0<t<) 过点O作0LAC交AC于点H,△MOH∽△ACB,:A坦_H AC BC 即爬，0=25， ↑y 454 D :PE=55 E H B ·s=5p×10=xy5-5mx3 2W5,5 -×( 2 2 2 5tt-t. 2 ②当点P在线段AB上运动时， 0 <t≤4， 2 H ·PE=-5 2,0=25 B x 数学试题参考答案及评分标准第6页（共7页） s-0-55525-f -,0<1K .S= -(<1≤0 4分 2 2 (3)M1(0,14):M(0,-6):M3(0,2+V19):M4(0,2-V19)...4分 说明：如果学生的解法与参考答案的解法不同，请阅卷教师参考评分标准按步骤酌情给分. 数学试题参考答案及评分标准第7页（共7页）