精品解析：江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年七年级下学期 期中 数学试卷

2025-2026学年第二学期期中考试 七年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题纸相应位置上） 1. 36的算术平方根是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据算术平方根定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标符号规律，判断已知点的横纵坐标符号即可得到答案． 【详解】解：∵点的横坐标为，纵坐标为，且平面直角坐标系中，第二象限内点的坐标符号特征是横坐标为负，纵坐标为正， ∴点所在的象限为第二象限． 3. 若是方程的一个解，则m的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将给定的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是方程 的一个解， ∴将, 代入方程得：， 整理得 ， 解得：． 4. 一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据数轴可得：该不等式的解集为． 5. 如图，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论． 【详解】解：， ， 故A选项不符合题意； ，不能判定， 故B选项不符合题意； ， ， 故C选项符合题意； ， ， 故D选项不符合题意； 故选：C． 6. 下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示．其中真命题的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行公理、垂线的性质、同位角的性质、实数与数轴的关系，逐个判断命题真假即可得到答案． 【详解】解：①由平行公理可知，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①是真命题； ②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②是真命题； ③只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，故③是假命题； ④实数与数轴上的点一一对应，所有实数都可以用数轴上的点表示，故④是真命题； 综上，真命题共有3个． 7. 规定表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且），若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义的规则得到x与的大小关系，再解不等式即可得到结果． 【详解】解：∵，表示中较小的数，且 ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 9. 已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 10. 已知非负数，，满足，设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，则，，，，利用非负数的性质求出的取值范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， ∵，，是非负数， ∴， 解得， ∴， ∴的最大值为． 二、填空题（本大题共有6小题，11～12每小题3分，13～16每小题4分共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 11. 写出一个大于3的无理数：___________． 【答案】π 【解析】 【详解】根据这个数即要比3大又是无理数，得>3,并且是无理数． 故答案为. 12. 一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义，正数的两个不同平方根互为相反数，据此求出的值，再计算得到这个正数． 【详解】解：一个正数的两个不同平方根为和， ， 解得， 将代入得，该正数的一个平方根为， 这个正数为． 13. 若A点的坐标是，，且平行于x轴，则点B的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据平行于轴的直线上的点纵坐标相等，可确定点的纵坐标，再分点在点的左侧和右侧两种情况计算横坐标，即可求解． 【详解】解：平行于轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， 当点在点的右侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为， 当点在点的左侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为， 综上，点B的坐标为：或． 14. 关于x、y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的了根据二元一次方程组解的情况求参数，解一元一次不等式，掌握二元一次方程的解法是解题关键．利用加减消元法解得，，再根据x与y的和不小于5，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， x与y的和不小于5， ， 解得：， 故答案为：． 15. 学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 【答案】 【解析】 【分析】设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据两种购买方案列出方程组，推导得到未知数之间的关系，再计算实际购买后剩余的钱数即可． 【详解】解：设A种奖品每件元，B种奖品每件元，学校准备的总钱数为元，根据题意得： ， 得：， ∴， 得：， 整理得：， 将代入得： ， 整理得：， 实际购买后剩余钱数为： （元）． 16. 关于x，y的二元一次方程，且当时，． （1）k的值是_____； （2）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是_____． 【答案】 ①. 3 ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集、已知字母的值，求代数式的值： （1）将的值代入进去即可求得结果； （2）解有关的不等式，再根据恒成立求有关的不等式； 正确求解是解题的关键． 【详解】解：（1）∵当时，， ∴， 解得：， 故答案为：3； （2）由（1）可得， ∴， 解得：， ∵当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共有9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】（1） （2）不等式组的解集为，所有整数解为 【解析】 【小问1详解】 解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得： 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为， 即所有整数解为． 19. 如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【解析】 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【详解】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【点睛】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 20. 已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据算术平方根和立方根的定义求出，再估算得到； （2）将a，b，c的值代入代数式计算结果，再求结果的平方根即可． 【小问1详解】 解：∵的算术平方根是， ∴， 解得． ∵是的立方根， ∴． ∵， ∴， ∴的整数部分； 【小问2详解】 解：将代入得： ， ∴的平方根为． 21. 有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】不能 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列方程，然后求解长和宽，结合正方形面积求边长，进而比较判断，即可作答． 【详解】解：不能，理由如下： 设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， 解得 ， ∵面积为的正方形贺卡，且， ∴正方形贺卡的边长为． ∴正方形贺卡的边长大于长方形信封的宽，小于长方形信封的长， ∴不能将这张贺卡不折叠地放入此信封． 22. 已知实数x、y满足，并且，，现有，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据，可得，从而得到，再根据，，求出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴ ∴，即． 23. 平面直角坐标系中，有点，实数a，b，m满足以下两个等式： ， （1）当时，点P到x轴的距离为______； （2）若点P落在x轴上，求点P的坐标； （3）当时，求m的所有整数的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出m的值，然后即可求出b的值，求出点P坐标即可解决问题； （2）根据坐标轴上点的特征，可知，据此可得m的值，进而得出a的值； （3）构建不等式组，求出m的取值范围即可解决问题． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴点， ∴点P到x轴的距离为6； 【小问2详解】 解：∵点落在x轴上， ∴， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴满足条件的m的所有整数有， ∴m的所有整数的和为． 24. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费． （1）如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ （2）若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？ 【答案】（1）乙商场更省钱 （2）当时，到两家商场购物花费一样；当时，到甲商场购物花费少；当时，到乙商场购物花费少． 【解析】 【分析】（1）设每件A商品x元，每件B商品y元，根据“购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，”列出方程组，即可求解； （2）分别求出在甲商场购买应付费用，在乙商场购买应付费用，然后分三种情况讨论，即可解答． 【小问1详解】 解：设每件A商品x元，每件B商品y元，根据题意得： ， 解得：， 即每件A商品20元，每件B商品25元， 使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品， 在甲商场需花费元， 在乙商场需花费元， ∵， ∴乙商场更省钱； 【小问2详解】 解：在甲商场购买应付费用：元， 在乙商场购买应付费用：元， 若两商场购物花费一样：则， 解得：， 即当时，到两家商场购物花费一样； 若到甲商场购物花费少：， 解得：， 即当时，到甲商场购物花费少； 若到乙商场购物花费少：， 解得：， 即当时，到乙商场购物花费少； 综上所述，当时，到两家商场购物花费一样；当时，到甲商场购物花费少；当时，到乙商场购物花费少． 25. 定义：在平面直角坐标系中中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． （1）点的“1系友好点”的坐标是______，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是______； （2）已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值； （3）点在y轴正半轴上，点P的“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为一个定值，求k的值． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义解答即可； （2）根据新定义可得，再由，可得，即可解答； （3）设点的坐标为，根据新定义可得点的坐标为，从而得到，然后分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：点的“1系友好点”的坐标是，即； 设这个点的坐标是， ∵该点的“2系友好点”的坐标是， ∴， 解得：， ∴这个点的坐标是； 【小问2详解】 解：∵点是点的“系友好点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 【小问3详解】 解： 设点的坐标为， ∵点P的“k系友好点”为点， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在y轴正半轴上， ∴， 当时，， 恒为一个定值， ∴，不成立； 当时，， 恒为一个定值， ∴， 解得：（舍去）或； 综上所述，k的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试 七年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号涂在答题纸相应位置上） 1. 36的算术平方根是（ ） A. 6 B. C. 8 D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若是方程的一个解，则m的值是（ ） A. 1 B. 5 C. D. 4. 一个一元一次不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，下列条件中，能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；②同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④所有实数都可以用数轴上的点表示．其中真命题的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 规定表示m，n中较小的数（m，n均为实数，且），若，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知非负数，，满足，设，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，11～12每小题3分，13～16每小题4分共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 11. 写出一个大于3的无理数：___________． 12. 一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数为______． 13. 若A点的坐标是，，且平行于x轴，则点B的坐标为______． 14. 关于x、y的方程组的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为_____． 15. 学校为表彰在省中小学金钥匙科技竞赛中获奖的9名优秀学生，决定购买A、B两种奖品共9件．若购买A奖品5件、B奖品4件，则还差50元；若购买A奖品4件、B奖品5件，则剩余50元．若学校实际购买了A奖品2件、B奖品7件，则剩余______元． 16. 关于x，y的二元一次方程，且当时，． （1）k的值是_____； （2）当时，对于每一个x的值，关于x的不等式总成立，则n的取值范围是_____． 三、解答题（本大题共有9小题，共98分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 计算： （1）解方程组； （2）解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 19. 如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 20. 已知的算术平方根是3，b是的立方根，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的平方根． 21. 有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为，能将这张贺卡不折叠地放入此信封吗？请通过计算说明你的判断． 22. 已知实数x、y满足，并且，，现有，求k的取值范围． 23. 平面直角坐标系中，有点，实数a，b，m满足以下两个等式： ， （1）当时，点P到x轴的距离为______； （2）若点P落在x轴上，求点P的坐标； （3）当时，求m的所有整数的和． 24. 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费． （1）如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ （2）若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？ 25. 定义：在平面直角坐标系中中，若点与的坐标满足，（k为常数，），则称点N是点M的“k系友好点”．例如，点是点的“1系友好点”． （1）点的“1系友好点”的坐标是______，若一个点的“2系友好点”的坐标是，则这个点的坐标是______； （2）已知点在第二象限，且满足，点A是点的“系友好点”，求的值； （3）点在y轴正半轴上，点P的“k系友好点”为点，若无论t为何值，的值恒为一个定值，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $