精品解析：江苏省南通市海安市海安十三校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题

2024~2025学年度第二学期期中测试 初一数学试题 考试时间120分钟，总分150分 答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 在实数，3.1415926，，1.3030030003⋯（两个3之间依次多一个0）中，无理数有（　　）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 4. 若m>n ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. m+2<n+3 B. 2m<3n C. -m<-n D. ma2>na2 5. 将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果，则（　　） A. B. C. D. 6. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 9. 已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. B. C. 1 D. 10. 如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分） 11. 比较大小：_____4.（填“”、“”或“”） 12. 若y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标是 _____． 13. 如图，如果，则角，，则__________． 14. 已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 15. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______． 16. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，则________． 17. 关于的不等式只有三个正整数解，则的取值范围是___________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 计算下列各式： （1）； （2） 20. 解方程组或不等式： （1）①； ②； （2），并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 21. 已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的立方根． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，C点的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标： A（ ， ），  B（ ， ）；  （2）三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）写出三个顶点的坐标； （4）求三角形的面积． 23. 如图，点D、F在线段上，点E、G分别在线段和上，，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，，求． 24. 关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． （1）二元一次方程的“关联系数”为__________； （2）已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 25. “保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上冒黑烟较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若该公司同时购买型和型的公交车，且完全投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，请问那种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 26. 如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧），若∠1十∠2=180°． （1）求证：： （2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2=120°，求∠FHG的度数． （3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN=120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期期中测试 初一数学试题 考试时间120分钟，总分150分 答案必须按要求书写在答题卡上，在草稿纸、试卷上答题一律无效！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，进行开方求解即可． 【详解】解：的平方根， 故选：． 【点睛】本题主要考查平方根的性质，熟知一个正数有两个平方根并互为相反数是解题的关键，区分平方根与算术平方根是易错点． 2. 在实数，3.1415926，，1.3030030003⋯（两个3之间依次多一个0）中，无理数有（　　）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的识别，熟练掌握“无理数是无限不循环小数，常见形式有含的数、开方开不尽的数、有规律的无限不循环小数”是解题的关键．先明确无理数的定义（无限不循环小数），再逐个分析所给实数是否为无理数，统计无理数的个数． 【详解】解：是无限不循环小数，是无理数． 是有理数． 是无限不循环小数，是无理数． 是无理数． ，是整数，属于有理数， （两个之间依次多一个）是无理数． 综上，无理数有、、、（两个之间依次多一个），共个， 故选：． 3. 下列命题中，假命题是（ ） A. 同旁内角相等，两直线平行 B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两条直线平行 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理和性质定理判断即可． 【详解】解：A. 同旁内角互补，两直线平行，是假命题，符合题意； B. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； C. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意； D. 两直线平行，同旁内角互补，是真命题，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 4. 若m>n ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. m+2<n+3 B. 2m<3n C. -m<-n D. ma2>na2 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质结合已知条件分析判断即可． 【详解】A．选项中，因为由m>n不能确定m+2<n+3一定成立，所以不能选A； B．选项中，因为由m>n不能确定2m<3n 一定成立，所以不能选B； C．选项中，因为由m>n能确定-m<-n 一定成立，所以可以选C； D．选项中，因为由m>n不能确定ma2>na2一定成立，所以不能选D． 故选：C． 【点睛】熟记“不等式的三条基本性质：（1）在不等式两边加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变；（2）在不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；（3）在不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变”是解答本题的关键． 5. 将一张长方形纸片如图所示折叠后，再展开，如果，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，由折叠的性质得到，由平行线的性质得到，据此可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可得， ∵长方形对边平行， ∴， ∴， 故选：． 6. 已知是关于，的二元一次方程的一个解，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可求解． 【详解】解：依题意， 解得：， 故选：A． 7. 如图，已知点，，若将线段平移至，其中点，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移坐标确定这个平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位，解答即可． 本题考查了平移计算，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵点，，若将线段平移至，其中点， 故平移变换是向左平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴， 故选：B． 8. 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳五尺四寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键． 9. 已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（　　） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值、立方根、二次根式性质的综合运用，熟练掌握“绝对值、立方根、二次根式的化简规则，结合数轴判断数的符号”是解题的关键．先根据数轴确定、的取值范围，再依据绝对值、立方根、二次根式的性质化简式子，最后计算得出结果． 【详解】解：由数轴可知，，． （小于），（）， ∴ 故选：． 10. 如图，已知GF⊥AB，∠1＝∠2，∠B＝∠AGH，则下列结论：①GH∥BC；②∠D＝∠F：③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可． 【详解】解：∵∠B=∠AGH， ∴GH∥BC，故①正确； ∴∠1=∠HGF， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠HGF， ∴DE∥GF， ∴∠D=∠DMF， 根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故②错误； ∵DE∥GF， ∴∠F=∠AHE， ∵∠D=∠1=∠2， ∴∠2不一定等于∠AHE，故③错误； ∵GF⊥AB，GF∥HE， ∴HE⊥AB，故④正确； 即正确的个数是2， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然． 二、填空题（本大题共8小题，第11-12题每小题3分，第13-18题每小题4分，共30分） 11. 比较大小：_____4.（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键． 根据无理数的估算，进行大小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 若y轴上的点P到x轴的距离为3，则点P的坐标是 _____． 【答案】（0，3）或（0，－3） 【解析】 【分析】根据y轴上点的横坐标为0，可得P点的横坐标，根据点P到x轴的距离可得点P的纵坐标，进而可得答案． 【详解】解：∵点P在y轴上， ∴点P的横坐标为0， ∵点P到x轴的距离为3， ∴点P的纵坐标为3或−3， ∴点P的坐标是（0，3）或（0，－3）， 故答案为：（0，3）或（0，－3）． 【点睛】本题考查了点的坐标，注意点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值． 13. 如图，如果，则角，，则__________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】过E作，得到，证得，，求出，，由此得到β． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，还考查了平行公理的推论，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． 14. 已知某正数的两个平方根分别是和，则a的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据正数有两个平方根，且它们互为相反数，依此列式计算即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：4． 15. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．解题的关键是熟知平移的基本性质． 根据平移的性质可得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵沿的方向平移距离得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即图中阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 16. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组．熟练掌握二元一次方程组的解，解二元一次方程组是解题的关键． 由题意知，得，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：， 得，， ∵， ∴， 解得，， 故答案为：2． 17. 关于的不等式只有三个正整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的解的情况求参数的取值范围，解一元一次不等式可得，再结合不等式只有三个正整数解即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式只有三个正整数解， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，某点从原点出发，向右平移个单位长度到达，再向上平移个单位长度到达，再向左平移个单位长度到达，再向下平移个单位长度到达，再向右平移个单位长度到达，，按此规律进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，规律型问题，根据题意可得，，，，，，，，，则有，则有点的坐标是，解题的关键是学会探究规律的方法． 【详解】解：由题意可得，，，， ，，，， ， ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 19. 计算下列各式： （1）； （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）直接将被开方数相同的二次方根合并即可； （2）先考虑绝对值里边式子的正负，然后利用绝对值的代数意义化简，去括号合并后即可得到结果. 试题解析：（1）原式； （2）原式= 点睛：此题考查了二次根式的加减混合运算，关键是熟练掌握绝对值的化简及同类二次根式的合并. 20. 解方程组或不等式： （1）①； ②； （2），并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】（1）①，② （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，熟练掌握解题步骤以及方法是解此题的关键 （1）①利用加减消元法解二元一次方程组即可；②利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得出解集，表示在数轴上即可 【小问1详解】 解：①解：， ，得，解得， 把代入①，得，解得， 这个方程组的解为； ②解：化简方程组得， 得， 解得：， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 它的解集在数轴上表示出来如图所示． 21. 已知的平方根是，的算术平方根是1，c是的整数部分． （1）求a，b，c的值； （2）求的立方根． 【答案】（1），． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平方根的定义列式求出a的值，再根据算术平方根的定义列式求出b的值，根据45可得c的值； （2）把a、b、c的值代入所求代数式的值，再根据立方根的定义计算即可． 【小问1详解】 解：∵的平方根是，的算术平方根是1， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵的立方根是， ∴的立方根是． 【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键． 22. 如图所示，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中，C点的坐标为（1，2）． （1）写出点A，B的坐标： A（ ， ），  B（ ， ）；  （2）三角形先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到三角形，画出三角形； （3）写出三个顶点的坐标； （4）求三角形的面积． 【答案】（1），；， （2）见解析 （3），，； （4）5 【解析】 【分析】本题考查作图-平移变换，利用割补法求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由图可直接得出答案； （2）根据平移的性质可直接得出答案； （3）根据平面直角坐标系可直接得出答案； （4）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：根据图形可得、； 故答案为：，；，； 【小问2详解】 解：平移后的三角形在图中表示如下： ； 【小问3详解】 解：根据平面直角坐标系可得，，； 【小问4详解】 解：三角形的面积为：． 23. 如图，点D、F在线段上，点E、G分别在线段和上，，． （1）求证：； （2）若是的平分线，，，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线的性质并结合题意得出，即可得证； （2）由题意结合平行线的性质可得，由角平分线的定义可得， 最后由平行线的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 24. 关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． （1）二元一次方程的“关联系数”为__________； （2）已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得，再根据二元一次方程的解的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：整理得， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 【小问2详解】 解：∵关于，的二元一次方程的“关联系数”为， ∴， ∵为该方程的一组解， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴或． 25. “保护好环境，拒绝冒黑烟”，某市公交公司将淘汰某一条线路上冒黑烟较严重的公交车，计划购买型和型两种环保节能公交车，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． （1）求购买型和型公交车每辆各需多少万元？ （2）预计在该线路上型和型公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次，若该公司同时购买型和型的公交车，且完全投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为万人次，则该公司有哪几种购车方案？ （3）在（2）的条件下，请问那种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1）购买每辆型公交车需万元，每辆型公交车需万元 （2）该公司共有种购车方案，方案：购买辆型车，辆型车；方案：购买辆型车，辆型车；方案：购买辆型车，辆型车 （3）在（2）的条件下，购车方案总费用最少，最少费用是万元 【解析】 【分析】（1）设购买每辆型公交车需万元，每辆型公交车需万元，根据题意建立二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设购买辆型公交车，辆型公交车，根据题意建立二元一次方程，根据整数解，解方程即可求解； （3）根据（2）中的方案，分别计算总费用，进而比较即可求解． 【小问1详解】 设购买每辆型公交车需万元，每辆型公交车需万元， 依题意得：， 解得：． 答：购买每辆型公交车需万元，每辆型公交车需万元． 【小问2详解】 设购买辆型公交车，辆型公交车， 依题意得：， 又，均为正整数， 或或， 该公司共有种购车方案， 方案：购买辆型车，辆型车； 方案：购买辆型车，辆型车； 方案：购买辆型车，辆型车． 【小问3详解】 选择方案所需总费用为万元； 选择方案所需总费用为万元； 选择方案所需总费用为万元． ， 在（2）的条件下，购车方案总费用最少，最少费用是万元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 26. 如图1，直线l分别交直线AB、CD于点EF（点在点F的右侧），若∠1十∠2=180°． （1）求证：： （2）如图2，点H在直线AB、CD之间，过点H作HG⊥AB于点G，若FH平分∠EFD，∠2=120°，求∠FHG的度数． （3）如图3，直线MN与直线AB、CD分别交于点M、N，若∠EMN=120°，点P为线段EF上一动点，Q为直线CD上一动点，请直接写出∠PMN与∠MPQ，∠PQF之间的数量关系．（题中的角均指大于0°且小于180°的角） 【答案】（1）见解析 （2）120° （3）或∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°． 【解析】 【分析】（1）只需要证明∠1=∠EFD，即可证明； （2）如图2所示，过点H作，则，然后利用角平分线的定义和平行线的性质求解即可； （3）分当点Q在线段FN上时，当点Q在FN的延长线上时，当点Q在线段NF延长线上时，共四种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵∠1+∠2=180°，∠2+∠EFD=180°， ∴∠1=∠EFD， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过点H作，则， ∵GH⊥AB，即∠EGH=90°， ∴∠PHG=180°-∠EGH=90°， ∵∠2=120°， ∴EFD=180°-∠2=60°， ∵FH平分∠EFD， ∴∠HFD=30°， ∵， ∴∠PHF=∠HFD=30°， ∴∠FHG=∠PHF+∠PHG=120°； 【小问3详解】 解：如图3-1所示，当点Q在线段FN上时，过点P作，则， ∴∠EMP=∠MPH，∠PQF=∠HPQ， ∴∠MPQ+∠PMN-∠PQF =∠MPQ-∠HPQ+∠PMN =∠MPH+∠PMN=∠EMP+∠PMN =∠EMN =120°； 如图3-2所示，当Q在NF的延长线上时，过点P作，则， ∴∠EMP=∠MPH，∠PQF+∠HPQ=180°， ∴∠MPQ+∠PMN+∠PQF =∠MPQ+180°-∠HPQ+∠PMN =∠MPH+∠PMN+180° =∠EMP+∠PMN+180° =∠EMN+180° =300°； 如图3-3所示，当点Q在FN的延长线上时， 同理可得∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°； 如图3-4所示，当点在延长线上且在直线左侧时，过点P作，则， ∴，， ∴ ， 综上所述，或∠MPQ+∠PMN-∠PQF=120°或∠MPQ+∠PMN+∠PQF=300°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $