第46讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“直线与圆、圆与圆的位置关系”专题，依据课程标准梳理位置关系判断、切线方程、弦长计算等核心考点，通过近三年高考真题分析明确位置关系判断占30%、弦长与切线问题占50%的高频分布，归纳选择、填空、解答题常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如以2023新课标Ⅱ卷三角形面积题为例，用几何法（垂径定理）快速求解，培养数学思维与运算能力，通过“规律方法”总结切线方程三步法等，助力学生掌握解题技巧，教师可依托分层测评实现精准复习。

第46讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 高三总复习 数学(人教A版) 第八章 平面解析几何 课程标准 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.　 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.　 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 03 课时分层测评 02 考点探究　能力提升 教材梳理　夯实基础 01 内容索引 教材梳理　夯实基础 返回 1.直线与圆的位置关系 (圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)   相离 相切 相交 图形       量化 方程观点 Δ____0 Δ____0 Δ____0 几何观点 d____r d____r d____r ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 2.圆与圆的位置关系 (☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝｜O1O2｜)   图形 量的关系 外离   _____________________ 外切   _____________________ 相交   _____________________ 内切   _____________________ 内含   _____________________ d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜ 1.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线的方程为x0x＋y0y＝r2. 2.直线被圆截得的弦长 弦心距d、弦长l的一半l及圆的半径r构成直角三角形，且有r2＝d2＋(l)2. 常用结论 3.两圆相交时公共弦的方程 设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0　①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0　②，若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程可由①－②得到，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0. 4.圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数. (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R). (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠ －1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解). 1.(多选)下列说法正确的是 A.若两圆没有公共点，则两圆一定外离 B.若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交 C.若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切 D.在圆中最长的弦是直径 √ √ 自测诊断 2.(链接人教A选择性必修一P93T1)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关 系为 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 √ 圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1，即x－y＋1＝0的距离d＝，而01，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心.故选B. 3.(链接人教A选择性必修一P96例5)圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系为 A.相交 B.内切 C.外切 D.内含 √ 两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为｜O1O2｜＝1＝r2－r1，所以两圆内切.故选B. 4.(链接人教A选择性必修一P92例2)过点(2，2)作圆(x－1)2＋y2＝5的切线，则切线方程为____________. x＋2y－6＝0 显然点(2，2)在圆上，由结论1可得切线方程为(2－1)·(x－1)＋(2－0)y＝5，即x＋2y－6＝0. 返回 考点探究　能力提升 返回 1.(一题多解)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系为 A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 考点一　直线与圆的位置关系(高考超重点) 自主练透 法一(代数法)：由消去y，整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0.因为Δ＝16m2＋20＞0，所以直线l与圆C相交.故选A. √ 法二(几何法)：根据题意知，圆心(0，1)到直线l的距离为d＝1＝r，所以直线l与圆C相交.故选A. 法三(定点法)：直线l：mx－y＋1－m＝0，整理得m(x－1)－y＋1＝0过(1，1)，而12＋(1－1)2＜5，即(1，1)在圆内，所以直线l与圆C相交.故 选A. 2.(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0(r＞0)与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切 √ √ √ 对于A，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2＜r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＞r，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2＞r2，所以圆心C(0，0)到直线l的距离d＝r，所以直线l与圆C相交，故C不正确；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2＝r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝r，所以直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD. 3.(一题多解)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则实数a的取值范围是________. 法一：由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A'(－2，2a－3)，所以kA'B＝，所以直线A'B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意知，直线A'B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤. ［，］ 法二：设已知圆关于直线y＝a的对称圆为圆C，则易知圆心C(－3，2a＋2)，半径r＝1.又直线AB的方程为y＝x＋a，即(a－3)x－2y＋2a＝0.根据题意知，直线AB与圆C有公共点，从而可得≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤. 判断直线与圆的位置关系的常见方法 1.几何法：利用d与的关系判断. 2.代数法：联立方程之后利用Δ判断. 3.点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 规律方法 角度1　弦长问题 (1)(一题多解)已知直线x－y＋8＝0和圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点.若｜AB｜＝6，则r的值为___. 考点二　圆的弦长与切线问题(高考超重点) 多维探究 法一(几何法)：根据题意知圆心为O(0，0)，圆心到直线的距离d＝＝4.取AB的中点M，连接OM(图略)，则OM⊥AB.在Rt△OMA中，r＝＝5. 典例1 5 法二(代数法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得4x2＋16x＋64－3r2＝0，则x1＋x2＝－4，x1x2＝16－r2.由｜AB｜＝＝6，解得r＝5. (2)(开放题)(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与☉C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值____________ _____________________. 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得｜AB｜＝2，所以S△ABC＝d×2，解得d＝或d＝.由d＝，所以，解得m＝±或m＝±2. 2(2，－2，， －中任意一个皆可以) 角度2　切线问题 已知点P(＋1，2－)，点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过点P的圆C的切线方程； 典例2 解：根据题意得圆心C(1，2)，半径r＝2. 因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上. 又kPC＝＝－1，所以切线的斜率k＝－＝1. 所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝x－(＋1)，即x－y＋1－2＝0. (2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长. 解：根据题意得圆心C(1，2)，半径r＝2. 因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M在圆C外部. 当过点M的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0. 又点C(1，2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，即此时满足题意， 所以直线x＝3是圆C的切线. 当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0， 则圆心C到切线的距离d＝＝r＝2，解得k＝. 所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0. 综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0. 因为｜MC｜＝， 所以过点M的圆C的切线长为＝1. 角度3　最值(范围)问题 (1)已知直线l：λx－y－4λ＋3＝0(λ为实数)和圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最小值为 A.2 B.2 C.2 D. 典例3 √ 直线l的方程可化为λ(x－4)－(y－3)＝0，由所以 直线l过定点D(4，3).将圆C的方程化为标准方程可得(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆心C(3，4)，半径r＝2.设圆心到直线l的距离为d，则dmax＝｜CD｜＝.由垂径定理可知，d2＋()2＝r2，所以 有｜AB｜2＝4(r2－d2)＝16－4d2≥16－4＝8，所以｜AB｜的最小值是2.故选B. (2)(2025·全国一卷)已知圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上到直线y＝x＋2距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是 A.(0，1) B.(1，3) C.(3，＋∞) D.(0，＋∞) √ 根据题意，在圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)中，圆心E(0，－2)，半径为r.因为圆心E(0，－2)到直线y＝x＋2的距离为d＝＝2， 故由图可知，当r＝1时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点(A点)到直线y＝x＋2的距离等于1；当r＝3时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y＝x＋2的距离等于1；则当r的取值范围是(1，3)时，圆x2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线y＝x＋2的距离等于1.故选B. 溯源 (人教A选择性必修一P99T13)已知圆x2＋y2＝4，直线l：y＝x＋b，b为何值时，圆上恰有三个点到直线l的距离都等于1？ 透视 本题是2025年高考题中与教材习题吻合程度较强的典型示例，都是根据圆上的点到直线的距离为1求参数，只是满足条件的点的个数不同而已.通过高考题释放了一个明显的信号——“回归课标，重视教材才是王道”，这为备考指明了方向 预测 圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为 A.1　　　　 B.2　　　 C.3　　　　 D.4 √ 溯源教材23 预测 解析：因为圆心到直线的距离为＝2，圆的半径为3，所以直线与圆相交，如图所示，故圆上到直线的距离为1的点有3个.故选C.   1.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋()2，整理出弦长公式为l＝2. (2)代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长. (3)弦长公式法：设直线l：y＝kx＋b与圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长l＝｜x1－x2｜＝. 规律方法 2.当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. 规律方法 3.涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果. 规律方法 对点练1.(多题同解)(1)(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2交于C，D两点，｜AB｜＝3｜CD｜，则r＝____. 因为直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于A(－6，0)，与y轴交 于B(0，6)，所以｜AB｜＝＝6，所以｜CD｜ ＝2.圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2的半径为r，圆心(－1，3) 到直线l1：x－y＋6＝0的距离为d＝，故 ｜CD｜＝2＝2＝2，解得r＝2. 2 (2)已知直线l：x－y＋4＝0与圆x2＋y2＝9交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则｜CD｜＝______. 根据题意知，圆心到直线l的距离d＝＝2，圆 的半径r＝3，所以｜AB｜＝2＝2＝ 2.设过A，B垂直于l的直线分别为l1，l2，过点 D作DE ⊥l1，垂足为E，则｜DE｜＝2.因为直线l的倾斜角为 45°，所以△CDE为等腰直角三角形，所以｜CD｜ ＝＝2. 2 对点练2.(多题同解)(1)经过点(2，4)且与圆x2＋y2＝4相切的直线的方程为____________________. 根据题意知圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2.因为22＋42＝20＞4，所以点(2，4)在圆x2＋y2＝4外，当直线斜率不存在时，直线方程为x＝2，此时圆心O(0，0)到直线x＝2的距离d＝2＝r，符合题意；当直线斜率存在时，设为k，则直线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0，可得＝2，解得k＝，所以直线方程为3x－4y＋10＝0.综上所述，切线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0. x＝2或3x－4y＋10＝0 (2)过直线y＝－x＋1上任一点P向圆x2＋(y＋1)2＝1作两条切线，切点为A，B.则｜AB｜的最小值为_____. 圆x2＋(y＋1)2＝1的圆心和半径分别为C(0，－1)，R＝1，圆心C(0，－1)到直线l：y＝－x＋1的距离为d＝，｜AB｜＝2｜PA｜sin∠APC＝2｜PA｜·＝2＝2，故当｜PC｜最小时，此时｜AB｜最小，又知｜PC｜的最小值为d＝，故｜AB｜min＝. 对点练3.(2025·山东泰安一模)已知直线l：mx＋ny＋t＝0(m2＋n2≠0)与圆C：x2＋(y＋3)2＝8交于A，B两点，若m，n，t成等差数列，则∠ACB的最 小值为______. 根据题意知，圆C：x2＋(y＋3)2＝8的圆心为C(0，－3)， 半径r＝2.因为m，n，t成等差数列，所以设m＝n－ d，t＝n＋d，则mx＋ny＋t＝0可化为(n－d)x＋ny＋n＋ d＝0，即(1－x)d＋(x＋y＋1)n＝0.令 可知直线过定点D(1，－2)，且12＋(－2＋3)2＜8，所以 D(1，－2)在圆C内部，当CD⊥AB时，弦长｜AB｜最短，此时∠ACB最小. 又｜CD｜＝，所以｜AB｜＝2＝2＝2，所以cos∠ACB＝＝－.又∠ACB∈(0，π)，所以∠ACB＝. 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0. (1)求证：圆C1和圆C2相交； 考点三　圆与圆的位置关系 师生共研 典例4 解：证明：因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，圆心C1(1，3)，半径r1＝； C2：(x－5)2＋(y－6)2＝16，圆心C2(5，6)，半径r2＝4. 所以｜C1C2｜＝＝5. 因为4－｜C1C2｜＝5＜4＋， 所以圆C1和圆C2相交. (2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长. 解：将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程是4x＋3y－23＝0. 圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3， 由此可得公共弦的长l＝2＝2＝2. 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法. 2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到. 规律方法 对点练4.(2026·河北沧州质检)“a≥”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 设圆C1、圆C2的半径分别为r1，r2.根据题意可知C1(0，0)，r1＝2，C2(a，－a)，r2＝1，连接C1C2，当且仅当圆C1和圆C2内含时，两圆没有公切线，即圆C1和圆C2有公切线的充要条件为｜C1C2｜≥r1－r2＝2－1 ＝1，即≥1，解得a≤－或a≥.因为“a≥”是“a≤－或a≥”的充分不必要条件，所以“a≥”是“圆C1与圆C2有公切线” 的充分不必要条件.故选A. 对点练5.(开放题)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程___________________. 圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径为1，圆(x－3)2＋ (y－4)2＝16的圆心为O1(3，4)，半径为4，两圆圆心距 为＝5，等于两圆半径之和，故两圆外切.如图， 当切线为l时，因为，所以kl＝－.设方程为y＝ －x＋t(t＞0)，点O到l的距离d＝＝1，解得t＝，所以l的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0. x＝－1(答案不唯一) 当切线为m时，设直线方程为kx＋y＋p＝0，其中p＞0，k＜0，根据题意得所以m的方程为－x＋y＋ ＝0，即7x－24y－25＝0.当切线为n时，易知切线方程为x＝－1.综上，所求切线的方程为3x＋4y－5＝0或7x－24y－25＝0或x＝－1. 对点练6.(2026·湖南衡阳质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为_____. 圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，则圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，则圆C是以C(4，0)为圆心，1为半径的圆.若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则圆心C到直线y＝kx－2的距离d≤2，即≤2，解得0≤k≤，即k的最大值为. (2025·河南名校联考)已知☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：x＋2y＋2＝0，M为直线l上的动点，过点M作☉C的切线MA，MB，切点为A，B，当四边形MACB的面积取最小值时，直线AB的方程为____________. ☉C：x2＋y2－2x－2y－2＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C(1，1)，半径r＝2.如图，连接MC，则四边形MACB的面积S＝2S△CAM＝｜CA｜·｜AM｜＝2｜AM｜＝2. 教师备选 x＋2y＋1＝0 要使四边形MACB的面积最小，则需｜CM｜最小，此时CM与直线l垂 直，直线CM的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，联立得 得M(0，－1)，则｜CM｜＝.则以CM为直径的圆的方程为＋y2＝，与☉C的方程作差可得直线AB的方程为x＋2y＋1＝0. 返回 课 时 分 层 测 评 返回 1.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.相交过圆心 D.相离 √ 根据题意，知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.故 选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2.(2026·石家庄质量检测)已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0，则两圆公切线的条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 √ 圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1，圆C2：x2＋y2－6x－8y＋9＝0的圆心为C2(3，4)，半径r2＝4，则｜C1C2｜＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切，则两圆公切线的条数为3.故选C. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3.过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为 A.2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0 C.x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0 √ 因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，圆心与切点连线的斜率为k＝，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4.已知圆M的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，过点P(0，4)的直线l与圆M相交的所有弦中，弦长最短的弦为AC，弦长最长的弦为BD，则四边形ABCD的面积为 A.30 B.40 C.60 D.80 √ 圆M的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，即圆的圆心为M(3，4)，半径为5.由(0－3)2＋(4－4)2＝9＜25，知点P(0，4)在圆内，则最短的弦是以 P(0，4)为中点的弦，所以25＝()2＋9，所以｜AC｜＝8.过P(0， 4)最长的弦BD为直径，所以｜BD｜＝10.又AC⊥BD，所以S四边形ABCD＝·｜AC｜·｜BD｜＝40.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2025·山东菏泽二模)若直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0与圆C： (x－1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，则弦长｜AB｜的最小值为 A.8 B.4 C.2 D. 教师备选 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 由(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，m∈R得(x＋y－4)＋ m(2x＋y－7)＝0.因为m∈R，所以得 x＝3，y＝1，故l恒过定点D(3，1).因为(3－1)2＋(1－2)2 ＝5＜25，则点D在圆C的内部，直线l与圆C相交.圆心C(1，2)，半径为5，｜CD｜＝，当截得的弦长最小时，l⊥CD，最短的弦长是2＝4.故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5.(多选)(2025·山东日照三模)已知圆C：x2＋y2＝4，P是直线l：x＋y－6＝0上一动点，过点P作直线PA，PB分别与圆C相切于点A，B，则 A.圆C与直线l相离 B.｜PA｜存在最小值 C.｜AB｜存在最大值 D.存在点P使得△ABC为直角三角形 √ 圆C：x2＋y2＝4的圆心C(0，0)，半径为2，直线l：x＋y－6＝0，可得C到直线l的距离为d＝＝3＞2，即直线l与圆C相离，故A正确；由PA⊥AC， √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 可得｜PA｜＝，而｜PC｜的最小值为d＝3，则｜PA｜的最小值为，故B正确；由PC⊥AB，可得四边形PACB的面积为｜PC｜·｜AB｜＝22｜PA｜，即有｜AB｜＝＝4≥4，可得｜AB｜有最小值，而无最大值，故C错误；要使△ABC为直角三角形，只能是∠ACB为直角，即 ｜AB｜＝2，由C可得｜AB｜≥＞2，则不存在点P使得△ABC为直角三角形，故D错误.故选AB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝1，点P是直线l：x＋y＝0上一动点，过点P作圆的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的是 A.圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B.切线长｜PA｜的最小值为1 C.四边形ACBP面积的最小值为2 D.直线AB恒过定点(，－) 教师备选 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于A，由圆C：(x－2)2＋y2＝1，可得圆心C(2，0)，半 径r＝1，所以圆心C到直线l：x＋y＝0的距离为 .因为－1＋1，故圆C上有两个点到直线l 的距离为，故A错误；对于B，由圆的性质，可得切线长｜PA｜＝.当｜PC｜最小时，｜PA｜最小，又｜PC｜min＝，则｜PA｜min＝1，故B正确； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 对于C，由四边形ACBP的面积为2｜PA｜·｜CA｜ ＝｜PA｜.因为｜PA｜min＝1，所以四边形ACBP的面积 的最小值为1，故C错误；对于D，设P(t，－t)，根据题 意知A，B在以PC为直径的圆上，又由C(2，0)，所以(x－t)(x－2)＋(y＋t)(y－0)＝0，即x2＋y2－(t＋2)x＋ty＋2t＝0.因为圆C：(x－2)2＋y2＝1，即x2＋y2－4x＋3＝0.两圆的方程相减得直线AB：(2－t)x＋ty－3＋2t＝ 0，即2x－3－t(x－y－2)＝0.由即直线AB 恒过定点(，－)，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 6.(多选)已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则 A.圆C2的半径为3 B.圆C1和圆C2外离 C.｜PM｜＋｜PN｜的最小值为2 D.过点P作圆C1的切线，则点P到切点的最短距离为 √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径 r2＝，故A错误；｜C1C2｜＝2＞1＋，圆C1和圆C2外 离，故B正确；圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2 ＝1，C0(1，－2)，连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1.由圆的性 质得，｜PM｜＋｜PN｜≥｜PC1｜－1＋｜PC2｜－＝｜PC0｜ ＋｜PC2｜－1－≥｜C0C2｜－1－＝2－1－，当且仅 当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，故C错误；设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则｜PA｜＝＝≥，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，故D正确.故选BD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程为___________________. 设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心坐标(，)代入直线l，可得λ＝，显然圆x2＋y2－2y－4＝0不符合题意，故所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. x2＋y2－3x＋y－1＝0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 8.过直线x－y－m＝0上一点P作圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围是__________. 由圆M：(x－2)2＋(y－3)2＝1可知圆心M(2，3)，半径为1， 所以｜MA｜＝｜MB｜＝1，所以四边形PAMB的面积为S ＝｜PA｜｜MA｜＋｜PB｜·｜MB｜＝｜PA｜＝，所 以｜PM｜＝＝2.要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则2，解得－5＜m＜3. (－5，3) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9.(10分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C交于A，B两点. (1)若｜AB｜＝3，求实数m的值； 解：根据题意知，圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝. 所以圆心C到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离为d＝. 由()2＋＝5，解得m＝±1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)若点P为直线l所过定点，且｜PB｜＝2｜AP｜，求直线l的方程. 解：因为直线l的方程mx－y＋1－m＝0可化为y－1＝m(x－1)， 所以直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内. 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为P(1，1)，所以＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1). 因为，所以(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)， 所以1－x1＝(x2－1)，所以x2＝3－2x1　①， 由得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0(※)， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 所以x1＋x2＝　②， 由①②解得x1＝， 代入(※)式得(1＋m2)()2－2m2·＋m2－5＝0⇒m2－1＝0，解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝3上的动点，且｜AB｜＝2.P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则｜｜的取值范围是 A.[8，12] B.[6，10] C.[10，14] D.[6，14] 如图，设弦AB的中点为D，则由｜AB｜＝2，得 ｜C1D｜＝＝1，即D点的轨迹方程为x2＋y2＝ 1.又｜｜＝2｜｜，由于P点在圆C2：(x－ 3)2＋(y－4)2＝1上，所以C2(3，4)，｜C1C2｜＝5，所 以｜C1C2｜－1－1≤｜｜≤｜C1C2｜＋1＋1，即 3≤｜｜≤7，所以｜｜＝2｜｜的取值范围是[6，14].故选D. √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则 A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3 D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3 √ √ √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 lAB：＝1，即x＋2y－4＝0.圆心(5，5)到lAB的距离为∈(4，6).又圆的半径为4，所以点P到直线AB的距离小于10，故A正确；点P到直线AB的距离最小为－4＜2，故B错误；点B与圆心的距离为.当∠PBA最小(或最大)时，P为切点，PB＝＝3，故C、D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12.(15分)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方. (1)求圆C的方程； 解：设圆心C(a，0)(a＞－)，则＝2， 解得a＝0或a＝－5(舍)， 所以圆C的方程为x2＋y2＝4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 解：当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，k≠0，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN⇒＝0⇒＝0⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0⇒－＋2t＝0⇒t＝4. 所以当点N为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13.(多选)已知直线l：x－y－1＝0与圆C：x2＋y2＝4交于点A，B，点P，AB中点为Q，则 A.的最小值为2 B.的最大值为4 C.·为定值 D.存在定点M，使得为定值 √ √ 直线l：x－y－1＝0，即a(x－y)＋2x－y－1＝0，故直线过定点P，且圆C：x2＋y2＝4的圆心为，半径为2，因为12＋12＜4，故P在圆C内.对于A，当CP和直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，距离d＝，此时最小，＝2＝2，故A正确；对于B，当＝4时，AB为圆的直径，此时直线过圆心， √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 因为0－0－1＝0方程无解，故直线不可能过圆心，故B错误；对于C，设A，B，则·＝x1x2－＋y1y2－＋2，当直线l斜率不存在时，l：x＝1，联立圆C：x2＋y2＝4，得y＝±，此时·＝1－2－3＋2＝－2.当直线l斜率存在时，设直线y－1＝k，联立圆C： x2＋y2＝4，得x2＋＝4，即x2＋x＋k2－ 2k－3＝0，所以 y1＋y2＝k＋2－2k， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 y1y2＝＝k2x1x2＋，所以·＝x1x2－＋y1y2－＋2＝x1x2－＋k2＋1，代入得，·＝k2－2k－3＋2k－2k2＋k2＋1＝－2，故·为定值－2，故C正确；对于D，AB中点为Q，故CQ⊥AB，且P在AB上，所以CQ⊥PQ，故△PQC是直角三角形，当M为PC中点时，为定值，故D正确.故选ACD. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14.(交汇融合)已知f(x)＝若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则＋…＋＝_______. 当－1≤x≤1时，y＝f(x)＝，即x2＋y2＝1，y≥0，当x＞1时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2，画出函数图象，如图所示. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，根据图象知，直线y＝knx与第n＋1个半圆相切，不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为P， 连接POn＋1，所以在Rt△OPOn＋1中，tan∠POOn＋1＝＝kn，kn＝，故 －)，所以＋…＋(1－－＋…＋－)＝. 返回 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 谢 谢 观 看 直线与圆、圆与圆的位置关系 $