期末巅峰冲刺篇核心考点深度解析与压轴题精讲-一次函数(2) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------一次函数(解析版) 一、 一次函数与正比例函数的概念 1. 一次函数 定义：形如 y = kx + b（k, b为常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 要点：自变量 x的次数是 1，k是决定函数性质的关键系数，不能为0。 2. 正比例函数 定义：特别地，当 b = 0时，一次函数 y = kx（k ≠ 0）叫做正比例函数。 关系：正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0）。 2、 一次函数的图象与性质（核心） 1. 图象 形状：一条直线。因此，作一次函数图象只需确定两个点。 画法（两点法）：通常选取直线与两坐标轴的交点： · 与y轴交点：(0, b) · 与x轴交点：(-, 0) 2. 性质（由系数 k, b决定） 系数 k（斜率）： 决定增减性：k > 0时，y随 x的增大而增大，直线从左向右上升；k < 0时，y随 x的增大而减小，直线从左向右下降。 决定倾斜程度：|k|越大，直线越陡（倾斜得越厉害）。 系数 b（截距）： 表示直线与 y轴​ 交点的纵坐标，即当 x = 0时，y = b。 b > 0，交于y轴正半轴；b = 0，直线过原点；b < 0，交于y轴负半轴。 直线经过的象限：由 k和 b的符号共同决定，是高频考点。 k值 k＞0 k＜0 b值 b=0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 图象 象限 一、三 一、二、三 一、三、四 二、四 一、二、四 二、三、四 性质 k＞0，y随x的增大而增大 k＜0，y随x的增大而减小 三、 待定系数法求一次函数解析式（重要方法） 1. 原理：由于一次函数解析式 y = kx + b中有两个待定系数 k和 b，因此需要两个独立的条件（通常是两组 x与 y的对应值，即两个点的坐标）来确定它。 2. 步骤： 设：设所求的一次函数解析式为 y = kx + b（k ≠ 0）。 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于 k, b的方程组。 解：解这个方程组，求出 k, b的值。 写：将 k, b的值代回所设解析式，得到函数表达式。 四、 一次函数与方程（组）、不等式的关系（数形结合的关键） 1. 一次函数与一元一次方程 从“数”看：解方程 kx + b = 0。 从“形”看：求直线 y = kx + b与 x轴​ 交点（此时 y=0）的横坐标。 2. 一次函数与二元一次方程组 从“数”看：求方程组 的解。 从“形”看：求两条直线 y = k₁x + b₁和 y = k₂x + b₂的交点坐标。 3. 一次函数与一元一次不等式 · 从“数”看：解不等式 kx + b > 0或 kx + b < 0。 · 从“形”看：求直线 y = kx + b在 x轴上方（y>0）或 x轴下方（y<0）的部分所对应的 x的取值范围。 五、 一次函数的实际应用 1. 建模步骤： 审清题意，找出变量。 建立函数模型：根据题意，列出一次函数解析式 y = kx + b。 确定自变量取值范围：必须符合实际问题的意义（如非负、整数等）。 利用函数性质解决问题。 2. 常见类型： 行程问题：路程、速度、时间的关系。 销售与利润问题：成本、售价、销量、利润的关系。 方案选择与优化问题：通常涉及比较两个或多个一次函数在不同区间内的函数值大小。 几何图形中的动点问题：将线段长度、图形面积等表示为一次函数。 1. 列一次函数解析式 1．如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查的是矩形的性质、勾股定理、三角形的面积计算等知识点，掌握矩形的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据题意用表示出，然后求出t的值，再根据勾股定理即可求解即可； （2）分点在边上、点在边上两种情况，根据题意列出方程求解即可； （3）分点在边上、点在边上两种情况，根据矩形面积公式、三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，当点P在线段上时，， 当点P到达边的中点时，，即，解得∶， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：当点P在边上时，由题意得，， 即，解得， 当点P在边上时，， ∴， 由题意得，， 即，解得：． 综上，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则或． 故答案为：或． （3）解：当点P在边上时，即时， ， 当点P在边上时，即时，， ∴， ∴． 综上所述，． 2．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或时，W内没有整数点 【分析】（1）由“吉祥点”的定义可知时，不是整数，所以只有，是函数图像上的整点； （2）把函数关系式整理为，发现图象一定过“吉祥点”； （3）解出，，，然后根据，，，，，分情况解题即可． 【详解】（1）解：x是整数，时，是一个无理数， 时，不是整数， ，即函数的图象上“吉祥点”的坐标是； （2）解： ， 无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”：； （3）解：由题意，，，， 点B始终直线的右侧（也就是直线在直线的右侧，点B的左侧）， 当时，区域内必含有坐标原点，故不符合题意； 当时，y轴将W分成左右两部分，左边部分内点的横坐标在－1到0之间（不包括y轴），右边部分的点纵坐标在0到1之间（包括y轴），故时W内无整点； 当时， W内无整点； 当时，W内可能存在的整数点横坐标只能为－1， 此时边界上两点坐标为和，； 故时，W内无整点； 当时， W内无整点； 当时，横坐标为－2的边界点为和，线段长度为，故必有整点． 综上所述：或时，W内没有整数点． 3．在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0． （1）求点A、B的坐标； （2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由． 【答案】（1）、；（2），的长为2；（3）是以C为顶点的等腰三角形 【分析】（1）把进行配方得，可得，进而可求得点A、B的坐标； （2）如详解图：过点F作于M，利用角度的等量代换可得，，从而可证，可得，进而可得答案； （3）根据点A、B的坐标，求出直线AB的解析式为：，再利用，设CE所在直线的解析式为：，根据E点坐标可求CE所在直线的解析式为：，根据点B、C纵坐标相同，即可求出点C坐标，利用两点间距离公式即可分别求出AC、OC、AO的长即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， （2）如图：过点F作于M， , , , ， ， ， ， 在和中 ， ， 点F的横坐标为：，点A的横坐标为： , OE的长为2， （3）设AB所在直线的解析式为：，将点代入可得， ， 解得， 直线AB的解析式为：， 设CE所在直线的解析式为：，将E代入可得， ， 解得： CE所在直线的解析式为：， 轴， C点的纵坐标为，将，代入得：， C点坐标为， , ， ， 是以C为顶点的等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了一次函数，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，以及配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握这些性质是解题关键． 4．（1）问题探究：如图1，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A 在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 的坐标为，点C 的坐标为，则点 B 的坐标为 ． （2）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，已知，若，点C 在第一象限，且，试求出点C 的坐标． （3）拓展提升：如图3，为等腰直角三角形，，直角顶点B 在第二象限．点C在y 轴上移动，以为斜边作等腰直角，直角顶点 D 随着C 点的移动而移动，请你猜想：D点的运动轨迹是 ，并求出相应的表达式． 【答案】（1）；（2）；（3）直线，表达式为或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，一次函数的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点B作轴于E，证明，得到，则，据此可得答案； （2）过点A作轴，过点B作于E，过点C作于D，同理可证明，得到，据此可得答案； （3）过点B作轴于F，可求出，当点D在上方时，过点D作交延长线于E，延长交y轴于G，设，同理可证明，可推出，则点D在直线上；点D在下方时，同理可得点D在直线上． 【详解】解：（1）如图所示，过点B作轴于E， ∵点A 的坐标为，点C 的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为； （2）如图所示，过点A作轴，过点B作于E，过点C作于D， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为，纵坐标为， ∴点C的坐标为； （3）如图所示，过点B作轴于F， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形，且点B为直角顶点， ∴， ∴， 如图所示，当点D在上方时，过点D作交延长线于E，延长交y轴于G，设， 同理可证明， ∴， ∴点C与点G的横坐标为， ∵点C在y轴上， ∴， ∴， ∴点D在直线上； 当点D在下方时，同理可得点D在直线上； 综上所述，点D的运动轨迹为直线，点D在直线或直线上． 2. 一次函数图象性质 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 6．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)、、、、、、、． 【分析】（1）先求出，，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，求出，即可求出a的值； （2）设，在中，根据勾股定理列方程求出的值，再根据待定系数法求解即可； （3）分三种情况结合等腰三角形的定义及勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：当时，，即，， 当时，，即，， ∴， ∵将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， ∴， 即； （2）解：设，则， 将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处， ∴， 在中，在中， ∴， 解得：， 即， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入得， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：①以为腰，点B为顶角顶点时，如图： ∵， ∴，，， 即点C的坐标为、、； 以为腰，点A为顶角顶点，如图： 同理可得点C的坐标为、、； 以为底，如图：作的垂直平分线交轴于，交轴于， 设 ∵， ∴， 解得：， 即， 设， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，点C的坐标为、、、、、、、． 7．科学探究： (1)【教材再现】华东师大版八年级下册数学第62﹣63页问题3：为研究某合金材料的体积V（cm3）随温度t（℃）变化的规律（如图1），对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下： t（℃） ﹣40 ﹣20 ﹣10 0 10 20 40 60 V（cm3） 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 能否据此寻求V与t之间的函数关系式？ (2)【研究方法】在平面直角坐标中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是猜想V与t近似地满足一次函数关系． ①请你用比较接近的直线上的两点（0，1000）和（10，1000.3），求出V与t之间的函数解析式； ②根据图象观察当t＝30时，V的值近似为 　　； (3)【类比拓展】如图2，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点O从点A向点D运动，以OB为折痕将△AOB翻折，点A落在A'处，AA′交OB于点H，已知AO＝x，AA'＝y，为探究y与x之间的变化规律，数学社团活动中，第一小组的同学们作了以下的研究，请你也来参与， ①列表：对于O点在AD上的不同位置画图、测量、计算，得出若干组x与y的值如表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0 1.9 3.6 a 5.7 6.2 6.7 6.9 7.2 则a＝ ； ②在所给出的平面直角坐标系中描出各对应点，用光滑的曲线连接各点画出该函数的图象（图3）； ③当△AOA'为等边三角形时，OA的长度约为 　　（精确到0.1）． 【答案】(1)能； (2)①V与t之间的函数解析式为V＝0.03t+1000；②1000.9； (3)①4.8；②描图见解析；③6.9． 【分析】（1）通过观察图象，这些点大致位于同一条直线上，进而可得V和t近似地符合一次函数关系； （2）①运用待定系数法将点(0，1000)和点( 10，1000.3 )代入V=kt+b，解方程组即可求得答案；②如图1，结合图象，即可得出答案； （3）①当x= 3时，AO=3，如图2，利用勾股定理求得BO=5，再根据图形的面积即可求得答案；②先在坐标系中描出各点，再用平滑的曲线由左至右顺次连接即可；③利用等边三角形性质可得∠AOA'=60°，再由翻折可得∠AOB=∠A'OB=30°，由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得： OB=2AB=8，再运用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1所示的可近似的看作一条直线，设V＝kt+b，选取最接近直线的两个点的坐标，如：点（10，1000.3）和点（60，1002.3）代入，即可求得V与t之间的函数关系式； （2）解：①设V＝kt+b， ∵点（0，1000）和点（10，1000.3）在V＝kt+b上， ∴， 解得：， ∴V与t之间的函数解析式为V＝0.03t+1000； ②如图1，根据图象可得：当x＝30时，V的值近似为1000.9， 故答案为：1000.9； （3）①当x＝3时，AO＝3，如图2， ∵∠BAO＝90°，AB＝4， ∴BO＝＝＝5， 由翻折得：，， ∴•BO＝AB•AO，即××5＝4×3， ∴＝＝4.8，即a＝4.8， 故答案为：4.8； ②该函数的图象如图所示： ③当为等边三角形时，∠AOA′＝60°， ∴， ∴OB＝2AB＝8， 在Rt△ABO中，AO＝＝＝4≈6.9， 故答案为：6.9． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，翻折的性质、矩形的性质，直角三角形性质，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质及勾股定理是解题的关键． 8．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，，若，，，则___________，___________； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图像记为L． ①若，且，求k的值； ②若，求k的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点为平面内一点，则___________． 【答案】(1)1，1 (2)①；②或 (3) 【分析】（1）作于点H，由的定义可知，，； （2）①设图像L与y轴交于D，与x轴交于F，作于点E．由可知，根据勾股定理求出，可得是等腰直角三角形，求出点F的坐标，代入即可求出k值；②求出图像L经过点B和点C时的k值，结合一次函数的性质即可求出k的取值范围； （3）由可得点P在直线上，利用面积法求出点O到直线的距离即可求出． 【详解】（1）解：，， ，， 由题意知，， 如图，作于点H， ， ， ， ， 故答案为：1，1； （2）解：①如图，设图像L与y轴交于D，与x轴交于F，作于点E． 中，令，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 将代入，得 解得； ②图像L经过点B和点C时，图像L与只有一个交点，符合， 当图像L经过点B时， 将代入，得， 解得， 当图像L经过点C时， 将代入，得， 解得， 由一次函数的图象和性质可知，当或时，图像L与有两个交点，满足， 故k的取值范围为或； （3）解：令，， 则， 在直线上， 如图，设直线与x轴交于点K，与y轴交于点G， 令，则，解得， 令，则， ，， ，， ， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，解题的关键是理解新定义的意义，将新定义问题转化为学过的数学问题． 3. 一次函数与方程、不等式关系 9．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，两直线交于点P，且． (1)求点A、B的坐标． (2)在y轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标． (3)若点Q在x轴上，为等腰三角形，直接写出满足条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或或或 【分析】（1）对于，分别令、，即可求解； （2）由可求得点C的坐标，代入中求得b的值，即可求得直线的解析式，再求得点P的坐标；作点B关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，则点M使得的值最小，求出直线的解析式，即可求得点M的坐标； （3）分三种情况：，利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：对于，令，得； 令，解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C的坐标代入中，得， ∴直线的解析式， 解得：， ∴点P的坐标为； 作点B关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，如图， 则，，此时最小， 设直线的解析式为， 把点E、P的坐标代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点M的坐标为； （3）解：对于，令，得， ∴， ∴， 由勾股定理得：； 当时， 当点Q在点D的左边，则，此时； 当点Q在点D的右边，则，此时； 当时，此时点Q在线段的垂直平分线， ∵， ∴点Q即为原点，即； 当时，则点Q与点D关于y轴对称，此时； 综上，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两直线的交点，两点间线段最短，等腰三角形的定义及勾股定理，线段垂直平分线的判定等知识，注意分类讨论． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 11．如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． (1)填写下表，画出y关于x的函数图像； x …                     0 1 2 … y … … (2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． (4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 【答案】(1)见详解 (2)不是 (3)①见详解；②或1；或 (4)当或时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当时，方程没有解 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据两点间距离公式可得，代入相应的的值，求得的值填表即可；找出具体的点画出函数图象即可； （2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系； （3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论； （4）由题可知，作出的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可； 【详解】（1）解：表示与点之间的距离，所以，， 填表可得： x …                     0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 函数图象如下： （2）解：不是； 例如：当时，可以取或，不满足函数的定义，给定一个的值，都应该有唯一的的值与之对应； （3）解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 关于经过且垂直于轴的直线对称； ②根据图象可得：若，则对应的x的值是或1． 若，则对应的x的取值范围是或． （4）解：如图， ∵关于的方程(为常数，， 令，则图象过点， 当过点时，， ∴，此时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； ∴当或时，方程有两个解； 当或或时，方程有一个解； 当时，方程没有解． 12．已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 【答案】(1)①；②或． (2)或． 【分析】（1）①先运用待定系数法求得直线的解析式为，当时，直线，即，然后联立即可求得点C的坐标；②先求得，、，易得，则；再求得；设点，则，然后分点P在点C的左侧和右侧两种情况解答即可． （2）联立可得，如图：过B作于D，易得是等腰直角三角形可得，即，然后根据两点间距离公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：①设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，直线，即， 联立，解得：， ∴． ②∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点，则， 如图：当点P在点C的左侧时，， ∴，解得：， ∴； 如图：当点P在点C的右侧时，， ∴，解得：， ∴； 综上，点P的坐标为或． （2）解：联立，解得：， ∴， 如图：过B作于D， ∵直线与的夹角等于， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 设，， ∴，， ， ∴， 解得：或． 4. 实际问题与一次函数 13．综合与实践 问题情境： 如图1是某公园的一角，有一块等腰三角形空地，设计师想将此区域设计成儿童游乐区，他对如何划分做了设计． 方案设计： 如图2，在中，，，过作于，该设计师设计方案如下： 第一步：在线段上取一点，使，用栅栏沿线段，分割出区域作为蹦床滑梯区； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过作的平行线交，于点，点，用栅栏沿，，将剩余区域划分为三个区域分别用作健身器材区、迷宫区和沙坑区． 方案实施： 在完成第一步的区域的分割后，发现仅剩下的栅栏材料，若要在第二步分割中恰好用完的材料，需要确定和的长，为此该设计师以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决问题： (1)在图2中画出平面直角坐标系，并直接写出直线和直线的函数表达式； (2)求29米材料恰好用完时与的长； (3)该设计师计划将四边形的区域设为健身器材区，请在（2）的基础上求出健身器材区的面积． 【答案】(1)图见解析；直线的解析式为；直线的解析式为 (2)米，米 (3)健身器材区的面积为平方米 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，，，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得垂直平分，则，由直角三角形的性质可得，则，设，则，表示出，由，得出，求出，，得出，从而建立关于的方程，求解即可得出结果； （3）连接，由（2）可得米，米，米，米，则米，再由四边形的面积，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示： ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由（1）可得垂直平分， ∵点在线段上， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，，解得， ∴， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴米，米； （3）解：如图：连接， 由（2）可得：米，米，米，米， ∴米， ∴四边形的面积 （平方米）， 即健身器材区的面积为平方米． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形综合等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 【答案】(1)． (2)；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． (3)的最大值为． 【分析】（1）分当时，当时，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知，分当时，当时，分别列出与的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论； （3）根据题意可知，降价后，与的关系式，并根据利润不低于15000，可得出的取值范围． 【详解】（1）当时，设，根据题意可得，， 解得， ； 当时，设， 根据题意可得，， 解得， ． ． （2）根据题意可知，购进甲种产品千克， ， 当时，， ， 当时，的最大值为； 当时，， ， 当时，的最大值为（元， 综上，；当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元． （3）根据题意可知，降价后，， 当时，取得最大值， ，解得． 的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式． 15．甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图像与性质、行程问题等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键． （1）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图即可得到答案； （2）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，利用待定系数法将、代入解二元一次方程组即可得到答案； （3）根据题中两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图，数形结合，分四类讨论，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知地与地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，线段过、， 设线段对应的函数表达式为， 则，解得， 线段对应的函数表达式为； （3）解：地距离地， 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车的速度为， 当时，甲乙两公司运输车相距； 由两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系图可知，乙车从地到地的时间是，则乙车在地休息的时间是， 在线段过程中，当离地的距离为时，两车相遇，此时， 在相遇前，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， 当，解得，即当时，甲乙两公司运输车相距； 在相遇后，当乙车在点休息阶段，即时，由（2）中线段对应的函数表达式为， ，解得，根据可知，此情况不存在； 设乙车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系式为， 将、代入可得，解得， ， 在时，当，解得，根据可知，此情况不存在； 综上所述，当或时，甲乙两公司运输车相距． 16．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)①，；②图见解析；③右，0.5 (2)A、C、D (3) 【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可； ②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象； ③画出函数的图象，结合图象得出平移方式即可； （2）根据函数的图象进行性质判断即可； （3）根据题意画出图象，结合图象求出的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 当时，； ②当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： ③函数，当时，； 当时，； 当时，； 图象过点， 在平面直角坐标系中，画出此函数的图象： 由图可知，函数的图象可由的图象向右平移0.5个单位得到； （2）解：结合图象，函数的图象经过第一、二象限； 当时，， 解得：， ∴时，值随值的增大而增大；图象关于直线对称； 函数当时，有最小值为0， 若，当时，， 当时，， ∴若，当时，； 故说法正确的有：A、C、D； （3）解：当时，函数； 当时，函数， 把，代入， 解得：或； 把，代入， 解得：或； 结合上图，当的图象根据a的不同，在坐标系中左右平移时，对于任意的都满足关于x的不等式， 则的图象的两个临界情况分别是右侧分支经过点和左侧分支经过点， 即的图象过点时，a的值最大；过点时，a的值最小， 当时，对于任意的都满足关于x的不等式， ∴a的取值范围为． （一）、 概念与定义理解错误 1. 忽视一次函数中 k≠0的条件 典型错误：认为 y=kx+b就是一次函数，忽略 k≠0。当题目说“函数 y=(m-2)x+3是一次函数”时，错误地只列式 m-2=0。 纠正关键：一次函数的首要条件是 k≠0。上例中正确条件是 m-2≠0，即 m≠2。 1．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 2．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，x 的系数不能为零，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ x 的系数， ∴， 故选：A． 2. 混淆正比例函数与一次函数的关系 典型错误：认为“正比例函数一定是一次函数”是对的，但反过来认为“一次函数一定是正比例函数”。 纠正关键：正比例函数是 b=0的特殊一次函数。关系是：正比例函数 ⊆ 一次函数。必须同时满足 k≠0和 b=0才是正比例函数。 3．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义列出关于m，n的条件，求解后代入计算即可得到结果． 【详解】∵是正比例函数， 根据正比例函数定义可得， 解得：或，即或， ∵，即， ∴， 解得：， ∴． 4．下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 【答案】D 【分析】对于两个变量x、y，若满足（k是常数，且），那么y与x成正比例，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴与成正比例，原说法正确，不符合题意； B、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； C、在中，与成正比例，原说法正确，不符合题意； D、在中，与成正比例，与不成比例，原说法错误，符合题意； （二）、 图象与性质应用错误 1. 错误判断图象所经过的象限 典型错误：看到 k>0就认为直线一定过一、三象限，忽略 b的符号影响。例如 y=2x-3（k>0, b<0）过一、三、四象限，不过第二象限。 纠正关键：必须结合 k和 b的符号综合判断。口诀：“k定走向，b定上下”。先由 k定增减（决定直线大致走向），再由 b定与y轴交点，最后画出草图判断。 5．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 6．直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 2. 混淆增减性与 k的大小 典型错误：认为“y随 x增大而增大”时，k的值就一定很大。或比较两条直线的倾斜程度时，直接看 k的正负而不是绝对值。 纠正关键：k的正负决定增减性，k的绝对值​ |k|决定倾斜程度（直线陡峭度）。|k|越大，直线越陡。 7．已知、分别为一次函数图象上的两点．若该函数图象恒过点，且当时，，则该一次函数的图象不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】设该一次函数的解析式为，先根据一次函数的增减性判断的符号，再利用函数过定点得到的符号，最后根据和的符号判断一次函数经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， ∵当时，， ∴随的增大而减小，可得， ∵函数图象恒过点，将点代入解析式得， ∴， ∵， ∴， 当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴该一次函数的图象不经过第一象限． 8．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． （三）、 待定系数法求解析式错误 1. 设解析式时忽略前提条件 典型错误：题目告知“y是 x的一次函数”，在设解析式时直接写 y=kx+b，而忘记注明 k≠0。在后续求解参数时可能产生漏解。 纠正关键：设解析式时应规范书写：“设 y=kx+b (k≠0)”。 9．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 10．已知一次函数的图像经过点和点，这个一次函数的解析式为______． 【答案】/ 【详解】解：一次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为 ． 2. 代入坐标求解时，忽略点的坐标意义 典型错误：已知直线经过点 (2, 3)，代入时错误写成 2=3k+b（顺序颠倒）。 纠正关键：点的坐标 (x, y)表示当自变量为 x时，函数值为 y。代入时应严格对应：y（坐标的纵坐标） = kx（坐标的横坐标） + b。 11．请写出一个图象经过点的函数的解析式_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据给定的函数经过的点，利用待定系数法，选取合适的函数形式，代入点的坐标求解参数，即可得到符合要求的函数解析式． 【详解】解：设正比例函数的解析式为． 函数图象经过点． ， 解得． 符合要求的函数解析式可以是(答案不唯一)． 12．若一次函数（k为常数，且）经过点，则k的值为______________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式，将已知点的坐标代入函数解析式，即可求出的值． 【详解】因为一次函数的图象经过点， 所以， 移项合并同类项得， 系数化为得． （四）、 一次函数与方程、不等式结合错误 1. 求交点时找错坐标轴 典型错误：求直线 y=2x-4与 x轴交点时，令 x=0解得 y=-4，得出交点 (0, -4)。 纠正关键：与 x轴​ 交点，特征是纵坐标 y=0，应令 y=0解 x；与 y轴​ 交点，特征是横坐标 x=0，应令 x=0解 y。 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质与判定． （1）过点作轴于点，证明得出，即可求解； （2）根据题意得出在的延长线上时，的值最大，待定系数法求得直线的解析式，令，得出的坐标，即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作轴于点， ∵点，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． （2）如图，连接并延长交轴于点， 根据两点之间线段最短可得：， ∴当在的延长线上时，的值最大 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时， ∴当的值最大时，点的坐标是 故答案为：． 14．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 2. 利用图象解不等式时看错区域 典型错误：解不等式 kx+b > 0时，观察直线 y=kx+b，错误地选择了图象在 x轴下方​ 的部分对应的 x范围。 纠正关键：kx+b > 0即 y > 0，对应的是图象在x轴上方的部分；kx+b < 0即 y < 0，对应图象在x轴下方的部分。牢记：“大于0看上边，小于0看下边”。 15．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】将点，代入一次函数，可求得的值为，将的值代入不等式即可求出解集． 【详解】解：已知一次函数过点， 将点坐标代入解析式：， 解得：， ∴一次函数解析式为， 直线上函数值满足时，对应横坐标的取值范围： 当时，代入，得 解得：，即直线与轴交点为， 当时，对应已知点 最终解集为：． 16．如图，一次函数的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：由图象可知y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过， ∴关于x的不等式的解集是． （五）、 实际应用问题中的常见错误 1. 忽略自变量的实际取值范围 典型错误：在行程、销售等问题中，求出函数解析式后，讨论最值或取值时，忽略了 x代表时间、数量等，应为非负数或整数等实际限制。 纠正关键：建立函数模型后，必须立刻确定自变量的实际取值范围，并在后续所有计算和讨论中考虑此范围。 17．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴， 解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 18．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 2. 对复杂图象信息理解片面 典型错误：看分段函数图象（如行程的s-t图）时，将每段的“斜率”错误理解为实际速度，但忽略了坐标轴单位；或误将图象的交点当作相遇点，而未核实该点是否代表同一时刻同一位置。 纠正关键：仔细阅读图象标题和坐标轴物理意义及单位。交点意味着两个函数值相等，在实际问题中需结合情境判断其含义（如相遇、费用相同等）。 19．车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 【答案】4或 【分析】由图象时，得甲乙两地总路程为；因为A车走完全程，所以用速度公式可求A车速度．由图象时，可知B车走完全程需要，所以用速度公式可求B车速度．两车同时出发相向而行，相遇时两车路程和为总路程，所以用相遇问题公式可求相遇时间，即C车的出发时间．设C车行驶时间为小时，分两种情况：如果C车还没追上B车，那么B车比C车多走的路程为，列方程求解；如果C车追上B车后超出，那么C车比B车多走的路程为，列方程求解． 【详解】解：由图象和题意可知，甲乙两地距离为，A车10小时走完全程， ∴A车速度： ， B车20小时走完全程，因此B车速度： ， 两车同时出发相向而行，相遇时间为： ， B车从乙地出发开往甲地，相遇时B车距离乙地的路程为： ， 设C车行驶小时后，与B车相距．C车速度等于A车速度，从乙地出发和B车同方向， ∴ 小时后，C距离乙地：，B距离乙地： 两车距离满足： 即， 分两种情况： 未追上B车时： 解得， 追上B车后：，解得． 两个解均符合实际行程， ∴答案为或． 20．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米． 【答案】 【分析】本题主要考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲的速度为米/分钟，乙的速度为米/分钟，根据图象， 可得 解得 甲从家到学校的路程为米． 故答案为： （六）、 综合与几何问题错误 1. 直线平移规律记忆混淆 典型错误：将直线 y=kx+b向上平移3个单位，错误写成 y=k(x+3)+b或 y=kx+b+3x。 纠正关键：平移口诀：“上加下减，左加右减”。上下平移：直接在整体解析式后加减，如向上3单位：y=kx+b+3；左右平移：只对自变量 x进行加减，如向左2单位：y=k(x+2)+b。 21．在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【答案】5 【分析】根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再根据正比例函数的定义，令常数项为，即可求解的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后的函数的解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴，解得． 22．将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____． 【答案】 【分析】根据一次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：由函数的图象向左平移个单位长度，根据平移规律得新函数表达式为 化简得 ． 2. 求图象与坐标轴围成的面积时漏解 典型错误：求直线 y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积时，直接计算 S = ｜b｜，但未考虑 k和 b的符号可能导致交点坐标的绝对值表达错误。 纠正关键：先准确求出与x轴交点 A(-, 0)和与y轴交点 B(0, b)，则面积 S =|OA| |OB| = |- | |b| =。使用此公式或分步计算时，务必先取绝对值再相乘 23．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 【答案】 24 【分析】先将点的坐标代入两个一次函数解析式，求出的值，再得到两个函数与轴交点的坐标，最后利用三角形面积公式计算面积即可． 【详解】解： 一次函数和的图象都经过点 将代入两个解析式得 ， 解得：， 两个函数解析式分别为， 轴上点的横坐标为，分别令 得， 即 得， 即 都在轴上，因此 点到轴的距离为，即中边上的高为 ． 24．已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【答案】 2或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质进行解答． （1）通过联立两个一次函数解析式，解方程得到交点坐标； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，再以这两个交点的距离为底边、两函数交点的纵坐标为高表示三角形面积，根据面积等于列方程求解． 【详解】（1）解：联立与， 得， 整理得， 由，解得， 代入得， 故交点坐标为． （2）解：函数与轴交于点， 函数与轴交于点， 两函数交于点． 三角形面积， 由，得， 简化得， 即或， 解得或， 均满足， 故或． 故答案为：；2或． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------一次函数 一、 一次函数与正比例函数的概念 1. 一次函数 定义：形如 y = kx + b（k, b为常数，且 k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。 要点：自变量 x的次数是 1，k是决定函数性质的关键系数，不能为0。 2. 正比例函数 定义：特别地，当 b = 0时，一次函数 y = kx（k ≠ 0）叫做正比例函数。 关系：正比例函数是特殊的一次函数（常数项为0）。 2、 一次函数的图象与性质（核心） 1. 图象 形状：一条直线。因此，作一次函数图象只需确定两个点。 画法（两点法）：通常选取直线与两坐标轴的交点： · 与y轴交点：(0, b) · 与x轴交点：(-, 0) 2. 性质（由系数 k, b决定） 系数 k（斜率）： 决定增减性：k > 0时，y随 x的增大而增大，直线从左向右上升；k < 0时，y随 x的增大而减小，直线从左向右下降。 决定倾斜程度：|k|越大，直线越陡（倾斜得越厉害）。 系数 b（截距）： 表示直线与 y轴​ 交点的纵坐标，即当 x = 0时，y = b。 b > 0，交于y轴正半轴；b = 0，直线过原点；b < 0，交于y轴负半轴。 直线经过的象限：由 k和 b的符号共同决定，是高频考点。 k值 k＞0 k＜0 b值 b=0 b＞0 b＜0 b=0 b＞0 b＜0 图象 象限 一、三 一、二、三 一、三、四 二、四 一、二、四 二、三、四 性质 k＞0，y随x的增大而增大 k＜0，y随x的增大而减小 三、 待定系数法求一次函数解析式（重要方法） 1. 原理：由于一次函数解析式 y = kx + b中有两个待定系数 k和 b，因此需要两个独立的条件（通常是两组 x与 y的对应值，即两个点的坐标）来确定它。 2. 步骤： 设：设所求的一次函数解析式为 y = kx + b（k ≠ 0）。 代：将已知点的坐标代入解析式，得到关于 k, b的方程组。 解：解这个方程组，求出 k, b的值。 写：将 k, b的值代回所设解析式，得到函数表达式。 四、 一次函数与方程（组）、不等式的关系（数形结合的关键） 1. 一次函数与一元一次方程 从“数”看：解方程 kx + b = 0。 从“形”看：求直线 y = kx + b与 x轴​ 交点（此时 y=0）的横坐标。 2. 一次函数与二元一次方程组 从“数”看：求方程组 的解。 从“形”看：求两条直线 y = k₁x + b₁和 y = k₂x + b₂的交点坐标。 3. 一次函数与一元一次不等式 · 从“数”看：解不等式 kx + b > 0或 kx + b < 0。 · 从“形”看：求直线 y = kx + b在 x轴上方（y>0）或 x轴下方（y<0）的部分所对应的 x的取值范围。 五、 一次函数的实际应用 1. 建模步骤： 审清题意，找出变量。 建立函数模型：根据题意，列出一次函数解析式 y = kx + b。 确定自变量取值范围：必须符合实际问题的意义（如非负、整数等）。 利用函数性质解决问题。 2. 常见类型： 行程问题：路程、速度、时间的关系。 销售与利润问题：成本、售价、销量、利润的关系。 方案选择与优化问题：通常涉及比较两个或多个一次函数在不同区间内的函数值大小。 几何图形中的动点问题：将线段长度、图形面积等表示为一次函数。 1. 列一次函数解析式 1．如图，在长方形中，，点P从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为和，同时点Q从点A出发，沿向终点C运动，在边上的运动速度分别为，连结．设点P的运动时间为t秒，四边形的面积为． (1)当点P到达的中点时，则 ； (2)连接，当直线将矩形的面积分成的两部分时，则 秒； (3)求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“吉祥点”． (1)求函数的图象上所有“吉祥点”的坐标； (2)证明：无论k为何值，函数（，k为常数）的图象总经过一个确定的“吉祥点”； (3)若直线l：与直线，直线分别交于点A，B，直线与直线交于点C．记线段围成的区域（不含边界）为W．若区域W内没有“吉祥点”，直接写出k的取值范围． 3．在平面直角坐标系，点A（a，0），点B（0，b），已知a，b满足a2+b2+8a+8b+32=0． （1）求点A、B的坐标； （2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过点A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交x轴于点D，若点F的坐标为（-2，c），求c的值及OE的长； （3）在（2）的条件下，如图2，过点E作EG⊥AB于点G，过点B作BC//x轴交EG的延长线于点C，连接OC、AC，试判断△AOC的形状，并说明理由． 4．（1）问题探究：如图1，将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，点A 在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B 在第二象限，点A 的坐标为，点C 的坐标为，则点 B 的坐标为 ． （2）问题解决：如图2，在平面直角坐标系中，已知，若，点C 在第一象限，且，试求出点C 的坐标． （3）拓展提升：如图3，为等腰直角三角形，，直角顶点B 在第二象限．点C在y 轴上移动，以为斜边作等腰直角，直角顶点 D 随着C 点的移动而移动，请你猜想：D点的运动轨迹是 ，并求出相应的表达式． 2. 一次函数图象性质 5．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M在线段上，将沿直线折叠，此时点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若点C在坐标轴上，是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 7．科学探究： (1)【教材再现】华东师大版八年级下册数学第62﹣63页问题3：为研究某合金材料的体积V（cm3）随温度t（℃）变化的规律（如图1），对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下： t（℃） ﹣40 ﹣20 ﹣10 0 10 20 40 60 V（cm3） 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 能否据此寻求V与t之间的函数关系式？ (2)【研究方法】在平面直角坐标中，描出这些数据所对应的点，发现它们大致位于同一条直线上，于是猜想V与t近似地满足一次函数关系． ①请你用比较接近的直线上的两点（0，1000）和（10，1000.3），求出V与t之间的函数解析式； ②根据图象观察当t＝30时，V的值近似为 　　； (3)【类比拓展】如图2，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点O从点A向点D运动，以OB为折痕将△AOB翻折，点A落在A'处，AA′交OB于点H，已知AO＝x，AA'＝y，为探究y与x之间的变化规律，数学社团活动中，第一小组的同学们作了以下的研究，请你也来参与， ①列表：对于O点在AD上的不同位置画图、测量、计算，得出若干组x与y的值如表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y 0 1.9 3.6 a 5.7 6.2 6.7 6.9 7.2 则a＝ ； ②在所给出的平面直角坐标系中描出各对应点，用光滑的曲线连接各点画出该函数的图象（图3）； ③当△AOA'为等边三角形时，OA的长度约为 　　（精确到0.1）． 8．结合已经学过的“距离”我们知道：点到直线的“距离”是直线外一点和直线上各点连接的所有线段中最短的线段（即垂线段）的长度．类似的我们给出两个图形M、N的“距离”定义：如果点P为图形M上的任意一点，点Q为图形N上的任意一点，且P、Q两点的“距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M，N的“距离”，记为特别地，当图形M、N有公共点时，图形M，N的“距离”． (1)如图1，在平面直角坐标系中，，若，，，则___________，___________； (2)如图2，已知的三个顶点的坐标分别为，，，将一次函数的图像记为L． ①若，且，求k的值； ②若，求k的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点为平面内一点，则___________． 3. 一次函数与方程、不等式关系 9．如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，两直线交于点P，且． (1)求点A、B的坐标． (2)在y轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标． (3)若点Q在x轴上，为等腰三角形，直接写出满足条件的点Q的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． (1)填写下表，画出y关于x的函数图像； x …                     0 1 2 … y … … (2)x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； (3)观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． (4)关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 12．已知直线分别交轴，轴于点，点，其中，，直线交直线于点，分别交轴，轴于点，点． (1)如图，当时． ①求点的坐标； ②点是直线上一点，若的面积等于面积的2倍，求点的坐标． (2)若直线与的夹角等于，求的值． 4. 实际问题与一次函数 13．综合与实践 问题情境： 如图1是某公园的一角，有一块等腰三角形空地，设计师想将此区域设计成儿童游乐区，他对如何划分做了设计． 方案设计： 如图2，在中，，，过作于，该设计师设计方案如下： 第一步：在线段上取一点，使，用栅栏沿线段，分割出区域作为蹦床滑梯区； 第二步：在线段上取点（不与，重合），过作的平行线交，于点，点，用栅栏沿，，将剩余区域划分为三个区域分别用作健身器材区、迷宫区和沙坑区． 方案实施： 在完成第一步的区域的分割后，发现仅剩下的栅栏材料，若要在第二步分割中恰好用完的材料，需要确定和的长，为此该设计师以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决问题： (1)在图2中画出平面直角坐标系，并直接写出直线和直线的函数表达式； (2)求29米材料恰好用完时与的长； (3)该设计师计划将四边形的区域设为健身器材区，请在（2）的基础上求出健身器材区的面积． 14．为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg． (1)求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式； (2)若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额一成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案； (3)为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值． 15．甲、乙两家快递公司都要将货物从地派送至地．甲公司运输车要先在地的集货中心拣货，然后直接发往地．乙公司运输车从地出发后，先到达位于、两地之间的地休息，再以原速驶往地．两车离地的距离与乙公司运输车所用时间的关系如图所示．已知两车均沿同一道路匀速行驶，且同时到达地． (1)地与地之间的距离为______． (2)求线段对应的函数表达式． (3)已知地距离地，当为何值时，甲、乙两公司运输车相距？ 16．通过列表、描点、连线的方法可以画出函数图象，并利用函数图象研究函数的性质．对函数的图象与性质进行了探究． (1)当时， ①化简函数的表达式： 当时，__________， 当时，__________： ②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象； ③函数的图象可由的图象向_____平移__________个单位得到； (2)结合图象，关于函数的图象与性质，下列说法正确的有__________． A．图象经过第一、二象限 B．时，值随值的增大而增大 C．图象关于直线对称 D．若，当时， (3)对于任意的都满足关于的不等式，请直接写出实数的取值范围． （一）、 概念与定义理解错误 1. 忽视一次函数中 k≠0的条件 典型错误：认为 y=kx+b就是一次函数，忽略 k≠0。当题目说“函数 y=(m-2)x+3是一次函数”时，错误地只列式 m-2=0。 纠正关键：一次函数的首要条件是 k≠0。上例中正确条件是 m-2≠0，即 m≠2。 1．已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 2．若函数是关于x的一次函数，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D．m为任意实数 2. 混淆正比例函数与一次函数的关系 典型错误：认为“正比例函数一定是一次函数”是对的，但反过来认为“一次函数一定是正比例函数”。 纠正关键：正比例函数是 b=0的特殊一次函数。关系是：正比例函数 ⊆ 一次函数。必须同时满足 k≠0和 b=0才是正比例函数。 3．已知函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．3或5 4．下列说法中不成立的是（   ） A．在中，与成正比例 B．在中，与成正比例 C．在中，与成正比例 D．在中，与成正比例 （二）、 图象与性质应用错误 1. 错误判断图象所经过的象限 典型错误：看到 k>0就认为直线一定过一、三象限，忽略 b的符号影响。例如 y=2x-3（k>0, b<0）过一、三、四象限，不过第二象限。 纠正关键：必须结合 k和 b的符号综合判断。口诀：“k定走向，b定上下”。先由 k定增减（决定直线大致走向），再由 b定与y轴交点，最后画出草图判断。 5．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 6．直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2. 混淆增减性与 k的大小 典型错误：认为“y随 x增大而增大”时，k的值就一定很大。或比较两条直线的倾斜程度时，直接看 k的正负而不是绝对值。 纠正关键：k的正负决定增减性，k的绝对值​ |k|决定倾斜程度（直线陡峭度）。|k|越大，直线越陡。 7．已知、分别为一次函数图象上的两点．若该函数图象恒过点，且当时，，则该一次函数的图象不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） （三）、 待定系数法求解析式错误 1. 设解析式时忽略前提条件 典型错误：题目告知“y是 x的一次函数”，在设解析式时直接写 y=kx+b，而忘记注明 k≠0。在后续求解参数时可能产生漏解。 纠正关键：设解析式时应规范书写：“设 y=kx+b (k≠0)”。 9．某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 10．已知一次函数的图像经过点和点，这个一次函数的解析式为______． 2. 代入坐标求解时，忽略点的坐标意义 典型错误：已知直线经过点 (2, 3)，代入时错误写成 2=3k+b（顺序颠倒）。 纠正关键：点的坐标 (x, y)表示当自变量为 x时，函数值为 y。代入时应严格对应：y（坐标的纵坐标） = kx（坐标的横坐标） + b。 11．请写出一个图象经过点的函数的解析式_____________． 12．若一次函数（k为常数，且）经过点，则k的值为______________． （四）、 一次函数与方程、不等式结合错误 1. 求交点时找错坐标轴 典型错误：求直线 y=2x-4与 x轴交点时，令 x=0解得 y=-4，得出交点 (0, -4)。 纠正关键：与 x轴​ 交点，特征是纵坐标 y=0，应令 y=0解 x；与 y轴​ 交点，特征是横坐标 x=0，应令 x=0解 y。 13．如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 14．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 2. 利用图象解不等式时看错区域 典型错误：解不等式 kx+b > 0时，观察直线 y=kx+b，错误地选择了图象在 x轴下方​ 的部分对应的 x范围。 纠正关键：kx+b > 0即 y > 0，对应的是图象在x轴上方的部分；kx+b < 0即 y < 0，对应图象在x轴下方的部分。牢记：“大于0看上边，小于0看下边”。 15．如图，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是________． 16．如图，一次函数的图象经过点，，则关于x的不等式的解集为__________． （五）、 实际应用问题中的常见错误 1. 忽略自变量的实际取值范围 典型错误：在行程、销售等问题中，求出函数解析式后，讨论最值或取值时，忽略了 x代表时间、数量等，应为非负数或整数等实际限制。 纠正关键：建立函数模型后，必须立刻确定自变量的实际取值范围，并在后续所有计算和讨论中考虑此范围。 17．春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了________盒． 18．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 2. 对复杂图象信息理解片面 典型错误：看分段函数图象（如行程的s-t图）时，将每段的“斜率”错误理解为实际速度，但忽略了坐标轴单位；或误将图象的交点当作相遇点，而未核实该点是否代表同一时刻同一位置。 纠正关键：仔细阅读图象标题和坐标轴物理意义及单位。交点意味着两个函数值相等，在实际问题中需结合情境判断其含义（如相遇、费用相同等）。 19．车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 20．甲、乙两人从各自家中出发前往学校，乙从家到学校的路程比甲从家到学校的路程多米．如图，，分别表示甲、乙两人行走的路程（米）和甲出发时间（分钟）的函数图象．甲、乙两人同时到达学校，则甲从家到学校的路程为__________米． （六）、 综合与几何问题错误 1. 直线平移规律记忆混淆 典型错误：将直线 y=kx+b向上平移3个单位，错误写成 y=k(x+3)+b或 y=kx+b+3x。 纠正关键：平移口诀：“上加下减，左加右减”。上下平移：直接在整体解析式后加减，如向上3单位：y=kx+b+3；左右平移：只对自变量 x进行加减，如向左2单位：y=k(x+2)+b。 21．在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 22．将函数的图像向左平移1个单位长度所得到的图像对应的函数表达式为_____． 2. 求图象与坐标轴围成的面积时漏解 典型错误：求直线 y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积时，直接计算 S = ｜b｜，但未考虑 k和 b的符号可能导致交点坐标的绝对值表达错误。 纠正关键：先准确求出与x轴交点 A(-, 0)和与y轴交点 B(0, b)，则面积 S =|OA| |OB| = |- | |b| =。使用此公式或分步计算时，务必先取绝对值再相乘 23．已知一次函数和的图象都经过，且与轴分别交于，两点，则的面积为______． 24．已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $