期末巅峰冲刺篇核心考点深度解析与压轴题精讲 ------勾股定理 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------勾股定理 一、 勾股定理 1. 定理内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a² + b² = c²。 2. 定理本质：直角三角形三边之间的数量关系，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。 3. 公式变形（求边长）： 斜边 c = 直角边 a = 直角边b = 定理证明（了解）：通过拼图法（如赵爽弦图）、面积法等验证定理的正确性，体现数形结合思想。 二、 勾股定理的逆定理 1. 定理内容：如果三角形的三边长a，b，c满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。 2. 定理作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 3. 应用步骤： ① 确定最长边（设为c）。 ② 计算：a² + b² 与 c²。 ③ 判断：若 a² + b² = c²，则三角形是直角三角形（且∠C=90°）；若不等，则不是。 三、 勾股数 1. 定义：满足 a² + b² = c² 的三个正整数​ a, b, c，称为一组勾股数。 2. 常见勾股数： 基础组：(3, 4, 5)；(5, 12, 13)；(8, 15, 17)；(7, 24, 25)。 推广：若(a, b, c)是一组勾股数，则(ka, kb, kc)（k为正整数）也是勾股数，如(6, 8, 10)。 四、 勾股定理的应用 勾股定理在解决与直角三角形相关的计算和证明问题时具有广泛应用，主要思想是将问题转化为直角三角形模型。 1. 几何图形中的计算： 在直角三角形中，已知任意两边求第三边。 求特殊三角形（如等腰三角形）的高，将其分割为直角三角形求解。 2. 实际问题的建模： 距离问题：求两点间的直线距离（如测量湖宽、两船距离）。 高度问题：求不可直接测量的高度（如旗杆、大树高度），常结合相似或全等。 梯子滑动问题：梯子靠墙滑动时，求梯脚移动距离或顶端下滑高度。 3. 折叠（轴对称）问题： 图形沿某直线折叠后，利用折叠前后图形全等（对应边、角相等），将已知和未知线段集中到一个直角三角形中，构造方程求解。 4. 最短路径问题： 立体图形表面：将圆柱、长方体等立体图形的侧面展开，把“曲面（体）上的最短路径”转化为“平面上的两点之间线段最短”，再利用勾股定理计算。 平面对称点：利用轴对称，将同侧两点转化为异侧两点，求直线段长度。 5. 逆定理的应用： 证明一个三角形是直角三角形。 判断三条线段能否构成直角三角形。 总结：学习本章，首先要深刻理解并熟记勾股定理及其逆定理的文字、图形和符号三种表达形式。核心是掌握直角三角形这一模型，并培养将实际问题、几何图形转化为直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解的数学建模能力 1. 勾股定理 1．如图，在中，过点C作于点E，以为边作等腰，，点B与点D在直线异侧，且，连接．若，，则的长为_________． 2．如图，在中，，，点是边的中点，连接，过点作，垂足为，延长，交于点，则的长为__________． 3．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 4．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 2. 勾股定理的逆定理 5．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 (1)如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________； (2)如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长； (3)如图3，若，则求的长． 6．综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 7．若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数． (1)观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数： ①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，； (2)毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数； (3)直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度． 8．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 3. 勾股定理证明 10．综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 11．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 12．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 13．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 14．黔东南州某校杨老师组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、．已知，，．设，则，．则问题转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______，此时______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式：的最小值． （3）请你用构图的方法试求的最大值． 4. 勾股定理的应用 15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A， B， C 三点都是格点， 且，．请仅用无刻度的直尺在给定网格作图． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标_____； (2)① 如图，若线段与横轴交于点E，则点E坐标为_____； ② 在① 的条件下，在你所画的平面直角坐标系的x轴上找点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出点P的坐标． 16．如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当为几秒时，平分； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？17．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 18． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 19．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 20．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． （一）概念与公式应用错误 1. 混淆直角边与斜边 典型错误：在使用公式 a² + b² = c²时，未明确 c必须是斜边，导致将已知的斜边代入 a或 b的位置计算。 纠正关键：先确定直角和斜边。公式 a² + b² = c²中，a, b必须是两条直角边，c是斜边。若已知斜边和一条直角边求另一边，应使用变式 a² = c² - b²。 1．已知一个直角三角形的两条边长分别为9、12，则第三条边的长为（ ） A．3或15 B．15或17 C．或17 D．或15 2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为边长的直角三角形的第三边长为（ ） A．5 B．7 C． D．或5 2. 忽视“直角三角形”的前提 典型错误：在非直角三角形中直接使用勾股定理进行计算或证明。 纠正关键：勾股定理只适用于直角三角形。使用前必须确认三角形中有一个角是90°，或者通过逆定理证明它是直角三角形。 3．如图，在等边三角形中，，以点为圆心，适当长度为半径作弧分别交，于点．再以点为圆心，为半径作弧交第一段弧于点，在射线上取点，使得，则的长为（ ） A． B．6 C． D．7 4．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 （二）、 求边长时的分类讨论遗漏（高频易错） 1. 已知两边长，求第三边时未讨论 典型错误：题目描述“直角三角形两边长分别为3和4”，直接认为第三边是5。 纠正关键：题目中“两边”未指明是两条直角边还是一直角边一斜边，必须分类讨论： 情况一：若3和4都是直角边，则斜边 = = 5。 情况二：若4是斜边，3是一条直角边，则另一直角边 = = 。 结论：第三边长可能是5或。 5．已知一个直角三角形的两边长分别为8和15，则第三边长的所有可能值是（ ） A．17 B．289 C． D．17或 6．已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． (三)、 勾股定理逆定理应用错误 1. 使用逆定理时未先找最大边 典型错误：判断三边为6, 8, 10的三角形形状时，随意计算 6² + 8² = 10²虽然结果正确，但步骤不严谨。若三边为8, 10, 6，错误计算 8² + 10² ≠ 6²会得出错误结论。 纠正关键：必须首先确定最长边（设为c），然后验证 a² + b²是否等于 c²。步骤错误会导致判断失效。 7．已知，，满足，则以，，为边的三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，，这两点间的距离；当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)若点，则线段的长为________． (2)已知，，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？说明理由． 2. 误用逆定理进行边角证明 典型错误：在证明一个角是直角时，错误地直接使用勾股定理（a² + b² = c²）。 纠正关键：要证明一个角是90°，应使用勾股定理的逆定理，即通过计算三边满足 a² + b² = c²来反推该三角形是直角三角形，从而那个角是直角。勾股定理本身是“由直角得边的关系”。 9．如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． (1)求线段的长 (2)求的度数 10．如图，在中，，，点在的下方，且．猜想与的位置关系，并说明理由． (四)、 实际问题与综合应用中的错误 1. 建模错误：构造不出直角三角形 典型错误：在解决“风吹树折”、“梯子滑动”、“水面芦苇”等经典应用题时，无法从文字描述中抽象出正确的直角三角形模型。 纠正关键：仔细画图，标注所有已知长度和未知量。关键是将实际问题中的变化前后关系或不可直接测量的距离转化为直角三角形的边。 11．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 12．某公司把一块形状为直角三角形的废地开辟为植物园，如图，米，米，若线段是一条水渠，点在边上，且水渠的造价为元/米，则点在距点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？ 2. 折叠问题中找错对应关系 典型错误：在矩形折叠问题中，不能准确找到折叠前后重合的线段和角，导致设未知数错误或列式错误。 纠正关键：牢记折叠即轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等。通常将未知线段设为一个变量，将其他相关线段用这个变量表示，最后在某个新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程。 13．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)求和的长． 14．如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 3. 最短路径问题（蚂蚁爬行）未正确展开 典型错误：求长方体表面两点间最短路径时，选择了错误的展开方式，导致计算的路径并非最短。 纠正关键：将立体图形表面展开，把两点放在同一个平面内。关键有两点：① 正确画出所有可能的展开图；② 连接两点得到线段，这条线段就是理论最短路径；③ 利用勾股定理计算不同展开图中线段的长度，并比较大小，取最小值。圆柱侧面展开为矩形，方法类似。 15．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 16．课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 4. 计算粗心与格式错误 典型错误：开方运算错误，如√125 = 5√5 误算为25√5；忘记写单位；方程求解错误。 纠正关键：养成检查习惯，确保结果化为最简二次根式或按要求取近似值。解方程每一步都要仔细 17．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 18．如图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮中心点到地面的距离为． (1)判断支架与是否垂直，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面所在直线平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------勾股定理（解析版） 一、 勾股定理 1. 定理内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 a² + b² = c²。 2. 定理本质：直角三角形三边之间的数量关系，即两条直角边的平方和等于斜边的平方。 3. 公式变形（求边长）： 斜边 c = 直角边 a = 直角边b = 定理证明（了解）：通过拼图法（如赵爽弦图）、面积法等验证定理的正确性，体现数形结合思想。 二、 勾股定理的逆定理 1. 定理内容：如果三角形的三边长a，b，c满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形。 2. 定理作用：判定一个三角形是否为直角三角形。 3. 应用步骤： ① 确定最长边（设为c）。 ② 计算：a² + b² 与 c²。 ③ 判断：若 a² + b² = c²，则三角形是直角三角形（且∠C=90°）；若不等，则不是。 三、 勾股数 1. 定义：满足 a² + b² = c² 的三个正整数​ a, b, c，称为一组勾股数。 2. 常见勾股数： 基础组：(3, 4, 5)；(5, 12, 13)；(8, 15, 17)；(7, 24, 25)。 推广：若(a, b, c)是一组勾股数，则(ka, kb, kc)（k为正整数）也是勾股数，如(6, 8, 10)。 四、 勾股定理的应用 勾股定理在解决与直角三角形相关的计算和证明问题时具有广泛应用，主要思想是将问题转化为直角三角形模型。 1. 几何图形中的计算： 在直角三角形中，已知任意两边求第三边。 求特殊三角形（如等腰三角形）的高，将其分割为直角三角形求解。 2. 实际问题的建模： 距离问题：求两点间的直线距离（如测量湖宽、两船距离）。 高度问题：求不可直接测量的高度（如旗杆、大树高度），常结合相似或全等。 梯子滑动问题：梯子靠墙滑动时，求梯脚移动距离或顶端下滑高度。 3. 折叠（轴对称）问题： 图形沿某直线折叠后，利用折叠前后图形全等（对应边、角相等），将已知和未知线段集中到一个直角三角形中，构造方程求解。 4. 最短路径问题： 立体图形表面：将圆柱、长方体等立体图形的侧面展开，把“曲面（体）上的最短路径”转化为“平面上的两点之间线段最短”，再利用勾股定理计算。 平面对称点：利用轴对称，将同侧两点转化为异侧两点，求直线段长度。 5. 逆定理的应用： 证明一个三角形是直角三角形。 判断三条线段能否构成直角三角形。 总结：学习本章，首先要深刻理解并熟记勾股定理及其逆定理的文字、图形和符号三种表达形式。核心是掌握直角三角形这一模型，并培养将实际问题、几何图形转化为直角三角形，再利用勾股定理建立方程求解的数学建模能力 1. 勾股定理 1．如图，在中，过点C作于点E，以为边作等腰，，点B与点D在直线异侧，且，连接．若，，则的长为_________． 【答案】12 【分析】将绕点逆时针旋转的度数得到，得到等腰，利用等腰三角形的性质求出，根据已知求出为，延长到点，使，利用垂直平分线的性质证得四边形是平行四边形，求出的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转的度数得到，连接， 设，则， ∴， ∴， 又∵， ∴， 延长到点，使，连接， 又∵， ∴所在直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴，则， ∵ ∴四边形是平行四边形，， 在中，， ． 2．如图，在中，，，点是边的中点，连接，过点作，垂足为，延长，交于点，则的长为__________． 【答案】 【分析】解：过作于，过作交直线于，由等腰三角形的性质和中点可得，，由勾股定理求出，再根据面积法求出，接着依次求出，，，最后根据列方程求解即可． 【详解】解：过作于，过作交直线于， ∵，，点是边的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 3．如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 4．如图，中，，，，若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒2个单位长度，设出发的时间为t秒． (1)当点P在线段上运动，______秒时，点P到的距离与点P到的距离相等； (2)若是以为腰的等腰三角形，求t的值； (3)另有一点Q，从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒1个单位长度，若P，Q两点同时出发，当P，Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P，Q两点之间的距离为？请直接写出答案． 【答案】(1) (2)或 (3)当t为1或时，P、Q两点之间的距离为 【分析】（1）利用勾股定理求解，过点作于点，证明，可得，进一步利用勾股定理求解即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解； （3）分在上，在上；在上，在上；都在上，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 如图所示， 过点作于点，， ∵点P到的距离与点P到的距离相等； ∴， ∴平分， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 设，则 ． 在中，， 即， 解得：， ∴. （2）解：当是以为腰的等腰三角形，则点在线段上， ①时，如图： ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴， ∵， ∴， ∴； ②时，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上：是以为腰的等腰三角形，t的值为或. （3）解：由题意，得：点按运动，共需要：； 点按运动，共需要：； ∵当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动， ∴、运动的总时间为：； ①在上，在上时： 由题意，得：， ∵ ， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ②当点在上、点在上时，即，如图， ∴，， ∴， 当时，最小值为， ∴，不合题意； ③当点、都在上，此时：，， 点在点的左侧时， ， 解得：； 点P在点Q的右侧时， ， 解得：； ∵， ∴不合题意，舍掉； 综上所述，当t为1或时，P、Q两点之间的距离为． 2. 勾股定理的逆定理 5．【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 (1)如图1，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，易证，则的度数为________； (2)如图2，点P是等腰直角中内部一点，，且，以为直角边构造等腰直角，点C为直角顶点，则求的度数及的长； (3)如图3，若，则求的长． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，利用定理证明；根据全等三角形的性质得到∠，结合图形计算即可； （2）连接证明，得到，由勾股定理的逆定理可证，进而证明，进一步可求解． （3）根据已知可得是等腰直角三角形，所以将绕点A顺时针旋转，得到，则，证明是直角三角形，再利用勾股定理可求值． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴．， ∵为等边三角形， ∴． ∵点A，D，E在同一直线上， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点P，点B，点D共线， ∵， ∴． （3）解：过点A作，且，连接，如图所示： 则是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，即， 在和中， ， ∴， ∴． 6．综合与探究 问题情境：如图1，在纸片中，，点D是边上的一个动点，连接AD，将沿AD折叠，得到，点C的对应点为． 操作计算： (1)如图2，当点落在的延长线上时，，． ①求线段的长． ②求线段与的长． (2)连接，，若，，当是以为一条直角边的直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)①；②， (2)或 【分析】（1）①利用折叠的性质和勾股定理求解即可． ②先求出，由折叠的性质得出，设，，然后根据勾股定理建立方程求解即可进一步得出答案． （2）分两种情况，当和当，画出图形求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在中，， ∴． ②∵，． ∴， 由折叠的性质可知， 设，， 在中，， 即， 解得， 故，． （2）解：分两种情况： 当时，如下图： 在中，， 由折叠的性质可知， 设， 在中，． 当时，如下图： 则， 由折叠的性质可知， ， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 综上：的值为或． 7．若正整数，，（）满足，则称，，为一组勾股数． (1)观察提供的4组勾股数的规律，完成第②组勾股数： ①，，；②5，______，______；③，，；④，，；⑤，，； (2)毕达哥拉斯学派曾提出，，（n为正整数）是一组勾股数，请证明满足以上式子的，，是一组勾股数； (3)直角三角形三条边长，，（）是勾股数，且周长的值是面积值的倍（为正整数），求的值和这个三角形的三边长度． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，． 【分析】（1）利用勾股数解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理运算证明即可； （3）由题意可知，三角形的周长为：，三角形的面积为：，即，利用完全平方公式和勾股定理整理式子，得到，再分类讨论的取值情况结合完全平方公式运算求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：这组勾股数是，， （2）解：∵，， ∴，， ∴，，是一组勾股数； （3）解：由题意可知得：三角形的周长为：，三角形的面积为：， ∴，整理得， 由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， 展开得：， 把代入可得： ， 把代入可得： ， 整理得：， ∵是正整数，是正整数， ①当时，则， ∴， ， 把代入可得： ， 因式分解可得：， ∵和都为整数，且， ∴当时，， 解得：，，； 当时，， 解得：，，； ②当时，则， ∴， 同理可得：， ∵和都为整数，且， ∴当时，， 解得：，，； ③当时，则， ∴， 同理可得：， 两整数相乘不可能等于，故此情况不符合题意； 综上：当时，三边长为，，；当时，三边长为，，或，，． 8．如图，在中，，，且m，n满足，D，E分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点F恰好落在边上． (1)求证：是直角三角形； (2)如图1，若D为的中点，求证：； (3)如图2，若F为的中点，判断线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据二次根式和绝对值的非负性，求得，，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）连接，根据轴对称的性质可得，然后根据三角形中位线定理证明，即可证明结论； （3）过点A作，交的延长线于点H，连接，先证明，得到，，再证明，最后根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ，， ，， ， ， ， 即是直角三角形； （2）证明：连接， 沿直线折叠得到， ，， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ； （3）解：． 理由如下： 过点A作，交的延长线于点H，连接， ，， 为的中点， ， ， ，， 沿直线折叠得到， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，二次根式和绝对值的非负性，等知识，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 9．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，，点B在第一象限内，且满足． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)在第二象限内是否存在一点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点C为线段上一动点，点D为线段上一动点，且始终满足．求的最小值． 【答案】(1)是以B为直角顶点的直角三角形，理由见解析 (2)存在，点P的坐标为或 (3) 【分析】（1）先由非负数性质求得b、c，再求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）分当和当两种情况讨论求解即可； （3）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，可证得到，则，故要使的值最小，只需的值最小，即当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长，由（2）可知H的坐标为，利用两点距离公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，解得，，， ∴，， ∵A的坐标为， ∴， ∴， ∴是以B为直角顶点的直角三角形； （2）解：如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，轴于F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； 如图所示，当，是以为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作轴于E，交延长线于F，交y轴于D， 同理可以求出，， 同理可以证明， ∴，， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为； ∴综上所述，存在点P的坐标为或，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形； （3）解：如图所示，过点O作以为腰，的等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴要使的值最小，只需的值最小， ∴当A、C、H三点共线时，有最小值，即有最小值，为的长， 由（2）可知H的坐标为， ∴． 故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 3. 勾股定理证明 10．综合与实践 【阅读理解】 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着智慧．赵爽的证明方法是：制作四个全等的直角三角形，直角边长分别记为a、b（），斜边长记为c．用这四个直角三角形拼成如图1所示的正方形（赵爽弦图）．用它可以证明勾股定理．证明思路是：大正方形的面积有两种求法，方法1：利用正方形面积公式算得大正方形面积为；方法2：把大正方形面积看作四个直角三角形与中间一个小正方形的面积之和．再根据以上结果，就可以证明勾股定理．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． （1）请根据上面的叙述，给出勾股定理证明过程． 【方法运用】 根据背景介绍，探索勾股定理新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置（其中B、D、C在同一条直线上，A、F、D在同一条直线上），其中，，，延长与交于点E． （2）连接，请利用“双求法”证明：； 【应用拓展】 （3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，测得米，米．后来为了方便村民就近取水，决定在河边新建第三个取水点H（A、H、B在同一条直线上），要求的长度最短．求新修道路的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）480米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及勾股定理的应用，正确理解勾股定理的证明方法是关键． （1）根据题意先分别表示各图形的面积，再探究面积之间的关系即可； （2）根据和计算来证明即可； （3）过点A作于点D，过点C作于点H，先根据勾股定理求出米，再根据求解即可． 【详解】证明：（1）方法1：正方形的面积， 方法2：正方形的面积， （2） 即 连接，设 ，， ， 即； （3）过点A作于点D，过点C作于点H， 米，米，， （米）， （米）， ， ， （米）． 11．综合与实践 背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． (1)把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，．用含、、的式子分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理．上述图形的面积满足的关系式为________，经化简，可得到勾股定理． (2)如图2，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； (3)在（2）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求出的距离． (4)借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)千米 (4) 【分析】（1）根据可得四边形为直角梯形，则，根据，可得，则，由，可得，，进而可得，再根据可得，据此即可得出答案； （2）连接，过点作于点，根据，可得四边形是矩形，进而可得千米，千米，于是可得千米，然后利用勾股定理即可求得、两个村庄之间的距离； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；设千米，则千米，在和中，分别利用勾股定理表示出和，然后通过建立方程，解方程即可求出的距离； （4）根据轴对称—最短路线的求法即可求出：先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点，则就是代数式的最小值；然后利用轴对称的性质、矩形的判定与性质及勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：依题意得：，，，， ， ， 四边形为直角梯形， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理，得：， 故答案为：； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， 千米， 两个村庄的距离为千米， 故答案为：； （3）解：由题意可知，点在的垂直平分线上， 如图，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求， 设千米，则千米， 在中，根据勾股定理可得： ， 在中，根据勾股定理可得： ， ， ， 解得：， 即：千米； （4）解：如图，， 先作出点关于的对称点，连接，过点作交延长线于点， 设， 则就是代数式的最小值， 代数式的几何意义是线段上一点到点、的距离之和，而它的最小值就是点的对称点和点的连线，与线段的交点就是它取最小值时的点， 由轴对称的性质可得：， ，，， 四边形是矩形， ，， 从而构造出了以为一条直角边，和的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就是代数式的最小值， 代数式的最小值为： ． 【点睛】本题是四边形—三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用（包括：选址使到两地距离相等、求最短路径等），轴对称—最短路线问题，线段的垂直平分线，矩形的判定与性质，三角形的面积公式等知识点，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，这是解本题的关键，而构造出直角三角形则是解本题的难点． 12．请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 即． 13．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． (1)①勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）； ②如图1，大正方形的面积是17，小正方形的面积是5，如果将如图1中的四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，求图2中最大的正方形的面积． (2)如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有______个； (3)如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为、，直角三角形面积为，请判断、、的关系______． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3) 【分析】（1）①将图中各个几何图形的面积用两种方法表示出来，再利用面积相等列等式证明即可；②图1中：，，即可得，图2中大正方形的面积为：，据此即可作答； （2）根据题意得：，再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解； （3）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、以c为直径的半圆面积、三角形的面积，根据图形特点表示出（+），结合勾股定理，即可得到答案． 【详解】（1）①证明： 在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和． 即，化简得． 在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和． 即，化简得． ②在图1中：，， 图2中大正方形的面积为：， ∵，， ∴，， ∴， ∴图2中大正方形的面积为29． （2）根据题意得：， 如图4： 即有：，，， ∴； 如图5： ，，， ∵， ∴； 如图6： 下面推导正三角形的面积公式： 正的边长为u，过顶点x作，V为垂足，如图， 在正中，有，， ∵， ∴，， ∴在中，有， ∴正的面积为：， ∴，， ∵ ∴； ∴三个图形中面积关系满足的有3个 故答案为：3； （3）关系：，理由如下： 以a为直径的半圆面积为：， 以b为直径的半圆面积为：， 以c为直径的半圆面积为：， 三角形的面积为：， ∴， 即：， 结合（1）的结论： ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理的性质，从而完成求解． 14．黔东南州某校杨老师组织数学兴趣小组开展探究代数式的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如图，为线段上一动点，分别过、作，，连接、．已知，，．设，则，．则问题转化成求的最小值． （1）我们知道当、、在同一直线上时，的值最小，于是可求得的最小值等于______，此时______． （2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式：的最小值． （3）请你用构图的方法试求的最大值． 【答案】（1）5；；（2）13；（3） 【分析】（1）延长AB到F，使BF=DE=2，连接EF，则在直角△AFE中，AF=3，EF=BD=4，由勾股定理得即可求得AE，利用三角形相似可求得x的值； （2）构造与（1）类似的图形，代数式的最值求法与（1）同； （3）构造与（1）类似的图形，但AB、DE在线段BD所在直线的同侧，最值求法与（1）同． 【详解】（1）延长AB到F，使BF=DE=2，连接EF 则BF∥DE，且BF=DE ∴四边形BFDE是矩形 ∴EF=BD=4 ∵AF=BF+AB=3 在Rt△AFE中，由勾股定理得： ∴的最小值为5 ∵△ABC∽△EDC ∴ ∴CD=2BC=2x ∵BC+CD=4，即x+2x=4 ∴ 故答案为：5； （2）如图1，取线段，分别过、作，，且，，连接， 则为的最小值， 最小值为：． （3）如图2，取线段，在线段所在直线的同侧分别过、作，，且，，连接，并延长交的延长线于点C， 则线段为的最大值，最大值为： 【点睛】本题主要考查了最短路线问题以及勾股定理应用，利用数形结合思想，通过构造直角三角形，把两个代数式的和或差的最值问题转化为最短路线问题是解题的关键． 4. 勾股定理的应用 15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，已知图中A， B， C 三点都是格点， 且，．请仅用无刻度的直尺在给定网格作图． (1)请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标_____； (2)① 如图，若线段与横轴交于点E，则点E坐标为_____； ② 在① 的条件下，在你所画的平面直角坐标系的x轴上找点P，使得是以为底的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1)画图见解析， (2)①；②画图见解析， 【分析】（1）根据，先确定坐标原点，再建立坐标系，从而可得B的坐标； （2）①先求解的解析式，再求解一次函数与x轴的交点坐标即可；②如图，取格点，，连接，交格线于，则由勾股定理的逆定理可得，再利用网格特点确定点，为小正方形一边的中点，连接，交格线于，则由全等三角形的性质可得，而，可得，则，可得，记与格线的交点为，连接交轴于点，由全等三角形的性质可得，，而为的中点，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得P符合题意． 【详解】（1）解：如图，坐标系如下图， （2）①连接，交轴于， 设为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线为， 令，则， 解得：， ∴； ②如图，点即为所求， 设， ∵， ∴，而， ∴由勾股定理可得：， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，复杂作图，掌握基础题想的性质是解本题的关键． 16．如图，中，，，，若动点从点出发，沿着的三条边顺时针走一圈回到点，且速度为每秒，设出发的时间为秒． (1)当为几秒时，平分； (2)问为何值时，为等腰三角形？ (3)另有一点，从点开始，沿着的三条边逆时针走方向运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当______s时，直线把的周长分成相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或 (3)或 【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，再证，得，则，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）如图，在边上时，，当在边上时，有三种情况：①当，此时，运动的路程为，②当，过作斜边的高，③当时，则，证明，从而可得答案； （3）分两种情况：①当M、N没相遇前；②当M、N相遇后；分别由题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ，，， 平分，， ． 在与中， ， ， ． 设，则 在中，， 即，解得：， 当秒时，平分； （2）如图，在边上时，， ∴此时用的时间为，为等腰三角形； 当在边上时，有三种情况： ①当，此时，运动的路程为， ∴用的时间为，故时为等腰三角形； ②当，过作斜边的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴运动的路程为， 的时间为，为等腰三角形； ③当时，则， ，， ， ， ， 的路程为，所以时间为时，为等腰三角形． 或或或时，为等腰三角形 （3）如图，相遇前当点在上，在上， ∴，， ∴， ； 如图，相遇后当点在上，在上， ∴，， ∴， ， 或时，直线把的周长分成相等的两部分． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，角平分线的性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用等知识点，根据题意列出方程是解本题的关键． 17．我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ， ． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 18． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 19．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 20．先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． （一）概念与公式应用错误 1. 混淆直角边与斜边 典型错误：在使用公式 a² + b² = c²时，未明确 c必须是斜边，导致将已知的斜边代入 a或 b的位置计算。 纠正关键：先确定直角和斜边。公式 a² + b² = c²中，a, b必须是两条直角边，c是斜边。若已知斜边和一条直角边求另一边，应使用变式 a² = c² - b²。 1．已知一个直角三角形的两条边长分别为9、12，则第三条边的长为（ ） A．3或15 B．15或17 C．或17 D．或15 【答案】D 【分析】若9和12均为直角边，则第三边为斜边，若其中一边为斜边，则另一条为直角边，由于斜边必为最长边，则只能12为斜边，此时第三边为直角边，然后问题可求解． 【详解】解：当9和12均为直角边时，第三边（斜边）长为：； 当12为斜边时，第三边（直角边）为：； 综上所述，第三条边的长为或15． 2．已知实数x，y满足，则以x，y的值为边长的直角三角形的第三边长为（ ） A．5 B．7 C． D．或5 【答案】D 【分析】先利用非负数的性质求出x，y的值，再分两种情况结合勾股定理计算直角三角形第三边长． 【详解】解：∵，，且 ∴， 解得， 分两种情况讨论： ①若，均为直角边，第三边为斜边 由勾股定理得，第三边长为 ②若为斜边，为直角边，第三边为另一条直角边 由勾股定理得，第三边长为 ∴第三边长为或． 2. 忽视“直角三角形”的前提 典型错误：在非直角三角形中直接使用勾股定理进行计算或证明。 纠正关键：勾股定理只适用于直角三角形。使用前必须确认三角形中有一个角是90°，或者通过逆定理证明它是直角三角形。 3．如图，在等边三角形中，，以点为圆心，适当长度为半径作弧分别交，于点．再以点为圆心，为半径作弧交第一段弧于点，在射线上取点，使得，则的长为（ ） A． B．6 C． D．7 【答案】A 【分析】根据尺规作图的痕迹，可证和均为等边三角形，从而得出，过点作的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，，过点作于点， 由作图可知，，． ∵是等边三角形， ∴，． ∵，， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即是等边三角形， ∴． ∵点在上，点在射线上， ∴． 在中，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 在中， ． 4．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． （二）、 求边长时的分类讨论遗漏（高频易错） 1. 已知两边长，求第三边时未讨论 典型错误：题目描述“直角三角形两边长分别为3和4”，直接认为第三边是5。 纠正关键：题目中“两边”未指明是两条直角边还是一直角边一斜边，必须分类讨论： 情况一：若3和4都是直角边，则斜边 = = 5。 情况二：若4是斜边，3是一条直角边，则另一直角边 = = 。 结论：第三边长可能是5或。 5．已知一个直角三角形的两边长分别为8和15，则第三边长的所有可能值是（ ） A．17 B．289 C． D．17或 【答案】D 【分析】已知直角三角形的两边长，未明确这两边是直角边还是斜边，需分两种情况讨论，再利用勾股定理计算第三边的长度． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形，已知边长和未说明是直角边还是斜边， ∴分两种情况计算： 情况1：当8和15均为直角边时，第三边为斜边， ∵勾股定理为， ∴第三边长． 情况2：当15为斜边，8为直角边时，第三边为直角边， ∵勾股定理变形为， ∴第三边长． 综上，第三边长为或． 6．已知直角三角形的两边的长分别是8和6，则第三边长为________． 【答案】10或/或10 【分析】本题未明确已知两边是否均为直角边，因此需分两种情况讨论，利用勾股定理求解第三边长，根据三角形边长为正舍去负解即可． 【详解】解：设第三边长为 ①当和都是直角边，第三边是斜边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； ②若是斜边，是直角边，则第三边为直角边， 由勾股定理得：，计算得，解得（负值舍去）； 综上，第三边长为或． (三)、 勾股定理逆定理应用错误 1. 使用逆定理时未先找最大边 典型错误：判断三边为6, 8, 10的三角形形状时，随意计算 6² + 8² = 10²虽然结果正确，但步骤不严谨。若三边为8, 10, 6，错误计算 8² + 10² ≠ 6²会得出错误结论。 纠正关键：必须首先确定最长边（设为c），然后验证 a² + b²是否等于 c²。步骤错误会导致判断失效。 7．已知，，满足，则以，，为边的三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据非负数的性质可得，可得，再根据勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴以，，为边的三角形的形状为直角三角形． 8．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题． 已知在平面内两点，，这两点间的距离；当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． (1)若点，则线段的长为________． (2)已知，，试求，两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）根据两点间距离公式计算； （2）根据两点间距离公式计算； （3）根据两点间距离公式分别求出，，，根据勾股定理的逆定理解答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：为等腰直角三角形， 理由如下：，，， ∵， ∴为等腰直角三角形 2. 误用逆定理进行边角证明 典型错误：在证明一个角是直角时，错误地直接使用勾股定理（a² + b² = c²）。 纠正关键：要证明一个角是90°，应使用勾股定理的逆定理，即通过计算三边满足 a² + b² = c²来反推该三角形是直角三角形，从而那个角是直角。勾股定理本身是“由直角得边的关系”。 9．如图，在正方形纸片上有一点，，，．现将剪下，并将它拼到如图所示的位置（点与点重合，点与点重合，点与点重合）． (1)求线段的长 (2)求的度数 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）由（1）可得，根据勾股定理逆定理可得，根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ∴， 又∵， ∴， ∵， 由勾股定理可得，； （2）解：由题意，得， ∴， 又∵，，且， 即， ∴为直角三角形，， ∵，， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，点在的下方，且．猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，根据内错角相等，两直线平行即可说明． 【详解】解：，理由如下： 在中，，， ∴， ， 在中， ， 是直角三角形，且， ， ． (四)、 实际问题与综合应用中的错误 1. 建模错误：构造不出直角三角形 典型错误：在解决“风吹树折”、“梯子滑动”、“水面芦苇”等经典应用题时，无法从文字描述中抽象出正确的直角三角形模型。 纠正关键：仔细画图，标注所有已知长度和未知量。关键是将实际问题中的变化前后关系或不可直接测量的距离转化为直角三角形的边。 11．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于7cm、6cm、2cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？ 【答案】25cm 【分析】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可． 【详解】解：如图，将台阶展开， 由题意得；AC＝6×3+2×3＝24，BC＝7，． 所以由勾股定理得：AB2＝AC2+BC2＝625， 即AB＝25（cm）， 答：蚂蚁爬行的最短线路为25cm． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开——最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键． 12．某公司把一块形状为直角三角形的废地开辟为植物园，如图，米，米，若线段是一条水渠，点在边上，且水渠的造价为元/米，则点在距点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少元？ 【答案】点在距点为米处时，造价最低，最低造价为元． 【分析】容易判断当时，最短．在中，使用勾股定理计算出米，再使用面积法计算出米，同时得到最低造价元，最后在中，使用勾股定理计算出米． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最短， 如图，此时， 在中，（米）， ∵， ∴（米）， 在中，（米）， 最低造价：（元）． 答：点在距点为米处时，造价最低，最低造价为元． 2. 折叠问题中找错对应关系 典型错误：在矩形折叠问题中，不能准确找到折叠前后重合的线段和角，导致设未知数错误或列式错误。 纠正关键：牢记折叠即轴对称，折叠前后对应边相等、对应角相等。通常将未知线段设为一个变量，将其他相关线段用这个变量表示，最后在某个新形成的直角三角形中利用勾股定理列方程。 13．长方形在平面直角坐标系中的位置如图，已知点B的坐标为，将沿直线折叠，点A恰好落在边上的点E处． (1)点A的坐标为______，点C的坐标为______； (2)求和的长． 【答案】(1)； (2)， 【分析】（1）结合长方形的性质和点的坐标，即可解答； （2）由折叠的性质得，，在利用勾股定理求出的长，得到的长，设，在中利用勾股定理建立方程解出的值，得到的长，即可解答． 【详解】（1）解：长方形，点的坐标为， ，， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由折叠的性质得，，， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：，即， 综上所述，，． 14．如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 3. 最短路径问题（蚂蚁爬行）未正确展开 典型错误：求长方体表面两点间最短路径时，选择了错误的展开方式，导致计算的路径并非最短。 纠正关键：将立体图形表面展开，把两点放在同一个平面内。关键有两点：① 正确画出所有可能的展开图；② 连接两点得到线段，这条线段就是理论最短路径；③ 利用勾股定理计算不同展开图中线段的长度，并比较大小，取最小值。圆柱侧面展开为矩形，方法类似。 15．某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 16．课本再现： 方法探究：（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点对应的位置如图所示，利用勾股定理求出蚂蚁爬行的最短路程是___________． 方法应用：（2）如图3，直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止．彩条的最短长度为___________． （3）如图4，一个底面为正六边形的直六棱柱，从顶点A到顶点B沿六棱柱的侧面镶有一圈金属丝，已知此六棱柱的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为___________． （4）如图5，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是___________（取3） 【答案】（1），（2）26（3）（4） 【分析】本题考查立体图形中的最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”确定路径，再结合勾股定理计算长度．需针对每个小问的立体结构特点，分析展开后对应边的长度，进而构建直角三角形求解． 【详解】解：（1）展开后、、C构成直角三角形，两直角边分别为和． 根据勾股定理，最短路径为： （2）底面是正方形，周长为，垂直方向为直四棱柱的高，绕一周高为， 根据勾股定理，， 绕两周彩条最短长度为：； （3）底面是正六边形的直六棱柱，周长为，绕一周垂直长度为； 根据勾股定理，金属丝最短长度为： （4）底面是半圆长加一个半径，，高为6， 根据勾股定理，爬行最短长度为． 4. 计算粗心与格式错误 典型错误：开方运算错误，如√125 = 5√5 误算为25√5；忘记写单位；方程求解错误。 纠正关键：养成检查习惯，确保结果化为最简二次根式或按要求取近似值。解方程每一步都要仔细 17．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2)该草地的面积为平方米 【分析】（1）根据公式求得，然后将、、和的值代入公式求出面积，再根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解； （2）连接，在中用勾股定理得，再由勾股定理逆定理判定为直角三角形，分别算出两三角形面积，相加得四边形面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； （2）解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 18．如图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮中心点到地面的距离为． (1)判断支架与是否垂直，并说明理由； (2)若购物车上篮子的左边缘与点的距离，，且，和都与地面所在直线平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离． 【答案】(1)与垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可证明，即可求解； （2）过点作，交于点，利用勾股定理求出，利用等积法求出，由点到地面的距离为即可求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： 在中， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形． ∴ （2）解：如图所示，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴点到地面的距离为：． 二、 压轴题精讲 一、 核心考点深度解析 三、 易错终结 学科网（北京）股份有限公司 $