期末巅峰冲刺篇核心考点深度解析与压轴题精讲------二次根式 2025-2026学年人教版八年级数学下册

2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------二次根式 （解析版） 一、 二次根式的概念 1. 定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。其中“”称为二次根号，a叫做被开方数。 2. 有意义条件：二次根式有意义的条件是被开方数a≥0。若二次根式在分母位置，则需同时满足分母不为零。 3. 值为零的条件：当被开方数a=0，且分母不为零（若有分母）时，二次根式的值为0。 4. 双重非负性：二次根式具有双重非负性，即 a≥0​ 且 ≥ 0。 二、 二次根式的性质 1. ()² = a (a≥0)：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。此性质也可反向运用，将非负数写成平方形式。 2. = |a|：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。这是最易错的性质，化简时必须根据a的符号去绝对值。 3. 积的算术平方根： = · (a≥0, b≥0)。用于二次根式的乘法运算和化简。 4. 商的算术平方根： = (a≥0, b>0) (a≥0, b>0)。用于二次根式的除法运算和分母有理化。 三、 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 1. 被开方数中不含分母。 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 二次根式的运算结果通常要求化为最简二次根式。 四、 二次根式的运算 1. 乘法运算：· = (a≥0, b≥0)。系数相乘，被开方数相乘，结果化为最简。 2. 除法运算： = (a≥0, b>0)。系数相除，被开方数相除，结果化为最简。 3. 加减运算：先化简，再合并被开方数相同的二次根式。即先将每个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。被开方数不相同的二次根式不能合并。 4. 混合运算：运算顺序与有理数、整式运算相同：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内的。运算中可合理运用运算律简化计算。 5. 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。常用方法是将分子和分母同乘以分母的有理化因式。 五、 二次根式的估值与化简求值 1. 估值：估算一个二次根式在哪两个连续整数之间。方法是找到被开方数相邻的两个完全平方数。例如：估算，因为4<7<9，所以2<<3。 2. 化简求值：综合运用性质和运算法则对代数式进行化简，再代入求值。常用方法有直接代入、整体代入、先化简再代入等。 知识联系：本章内容是对之前学习的算术平方根、整式与分式运算的深化和拓展，也为后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定基础 1. 二次根式的性质 1．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①；；；______； 探究：对于任意非负有理数，______； ②；；；______； 探究：对于任意负有理数，______； 综上，对于任意有理数，______； (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)①，②，， (2) 【分析】（）分别计算各式的值，并归纳出探究结果； 分别计算各式的值，归纳出探究结果，并总结出， ； （）先利用（）式的探究结果化简二次根式，再根据字母、在数轴上的位置及绝对值的意义进行化简，合并后即可得出结果； 此题主要考查了算术平方根的计算以及二次根式的化简，根据已知能准确归纳探究结果并能运用其正确化简是解题的关键． 【详解】（1）解：①，对于任意非负有理数，； 故答案为：，； ②，对于任意负有理数，，对于任意有理数，； 故答案为：，，； （2）观察数轴可知： ，，， 原式 ． 2．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：等式④：； （2）解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； （3）解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 3．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当、时，与的大小关系”． 下面是小华的探究过程： ①具体运算，发现规律：当、时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当、时，． ③证明猜想： 当、时， ∵， ， ． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 _____； (2)当时，的最小值为 _____； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形，不等式的性质： （1）直接由题中规律即可完成； （2）当时，，则可由题中规律完成； （3）原式变形为，由，计算出的最小值，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值2． 故答案为：2； （2）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值． 故答案为：； （3）解： ， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，即时取得最小值． ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) (4)当时，的最大值为，无最小值； (5) 【分析】（1）根据“完美数”的定义即可求解； （2）利用完全平方公式把原式变形，根据“完美数”的定义即可求解； （3）利用配方法和非负数的性质即可求解； （4）利用配方法和非负数的性质即可求解； （5）利用配方法和非负数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵10是“完美数” ∴； （2）解：，理由如下： ∵ 要使S为“完美数”， ∴，即； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 解得， ， 则． （4）解：， ， ， ， 无论x取何值，， 当时，的最大值为，无最小值； （5）解：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵，，， ，，， ，，， ，即的周长为． 5．综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】（1），，，（2）厘米 【分析】本题主要考查了平方数的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题关键， （1）依据题意，将需要比较大小的两式作差，其结构符合完全平方式，利用完全平方式的非负性证明即可； （2）依据题意，做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出两条对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】解：（1）由题意，， ． ； ， ． ； ， ． ； ， ． ． 故答案为：，，，． （2）对角线相互垂直， ． ． ． ． 用来做对角线的竹条至少要厘米． 2.二次根式的乘除 6．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为，且满足，点的坐标为． (1)填空：____，____，的形状为____； (2)点是轴上的动点： ①用含的代数式表示的面积； ②若，求点的坐标； (3)直线是第一、三象限的平分线，上是否存在一点（除外），使得为直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，画图说明这样的点有几个，并求出其中一个点的坐标． 【答案】(1)，，等腰三角形 (2)①；②点的坐标为或； (3)存在，共有三个点，图见解析，点的坐标为． 【分析】（1）利用非负数的性质求得的值，再求得，和的长，可以判断出是等腰三角形； （2）①利用三角形的面积公式列式即可； ②利用三角形的面积公式列式得，解方程即可求解； （3）分当或或时，三种情况讨论，分别画出图形即可；当时，过点作轴，轴，垂足分别为和，证明，推出是等腰直角三角形，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，，， ∴是等腰三角形； （2）解：①∵点是轴上的动点， ∴； ②∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：存在，当或或时，点，点，点都符合题意，如图， 当时， 过点作轴，轴，垂足分别为和， ∵， ∴， ∵直线是第一、三象限的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴点的坐标为． 7．综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 实践操作：如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 解决问题： (1)在图3中，______（填“是”或“不是”）的垂直平分线．______． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 拓展应用． (3)已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 【答案】(1)是，； (2)为等边三角形，证明见解析； (3)或． 【分析】（1）由折叠的性质和勾股定理可求解； （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【详解】（1）解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴，， ∴垂直平分， 由折叠可得：， ∴在中，； 故答案为：是，； （2）解：为等边三角形； 理由如下： ∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：①如图，当点落在上时， 由折叠可知：， ， ∵， ∴点是的中点， ∴点在矩形的对称轴上， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 8．探究与证明 [问题情境] 数学课上，老师让同学们按已知条件画图：已知：一个等腰直角，，，点P是边上的一动点，连接，以线段为腰作等腰直角，． [实践探究] （1）如图，小强画好图形，他发现．请你帮他完成证明． [独立思考] （2）老师给出条件：，，请求出的长．请解决老师提出的问题． [深入探究] （3）小强继续探究，他发现当的面积最小时，线段与线段之间存在一定的位置关系和数量关系，请你写出它们的位置关系和数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），，理由见解析 【分析】（1）先证明，可得，，可得，可得是直角三角形； （2）证明，可得．求解，可得，由（1）知，是直角三角形，可得，可得，从而可得答案； （3）当面积最小时，即最小时，则当时，最小，证明，可得，从而可得答案． 【详解】[实践探究]（1）证明：∵，， ∴． ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴是直角三角形； [独立思考]（2）∵，是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，是直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得； [深入探究]（3），，理由如下： 当面积最小时，即最小时， ∴当时，最小， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，当面积最小时，，且． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，熟练的利用等腰直角三角形的性质解题是关键． 9．计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 10．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)1或 (2)2或 【分析】本题考查最简二次根式合并的性质与二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）根据最简二次根式可合并的性质，得到两个二次根式的被开方数相等，列方程求解后验证被开方数非负得到的值； （2）根据二次根式被开方数必须非负，求出y的值，再代入计算得到的值． 【详解】（1）解：根据题意得，最简二次根式与最简二次根式可以合并， 则， 整理得：， 解得：或， 当时，，，符合题意， 当时，，，符合题意， 因此，的值为1或； （2）解：根据题意得： 解得：， 由（1）知：或， 当、时，， 当、时， 因此，的值为2或． 3.二次根式的加减 11．计算： (1) ； (2)先化简，再求值： ，其中． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 将代入上式得， 原式． 12．观察下列各式及其化简过程： ， ． (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简； (2)化简； (3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系． 【答案】(1)； (2)； (3)，． 【分析】（1）将31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案； （2）先将7分解成，计算第二层根式，再将35分解成，利用完全平方公式即可求出答案； （3）将等式两边同时平方即可求出答案． 【详解】（1） （2） （3） 两边平方可得： ∴， 【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键． 13．【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．    【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）直接利用材料中的定义求解即可； （2）先对分母进行有理化，再求解即可； （3）①先求出的长度，再利用面积法求解； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F再表示出的面积，求出P点到各边的距离即可． 【详解】（1）∵ ∴的有理化因式为； （2）① ； （3） 设中边上的高为h， ∴，即 ∴ ∴点A到边的距离为； ②连接，作，垂足为D，作，垂足为E，作，垂足为F    ∵平分，， ∴ ∵平分，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的有理化运算，解题关键是读懂题意，理解有理化因式的概念并能正确运用它解决实际问题，本题涉及了三角形的面积公式和角平分线的性质，学生应牢记相关概念，并能正确运用等面积法建立方程． 14．已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)44 (3)3 【分析】（1）分子分母同乘以即可； （2）将每一项都进行分母有理化，再计算加减法即可； （3）先将的值进行分母有理化，再利用完全平方公式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：原式 ． （3）解：∵， ∴ ． 15．下面是张老师给出的例题及解答过程．已知a，b是有理数，并且满足：，求a，b的值． 解：∵，∴， 根据有理数部分和无理数部分分别对应相等， 可得，，将代入，解得，∴a的值为，b的值为10． 请根据上述方法解答下列问题： (1)若有理数a，b满足，求a，b的值； (2)已知有理数a，b满足，求的平方根． 【答案】(1) ， (2) 【分析】本题考查实数的运算，平方根，二元一次方程组的解法，解题时注意一个正数的平方根有2个，不要漏解．（1）根据等式两边含无理数的项相等，有理数相等，列出方程或方程组即可求出，的值；（2）先列出方程组求出，的值，再代入求出代数式的值，进一步求出代数式的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， 整理得 ， ∵，是有理数 ， ∴ ，， 解得 ， ∴，； （2）解：∵ 整理得 ∵，是有理数 ， ∴ 解得， 将 代入得 ∴的平方根为． 4.二次根式的应用 16．我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题： (1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 【答案】(1)． (2)或， (3) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、分式的混合运算的应用． （1）根据题干中的方法计算即可； （2）把原式变形为，根据题干的方法计算即可； （3）把原式变形后分两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当时，， 解得，，的最小值为． （2）由可得，， ∵， ∴， ∴， 当且仅当时，成立， 解得或， 即或，的最小值． （3）∵， ∴，即． ∵， ∴，， 又∵为整数， ∴，或者，， 即，或者，， ①当，时， ∵， ∴， ∴． 令， ∴， ∴， 当时，， 解得：，，符合题意，的最小值为； ②当，时， ∵，且， ∴，与矛盾（舍）． 综上所述，的最小值为． 17．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【答案】(1)2，1 (2)的最小值为5， (3)矩形地块面积的最大值为，此时矩形地块的长与宽的值均为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）由 ，可得，根据四边形的面积为，求出最大值，再进一步求解可得矩形地块的长与宽． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 18．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)6，4 (2) (3)100 【分析】本题主要考查二次根式的计算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示得到，设，由此即可求解； （2）根据题意得到，则，此时有最大值，最大值为：，由此即可求解； （3）设，则，结合题意得到，所以此时，，由此即可求解． 【详解】（1）解：函数， 令， ∴， ∴当且仅当，即时，取得最小值，最小值为6， 设， 当且仅当，即时，的最小值是4， 故答案为：6，． （2）解：∵， 又∵， 当且仅当时，有最小值， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴此时有最大值，最大值为：； ∴当时，函数取到最大值，最大值为． （3）解：设，则， ∵， ∴， ∴； 当且仅当时，； 此时，， 故． 19．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，勾股定理求得，利用海伦公式求得，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴周长的一半为 ∴ ∴四边形的面积为 20．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． 【答案】（1）是；（2）或；（3）2或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“角差三角形”的定义即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“角差三角形”，分三种情况，或，，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∵ ∴顶角为的等腰三角形是“角差三角形”； 故答案为：是； （2）∵是“角差三角形”， ，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）∵，，， ∴，， ∵是“角差三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，则，此时点D与点A重合，不符合题意． 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，二次根式，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． （一）、 概念理解错误 1. 忽略“有意义条件” 典型错误：求式子 中x的取值范围时，只写 x>3。 纠正关键：二次根式有意义的条件是被开方数≥0，所以正确答案是 x≥3。当二次根式在分母时，条件更严格，需被开方数>0。 复合式子易错：对于 + ，需同时满足 x-2≥0和 2-x≥0，解得 x=2，此时式子的值才能确定。 1．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据分母有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：， 即且． 2．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 2. 混淆“双重非负性” 典型错误：已知 + |b-2| = 0，求 a, b的值时，只注意了绝对值的非负性，忽略了根号的非负性。 纠正关键：牢记 ≥ 0。几个非负数（如算术平方根、绝对值、平方）的和为0，则每一项都必须为0。上例中，需 a+2=0且 b-2=0。 3．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由方程中的可知，从而，代入原方程化简后平方求解，再计算的值． 【详解】解：∵有意义 ∴，即 ∵ ∴ 代入原方程： 化简得： 两边平方： ∴． ∴． 4．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据“二次根式有意义的条件：”可得的值，继而得到的值，再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 二、 核心性质应用错误（最易错！） 1. 化简 时忘记“先平方，再开方”的本质 典型错误：认为 = a，直接得出 = -5。 正确答案与口诀：= |a|。化简口诀：先平方，再开方，结果非负取绝对值。 当 a≥0时，= a（如 √5² = 5）。 当 a<0时， = -a（如 = 5）。 进阶易错：化简 。正确做法是 = |x-2|，然后根据x的取值范围讨论去绝对值。若已知 x<2，则化简为 2-x。 5．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进行化简，由，在数轴上的位置，，先判断，的符号，然后求解即可． 【详解】解： 由图可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 三、 最简二次根式判断错误 1. “最简”化简不彻底 典型错误：认为 已是最简，或化简为 2 纠正关键：检查两个条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数。√8 = = 2。 分母有理化遗漏：不是最简，需化为 。 7．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 8．若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、二次根式有意义的条件、不等式的性质，先根据二次根式有意义的条件以及得到，再将根号内的表达式分解为平方因子和非平方因子，并处理符号问题，得到结果即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选C． 2. 合并“同类项”时未先化简 典型错误：认为和 不是同类项，或错误地将 合并为 。 纠正关键：先化简，再判断。 = 2，因此 和 是可以合并为3。而被开方数不同的根式（如）绝对不能合并。 9．下列二次根式的运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A，∵与不是同类二次根式，不能直接合并，∴A错误； 选项B，∵，∴B错误； 选项C，∵，∴C正确； 选项D，∵，∴D错误． 10．下列运算中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的化简加减运算分母有理化乘方运算规则，逐一计算各选项即可判断． 【详解】解：选项A： ∵，A错误． 选项B： ∵，B错误． 选项C： ∵2与不是同类二次根式，不能合并，∴，C错误． 选项D： ∵ ∴，D正确． 四、 运算错误 1. 运算顺序与法则混淆 加减运算：误以为系数和根号部分可以分别相加。如 + 3≠ 5√5，它们不能合并。 乘除运算：混淆公式。 + ≠ ； - ≠ 。但 ·= ，= (条件满足时)。 混合运算：不遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号”的顺序。 11．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 12．计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 2. 分母有理化出错 单项分母： = ，容易忘记给分子也乘以 √3而写成 1/3。 多项式分母（易错重点）：对，有理化因式是 ()，运算后分母是 a - b。常见错误是分母算成 ()² + ()²或 a + b。 13．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 五、 化简求值与估值错误 1. 代入求值时忽略隐含条件 典型错误：已知 x = - 2，求式子 的值时，直接代入导致分母为0。 纠正关键：先化简原式，再代入。上例中， = ，化简为 后再计算。始终检查代入的值是否使原式及中间步骤有意义（分母不为零，根号内非负）。 15．已知 ，，求的值． 【答案】 【分析】先根据，，可判断，，再将原式化简，然后将已知条件整体代入求值即可． 本题主要考查了二次根式化简及二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 【详解】，， ，， ∴原式= ． 原式． 16．已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 2. 估值时找错“邻居” 典型错误：估算 √15的范围，错误地认为 3²=9, 4²=16，所以 √15在3和4之间（虽然结果对，但过程错），因为 15更接近 16。 纠正关键：找到被开方数两侧最近的完全平方数。√15，因为 9<15<16，所以 3<√15<4。要估算更精确的值，需看15更靠近9还是16。 17．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的结果即可得到答案； （2）可求出，，根据即可得到结论． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， 又 ， ∴． 18．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)阴影部分的长为，宽为，面积为6 (3)不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片．理由见解析 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方，结合正方形的面积即可计算正方形纸片A的边长，正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先找出图①中阴影部分的长和宽，再结合面积公式列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，裁出的正方形纸片A的边长为； 裁出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴周长为. （2）解：阴影部分的长正方形纸片A的边长， 即阴影部分的长为， 宽为 ∴阴影部分的宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能裁出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在长方形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学下期末巅峰冲刺 核心考点深度解析与压轴题精讲------二次根式 一、 二次根式的概念 1. 定义：形如（a≥0）的式子叫做二次根式。其中“”称为二次根号，a叫做被开方数。 2. 有意义条件：二次根式有意义的条件是被开方数a≥0。若二次根式在分母位置，则需同时满足分母不为零。 3. 值为零的条件：当被开方数a=0，且分母不为零（若有分母）时，二次根式的值为0。 4. 双重非负性：二次根式具有双重非负性，即 a≥0​ 且 ≥ 0。 二、 二次根式的性质 1. ()² = a (a≥0)：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。此性质也可反向运用，将非负数写成平方形式。 2. = |a|：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。这是最易错的性质，化简时必须根据a的符号去绝对值。 3. 积的算术平方根： = · (a≥0, b≥0)。用于二次根式的乘法运算和化简。 4. 商的算术平方根： = (a≥0, b>0) (a≥0, b>0)。用于二次根式的除法运算和分母有理化。 三、 最简二次根式 满足以下两个条件的二次根式称为最简二次根式： 1. 被开方数中不含分母。 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 二次根式的运算结果通常要求化为最简二次根式。 四、 二次根式的运算 1. 乘法运算：· = (a≥0, b≥0)。系数相乘，被开方数相乘，结果化为最简。 2. 除法运算： = (a≥0, b>0)。系数相除，被开方数相除，结果化为最简。 3. 加减运算：先化简，再合并被开方数相同的二次根式。即先将每个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变。被开方数不相同的二次根式不能合并。 4. 混合运算：运算顺序与有理数、整式运算相同：先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内的。运算中可合理运用运算律简化计算。 5. 分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。常用方法是将分子和分母同乘以分母的有理化因式。 五、 二次根式的估值与化简求值 1. 估值：估算一个二次根式在哪两个连续整数之间。方法是找到被开方数相邻的两个完全平方数。例如：估算，因为4<7<9，所以2<<3。 2. 化简求值：综合运用性质和运算法则对代数式进行化简，再代入求值。常用方法有直接代入、整体代入、先化简再代入等。 知识联系：本章内容是对之前学习的算术平方根、整式与分式运算的深化和拓展，也为后续学习勾股定理、一元二次方程等知识奠定基础 1. 二次根式的性质 1．探究并解决问题． (1)通过计算下列各式的值探究问题． ①；；；______； 探究：对于任意非负有理数，______； ②；；；______； 探究：对于任意负有理数，______； 综上，对于任意有理数，______； (2)应用（1）所得结论解决问题：有理数、在数轴上的位置如图所示，化简：． 2．嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… (1)【特例探究】将题目中的横线处补充完整； (2)【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； (3)【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 3．【阅读材料】小华根据学习“二次根式”及“乘法公式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法，探究“当、时，与的大小关系”． 下面是小华的探究过程： ①具体运算，发现规律：当、时，特例1：若，则；特例2：若，则；特例3：若，则． ②观察、归纳，得出猜想：当、时，． ③证明猜想： 当、时， ∵， ， ． 当且仅当时，． 请你利用小华发现的规律解决以下问题： (1)当时，的最小值为 _____； (2)当时，的最小值为 _____； (3)当时，求的最小值． 4．我们定义：一个整数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”．理由：因为．所以5是“完美数”． 【解决问题】 (1)已知10是“完美数”，请将它写成（、是整数）的形式______； (2)已知（、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 【探究问题】 (3)已知，求的值； (4)已知实数、满足，求的最值． 【实际应用】 (5)已知的三边长、、满足，求的周长． 5．综合与实践 （1）计算：用“，，”填空． ________；________；________． 猜想：（，）． （2）利用上述结论解决下面问题： 如图，某同学准备做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝，请你计算用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 2.二次根式的乘除 6．综合运用：如图，在平面直角坐标系中，点坐标分别为，且满足，点的坐标为． (1)填空：____，____，的形状为____； (2)点是轴上的动点： ①用含的代数式表示的面积； ②若，求点的坐标； (3)直线是第一、三象限的平分线，上是否存在一点（除外），使得为直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，画图说明这样的点有几个，并求出其中一个点的坐标． 7．综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识． 实践操作：如图1，在矩形纸片中，． 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 解决问题： (1)在图3中，______（填“是”或“不是”）的垂直平分线．______． (2)在图3中，连接，试判断的形状，并给予证明． 拓展应用． (3)已知，在矩形中，，，点P在边上，将沿着折叠，若点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，则______． 8．探究与证明 [问题情境] 数学课上，老师让同学们按已知条件画图：已知：一个等腰直角，，，点P是边上的一动点，连接，以线段为腰作等腰直角，． [实践探究] （1）如图，小强画好图形，他发现．请你帮他完成证明． [独立思考] （2）老师给出条件：，，请求出的长．请解决老师提出的问题． [深入探究] （3）小强继续探究，他发现当的面积最小时，线段与线段之间存在一定的位置关系和数量关系，请你写出它们的位置关系和数量关系，并说明理由． 9．计算：（）． 10．已知最简二次根式与最简二次根式可以合并． (1)求的值． (2)若，求的值． 3.二次根式的加减 11．计算： (1) ； (2)先化简，再求值： ，其中． 12．观察下列各式及其化简过程： ， ． (1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简； (2)化简； (3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系． 13．【阅读材料】 像，，，…， 两个含有二次模式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：与，与，与，…，等都是互为有理化因式，进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 【解决问题】 (1)的有理化因式为______； (2)化简：； (3)①如图1是的正方形网格，每个小正方形边长都为1，三个顶点都在格点上，则点A到边的距离为______； ②如图2，中，与的角平分线相交于点P，若的周长为，面积为3，求点P到边的距离．    14．已知，将其分母有理化． 小明同学是这样解答的： 请你参考小明的化简方法，解决如下问题： (1)直接写答案：________ (2)计算：； (3)若，求的值． 15．下面是张老师给出的例题及解答过程．已知a，b是有理数，并且满足：，求a，b的值． 解：∵，∴， 根据有理数部分和无理数部分分别对应相等， 可得，，将代入，解得，∴a的值为，b的值为10． 请根据上述方法解答下列问题： (1)若有理数a，b满足，求a，b的值； (2)已知有理数a，b满足，求的平方根． 4.二次根式的应用 16．我们知道，平方具有非负性，所以可以得到如下结论： ∵，∴，∴． 对于任意实数，，不等式均成立，当且仅当时等号成立，此时取得最小值．特别地，若，，由，可得，当且仅当时，即当时等号成立，此时取得最小值． 请利用上述结论，解决下列问题： (1)当时，代数式的最小值为________； (2)已知代数式，当时，的最小值等于，求实数，的值； (3)已知实数，及正整数同时满足下列两个条件：①，②，若为整数，求代数式的最小值． 17．阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 18．阅读材料：用配方法求最值． 已知，为非负实数， ∵ ∴，当且仅当“”时，等号成立． 例：已知，求函数的最小值． 解∶令，则有， 得 当且仅当，即时，函数取到最小值，最小值为4． 根据以上信息回答下列问题． (1)已知，则函数取到最小值，最小值为______，已知，则的最小值是______； (2)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (3)如图，四边形的对角线，交于点O，，，求四边形的面积的最小值． 19．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即． 我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”． 请你利用公式解答下列问题． (1)在中，已知，求的面积； (2)计算（1）中的边上的高． (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积. 20．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“角差三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “角差三角形”（填“是”或“不是”）； 【解决问题】 （2）已知是“角差三角形”，其中，，求的度数； 【知识迁移】 （3）如图，在中，，，，点是边上一动点，且不与点，点重合，若是“角差三角形”，直接写出的长度． （一）、 概念理解错误 1. 忽略“有意义条件” 典型错误：求式子 中x的取值范围时，只写 x>3。 纠正关键：二次根式有意义的条件是被开方数≥0，所以正确答案是 x≥3。当二次根式在分母时，条件更严格，需被开方数>0。 复合式子易错：对于 + ，需同时满足 x-2≥0和 2-x≥0，解得 x=2，此时式子的值才能确定。 1．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 2. 混淆“双重非负性” 典型错误：已知 + |b-2| = 0，求 a, b的值时，只注意了绝对值的非负性，忽略了根号的非负性。 纠正关键：牢记 ≥ 0。几个非负数（如算术平方根、绝对值、平方）的和为0，则每一项都必须为0。上例中，需 a+2=0且 b-2=0。 3．若a满足则的值为（    ） A．0 B．1 C．2025 D．2026 4．已知． (1)求的值； (2)求的值． 二、 核心性质应用错误（最易错！） 1. 化简 时忘记“先平方，再开方”的本质 典型错误：认为 = a，直接得出 = -5。 正确答案与口诀：= |a|。化简口诀：先平方，再开方，结果非负取绝对值。 当 a≥0时，= a（如 √5² = 5）。 当 a<0时， = -a（如 = 5）。 进阶易错：化简 。正确做法是 = |x-2|，然后根据x的取值范围讨论去绝对值。若已知 x<2，则化简为 2-x。 5．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 6．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 三、 最简二次根式判断错误 1. “最简”化简不彻底 典型错误：认为 已是最简，或化简为 2 纠正关键：检查两个条件：① 被开方数不含分母；② 被开方数不含能开得尽方的因数。√8 = = 2。 分母有理化遗漏：不是最简，需化为 。 7．下列是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．若，把化成最简二次根式为（   ）． A． B． C． D． 2. 合并“同类项”时未先化简 典型错误：认为和 不是同类项，或错误地将 合并为 。 纠正关键：先化简，再判断。 = 2，因此 和 是可以合并为3。而被开方数不同的根式（如）绝对不能合并。 9．下列二次根式的运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列运算中，结果正确的是（     ） A． B． C． D． 四、 运算错误 1. 运算顺序与法则混淆 加减运算：误以为系数和根号部分可以分别相加。如 + 3≠ 5√5，它们不能合并。 乘除运算：混淆公式。 + ≠ ； - ≠ 。但 ·= ，= (条件满足时)。 混合运算：不遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号”的顺序。 11．计算：． 12．计算： 2. 分母有理化出错 单项分母： = ，容易忘记给分子也乘以 √3而写成 1/3。 多项式分母（易错重点）：对，有理化因式是 ()，运算后分母是 a - b。常见错误是分母算成 ()² + ()²或 a + b。 13．计算：． 14．计算：． 五、 化简求值与估值错误 1. 代入求值时忽略隐含条件 典型错误：已知 x = - 2，求式子 的值时，直接代入导致分母为0。 纠正关键：先化简原式，再代入。上例中， = ，化简为 后再计算。始终检查代入的值是否使原式及中间步骤有意义（分母不为零，根号内非负）。 15．已知 ，，求的值． 16．已知，为实数，且满足，求的值． 2. 估值时找错“邻居” 典型错误：估算 √15的范围，错误地认为 3²=9, 4²=16，所以 √15在3和4之间（虽然结果对，但过程错），因为 15更接近 16。 纠正关键：找到被开方数两侧最近的完全平方数。√15，因为 9<15<16，所以 3<√15<4。要估算更精确的值，需看15更靠近9还是16。 17．已知， 若，则；若，则；若，则 若，则；若，则；若，则． 若，则；若，则；若，则 (1)试比较：与大小关系 (2)试比较：与大小关系 18．如图，现有两张同样大小的长方形纸片，小星采用如图1所示的方式，在其中一张长方形纸片上裁出两张面积分别为和的正方形纸片 A，B． (1)求原长方形纸片的周长． (2)写出图1中阴影部分图形(长方形)的长和宽，并求出它的面积． (3)小红能采用如图2所示的方式，在另一张长方形纸片上裁出两张面积均为的正方形纸片吗？请说明理由． 二、 压轴题精讲 三、 易错终结 一、 核心考点深度解析 学科网（北京）股份有限公司 $