专题1.3 有理数章节复习【导图+知识卡片+知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题】-2026-2027学年人教版数学七年级上册同步讲义

该初中数学有理数章节复习讲义通过思维导图和知识梳理表格系统构建知识体系，涵盖有理数分类、数轴、相反数、绝对值及大小比较五大核心知识点，明确“0”的特殊性等重难点，呈现概念间的内在逻辑联系。 讲义亮点在于16个题型的系统讲练，如数轴上点的平移（动点问题）结合典例与变式训练，培养抽象能力和几何直观。难度分层练与中考真题演练适配不同学生，助力自主复习，为教师提供精准教学支持。

专题1.3 有理数(章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的分类 2 知识点二 数轴 3 知识点三 相反数 3 知识点四 绝对值 3 知识点五 有理数的大小比较 3 题型讲练 4 题型一 正负数的实际应用 4 题型二 有理数的分类 4 题型三 带“非”字的有理数 5 题型四 用数轴上的点表示有理数 6 题型五 利用数轴比较有理数的大小 7 题型六 数轴上两点之间的距离 8 题型七 数轴上点的平移(动点问题) 9 题型八 数轴上找原点 11 题型九 数轴上整点覆盖问题 12 题型十 数轴上的规律探究 13 题型十一 化简多重符号 14 题型十二 相反数的应用 15 题型十三 绝对值的几何意义 16 题型十四 求一个数的绝对值 16 题型十五 绝对值的其他应用 17 题型十六 有理数大小比较的实际应用 18 中考真题演练 19 难度分层训练 25 【基础夯实】 25 【培优拔高】 28 知识点一 有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点二 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点三 相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点四 绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点五 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 题型一 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）史料证明：我国是世界上最早使用负数的国家．公元3世纪，我国数学家刘徽对《九章算术》进行了创造性的注释：在运算中用红色的算筹表示正数，用黑色的算筹表示负数；如果遇同色算筹，则用正放表示正数，在正放的算筹上斜放一根表示负数，现今，如果我们将向南走10米，记作米，那么向北走6米，记作（    ） A．米 B．6米 C．米 D．2米 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． 利用正负数表示具有相反意义的量，明确规定其中一个方向为正，则相反方向为负即可求解． 【详解】解：规定向南走为正方向，向南走10米记作米， 则向北走是与向南相反的方向，应记作负数， 因此向北走6米记作米， 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如果吊篮升高5米记作米，那么米表示吊篮_______． 【答案】下降20米 【分析】本题主要考查正负数的意义．正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．据此直接得出结论即可． 【详解】解：吊篮升高5米记作米，那么米表示吊篮下降20米； 故答案为：下降20米． 题型二 有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数中，负有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】负有理数指小于0的有理数，包括负整数和负分数. 【详解】解：∵在中，负有理数为，，，，共4个. 【变式训练】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 【答案】(1)8.5，0.3，12， (2)0，12， (3)，， 【分析】根据正数、整数、负分数的定义，对给出的数逐一判断，归类填入对应集合即可，大于0的数为正数，整数包含正整数、0、负整数，小于0的分数为负分数，有限小数属于分数. 【详解】（1）解：大于0的数是正数，因此正数集合为{8.5，0.3，12，，…}； （2）解：整数包含正整数、0、负整数，因此整数集合为{0，12，，…}； （3）解：小于0的分数是负分数，因此负分数集合为{，，，…}． 题型三 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·四川凉山·阶段检测）在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【答案】 3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【详解】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，1，，6,0,，，，，，2013，，． 正数集合：{ 　 　 …}； 非负整数集合：{ 　 　 …}． 【答案】1，6，，，2013，；1，6，0，2013 【分析】本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握正数、非负整数的定义． 根据正数、非负整数的定义解答即可． 【详解】解：正数集合：{1，6，，，2013，}； 非负整数集合：{1，6，0，2013} 题型四 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【答案】数轴见解析； 【分析】本题考查数轴、有理数大小比较，解题关键在于运用数轴进行有理数的大小比较．先画出数轴并在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点从左到右用“”号将这些数连接起来． 【详解】解：数轴如图所示即为所求： 按从小到大顺序排列：． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上被爱心遮盖的数可能是（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查数轴上数的位置与大小关系，关键是先确定被遮盖数的取值范围：观察数轴可知，被爱心遮盖的数位于和之间，再逐一判断选项是否在该范围内即可． 【详解】解：观察数轴可得，被爱心遮盖的数满足． ，选项A不符合范围； ，选项B不符合范围； ，选项C符合范围； ，选项D不符合范围． 故选：C． 题型五 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上数的特点解题即可． 【详解】解：由题意可知，与互为相反数，在数轴上关于原点对称；和互为相反数，在数轴上关于原点对称； 则和的位置如图， ∴． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【分析】本题主要考查的是数轴以及有理数大小比较．数轴上的有理数的大小关系为：数轴上原点左边的数都小于0，右边的数都大于0，右边的数总大于左边的数．根据数轴以及有理数大小比较的规律即可求解，即数轴上的有理数的大小关系为：数轴上右边的数总大于左边的数． 【详解】解：因为数轴上右边表示的数总比左边的数大，故． 故答案为：<． 题型六 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的折叠问题与两点间距离的计算，解题的关键是利用折叠的对称性，结合的条件分情况讨论点的位置． 【详解】解：设点表示的数为，点表示的数为，由折叠的对称性可知，点与点关于点对称， 所以，即． 已知点表示的数是，且， 则，即． 分两种情况： 情况一：，解得． 情况二：，解得． 因此，点表示的数为或． 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·期末）数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离，掌握数轴上两点之间的距离等于这两点所表示的数之差的绝对值是解题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：表示3的点与表示的点之间的距离为． 故答案为8． 题型七 数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 【变式训练】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 题型八 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上点C与点B的距离为5个单位长度，那么点C表示的数是________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【答案】(1)3 (2)或8 (3)图见解析， 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点表示即可得原点位置，进一步得到点所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解； （3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）解：如图所示． ∴点B所表示的数是3． 故答案为：3． （2）当点C在点B左边时， 点C表示的数是； 当点C在点B右边时， 点C表示的数是． 故答案为：或8． （3），，， 在数轴上表示，如图所示． 按从小到大顺序为：． 【变式训练】（25-26七年级上·河南许昌·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，0，，，6 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，用数轴比较有理数大小，准确分析判断是解题的关键． （1）根据点和点表示的数得出原点的位置； （2）在数轴上表示所给的数，比大小即可； 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是5， 点在原点左侧个单位处，点在原点右侧个单位处， 即可得到原点的位置，如图所示： （2）解：将已知数字表示在数轴上，如图所示： ． 题型九 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的点对应的数的规律．结合数轴找到与之间的整数，然后相加即可． 【详解】解：根据图中数值，确定墨迹盖住的数在与之间， ∴盖住的整数是， ∴所盖住的整数的和为： ． 故选：C． 【变式训练】（2025七年级上·广东广州·专题练习）若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴的整数点覆盖问题，数形结合是解题的关键．根据题意，可知a与关于原点对称，那么除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个，从而推出a的取值范围． 【详解】解：数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，a与关于原点对称， ∴除了原点，还有2020个整数点，0的左边有1010个，0的右边有1010个， ∵不包含a与， ∴或， 故答案为：或． 题型十 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了图形类规律探究，发现循环规律，并正确计算循环后处于第几组的第几个数是解题的关键． 每4个数为一组，分别与3、2、1、0重合，计算，看余数是几，即可求解． 【详解】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，分别与3、2、1、0重合， ∵， ∴数轴上表示的点与圆周上表示的数字0重合． 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，能根据质点的跳动方式得出每跳一次，质点与原点的距离是上一次距原点距离的一半是解题的关键． 分析每次跳动后质点与原点的距离，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，点M所对应的数到原点的距离是8个单位， 根据质点的跳动方式， 则第一次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第二次跳动后，该质点到原点的距离是：； 第三次跳动后，该质点到原点的距离是：； … ∴第2025次跳动后，该质点到原点的距离是：． 故答案为：． 题型十一 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期末）__________． 【答案】20 【分析】此题考查了化简多重符号，根据相反数的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：20． 【变式训练】（25-26七年级上·山东聊城·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相反数的定义，关键是理解“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义求出的相反数，再逐一分析选项排除错误答案． 【详解】解：的相反数为，B选项正确； A选项与原数相同，不是相反数，不符合题意； C选项，不等于，不符合题意； D选项，不等于，不符合题意； 故选：B． 题型十二 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）若与互为相反数，则（    ） A． B．6 C．2017 D．2029 【答案】A 【分析】此题考查相反数的性质，利用相反数的性质，，代入代数式计算. 【详解】解：∵ a 与 b 互为相反数， ∴， ∴， 故选 A. 【变式训练】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知与互为相反数，那么______． 【答案】2 【分析】本题考查相反数，等式的性质，根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，由此列出方程并求解即可. 【详解】解：因为 与 互为相反数， 所以 ， 即 ， 整理得 ， 因此 ； 故答案为：2. 题型十三 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、用数轴表示有理数等知识点，确定点B表示的数是解题的关键． 由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，即可得出点B所表示的数为，即可求出点A表示的数． 【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知，， 又∵由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，， ∴点B所表示的数为， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·江西九江·期末）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的定义，解题的关键是掌握一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 求出各数的绝对值，比较大小即可． 【详解】解：，且， 的绝对值最大，距离原点最远， 故选：D． 题型十四 求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）有理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的定义，根据负数的绝对值为其相反数求解即可． 【详解】解：∵， 有理数的绝对值是． 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·广东东莞·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的定义，依据绝对值的代数意义进行计算． 【详解】解：根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数，则 故答案为：． 题型十五 绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·北京顺义·期末）某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 【答案】4 【分析】本题主要考查了绝对值的实际应用，深刻理解绝对值的实际含义是解题的关键．分别计算每个乒乓球的直径与标准直径的差的绝对值，即绝对值最小的最接近标准直径，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，，，，， 故合格的有编号3和编号4的乒乓球， 又， 编号4的乒乓球的直径最接近标准直径． 故答案为：4． 【变式训练】（25-26七年级上·山西临汾·期中）一批零食，标准质量为每袋100g．现随机从这批零食中抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，则其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的实际意义，解题关键是通过绝对值判断与标准质量的偏差程度． 通过计算每个数值与标准质量偏差的绝对值，绝对值最小的最接近标准质量． 【详解】∵，且， ∴， ∴最接近标准质量的是． 故选C． 题型十六 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【答案】液态氧 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握以上知识点是解题的关键 根据有理数的大小比较方法解题即可． 【详解】解：由题意知，， ∴液态氧的沸点最低． 故答案为：液态氧． 【变式训练】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）衡量手机信号强弱的标准称为．信号的单位是，范围是到，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 信号强度数值越大表示信号越强，选项均为负数，故数值越大（越接近零）的信号最强，即可解答． 【详解】解：∵信号强度数值越大表示信号越强，且， ∴信号最强的是． 故选：D． 【真题演练1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，在数轴上找原点，绝对值的几何意义，不等式的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 根据题意设相邻两点之前的距离为，分别分析原点在不同位置时、、的取值范围，再结合来判断各个选项即可求解． 【详解】解：设， 若原点在上，则，，， 与不符， 原点不可能在上，故C、D选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，与不符， 原点不可能在上，且较接近点，故A选项不符合题意； 若原点在上，且较接近点，则，，， ，可能与相符， 原点可能在上，且较接近点，故B选项符合题意； 故选：B 【真题演练2】（2025·河北衡水·中考真题）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查绝对值和平方非负性，线段的和差．先根据绝对值和平方的非负性求出a，b的值，即可判断①．根据线段的中点的定义判断②．设，根据线段的和差表示出，，即可判断③．根据线段的位置分情况讨论即可判断④． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，故①正确． ∵，， ∴， ∴当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点，故②正确． 当点B与点A重合时， ∵，， ∴ 设， ∴， ， ∴， ， ∴，故③正确． ∵M为线段的中点，N为线段的中点， ∴， 分为五种情况： 第一种情况：当在左侧时，如图： ； 第二种情况：当、在两侧时，如图： ； 第三种情况：当、在线段上时，如图： ； 第四种情况：当B、C在点A两侧时，如图： ； 第五种情况：当和都在右边时，如图： ， ∴在线段运动过程中，若M为线段的中点，N为线段的中点，则线段的长度不变，即④正确． 综上所述，结论正确的是①②③④． 故选：D． 【真题演练3】（2025·重庆·中考真题）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼___________米处，且路程之和最小为__________米． 【答案】 【分析】本题考查比较线段长短的知识，难度中等，与实际结合较紧，解答本题的关键是设出位置后运用分段讨论的思想进行解答．假设车站距离号楼米，然后运用绝对值表示出总共的距离，继而分段讨论的取值去掉绝对值，根据数的大小即可得出答案． 【详解】解：设车站距号楼米，则总路程， 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 当时，，最小值为； 比较各区间最小值，当时，最小为； 故车站应建在距号楼米处，路程之和最小为米． 故答案为：，． 【真题演练4】（2025·江苏无锡·中考真题）同一数轴上有点分别表示数，且满足等式，点表示的数是多项式的二次项系数，点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为______． 【答案】 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出和的值，再根据多项式的系数确定点表示的数，进而表示运动后点表示的数，计算和的距离，代入表达式并整理，令的系数为0求出，最后得到定值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵多项式的二次项系数为2， ∴点B表示2， ∵点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒， ∴运动秒后，点表示，点表示，点表示， ∴，， ∴， ∵使得的值不随时间的变化而改变， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 【真题演练5】（2025·四川凉山·中考真题）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【答案】(1)10，18； (2)的值不会随着时间t的变化而改变，为； (3)当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位 【分析】本题综合考查了列代数式，整式的加减，非负数的性质，数轴，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可求得b、c； （2）根据数轴表示数的意义，用含有t的代数式表示，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （3）设点P运动的路程为y，根据题意得：当时，，此时点P表示的数为，当时，，此时点P表示的数为，设点Q运动的路程为，根据题意得：当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，当时，，此时点Q表示的数为，分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：已知， ， ， ． 故答案为：10，18； （2）解：由（1）可知，， 设运动时间为t秒， 则， ， ∴的值不会随着时间t的变化而改变，为； （3）解：由（1）可知，，，， ， 设点P运动的路程为y， 当时，，此时点P表示的数为， 当时，，此时点P表示的数为， 设点Q运动的路程为， 当时，，此时点Q表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位， 即， 情况1：，，， 则，即， ∴或， 解得，（舍去）； 情况2：，，， 则，即， 解得或， 即（符合），（舍去）； 情况3：，，， 则，即， 解得或， 即（舍去），（舍去）； 情况4：，，， 则，即， ∴或，即（舍去），（符合）， 综上，当，15时，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查数轴的概念，解题的关键是掌握数轴的三要素．由数轴的概念即可求解． 【详解】解：∵和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐， ∴数轴上1个单位长度表示， ∴原点对应的刻度， ∴数轴上与刻度线对齐的点表示的数是， 故选：D． 2．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）小明做了以下7道题，请你帮他检查一下，他一共做对了几道题（   ） ①单项式的系数是5；②是二次三项式；③的次数是4；④是单项式，5不是单项式；⑤若，则为正数；⑥近似数万精确到千位；⑦12345精确到百位是近似数 A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 【答案】B 【分析】本题考查了整式的相关定义，求近似数的精确度，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 利用单项式、多项式、近似数的相关定义逐个判断得结论． 【详解】解：①单项式的系数是，故①做错了； ②是二次三项式，正确，故②做对了； ③的次数是6，故③做错了； ④m是单项式，5也是单项式，故④做错了； ⑤，则为非负数，故⑤做错了； ⑥近似数万精确到千位，正确，故⑥做对了； ⑦12345精确到百位是近似数，正确，故⑦做对了； ∴正确的有②、⑥、⑦，共3道． 故选B． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知有理数，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若．则； ④若，则． 其中一定正确的结论是___________． 【答案】④ 【分析】本题考查有理数的运算和性质，包括绝对值、有理数的大小比较等，需逐一分析每个说法的正确性，然后问题可求解． 【详解】解：①若，则，故，故①错误； ②若，则与异号或其中一个为0，但当或时，，不满足，故②错误； ③取，，则，，此时但，故不成立，故③错误； ④若且，则和均为负或负正或，综上可知：，故④正确． 故答案为④． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知两个有理数、，下列结论：①若与互为相反数，则；②若与互为倒数，则；③若，则；④若，则；⑤若，，，这四个数中的三个数相同，则，．其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查有理数的乘法、相反数、绝对值及倒数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据有理数的乘法、相反数、绝对值及倒数的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：①与互为相反数， ， ，故①正确； ②若与互为倒数， 则， ， ，故②错误； ③若，则，故③正确； ④由得， 即， 因为且， 所以， 又因为，，所以，故④正确； ⑤， 与不可能相同， 若四个数中有三个相同，则必有，可得 或， 当时，， 此时， 与 均不可能为0，即当 时，不存在有三个相同的情况，舍去， 当时， ， 与均不可能与相等， 即不可以； 当时，， 若， 则，； 若，则，，故⑤错误． 故答案为：①③④． 5．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知下列各数：，0，，． (1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内： 分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}． (2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】(1)，；，0； (2)见解析， 【分析】此题考查有理数的分类、有理数的大小比较和数轴，熟知数轴上右边的总比左边的大是解题关键． （1）根据有理数的分类解答即可； （2）先在数轴上表示出各数，再根据数轴的特点用“”连接起来即可． 【详解】（1）解：由可知： 分数集合： …；非负整数集合： ，0… 故答案为：，；，0； （2）解：如图所示： 用“”把它们连接起来为：． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查利用绝对值的性质进行化简，分数有意义的条件，数轴上点之间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．若，则， 故①错误；三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，应该有三种情况，故②错误；若代数式的值与无关，则，故③错误；由乘积是常数推出取值范围，进而求出最小值为，故④正确． 【详解】解：若，则， 故①错误； 三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等， 则或或， 或或，故②错误； 若代数式的值与无关， 则，故③错误； ∵， ∴， ∴，，， ∴当时：有最小值为，故④正确． 故选： A． 2．（25-26七年级上·重庆·期中）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，1，2进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对，0，2025进行“运算”结果是0； ②对进行“运算”的结果是10，则或3； ③在这一列数中插入一个数，然后进行“运算”，当其结果最小时，对应的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，绝对值的几何意义，整式的加减运算等，掌握绝对值的几何意义是解题的关键． ①按照定义运算即可判断；②根据Q运算结果为10得到方程，然后解方程即可判断；③根据在数轴上的意义，分析得出q应位于原数列的中间两个数之间时运算结果最小，即可判断． 【详解】解：①，故①错误； ②∵， ∴ ，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，无解； ∴ 或 3，故②正确； ③该数列共有项，插入q后共2023项， ∵在数轴上表示数对应的点之间的距离， ∴插入q后，要使Q运算总和最小，则q应位于原数列的中间两个数之间， 其中间两项为第1011项和第1012项，第1011项为，第1012项为， ∴对应的取值范围是，故③正确； 综上，正确个数为2个， 故选：C． 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法： ①若，则点B是线段的中点； ②若无解，则； ③若，且，则方程的解是； ④若的解是，的解是； ⑤若m，n，p满足，则的最大值为4． 其中，正确的有______（填写序号） 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查线段的中点，方程的解，一元一次方程的解，绝对值的性质，掌握相关知识是解题的关键． 根据线段的中点的定义判断①；根据一元一次方程无解的条件判断②；将变形为，代入方程，求解判断③；将方程可变形为，根据的解是，即可得到，求出y的值即可判断④；根据绝对值的性质求出m，p，n的取值范围，进而得到的最大值，即可判断⑤． 【详解】解：①当点B不在线段上时，不能得到点B是线段的中点，故①的说法错误； ②方程无解时，且，故②的说法错误； ③由得， 代入方程，得， ∵， ∴， ∴， ∴，故③的说法正确； ④方程可变形为， ∵的解是， ∴方程中， ∴．故④的说法正确； ⑤对于， 当时，， 当时，， 当时，， ∴． 对于， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∴ ∵ 又，，， ∴，，， ∴，，， ∴当，，时，取得最大值，最大值为．故⑤的说法正确． 综上所述，说法正确的是③④⑤． 故答案为：③④⑤． 4．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 【答案】157 【分析】本题考查了数字类规律型探究，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．观察根据排列的规律得到第一行为数轴上左边的第一个数1，第二行为1右边的第6个数13，第三行为13右边的第15个数43，第四行为43右边第24个数91，…，由此规律可得出第五行的数． 【详解】解：根据排列的规律得到： 第一行为数轴上左边的第一个数1， 第二行为1向右数第个数，为第个奇数，即， 第三行为13向右数第个数，为第个奇数，即， 第四行为43向右数第个数，为第个奇数，即， 第五行为91向右数第个数，为第个奇数，即． 故答案为：157． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． (1)填空：________，________，________； (2)如图，若点A、B、C分别同时以每秒3个单位长度、2个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为． ①t为何值时，？ ②当时，A、C两点相距2个单位长度，求m． 【答案】(1)，8，16 (2)①；②或 【分析】本题考查数轴上的动点问题，非负数的性质，数轴上两点间距离，一元一次方程的应用，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得a，b，根据点C到原点距离是点B到原点距离的2倍，可得c． （2）①用含t的式子表示出t秒后，点A、B、C对应的数，进而表示出和，列方程即可求解；②表示出时，点A、C对应的数，根据A、C两点相距2个单位长度，列方程求解． 【详解】（1）解： ， ，， ，， 点C到原点距离是点B到原点距离的2倍， ， 故答案为：，8，16； （2）解：①由题意知，t秒后，点A、B、C对应的数分别为：，，， ，， 当时，， 解得； ②当时，点A对应的数为： 点C对应的数为：， A、C两点相距2个单位长度， 或， 解得或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 有理数(章节复习）『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+16个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共47题） 【人教版数学新教材•七年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 有理数的分类 2 知识点二 数轴 3 知识点三 相反数 3 知识点四 绝对值 3 知识点五 有理数的大小比较 3 题型讲练 4 题型一 正负数的实际应用 4 题型二 有理数的分类 4 题型三 带“非”字的有理数 4 题型四 用数轴上的点表示有理数 5 题型五 利用数轴比较有理数的大小 5 题型六 数轴上两点之间的距离 5 题型七 数轴上点的平移(动点问题) 6 题型八 数轴上找原点 6 题型九 数轴上整点覆盖问题 7 题型十 数轴上的规律探究 7 题型十一 化简多重符号 8 题型十二 相反数的应用 8 题型十三 绝对值的几何意义 8 题型十四 求一个数的绝对值 8 题型十五 绝对值的其他应用 9 题型十六 有理数大小比较的实际应用 9 中考真题演练 9 难度分层训练 11 【基础夯实】 11 【培优拔高】 12 知识点一 有理数的分类 注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界； （2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数． （3）如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数，而无限不循环小数，不能化成分数形式，因而不属于有理数． 知识要点：（1）用正数、负数表示相反意义的量；（2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0是自然数、是有理数 表示没有 3个苹果用+3表示，没有苹果用0表示 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0非正非负，是一个中性数 知识点二 数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线． 知识要点：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理数，如． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 知识点三 相反数 只有符号不同的两个数互称为相反数，0的相反数是0． 知识要点：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等，这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“”号的个数若有偶数个时，化简结果为正，若有奇数个时，化简结果为负． 知识点四 绝对值 （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 数a的绝对值记作． （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离． 知识点五 有理数的大小比较 比较大小常用的方法有：（1）数轴比较法；（2）法则比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小；(3) 作差比较法．（4）作商比较法；（5)倒数比较法． 题型一 正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）史料证明：我国是世界上最早使用负数的国家．公元3世纪，我国数学家刘徽对《九章算术》进行了创造性的注释：在运算中用红色的算筹表示正数，用黑色的算筹表示负数；如果遇同色算筹，则用正放表示正数，在正放的算筹上斜放一根表示负数，现今，如果我们将向南走10米，记作米，那么向北走6米，记作（    ） A．米 B．6米 C．米 D．2米 【变式训练】（25-26七年级上·河南商丘·期末）如果吊篮升高5米记作米，那么米表示吊篮_______． 题型二 有理数的分类 【典例精讲】（24-25七年级上·云南德宏·期末）已知下列各数中，负有理数的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练】（24-25七年级上·宁夏银川·期中）把下列各数填入相应集合内：8.5，，0.3，0，，12，，，． (1)正数集合：{                            ...}； (2)整数集合：{                            ...}； (3)负分数集合：{                            ...}． 题型三 带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·四川凉山·阶段检测）在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【变式训练】（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）把下列各数填在相应的大括号内： ，1，，6,0,，，，，，2013，，． 正数集合：{ 　 　 …}； 非负整数集合：{ 　 　 …}． 题型四 用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·河北邯郸·期末）在数轴上表示下列各数：0，，，，，并按从小到大顺序排列． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南永州·期末）如图，数轴上被爱心遮盖的数可能是（   ） A． B． C． D．4 题型五 利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南株洲·期末）已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南郴州·期末）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，那么a________b．（填“>”、“<”或“=”）． 题型六 数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（25-26七年级上·河南鹤壁·期末）点，点，点在同一数轴上，点表示的数是，点表示的数是6，以点为折点，将数轴向右对折，点落到点处，若，则点表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·期末）数轴上表示3的点与表示的点之间的距离为________． 题型七 数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（25-26七年级上·河南商丘·阶段检测）在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【变式训练】（25-26七年级上·山西大同·阶段检测）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 题型八 数轴上找原点 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)在数轴上标出原点O，并指出点B所表示的数是________； (2)若数轴上点C与点B的距离为5个单位长度，那么点C表示的数是________； (3)在数轴上表示下列各数，并用“”把这些数按从小到大连接起来． ，，，． 【变式训练】（25-26七年级上·河南许昌·期中）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是5，数轴中相邻两刻度间距离为1个单位长度． (1)在数轴上标出原点； (2)先在数轴上表示下列各数，再把它们按从小到大的顺序排列，并用“”连接． ，0，，，6 题型九 数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·河南南阳·期中）如图，小明在写作业时不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中数值，可以确定墨迹盖住的所有整数的和是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025七年级上·广东广州·专题练习）若a为有理数，数轴上表示a与的点之间（不包含a与）共有2021个整数点，求a的取值范围___________． 题型十 数轴上的规律探究 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·期中）如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合…），则数轴上表示的点与圆周上表示数字 的点重合．（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】（25-26七年级上·上海·期中）如图，动点P从到原点距离为8的点M处向原点方向跳动，第一次跳到的中点处，第二次从点跳到的中点处，第三次从点跳到的中点处，如此不断跳动下去，第2025次跳动后，该动点到原点O的距离为________． 题型十一 化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·广东惠州·期末）__________． 【变式训练】（25-26七年级上·山东聊城·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 题型十二 相反数的应用 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽淮南·期中）若与互为相反数，则（    ） A． B．6 C．2017 D．2029 【变式训练】（25-26七年级上·广东珠海·期中）已知与互为相反数，那么______． 题型十三 绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 【变式训练】（25-26七年级上·江西九江·期末）在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（    ） A．3 B． C． D． 题型十四 求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西汉中·期中）有理数的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东东莞·期末）计算：______． 题型十五 绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·北京顺义·期末）某品牌乒乓球产品参数中标明球的直径是，这表示乒乓球的标准直径是，偏差是，直径在这个范围内的乒乓球都是合格的．抽查5个该品牌乒乓球，将其直径长度记录如下表所示，其中直径长度最接近标准直径的乒乓球编号是______号． 乒乓球编号 1 2 3 4 5 直径长度 【变式训练】（25-26七年级上·山西临汾·期中）一批零食，标准质量为每袋100g．现随机从这批零食中抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足标准质量的克数用负数表示，则其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 题型十六 有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·期末）三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________． 液体名称 液态氧 液态酒精 液态氨 沸点/℃ 78 【变式训练】（25-26七年级上·安徽蚌埠·期末）衡量手机信号强弱的标准称为．信号的单位是，范围是到，数越大表示信号越强．则下列信号最强的是（） A． B． C． D． 【真题演练1】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，数轴上由左至右有A、B、C、D、E五个点，分别表示数a、b、c、d、e，且相邻两点之间的距离相等， 即． 若原点在A、E两点之间， 当满足时， 则下列关于原点位置的叙述，正确的是（  ） A．在B、C两点之间且较接近 B点 B．在B、C两点之间且较接近 C点 C．在C、D两点之间且较接近 C点 D．在C、D两点之间且较接近 D 点 【真题演练2】（2025·河北衡水·中考真题）已知有理数满足：．如图，线段在直线上运动点B在点C的左侧），．下列结论中正确的是（　　） ①； ②当点B与点O重合时，点C恰好为线段的中点； ③当点B与点A重合时，若点P是线段延长线上的点，则； ④在线段运动过程中，若点M为线段的中点，点N为线段的中点，则线段的长度不变． A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④ 【真题演练3】（2025·重庆·中考真题）一条直街上有栋楼，按从左至右顺序编号为，第号楼恰好有个厂的职工，相邻两楼之间的距离为米．厂打算在直街上建一车站，为使这栋楼所有厂职工去车站所走的路程之和最小，车站应建在距号楼___________米处，且路程之和最小为__________米． 【真题演练4】（2025·江苏无锡·中考真题）同一数轴上有点分别表示数，且满足等式，点表示的数是多项式的二次项系数，点在数轴上同时开始运动，点向左运动，速度为每秒3个单位长度，点均向右运动，速度分别为每秒3个单位长度和每秒4个单位长度，设运动时间为秒．若存在使得的值不随时间的变化而改变，则该定值为______． 【真题演练5】（2025·四川凉山·中考真题）已知，且a、b、c满足，a、b、c所对应的点分别为A、B、C． (1)则 ， ． (2)若点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．设运动时间为t秒，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． (3)如图，若将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段三段距离的和称为A、C两点间的路程，动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的2倍，之后在段又以1个单位长度/秒的速度运动．当点P到达点B时，点P，Q均停止运动．设运动的时间为t秒．在某一时刻，P、Q两点在“折线数轴”上的路程为12个单位．求出此时t的值． 【基础夯实】 1．（25-26七年级上·河北保定·阶段检测）如图，将刻度尺放在数轴上，让和刻度线分别与数轴上表示和1的两点对齐，则数轴上与刻度尺的0刻度线对齐的点表示的数为（   ） A．0 B． C．9 D． 2．（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）小明做了以下7道题，请你帮他检查一下，他一共做对了几道题（   ） ①单项式的系数是5；②是二次三项式；③的次数是4；④是单项式，5不是单项式；⑤若，则为正数；⑥近似数万精确到千位；⑦12345精确到百位是近似数 A．2道 B．3道 C．4道 D．5道 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知有理数，下列说法： ①若，则； ②若，则； ③若．则； ④若，则． 其中一定正确的结论是___________． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）已知两个有理数、，下列结论：①若与互为相反数，则；②若与互为倒数，则；③若，则；④若，则；⑤若，，，这四个数中的三个数相同，则，．其中正确的有_______．（填序号） 5．（25-26七年级上·重庆·阶段检测）已知下列各数：，0，，． (1)将上面各数填入表示它所在的数集的大括号内： 分数集合：{ …}；非负整数集合：{ …}． (2)将上面各数表示在数轴上，并用“＜”把这些数连接起来． 【培优拔高】 1．（25-26七年级上·湖南郴州·阶段检测）下列说法中，正确的个数（    ） ①若，则； ②三点在数轴上对应的数分别是、6、，若相邻两点的距离相等，则； ③若代数式的值与无关，则该代数式的值为； ④如图，数轴上A，B，C三点表示的数分别为a，b，c． 若，则最小值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·重庆·期中）数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，1，2进行“运算”，得．下列说法正确的个数是（   ） ①对，0，2025进行“运算”结果是0； ②对进行“运算”的结果是10，则或3； ③在这一列数中插入一个数，然后进行“运算”，当其结果最小时，对应的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）下列说法： ①若，则点B是线段的中点； ②若无解，则； ③若，且，则方程的解是； ④若的解是，的解是； ⑤若m，n，p满足，则的最大值为4． 其中，正确的有______（填写序号） 4．（25-26七年级上·四川自贡·阶段检测）如图是一根起点为1的数轴，现有同学将它弯折，弯折后虚线上第一行的数是1，第二行的数是13，第三行的数是43，，依此规律，第五行的数是_______． 5．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，已知点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是a、b、c、24，其中a、b满足，点C到原点距离是点B到原点距离的2倍． (1)填空：________，________，________； (2)如图，若点A、B、C分别同时以每秒3个单位长度、2个单位长度和个单位长度的速度匀速向左运动，假设经过t秒后，点A与点D之间的距离表示为． ①t为何值时，？ ②当时，A、C两点相距2个单位长度，求m． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $nullnull