第二章 课时11 函数模型与应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型与应用”专题，依据高考评价体系覆盖函数模型识别、增长速度比较、实际问题建模等核心考点。通过系统梳理一次、二次、指数、对数函数模型及性质，结合模拟题分析考点权重，归纳图象识别、参数求解等常考题型，凸显备考针对性。 课件亮点在于“模型辨析+真题训练+素养提升”策略，如以指数模型解血氧饱和度问题为例，用待定系数法突破参数求解，培养数学思维与模型观念。规律方法总结建模四步骤，助力学生掌握实际问题转化技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

课时11 函数模型与应用 课标要求 1.结合情境中具体问题，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的 差异，理解对数增长“直线上升指数爆炸”等术语的现实含义， 2.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会如何 借助函数刻画实际问题，感悟数学模型中参数的现实意义、了解函数模型. 二、知识梳理 1.几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 x)=ax十b(a,b为常数，a≠0) 二次函数模型 x)=x2+bx十c(a,b,c为常数，a0) 与指数函数相关的模型 x)=bar+c(a,b,c为常数，b≠0，a心0，且a1) 与对数函数相关的模型 x)=blogax-十c(a,b,c为常数，b≠0，a>0,且a≠1) 与幂函数相关的模型 x)=r"+b(a,b,n为常数，a≠0) 2.三种函数模型的性质 y=a(a>1) y=logax(a>1) y=x"(n>0) 在(0，十o)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 随x的增大，逐 随x的增大，逐 随n值变化而 图象的变化 渐表现为与 渐表现为与 各有不同 y轴平行 x轴平行 值的比较 存在一个0，当>xo时，有log心x< 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数一2的函数值比函数=x的函数值大.( ×【解析】当x=2时，2x=x2=4,不正确 (2)不存在实数（一®和实数x,，使得号.（） ×【解析】如a一0一分不等式成立，因此错误 (3)在(O对上，随着x的增 ④的增长速度.（√ 大，c的 ) 增长速度会超过并远远大于 (4)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售 若按九折出售，则每件还能获利.( 【解析】九折出售的售价为1001+10o099元， 后因库存积压降价， 每件赔1元，故错误 2.在某个物理实验中，测得变量x和变量y的几组数据， X 0.50 0.99 2.01 y -0.99 -0.01 0.98 则对x,y最适合的拟合函数是( A.y=2x B.y=x2-1 C.y=2x-2 D.y=log2x 如下表： 3.98 2.00 D【解析】根据x=0.50,y= =0.98,代入计算，可以排除B, 选D 0.99,代入计算，可以排除A;根据x=2.01,y C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故 3.(多选题)某工厂一年中各月的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说 金额万元 法正确的有( 90 -0-收入 80 o-支出 7 60 A.月收入最高值与月收入最低值的比是3：1 40 30 20 10 B.结余最高的月份是7月 0 1■ 23456789101112月份 (注结余=收入-支出)》 C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同 D.前6个月的平均收入为40万元 ABC【解析】由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比 是3：1，A正确： 由题图可知，7月份的结余最高，为80一20=60（万元），B正确； 由题图可知，1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同，C 正确； 由题图可知，前6个月的平均收入为(40+60+30+30+50+60)=45（万元）， D错误.故选ABC. 4.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 (块一【解析】设该市这两年生产总值的年 (,解得艺. 为p,第二年的增长率为q, 平均增长率为x,由题意得 四、考点扫描 考点一利用函数图象刻画实际问题 例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关经验表明， 某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口 感.为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水 的温度，根据所得数据作出如图所示的散点图观察散点图的分布情况，下列函 数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间ⅹ变化的规律的是( A.y=mx2+n(x>0) C.y=max+n(m>0, a B【解析】由函数图象 故选B. y/C 90 80 70 12345x/min B.y=max+n(m>0,0<a<1) >1) D.y=mlogax十n(m>0,a>0,且a≠1) 可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0,0<a<1 规律方法： 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合 模型选图象： (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案 对点训练(2025·江苏泰州市调研)已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B 开始沿折线B-C-D-A向点A运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则 函数S=x)的图象是( S S S 8 8 8 8 4 4 4 4812x O4812x 4812x 4812x A B C D D【解析】依题意知，当0≤≤4时，x)=2x; 时，x)=24一2x,观察四个选项知D项符合 当4<8时，x)=8;当8<≤12 要求.故选D. 考点二已知函数棋型求解实际问题 例2（1)(2025·北京房山区模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的 血氧饱和度正常范围是95%100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗， 在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型St)=Set描述血氧饱和度 S()随着给氧时间（单位：小时）的变化而变化的规律，其中S为初始血氧饱和度， K为参数.己知S=60%,给氧1小时后，血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度 达到90%，则至少还需要的给氧时间为（精确到0.1，参考数据：ln2≈0.69,1n 3≈1.10)( A.0.3小时 B.0.5小时 C.0.7小时 D.0.9小时 B【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要(1一1)小时，由题 意可得60eK=80,60et=90,两边同时取自然对数并整理，得K=ln 0=n 60 In 4-In 3=2In 2-In 3,Kt=In 90=ln 60 3=ln3-ln2,则后 ln3-ln2.1.10-0.69 1.5,则给氧时间至少还需要1一-1=0.5（小时）故选B. 2ln2-ln32×0.69-1.10 (2)(2025·贵州铜仁市模拟)香农-威纳指数H是生态学中衡量群落中生物多样 n 性的一个指数，其计算公式为H=一召plog2p,其中n是该群落中生物的种数， p为第i个物种在群落中的比例.下表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各 种群个体数量统计表，根据表中数据，该群落的香农-威纳指数值为( 物种 甲 乙 丙 合计 个体数量 300 150 150 600 3 3 B 3 D 2 4 2 4 A【解析】由题意知H=一 马斟料是（是 故选A 规律方法： 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数. (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际 问题，并进行检验. 对点训练（1)为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要 对文件加密，有一种加密密钥密码系统 其加密、解密 原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文.现在加密密钥为 ,如4”通过加密后得到密文“2”.若接受方接到密文 1”, 256 则解密后得到 的明文是() A. B. C.2 A【解析】由题可知加密密钥为，由 所以2A,解得 即x分 故选A 已知可得，当一4时，12， 显然令点即云立，解得 (2)(2025·广东茂名市期末)Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测 常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业 产品的市场预测等，其公式为霓（其中g五，为参数）.某研究员 打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现毛若] 表示该新产品今年的年产量，估计明年(x习的产量将是今年的©倍，那么b的 值为(e为自然数对数的底数)() 5-1 A. B. V5+1 C.5-1 D.5+H 2 2 A【解析】由C年，得到人≤，所以当一时，人≤：当2时， ® 字恩依题意，明年习 的产量将是今年的。倍，得 ,11月 -115 b,即3，解得 2b.5 2故选A. 考点三构建函数模型解决实际问题 例3(1)(2025·广东梅州市模拟)某科创公司新开发了一种溶液产品，但这 种产品含有2%的杂质，按市场要求杂质含量不得超过O,现要进行过滤，已 知每过滤一次杂质含量诚少，则要使得产品达到市场要求，对该溶液过滤的最 少次数为·（参考数据：及，©年）. 8【解析】设至少需要过滤n次，可得 两边取对 孕 ≈7∠ 多2 数，可得 号，所以 又因为，所以，所以 使产品达到市场要求的过滤次数最少为8. (2)(2025·云南楚雄州模拟)足球是一项深受人们喜爱的体育运动.如图，现 有一个11人制的标准足球场，其底线宽，球门宽 ,且球门位 于底线AB的中间，在某次比赛过程中，攻方球员带球在边界线AC上的M点处 起脚射门，当严最大时，点M离底线AB的距离约为() A. ☒5 B.8 C.3 D.3 E M C【解析】设 所以；记 可得画 当Y取最大时 b 乃取最大即可，易知看毛此 x 时 取到最大值，当且仅当-子B时，即V万时，等 = 2 号成立，将<代入可得乃放选C 规律方法： 在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： ()审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转 知识，建立相应的函数模型 (3)解模：求解函数模型，得出数学结论 (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题 初步选择函数模型！ 化为符号语言，利用数学 对点训练(2025·陕西商洛上模拟)净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达 到纯净水的标准，其工作原理中有多次的P棉滤芯过滤，其中第一级过滤一般 由孔径为5微米的P棉滤芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要 用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假设每一层P棉滤芯可以过 滤掉三分之一的大颗粒杂质.若过滤前水中大颗粒杂质含量为80gL，现要满足 过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2gL,则PP棉滤芯的层数最少为（参考数 据：，三©)() A.9 B.8 C.7 D.6 A【解析】设经过层P棉滤芯过滤后的大颗粒杂质含量为y,则 信)品解得食 两边取常用对数得 昏，即号实，即宝建， 因为9☒，三②， 80 所以（三，解得n≥。因为心，所以n的最小值为9.故选A. 米 感谢观看 THANKS