微突破　几何法求空间角与距离 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“几何法求空间角与距离”专题，依据高考评价体系梳理了线面角、二面角、空间距离三大核心考点，通过模拟题分析明确线面角（35%）、二面角（40%）的高频考查权重，归纳出正三棱柱、正方体等几何体中构造直角三角形、等体积法等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”的备考路径，如以2026河南郑州模拟二面角题为例，用三垂线法构建平面角，培养学生数学思维中的推理能力和数学眼光下的空间观念。特设“易错点警示”和“方法步骤模板”，帮助学生掌握转化构造技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

微突破　几何法求空间角与距离 　　几何法求解空间角与距离的核心是“转化与构造”： （1）转化：将空间问题转化为平面问题（如异面直线角→相交直线角，线面距离→点面距离）； （2）构造：利用几何体性质（垂直、对称、中位线）构造直角三角 形或平面角，为计算提供条件. 高中总复习·数学（创新版） 几何法求空间角 角度1　几何法求线面角 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是2，则直线CB1与平面 AA1B1B所成角的正切值为 ⁠. 　 高中总复习·数学（创新版） 解析：取AB的中点D，连接CD，B1D，因为△ABC为等边 三角形，所以CD⊥AB，因为BB1⊥平面ABC，CD⊂平面 ABC，所以BB1⊥CD，因为BB1∩AB＝B，BB1，AB⊂平面 AA1B1B，所以CD⊥平面AA1B1B，所以∠CB1D为直线CB1 与平面AA1B1B所成角，因为正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都是2，所以CD＝ ×2＝ ，DB1＝ ＝ ，所以tan∠CB1D＝ ＝ ＝ ，所以直线CB1与平面AA1B1B所成角的正切值为 . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 求线面角的方法 （1）定义法：通过“作垂线→找射影→求夹角”三步，将空间角转化为 平面三角形中的角（通常是直角三角形）； （2）等体积法：利用“三棱锥体积不变性”，先求出直线上某点到平面 的距离（即定义法中的“垂线长”），再结合“斜线长”求解线面角. 高中总复习·数学（创新版） 角度2　几何法求二面角 （2026·河南郑州模拟）如图，在四面体ABCP中，平面ABC⊥平面 PAC，△PAC是直角三角形，PA＝PC＝4，AB＝BC＝3，则二面角A- PC-B的正切值为（　　） A. B. C. 2 D. √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：如图，设AC，PC的中点分别为E，D，连接BE， DE，BD，则DE∥PA，因为AB＝BC，所以BE⊥AC， 又因为平面ABC⊥平面PAC，BE⊂平面ABC，平面ABC ∩平面PAC＝AC，所以BE⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，则BE⊥PC. 因为△PAC是直角三角形，PA＝PC＝4，所以PA⊥PC，所以DE⊥PC，且DE＝ ×4＝2.因为DE∩BE＝E，且DE，BE⊂平面BDE，所以PC⊥ 平面BDE，又因为BD⊂平面BDE，所以PC⊥BD，所以∠BDE为二面角A-PC-B的平面角，且tan∠BDE＝ ＝ ＝ .故选A. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 求二面角的方法 （1）定义法：通过“找棱上点→作棱的垂线→证角为平面角→求角”四 步，将空间角转化为平面三角形的内角； （2）三垂线法：利用三垂线定理（若平面内一条直线与平面的一条斜线 在该平面内的射影垂直，则这条直线与斜线垂直），快速找到二面角的 平面角； （3）射影面积法：利用“平面图形与其在另一个平面内的射影图形的面 积比”，快速求二面角. 高中总复习·数学（创新版） 几何法求空间距离 （2026·河北唐山模拟）已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1， M，N分别是AB和BC的中点，则MN到平面A1C1D的距离为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：　延长MN交DC的延长线于点Q，连接A1Q， C1Q，AC，因为M，N分别是AB和BC的中点，则MN ∥AC，由正方体的性质可得AC∥A1C1，所以MN∥ A1C1，又A1C1⊂平面A1C1D，MN⊄平面A1C1D，所以 MN∥平面A1C1D，所以MN到平面A1C1D的距离即点Q到平面A1C1D的 距离，设为h，则 ＝ ，因为正方体的棱长为1，所以DQ ＝ ，A1D＝DC1＝A1C1＝ ，所以 ·h＝ ·A1D1，即 × ×（ ）2×h＝ × × ×1×1⇒h＝ .故选C. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　几何法求空间距离的核心思路是将空间中的“未知距离”转化为平 面内可计算的“已知距离”（如两点间距离、点到直线距离、点到平面 距离），本质是利用空间几何性质（如线面垂直、面面垂直、平行关 系）构建直角三角形或矩形，或者利用等体积法求解. 高中总复习·数学（创新版） 1. （2025·陕西咸阳模拟）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝ 2，AA1＝1，点E，F分别是AB，BC1的中点，则直线EF与AD所成夹角 的余弦值为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：　如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，取CD 的中点M，连接EM，FM，又因为E是AB的中点，所以 AE＝DM，且AE∥DM，所以四边形AEMD是平行四边 形，所以AD∥EM，且AD＝EM＝2，所以EM与EF所成 的角就是AD与EF所成的角，即∠MEF. 因为F是BC1的中点，所以F是四边形BCC1B1的中心，所以EF＝MF，取EM的中点N，连接NF，则FN⊥EM，且EN＝1，在矩形BCC1B1中，BC＝2，CC1＝1，所以BC1＝ ，则BF＝ ，在Rt△EBF中，BE＝1，EF＝ ＝ ，所 以在Rt△EFN中， cos ∠MEF＝ ＝ .故选B. 高中总复习·数学（创新版） 2. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝BC＝1，AB＝ ，E 是CC1的中点，则直线BC与平面A1BE所成角的正弦值为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：由题设，S△BCE＝ CE·BC＝ ，且A1到平面BCE的距离为A1C1＝1.又EA1＝BE＝ ，BA1＝ ，故E到BA1的距离为 ，所以 ＝ .设C到平面A1BE的距离为d，由 ＝ 得 d· ＝ A1C1·S△BCE，解得d＝ ，故直线BC与平面A1BE所成角的正弦值为 ＝ . 高中总复习·数学（创新版） 3. 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，点 E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为 ⁠. ​ 高中总复习·数学（创新版） 解析：设点E到平面ACD1的距离为h，因为点E是棱AB的中点，所以点E 到平面ACD1的距离等于点B到平面ACD1的距离的一半，又平面ACD1过 BD的中点，所以点B到平面ACD1的距离等于点D到平面ACD1的距离，由 等体积法 ＝ ，得 ·2h＝ S△ACD·DD1，因为 S△ACD＝ ×2×4＝4，DD1＝2，在△ACD1中，AD1＝2 ，AC＝CD1＝ 2 ，所以 ＝ ×2 × ＝6，则 ×6×2h ＝ ×4×2，解得h＝ ，即点E到平面ACD1的距离为 . 高中总复习·数学（创新版） 4. （2026·江西南昌联考）如图，△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角A-BD-C的余弦值为 ⁠. － 　 解析：如图，过A作AE⊥CB交CB的延长线于点E，连 接DE. ∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝ BC，∴AE⊥平面BCD，∴点E即为点A在平面BCD内的 射影，∴△BDE为△ABD在平面BCD内的射影.设AB＝ a，则AE＝DE＝AB· sin 60°＝ a，∴AD＝ a.由余弦定理可得 cos 高中总复习·数学（创新版） ∠ABD＝ ，∴ sin ∠ABD＝ ，∴S△ABD＝ a2× ＝ a2.又BE＝ a，∴S△BDE＝ × a× a＝ a2.设二面角A-BD-E的大小为θ，∴ cos θ＝ ＝ ，而二面角A-BD-C与A-BD-E互补，∴二面角A-BD-C的余弦值为－ . 高中总复习·数学（创新版） THANKS 演示完毕 感谢观看 $