第七章 课时7 综合法求空间角与距离 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“综合法求空间角与距离”专题，依据课标要求覆盖异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角及空间距离四大核心考点，对接高考评价体系，通过2024全国新课标卷真题及模拟题分析考点权重，归纳定义法、等积法等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，如2024新课标Ⅱ卷线面角题用“作证算”三步法，2024新课标Ⅰ卷二面角题结合垂面法突破，培养学生空间观念与推理能力，帮助掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

课时7综合法求空 间角与距离 一、课标要求 1.理解异面直线所成角的定义，了解异面直线所成角的取值范围，会根据定义 通过平移作出异面直线所成的角，进而通过构造三角形求解异面直线所成角 2.了解斜线在平面内的射影的概念，理解直线与的定平面所成角的定义，了解 直线与平面所成角的范围.会根据定义作出平面的斜线与平面所成角，进而运用 综合法求解直线与平面所成的角 3.理解二面角及其平面角的概念.会用定义法作出二面角的平面角，进而求解 二面角的大小 4.了解两点间的距离、点到平面的距离的定义，了解用直接法，等积法等方法 求空间距离 二、知识梳理 1.(1)异面直线所成角的定义 过空间中一点P(注意取图形中的特殊点)作41∥a,b 锐角或直角 就叫作异面直线a,b所成的角. (2)异面直线所成角的取值范围 由定义可知，异面直线α，b所成的角的取值范围是 ∥b,则直线a1与b1所成的 0, 2.(1)直线与平面所成角的定义 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的 锐角，叫作这条直线与 这个平面所成的角. (2)一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角；一条直线与平面 平行或在平面内，我们说它们所成的角是 0° 的角 (3)直线与平面所成角的取值范围 由定义可知，直线与平面所成角的取值范围是 3.(1)二面角的定义：如下图，从一条直线1出发的两个半平面，B组成的图 形叫作二面角.记作a一1一阝.在棱1上任意一点O出发，分别在面α，内作 OA⊥1，OB⊥I,则∠AOB是二面角a一I一B的平面角. B (2)二面角的取值范围：[0，. 4.从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫作这个点到这个平面 的距离. 【拓展知识) 1.异面直线所成角的求解方法— 定义法：异面直线所成角是由空间一点分别 引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的.因此，我们可以选择恰当的点， 通过平移直线，形成平面角，然后在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理求得 异面直线所成角的大小.在这一方法中，平移直线是求异面直线所成角的关键， 而如何平移直线要求我们有良好的空间观和作图能力. 2.平面的一条斜线与平面所成角的求解方法一定义法：设斜线在平面α内的斜 足为A,过斜线上不与A重合的一点P作PO⊥，垂足为O,则AO是PA在平 面a内的射影，斜线与平面α所成的角即为∠PAO. 3.二面角的综合法求解关键在于寻找垂直，通常采用定义法或三垂线法 三、基础回顾 1.判断正误.（正确的打V”,错误的打×”) (1)任意平行移动两条异面直线中的一条，它们所成的角不变.() √【解析】根据异面直线所成角的定义可知论断正确 (2)若直线与平面所成的角为，则0°<0≤90°.() ×【解析】根据直线与平面的定义可知当线面平行时α可以为O°，所以论断错误 (3)组成二面角的平面角 直.( V【解析】根据异二面角的定 的两边所在直线所确定的 义可知论断正确 平面与二面角的棱垂 (4)一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个 二面角的大小相等.（) ×【解析】二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等；当 方向不同时，两个二面角大小互补，所以原论断错误 2.在正方体ABCD-A1B1CD1中，P为线段 的角为( ) A. B. 一 2 3 B1D1的中点，则直线PB与AD所成 C. 匹 D. 4 元6 D【解析】如图，连接CP A D B C A1日 D B C 因为ABCD-A1B1CD1是正方体， B D,BBC BC 且P为B1D1的中点，所以CP⊥BD1.又CP⊥BB1 3.(多选题)在正方体ABCD一A1B1CD1中，平面ABCD1与正方体的各个面所在 的平面所成的二面角的大小可能是() A.30° B.45 C.60° D.90° BD【解析】由二面角的定义知所求角为45°或90°.故选BD 4.已知四棱锥P一ABCD的底面是边长为6的正方形， 则点P到平面ABCD的距离是 8【解析】由体积公式-的6×36 h=8 1该四棱锥的体积为96， 四、考点扫描 考点一两条异面直线所成的角 例1如图，已知正三棱柱ABC-A,B,C,AB V10 4 6 5 4 10 =2AB.M AC AM BC A M C B A B B【解析】如图，取AC D DC BD A M C B B AM∥DC, 所以异面直线AMBC DC ABC-ABC 2 IDC=5 BD=3 BC=22 coS∠BCD= DCI_1o BC4 V10 B 4 BC ∠BCD BC°-DCP+|BDF ABDC AM BC 对点训练在空间四边形ABCD CD=4 EF⊥AB EF CD 30° 450 E F AC 60° BD AB=23 90° C【解析】设G AD GF GE △ABD AACD GE--CD-2 EF CD 2 EF⊥GF △GEF ∠GEF=60° EF CD GF GE E F AC BD GFI∥AB GF=AB-3 GECD 2 EF GE EF⊥AB ∠GFE=90° sin∠GEF= GF √5 GE 2 A 60° G D B C 考点二直线与平面所成的角 例2（1)(2024全国新课标川卷 AB,=2 AA 1 2 )已知正三棱台ABC 52 ABC 3 AB =6 B【解析】方法一：分别取 BC,B.C D,D 5s}6x6x5ow5-分2万- 2 2 h ”c4=55195x)= A,D M,N AM=x AD=3V3,AD=V3 ABC-ABC 4V3 h= 3 4 C D Bi B 则AA,=VAM2+AM2 DD =DN'+DIN2 w-62+un 二 16 DN=AD-AM- 3 6-） x2 -5-j 16 16 +4 3 am40- =1 AM MN =23-x BCC B 4V3 X= AA 3 方法二：将正三棱台ABC-AB,C P-ABC A人 B C B 则AA PA Vp.ABC 1 VAnC-ABG 26 52 VP-ARC 27 27 3 d 3 2 O PO A0=2V3 PO tan∠PAO= =1 A0 P4-48=1 PA AB 3 VP-ABC =18 P-ABC d=2V3 PA (2)如图，在三棱锥P一ABC中，已知AB=BC=V6,平面PAC⊥平面ABC, PD⊥AC于点D,AD=1,CD=3,PD=3,则直线AP与平面PBC所成角的 正弦值为 B 16 【解析】过点A作平面PBC的垂线，垂足为H,连接PH,则∠APH为直线 3 AP与平面PBC所成的角.易得S△4Bc=2V2.因为PD=V3,由题意易证PD⊥面 AG所以际c-PD-含22x3-2计算可得PB=6P-23 又因为BC-6,所以BLBC,.所以△P8C的面积S2 BCPB--26x6 2 =3因为么-8C=,即X3×4H=2,6, 所以AH=26又在Rt△PAD中， 3 3 216 算阿得AD=2因为sm∠APH= 3=36 所以直线AP与平面PBC所成角 2 3 的E弦值为6 规律方法： 求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计算，其中作（找）角是关键，先 找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形 中求解 对点训练(1)(2025·安徽合肥市 长都相等，侧棱垂直于底面，D是 成角的正弦值是( A B12 2 三校联考)在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱 BC1与B1C的交点，则AD与平面BB1C1C所 D 1 2 2 C【解析】取BC的中点 E,连接DE,AE,如图 A C BY D A C E B 依题意，三棱柱ABC一A1B1C1为正 为D,E分别是BC1和BC的中点， DE⊥AE,所以AD=VAE2+DE2 W 三棱柱，设棱长为2，则AE=V3,DE=1.因 所以DE∥CC,所以DE⊥平面ABC,所以 0 (2)在正方体ABCD-AB,CD AM 2AB+(1-)AA 到 M ABB A MC AAB D【解析】因为 AM=AB+(0-2)A4 A BM CB⊥ AAB CM CB CM CB=AC=AB=2CB CM⊥A,B Cg<CM≤CB 2Cmsv6 2 2 CM 3 26 AAB 23 CB AAB ∠CMB, 2 D C CM Ar B D C M A B 考点三二面角 例3( 2024·全国新课标1卷)如图， PA=AC=2 BC=1,AB=3 AD⊥PB AD/∥ PBC AD⊥DC P-D 在四棱锥P-ABCD PA⊥ P D V42 A C AD B (1)【证明】因为PA⊥ ABCD AD⊥PB PB∩PA=P PB,PAC PAB AD⊥AB BC2+AB ADBC AD丈 PBC BC ADC ABCD PA⊥AD PAB AD⊥ PAB ABC =AC2 BC⊥AB PBC AD/ PBC (2)【解】如图所示，过点 DF PA⊥ ABCD ABCD=AC DE⊥ D作DE⊥AC E A B PAC⊥ PAC E EF⊥CP F PAC∩ CP⊥ DEF 面角的定义可知，∠DFE A-CP-D V42 sin∠DFE= 7 tan∠DFE=V6 AD⊥DC AD=x CD=14-x2 DE xv4-x2 -)) △EFC 2 2 xv4-x2 EF= 4-x2 tan∠Dpg=,2,=V6 x=V3 2V2 4-x2 2W2 AD=3 规律方法： 作二面角的平面角的方法：可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内 找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的 平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角 对点训练 (1)如图，正三棱柱ABC 一A的余弦值为( ) B 1V2 7 2 c321 D 7 7 A1B1C1的棱长都相等，则二面角A1一BC A B A B C【解析】如图，取BC的中点M,连接AM,AM. B B 由正三棱柱ABC一A1B1C1中，各棱长都相等，可得AM LBC,AM⊥BC,所以 二面角A1一BC一A的平面角为∠AMA1,设AB=2,则AA=2,AM=1V3,AM =J442+AM2V (2)己知圆锥的顶点为P,底面圆心为O, 底面圆周上两点，且∠MON= 则二面角 3 A 兀 B. C. 12 6 4 PO=1,底面圆半径为2，M,N是 P-MN-O的大小为( D, 3 B【解析】如图，取N 的中点E,连OE,PE.因为 M OM=ON,所以OE⊥N. 因为PM=PN,所以PE⊥N,所以∠PEO是二面角P一MN-O的平面角.因为 PO⊥平面OMN,OEC平面OMN,所以POLOE.因为∠MON=元，OM=2,所 以0E=OMcos元-2x3 =V3.因为P0O=1,所以PE=VPO2+OE2V 2 考点四空间距离 例4(2025·四川资阳市模拟)如图，三棱柱ABC一A1B1C1的底面是等腰直角三角形，∠ACB =90°，侧面ACC1A1为菱形，∠AAC=60°，AC=2,平面ABC⊥平面ACC1A1. (1)求证：A1C⊥AB1: B (2)求点C1到平面ABB1A1的距离. (1)【证明】如图，连接AC1,由四边形ACCA1为菱形，得AC1⊥AC.由∠ACB =90°，得BC⊥AC.又平面ABC⊥平面ACCA1,平面ABC∩平面ACCA1=AC, BCC平面ABC,则BC⊥平面ACCA1.因为A1CC平面ACCA1,所以BC⊥A1C, 又BC∥B1C1,则B1C⊥AC.又AC∩BC1=C,AC,B1CC平面ABC,因 此A1C⊥平面AB1C1.又AB1C平面ABC,所以A1C⊥AB1. (2)【解】点C1到平面ABBA1的距离，即三棱锥C1一AA1B1的底面AAB1上的 高.由(1)知B1C1⊥平面ACCA1,则三棱锥B1一AA1C1的底面AA1C1的高为B1C1.设 点G到平面ABBA的距离为d,由B-AAC=C-AAB,得，S△ AA1C·BC1=S△AAB·d,而BC=AA1=AC=2,∠AAC=60°，则△AA1C 3 的面积S△AA1C=V3. 由AA1=A1C1=2,∠AA1C1=120°，得AC1=2V3.又B1C1=2,B1C⊥AC,则 AB1=4.又AA1=2,AB=22,由余弦定理得cos∠AAB=2 2+42-(2V2)2_3 2×2X4 则sin∠AMB,= 4 1奶的面积4-X2X4X年-7，对5X2= ， 74,即4=221，所以点C到平面ABB41的距离为221 规律方法： 1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形或利用等面积法求解 2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条 件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解 对点训练 (2025·广东广州市模拟)在矩形ABCD中， 且PA=5,则点P到BC的距离为 ∠BCA=30°，AC=20,PA⊥平面ABCD 5V5【解析】因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥BC.又四边形 ABCD是矩形，所以BC⊥AB.因为AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB.因为PB C平面PAB,所以BC⊥PB,所以PB的长为点P到BC的距离.在矩形ABCD 中，因为∠BCA=30°，AC=20,所以AB=10.在Rt△PAB中，由勾股定理得 PB=1P4P+A=V25+100=55,所以点P到BC的距离为55.