精品解析：吉林油田第十二中学2025-2026学年下学期中考考前预测九年级数学试题

吉林油田第十二中学九年级第三次模拟考试数学 数学试卷共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 2. 如图，下列图形中是左图空心圆柱的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若入射角的度数为，法线垂直于镜面，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 北斗卫星导航系统是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过6000亿次．数据6000亿用科学记数法表示为___________． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 9. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__． 10. 自行车的示意图如图所示，其中，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积为_______________．（结果保留） 11. 如图，在Rt中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于点，则的长是___________． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 某校为了让学生体验农耕劳动，开设了校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．求甲型号劳动工具的单价． 14. 数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片属于物理变化，属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗牌，然后放置在桌面上． （1）若组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是__________； （2）若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 15. 如图，在矩形中，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．求证：． 16. 图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的上找一点，使； （2）在图2中的上找一点，使； （3）在图3中的上分别找一点，使． 17. 6月5日是世界环境日．为了增强学生的环境意识，学校举办了环境知识竞赛活动，各班随机抽查了部分学生，抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． （2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卡相对应的图上） （3）若该校共有名学生，根据抽查结果，试估计全校分以上的学生人数． 18. 综合与实践：下面是求知小组的研学报告，请认真阅读，并完成任务． 研学目的 测量某大牌楼的高度 测量示意图 方案说明 大牌楼底部与点依次在同一条水平直线上，，且．在处测得大牌楼顶部的仰角为，在处测得大牌楼顶部的仰角为． 根据研学方案计算大牌楼的高度（结果取整米数）．参考数据：． 19. 如图，在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作的平行线交于点．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与，重合时，过点作，过点作，得到四边形．点，同时出发，设点运动的时间为秒，设四边形和重合部分图形的面积为． （1）用含的代数式表示的长； （2）求的长（用含的代数式表示）； （3）求S与之间的函数关系式，并写出的取值范围． 20. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 （1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； （3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 21. 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中的线段的数量关系开展探究．如图，菱形与菱形（），，点分别在边上． （1）如图1，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，当点、点和点共线时， ①与全等吗？为什么？ ②请写出之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，延长交于点，连接．请写出之间的数量关系，并说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线，将抛物线部分绕该抛物线上点旋转得到抛物线，将抛物线与组合图象记为，点的横坐标分别为，且点均在图象上． （1）求的值； （2）①求图象的解析式，并写出自变量的取值范围； ②过点作轴的垂线与交于点，当时，求的值； （3）当点之间图象最大值与最小值之差仅与点位置有关时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学九年级第三次模拟考试数学 数学试卷共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查正负数的意义，生活中，通常用正负数表示具有相反意义的两种量，如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层． 【详解】解：如果地下一层的停车场可以表示为层，那么地上三层的美食城可以表示为层． 故选：A． 2. 如图，下列图形中是左图空心圆柱的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：空心圆柱的俯视图是： ． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、积的乘方法则逐一判断即可． 【详解】解：A选项，与不是同类项，不能直接合并，故错误； B选项，根据同底数幂相乘法则：，所以，不是，故本选项错误； C选项，根据同底数幂相除法则：，所以，不是，故本选项错误； D选项，根据积的乘方法则：，所以，故本选项正确． 4. 如图，若入射角的度数为，法线垂直于镜面，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先，掌握光的反射定律，入射角等于反射角，可得反射角，然后，根据反射光线，得，最后，由法线与镜面垂直，得，即可得出的度数． 【详解】解：根据光的反射定律，入射角等于反射角． ∵入射角， ∴反射角． ∵反射光线， ∴． 又∵法线与镜面垂直， ∴． ∴． 5. 如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，根据作图得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据作图可知：， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴； 故选D． 6. 如图，中，，点为边上一动点（不与点，重合），于点，点，若，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由平行四边形的性质可得，，由可得，由勾股定理可得，由，可得，，由此可证得四边形是矩形，于是可得，因而当最小时，最小，由垂线段最短可知，当时，最小，此时，进而可得，由此即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ，， 四边形是矩形， ， 当最小时，最小， 由垂线段最短可知，当时，最小， 此时，， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积公式等知识点，添加适当辅助线，将求的最小值转化为求的最小值是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 北斗卫星导航系统是我国自主建设运行的全球卫星导航系统，国内多个导航地图采用北斗优先定位．目前，北斗定位服务日均使用量已超过6000亿次．数据6000亿用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决本题的关键． 先将亿转化为，再根据科学记数法的表示方法得，． 【详解】解：亿， 亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： 故答案为：2 9. 古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百四十里．驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，则由题意，可列方程为__． 【答案】240x=150x+12×150 【解析】 【分析】设良马x天能够追上驽马，根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，即可得出关于x的一元一次方程. 【详解】解：设良马x天能够追上驽马． 根据题意得：240x=150×（12+x）=150x+12×150. 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题关键是根据路程=速度×时间结合二者总路程相等，列出关于x的一元一次方程． 10. 自行车的示意图如图所示，其中，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积为_______________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出两个扇形的圆心角之和，再求出扇形的半径，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ 两个扇形的圆心角之和为， ∵车轮直径为， ∴半径． ． 11. 如图，在Rt中，，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交点的连线分别与交于点，则的长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形，勾股定理，垂直平分线的定义，解题的关键是由作图可得，是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得，根据勾股定理，求出，根据相似三角形的判定和性质，可得，，求出，即可解答． 【详解】解：由作图可得，是线段的垂直平分线， ∴是的中点， ∴，， ∵， ∴设， ∴， ∴， 在Rt中，，且， ∴， ， 解得：（负值舍去）， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ． 三、解答题（本题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 13. 某校为了让学生体验农耕劳动，开设了校园劳动基地．现计划购买甲、乙两种型号的劳动工具．已知甲型劳动工具的单价比乙型劳动工具少3元，且用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等．求甲型号劳动工具的单价． 【答案】甲型劳动工具的单价为20元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元，根据“用300元购买甲型劳动工具的数量与用345元购买乙型劳动工具的数量相等”列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设甲型劳动工具的单价为元，则乙型劳动工具的单价为元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意， 则， 答：甲型劳动工具的单价为20元． 14. 数学活动课上，小晨所在的兴趣小组设置了一个跨学科的游戏活动：如图，他们把生活中的这几种现象的图片制成四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，其中卡片属于物理变化，属于化学变化．小晨将这些卡片背面朝上洗牌，然后放置在桌面上． （1）若组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是__________； （2）若小晨从中随机抽取一张卡片，不放回，小轩再从剩余的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法，求他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率． 【答案】（1） （2）他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率． （1）根据概率公式进行计算即可； （2）利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，组员小宇从中随机抽取一张卡片，则他抽到“．冰雪融化”的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的结果有：，，共2种， 他们两人抽到的卡片内容都是化学变化的概率为． 15. 如图，在矩形中，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，再利用全等三角形的判定证得结果． 【详解】证明：由折叠的性质知，． 四边形是矩形， ， 在和中， ， ． 16. 图1、图2、图3都是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫格点．点均是格点，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按要求作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中的上找一点，使； （2）在图2中的上找一点，使； （3）在图3中的上分别找一点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）观察网格，可看出正方形的对角线，作正方形的另一条对角线，可确定的中点，连接，则点为所求点； （2）观察网格，可构造一组相似比为的“”字模型的相似三角形，相似三角形的交点即为所求点； （3）观察网格，四边形，证得，利用面积之比是相似比的平方，可确定所求点的位置． 【小问1详解】 解：如图1，点即为所求； 将看作正方形的对角线，作另一条对角线与相交于点， ∵正方形对角线互相平分， ∴， 根据中线的性质可得：； 【小问2详解】 解：如图2，点即为所求； 根据网格图可知，， 且， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，点，即为所求． 根据网格图可知,， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ． 17. 6月5日是世界环境日．为了增强学生的环境意识，学校举办了环境知识竞赛活动，各班随机抽查了部分学生，抽查结果绘制成如图统计图（不完整）． 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． （2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卡相对应的图上） （3）若该校共有名学生，根据抽查结果，试估计全校分以上的学生人数． 【答案】（1）被抽查的学生人数为人，扇形统计图中m的值为 （2） 补全的条形统计图如图所示． （3）人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）将抽查的分以下人数除以其所占的比即可求出被抽查的人数；将抽查的分人数除以被抽查的人数，即可求出m的值； （2）先求出抽查的分人数，再补全条形统计图即可； （3）将乘以样本中分以上的学生人数所占的比例即可估计全校分以上的学生人数． 【小问1详解】 解：被抽查的学生人数是（人）， ∵， ∴扇形统计图中m的值是， 答：被抽查的学生人数为人，扇形统计图中m的值为； 【小问2详解】 解：（人）； 【小问3详解】 解：（人）， 估计全校分以上的学生人共有人． 18. 综合与实践：下面是求知小组的研学报告，请认真阅读，并完成任务． 研学目的 测量某大牌楼的高度 测量示意图 方案说明 大牌楼底部与点依次在同一条水平直线上，，且．在处测得大牌楼顶部的仰角为，在处测得大牌楼顶部的仰角为． 根据研学方案计算大牌楼的高度（结果取整米数）．参考数据：． 【答案】大牌楼的高度约为 【解析】 【分析】延长交于点，首先，证得四边形，四边形均是矩形，得 ，，设，则 ．在中，，得，再由，得 ，进而得 ，最后，在中， ，解得，即可得出的高度. 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴ ， ∵， ∴四边形是矩形. ∴， ． ∴四边形是平行四边形. 又∵， ∴四边形是矩形. ， 设，则 ． 在中，， ． ， ． ． 在中， ， 解得． ∴． 大牌楼的高度约为． 19. 如图，在等边三角形中，，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，过点作的平行线交于点．动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点运动，当点不与，重合时，过点作，过点作，得到四边形．点，同时出发，设点运动的时间为秒，设四边形和重合部分图形的面积为． （1）用含的代数式表示的长； （2）求的长（用含的代数式表示）； （3）求S与之间的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解； （2）分两种情况讨论：当时，当时，表示出，再根据矩形的判定与性质以及三角函数的知识即可求解； （3）当时，过点作于点，根据四边形是矩形，进而求得的长，根据梯形面积公式进行计算即可求解；当时，设与相交于点，求得的长，进而根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向终点运动，运动的时间为秒 ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形 ∴． 【小问2详解】 解：当点与点重合时，， 当点到达终点时，， ∴点运动的时间满足； 当时，过点作于点， 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴； 当时，过点作于点， 同理可得：四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， ∴， 在中，， ∴； ∴综上，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：当时，过点作于点， ∵，， ∴， 由（2）得，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ； 当时，设与相交于点， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ； 综上，． 20. 【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成． 【数学建模】某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系．因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径（）． 【问题解决】 （1）若在扫地机器人的运动路径上，圆心会经过一污迹，求该运动曲线的函数解析式； （2）在（1）的条件下，已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物，求当点，，在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物； （3）若以，，为顶点的三角形的面积为，求此时机器人的圆心的坐标． 【答案】（1）； （2）扫地机器人不会触碰到障碍物； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线为，再联立求得从而求出判定即可； （3）分别过、作轴，轴于，设，根据面积公式得，进而分当点在点的右侧时，，和点在点的左侧时，，两种情况讨论求解即可。 【小问1详解】 解：设， ∵过 ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设直线为， ∵在上， ∴， ∴， ∴直线为， 联立， 解得或（舍去）， ∴ ∴ ∴扫地机器人不会触碰到障碍物； 【小问3详解】 解：分别过、作轴，轴于，设， ∵， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 当点在点的左侧时，，， 解得或（舍去）， 当时，， ∴， 综上，机器人的圆心的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质，解一元二次方程等，熟练掌握待定系数法求一次函数，求反比例函数，反比例函数的性质是解题的关键． 21. 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以菱形为背景对旋转中的线段的数量关系开展探究．如图，菱形与菱形（），，点分别在边上． （1）如图1，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，当点、点和点共线时， ①与全等吗？为什么？ ②请写出之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，菱形绕点顺时针旋转，点在菱形内部，连接，延长交于点，连接．请写出之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） ①全等，原因如下： 在菱形中，，； 在菱形中，，； ， 则， 在和中， ， ； ②，理由如下： 过点作，如图所示： 在菱形中，，，则，， 在中，，，则， ， 由①知，则， ； （2） ，理由如下： 在上取点，使，连接，如图所示： 由（1）①知，则， 在和中， ， ， ，， 由（1）①知，则， ， ， 过点作，如图所示： 在中，，，则，， 在中，，，则， ， 【解析】 【分析】（1）①由菱形性质得到相关边、角相等关系，再由三角形全等的判定定理说明即可；②过点作，在中得到，再由全等得出，数形结合即可表示出之间的数量关系； （2）在上取点，使，连接，构造出，得到相应边与角的相等关系，进而求出，同（1）②中求证线段之间关系的方法即可得出之间的数量关系． 【小问1详解】 ①略 ②略 【小问2详解】 略 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线，将抛物线部分绕该抛物线上点旋转得到抛物线，将抛物线与组合图象记为，点的横坐标分别为，且点均在图象上． （1）求的值； （2）①求图象的解析式，并写出自变量的取值范围； ②过点作轴的垂线与交于点，当时，求的值； （3）当点之间图象最大值与最小值之差仅与点位置有关时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①； ②的值为或或2或 （3）的取值范围为或1 【解析】 【分析】（1）直接将点代入点所在的二次函数解析式即可； （2）①求出原二次函数的顶点坐标，再根据顶点坐标绕点旋转求出新二次函数的顶点坐标，利用旋转，新二次函数的二次项系数与原二次函数的二次项系数互为相反数求解； ②根据点在图像上，图像是由二次函数共同组成，所以对点位置分为在二次函数上和在二次函数上，将点表示出来，利用两点的距离求解； （3）根据题意确定点的位置，列出不等式确定点的位置，根据抛物线的增减性来判断所确定的位置是否符合题意，从而得出答案． 【小问1详解】 解：， 当时，． 【小问2详解】 解：①． 抛物线的顶点为． 由旋转可知，抛物线的顶点为， ． ， ②当点在抛物线上时，其横坐标为． 点． 点在直线上，其横坐标为， 点． 当时， 解得． 当时， 解得（舍去）． 当点在抛物线上时，其横坐标为 点． 点在直线上，其横坐标为， 点． ， 解得． 的值为或或2或． 【小问3详解】 解：根据题意在平面直角坐标系中画出图像，如下图所示， ∵当点之间图象最大值与最小值之差仅与点位置有关， ∴最大值与最小值其中一个值在抛物线或抛物线的顶点处取得，另一个值在点处取得， ①当点在抛物线对称轴的右侧时， ，解得， 此时点均在抛物线上且点在抛物线对称轴的左侧， 如图1，图2所示， ∵抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴，解得， 此时点纵坐标的最小值要大于等于， 即，令，解得或， 由图象可知，当时， 综上所述，； ②当点在抛物线对称轴的左侧，抛物线对称轴的右侧时， 此时，解得， 当时，如图3所示， 点均在抛物线对称轴的左侧，抛物线对称轴的右侧，不符合题意； 当时， ∵抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小， ∴，解得， 综上所述； ③当点在抛物线对称轴的左侧时，如图4所示， ，解得， 此时点不是最大值或最小值的其中一个，不符合题意； 综上所述的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $