精品解析：2025年吉林省松原市宁江区三校九年级中考第三次模拟考试数学试题

九年级第三次模拟考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 实数的倒数为（　　） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，， ∴实数的倒数为， 故选：D． 2. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有米，数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．用科学记数法表示即可. 【详解】解：， 故选：C 3. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的意义和画法可以得出答案． 【详解】根据俯视图的意义可知，从上面看物体所得到的图形，选项C符合题意， 故答案选：C． 【点睛】本题主要考查组合体的三视图，注意虚线、实线的区别，掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键． 4. 若关于 的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】根据题意得且， 解得且． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形 的顶点 的坐标为，点 、均在 轴上．将 绕顶点 逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，勾股定理求出，，勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：作，交y轴于点F， 的坐标为 ∴， 是等边三角形，， ∴是 的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴． 故选：A． 6. 如图，、是 的切线，切点分别为 、 ，点 、在 上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，即可求出，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：连接 ，则， 又∵， ∴， 又∵是 的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了立方根和零指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算立方根和零指数幂，然后计算加减即可求解． 【详解】 ． 故答案为：． 8. 已知点在第四象限，则 的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解一元一次不等式组，由点在第四象限，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 9. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是________． 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，解题的关键是理解题意；根据题意可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知运用到的数学知识是：直线外一点与直线上各个点的连线中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 10. 如图，在中，点 是边的中点，点 在 边上，且平分，已知，则 的长为_______ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键． 根据题意得出，得到，得出点 为中点，利用中位线的性质确定，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点 为中点， ∵点 是边的中点， ， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图， 是 的直径，将弦 绕点A顺时针旋转得到 ，此时点C的对应点D落在 上，延长 ，交 于点E，若 ，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，得到，求出，证得，得到，求出，再根据公式即可得面积． 【详解】解：连接， 由旋转知， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∵ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，扇形面积计算公式，等腰三角形的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 13. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别． （1）小刚从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为______； （2）小刚从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2）两次摸出的两个球颜色相同的概率为． 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据列表法可进行求解概率． 【小问1详解】 解：由题意可得摸到绿球的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可列表如下： 绿 绿 红 绿 绿绿 绿绿 红绿 绿 绿绿 绿绿 红绿 红 绿红 绿红 红红 ∴两次摸出球的情况总共有9种，其中两次摸出的两个球颜色相同的有5种情况， ∴两次摸出的两个球颜色相同的概率为． 14. 某景区纪念品商店计划购进甲、乙两种纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元．求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元． 【答案】每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元 【解析】 【分析】根据题目中给出的两种购进甲、乙纪念品的花费情况，设出甲、乙纪念品的进价，列出二元一次方程组，通过解方程组得出进价．本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握根据等量关系列方程组、解方程组是解题的关键． 【详解】解：设每件甲种纪念品的进价是 元，每件乙种纪念品的进价是元，根据题意，得 解得 答：每件甲种纪念品的进价是35元，每件乙种纪念品的进价是50元． 15. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． （1）在图中画出 边上的中线 ； （2）在图中画出 边上的高线 ； （3）在图中的 边上找到一点 ，使 ． 【答案】（1） 如图，根据网格可得， 即为所求； ， （2） 解：如图， 即为所求； （3） 解：如图，点 即为所求； 【解析】 【分析】本题考查了无刻度的直尺画图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （ ）由矩形性质可得可得，即 即为所求； （）根据网格可得， （ ）证明 ，，同理 ，则，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； （1）求的函数解析式； （2）若 的面积为8，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质，中心对称，解题的关键是求出反比例函数的解析式． （1）用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出点C的坐标为，点B的坐标为，得出，根据 的面积为8，得出，求出m的值即可． 【小问1详解】 解：∵函数经过点， ∴， ∴的函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵点A关于原点对称的对称点为C， ∴点C的坐标为， ∵过点A作轴交函数的图象于点B， ∴点B的坐标为， ∴， ∵ 的面积为8， ∴， 解得：． 17. 周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，小明在点 处利用测倾器测得古城墙的顶端 的仰角，王强站在矩形平台上，在点处利用测倾器测得古城墙顶端 的仰角．已知，点 在 上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内，．请利用以上数据，求出该古城墙的高度 （结果精确到，参考数据：，tan）． 【答案】 【解析】 【分析】设古城墙高度 为 米，利用矩形性质得到相关线段关系，再结合两个直角三角形（和 ）中的仰角，根据正切函数表示出对应线段，建立方程求解 的高度．本题主要考查了解直角三角形的实际应用（仰角问题），熟练掌握矩形的性质、仰角的概念以及正切函数的定义，通过设未知数建立方程求解是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，设，则． ， 在中， ，即 ， ∴ ，解得 ∴该古城墙的高度 约为． 18. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间 （分钟）进行统计调查，记： 组“”， 组“”，组“”， 组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组； （2） 组所在扇形的圆心角大小是___________度； （3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本容量，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据，掌握统计量的确定方法是解题的关键． （1）将 组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数，根据中位数的确定方法即可得到中位数在哪个组； （2）将 组人数占比乘以即可得到答案； （3）用样本估计总体的方法计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的人数是（人）， 组人数为（人）， （人）， 本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在 组， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 组所在扇形的圆心角大小是度， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人． 19. 放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离（米）与小亮出发的时间 （分）之间的函数图象． （1）小明的速度是___________米/分； （2）求 段的函数解析式； （3）当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离． 【答案】（1）80 （2） （3）800米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求一次函数解析式，从函数图中获取相关信息是解题的关键． （1）从函数图中获取路程与时间信息解答即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）利用小明离到家剩余时间速度即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：米/分， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由图象可得：函数过，这两点， 设 段一次函数的解析式为：， 把，代入可得： ， 解得：， ∴ 段一次函数的解析式为：； 【小问3详解】 解：由图可得：当小亮回到家时，小明回家还需要分钟， 由（1）可得：小明的速度为每分钟米， ∴小明与家的距离为：米． 20. （1）【问题探究】如图1，已知 是 的中线，延长 至点 ，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在 的中线 上任取一点 （不与点 、点 重合），过点 、点分别作， ，连结 ，，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在 中，，，，点 是 的中点，点 是直线 上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 【答案】 （1）证明：是的中线， ， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：延长到点 ，使，连接，如图2， ， 是的中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． （1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点 ，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点 ，使，连接，由（2）知，，，则取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：延长到点 ，使，连接，如图3， 由（2）知，，， 则取最小值时，最小，故时，最小， 是的中线， ， ， 在中， 21. 如图，在中，，，．动点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．过点 作与 的直角边相交于点 ，延长至点 ，使得，以为边作矩形．设矩形与 重叠部分图形的面积为 ，点 的运动时间为 秒． （1）当时，求 的值； （2）当时，求 的值； （3）求 与 之间的函数关系式． 【答案】（1） （2）或6 （3）当时，；当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判定，掌握知识点是解题的关键． （1）过点C作 于点E，有，求出，可得，即此时P运动到点E，即可解答． （2）分类讨论：当与当时，作出正确的图形，逐项分析，即可解答； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，，作出正确的图形，逐项分析，即可解答． 【小问1详解】 解：过点C作 于点E，如图， ， ∵，，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 即此时P运动到点E， ∴， 即 ． 【小问2详解】 ①当时，如图 由（1）可得 ， 在矩形中，， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， 解得． ②当时，如图 ∵， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得． 综上所述，t的值为2或6． 【小问3详解】 ①当时，矩形与 重叠部分图形为，如图 ； ②当时，矩形与 重叠部分图形为四边形，如图 ； ③当时，矩形与 重叠部分图形为五边形，如图 有， ， ， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点 的坐标为，点 、点 均在这个抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象 ． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 、 到 轴的距离相等时，求 的值； （3）当顶点 在图象 上时，设图象 最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与 之间的函数关系式； （4）矩形 的顶点分别为、、，若矩形 的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出 的值． 【答案】（1） （2）或或 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为即可得到； （2）根据题意得到，，然后 分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）根据二次函数图象的性质可得图象 的最低点的纵坐标为，然后分两种情况：当点 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧时；当点 在对称轴的右侧，点 在对称轴的左侧时，即可求解； （4）根据题意画出图形，然后分两种情况讨论，分别将代入抛物线解析式求出 （舍去）或，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（、为常数）的顶点 的坐标为， ∴抛物线； 【小问2详解】 解：∵点 、点 均在这个抛物线上，点 的横坐标为 ，点 的横坐标为， ∴， ∵点 、 到 轴的距离相等 ∴当点P和点Q在x轴两侧时， ∴ 解得或； 当点P和点Q在x轴同侧时， 解得； 综上所述，或或； 【小问3详解】 解： 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 顶点 在图象 上， 图象 的最低点的纵坐标为， 当点 在对称轴的左侧，点 在对称轴的右侧时，此时且，即， ， 图象 最高点的纵坐标等于点 的纵坐标，即， ； 当点 在对称轴的右侧，点 在对称轴的左侧时，此时且，即， ， 图象 最高点的纵坐标等于点 的纵坐标，即， ； 综上所述，与 之间的函数关系式为； 【小问4详解】 解：如图所示，当点C在抛物线上时，此时矩形 的边与抛物线恰好有三个交点 ∴将代入得， 解得 （舍去）或 ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点D在抛物线上时，此时矩形 的边与抛物线恰好有三个交点 ∴将代入得， 解得 （舍去）或 ∵ ∴ ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数和几何的综合题，矩形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第三次模拟考试数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 实数的倒数为（　　） A. 6 B. C. D. 2. 目前全球最薄的手撕钢产自中国，厚度只有米，数据0.000015用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于 的一元二次方程有两个实数根，则 的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 5. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点 的坐标为，点 、 均在 轴上．将 绕顶点 逆时针旋转得到，则点的坐标为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，、是 的切线，切点分别为 、 ，点 、 在 上，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：___________． 8. 已知点在第四象限，则 的取值范围是___________． 9. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到公路边，所以选择沿线段 去公路边，那么他的这一选择体现的数学基本事实是________． 10. 如图，在中，点 是边 的中点，点 在边上，且 平分，已知，则的长为_______ ． 11. 如图， 是 的直径，将弦 绕点A顺时针旋转得到 ，此时点C的对应点D落在 上，延长，交 于点E，若 ，则图中阴影部分的面积为__________． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别． （1）小刚从袋子中随机摸出1个球，摸出的球是绿球的概率为______； （2）小刚从袋子中随机摸出一个球记下颜色后放回并摇匀，再从中随机摸出一个球．请用列表或画树状图的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 14. 某景区纪念品商店计划购进甲、乙两种纪念品．若购进甲种纪念品3件，乙种纪念品2件，需花费205元；若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品4件，需花费270元．求甲、乙两种纪念品每件的进价分别是多少元． 15. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的阿格中，分别按下列要求画图，保留适当的画图痕迹． （1）在图中画出 边上的中线； （2）在图中画出 边上的高线 ； （3）在图中的 边上找到一点 ，使 ． 16. 如图，平面直角坐标系中，函数经过点，过点A作轴交函数的图象于点B，点A关于原点对称的对称点为C； （1）求的函数解析式； （2）若 的面积为8，求m的值． 17. 周末，某数学兴趣小组进行实践活动．如图，小明在点 处利用测倾器测得古城墙的顶端 的仰角，王强站在矩形平台上，在点 处利用测倾器测得古城墙顶端 的仰角．已知，点 在 上，点在同一直线上，所有点均在同一平面内，．请利用以上数据，求出该古城墙的高度 （结果精确到，参考数据：，tan）． 18. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间 （分钟）进行统计调查，记： 组“”， 组“”， 组“”， 组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组； （2） 组所在扇形的圆心角大小是___________度； （3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 19. 放学后小明和小亮兄弟两人都从学校（同一学校）回家，已知学校到家的距离为3000米，由于小亮要值日，因此在小明先出发1000米后，小亮才出发．小明在回家途中速度保持不变，小亮在出发5分钟后加快自己的速度，如图是小明、小亮两人离学校的距离 （米）与小亮出发的时间 （分）之间的函数图象． （1）小明的速度是___________米/分； （2）求段的函数解析式； （3）当小亮回到家时，直接写出小明与家的距离． 20. （1）【问题探究】如图1，已知 是 的中线，延长 至点 ，使得．连结，求证：四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在 的中线 上任取一点 （不与点 、点 重合），过点 、点 分别作， ，连结 ， ，求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在 中，，，，点 是 的中点，点 是直线 上的动点，且，，当取得最小值时，求线段的长度． 21. 如图，在 中，， ，．动点 从点 出发，沿 以每秒1个单位长度的速度向终点 运动．过点 作与 的直角边相交于点 ，延长 至点，使得，以为边作矩形．设矩形与 重叠部分图形的面积为，点 的运动时间为 秒． （1）当时，求 的值； （2）当时，求 的值； （3）求与 之间的函数关系式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）的顶点 的坐标为，点 、点均在这个抛物线上，点 的横坐标为 ，点的横坐标为，将此抛物线上两点之间的部分（包括两点）记为图象． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 、到 轴的距离相等时，求 的值； （3）当顶点 在图象上时，设图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与 之间的函数关系式； （4）矩形 的顶点分别为、、，若矩形 的边与抛物线恰好有三个交点时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $