精品解析：2025学年辽宁省葫芦岛市建昌县中考二模数学试题

2025学年辽宁省葫芦岛市建昌县中考二模数学试题 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10911米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将数据10910用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，该几何体的主视图是（　　） A B. C. D. 3. 几种液体在标准大气压下的沸点如表所示，其中沸点最低的液体是（ ） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ 78 A. 液态氧 B. 液态氮 C. 液态酒精 D. 液态二氧化碳 4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是（ ） A B. C. D. 8. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 9. 如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a2+ab=_____． 12. 将点向右平移三个单位长度得到点，则点的坐标是______． 13. 如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F，若，则的长为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（为大于0的常数，）的图象上．若的面积是6，则的值是______． 15. 如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 18. 九年一班举办了一次古诗词竞赛，满分为10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示． 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 （1）求出成绩分析统计分析表中a，b，c的值； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明是哪个组的学生？并说明理由； （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出一条支持乙组同学观点的理由． 19. 商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 （1）求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 20. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，． 任务1 （1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 （2）求的长．（结果精确到） 参考数据 21. 如图，在中，，以为直径的与交于点． （1）尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 22. 已知：中，，点D，E分别在边上（均不与点重合），连接． （1）如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，与的位置关系是______； （2）如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）如图3，当点不与点重合，且时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，且，求的长． 23. 数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年辽宁省葫芦岛市建昌县中考二模数学试题 （本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 2025年1月5日，我国首口超万米科探井——深地塔科1井在地下10911米成功完钻，标志着我国在深地领域的技术跨越．将数据10910用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图所示，该几何体的主视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看得到的图形是： 故选：C． 3. 几种液体在标准大气压下的沸点如表所示，其中沸点最低的液体是（ ） 液体名称 液态氧 液态氮 液态酒精 液态二氧化碳 沸点/℃ 78 A. 液态氧 B. 液态氮 C. 液态酒精 D. 液态二氧化碳 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正负数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地求解．根据正负数大小比较的方法进行求解． 【详解】解：，，， 且， ， ， 沸点最低的液体是液态氮， 故选：B 4. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：． 5. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法，通过同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法法则逐一排除即可，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 7. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，由平行四边形性质可得，，，即是中点，从而可得是中位线，所以，求得，然后求周长即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：． 8. 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可． 详解】解：由题意得 故选A． 9. 如图，中，，以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 10. 已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式等知识，二次函数图象向下，与轴交于正半轴，得到，由二次函数的对称轴为直线， ，可判断①，由二次函数图象经过点，可判断②，由，得到，代入，可判断③，求得由二次函数图象与轴的另一个交点为，可得到，根据关于的方程无实数根，可判断④，掌握相关知识是解题的关键． 详解】解：∵二次函数图象向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①不符合题意； ∵二次函数图象经过点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴，故③不符合题意； ∵二次函数图象经过点，二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴可分解因式为， ∴，即， ∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个， 故选：B． 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：a2+ab=_____． 【答案】a（a+b）． 【解析】 【分析】直接提公因式a即可. 【详解】a2+ab=a（a+b）． 故答案为：a（a+b）． 12. 将点向右平移三个单位长度得到点，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，熟练掌握平移规律是解答此类问题的关键，在平面直角坐标系中，平移时点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据在平面直角坐标系中，平移时点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，进行解答即可． 【详解】解：∵向右平移三个单位长度， ∴横坐标加3，则，纵坐标不变， ∴． 故答案为：． 13. 如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D，E，F，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例求出，即可求解，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，的边轴，边轴，且点在反比例函数（为大于0的常数，）的图象上．若的面积是6，则的值是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了已知面积求值，根据边轴，边轴，得到，根据题意，得到，根据面积公式，列出方程进行解答即可． 【详解】解：∵边轴，边轴， ∴， 根据题意，，的面积是6， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：24． 15. 如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，点是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，连接，根据勾股定理求出，由折叠可得，根据，由当点三点共线时，最小，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵， ∴， 如图：连接， ∴在中，， ∵将沿翻折得到， ∴， ∵， ∴当点三点共线时，最小， 如图： ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，零次幂，绝对值的含义，一元一次不等式组的解法； （1）先计算乘方，绝对值，零次幂，化简二次根式，再合并即可； （2）先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 解得：， 由②得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：. 17. 葫芦岛北到哈尔滨西的铁路里程约为，从葫芦岛北乘“G”字头列车A和“T”字头列车B都可到达哈尔滨西．已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶时间比B车少（中间站停车时间忽略不计）．请根据以上信息，求出列车A车的平均速度． 【答案】A车的平均数速度为 【解析】 【分析】本题主要考查的是分式方程的应用，找出题目的相等关系是解题的关键． 设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为，然后依据A车行驶时间比B车少列方程求解即可． 【详解】解：设B车的平均速度为，则A车的平均数速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：A车的平均数速度为． 18. 九年一班举办了一次古诗词竞赛，满分为10分，学生得分均为整数，成绩达到6分及6分以上为合格，达到9分或10分为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图和成绩统计分析表如图所示． 组别 平均分 中位数 方差 合格率 优秀率 甲组 乙组 （1）求出成绩分析统计分析表中a，b，c的值； （2）小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中排名属中游略偏上！”观察上面表格判断，小明是哪个组的学生？并说明理由； （3）甲组同学说他们组的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们组的成绩好于乙组．但乙组同学不同意甲组同学的说法，认为他们组的成绩要好于甲组．请你写出一条支持乙组同学观点的理由． 【答案】（1），，； （2）甲组，理由见解析； （3）乙组的平均分高于甲组，乙组的方差小，比甲组稳定． 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、中位数及方差的概念及意义；熟练掌握平均数、中位数及方差的定义是解题的关键． （1）由折线图中数据，根据中位数和平均数的定义求解可得a，b的值 （2）根据中位数的意义分析可得小明是甲组的学生 （3）考虑从平均数和方差两方面阐述即可． 【小问1详解】 解：甲组：3分的有1人，6分有5人，7分的有1人，9分的有2人，10分的有1人， 乙组：5分的有2人，6分有1人，7分的有2人，8分的有3人，9分的有2人， 由折线统计图可知，甲组成绩从小到大排列为：3、6、6、6、6、6、7、9、9、10， ∴中位数， ， ； 【小问2详解】 解：因为甲组中位数是6，， 所以7分，在小组中排名属中游略偏上； 乙组中位数是， 所以7分，在小组中排名属中游略偏下； 故小明是甲组的学生； 【小问3详解】 解：支持乙组同学观点的理由是乙组的平均分高于甲组，乙组的方差小，比甲组稳定． 19. 商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 （1）求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （2）该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 【小问1详解】 解：设， 由题意，把，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 20. 项目式学习 项目背景 2025年3月21日，神舟十九号航天员蔡旭哲在空间站机械臂和地面科研人员的配合支持下，完成了空间站空间碎片防护装置及舱外辅助设施安装、舱外设备设施巡检等任务．蔡旭哲成为目前在舱外执行任务次数最多的中国航天员．某学校机器人兴趣小组在详细研究了空间站机械臂的结构设计、工作原理和运动控制方式后，绘制了处于工作状态的某型号手臂机器人的示意图．为了更好地理解此时手臂机器人的工作范围，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图所示，是垂直于工作台的移动基座，，为机械臂，，． 任务1 （1）求机械臂端点到工作台的距离的长；（结果精确到） 任务2 （2）求的长．（结果精确到） 参考数据 【答案】（1）米；（2）米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，过点作于，在中，求得，在中，求得，最后求得的长即可； （2）在中，求得的长，在中，求得的长，最后求得的长． 【详解】解：（1）过点作于点，过点作于点，过点作于， 四边形，四边形都是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ， 答：机械臂端点到工作台的距离的长约为米． （2）在中，由勾股定理可知：， 则， 在中， ， ， ． 答：的长约为米． 21. 如图，在中，，以为直径的与交于点． （1）尺规作图：作出劣弧的中点，过点作，连接并延长，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作的垂直平分线交于一点，即为点E，再过点A作一个等于的角，然后连接并延长，交于点M，即可作答． （2）先由垂径定理得，根据圆周角定理得出，再结合勾股定理得出，算出，然后根据代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，作图如图所示． ； 【小问2详解】 解：由（1），得， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴， ∴． 如图，连接，过点O作于点H． 则， ∴， ， ∴， ， ， 则． 【点睛】本题考查了作一个已知角以及圆周角定理，垂径定理，扇形面积，勾股定理，综合性较强，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22. 已知：中，，点D，E分别在边上（均不与点重合），连接． （1）如图1，当点D，E分别与点B，C重合时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，与的位置关系是______； （2）如图2，当点D，E不与点B，C重合时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由； （3）如图3，当点不与点重合，且时，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，点是点关于直线的对称点，若点G，D，F在一条直线上，且，求的长． 【答案】（1）平行； （2）成立，理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）先证，再证，则四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过作交的延长线于点，证明，得，则，即可得出结论； （3）连接，过作于点，延长交于点，证四边形是正方形，得，再证，得，然后证是等腰直角三角形，得，进而得，则，即可解决问题． 【小问1详解】 解：由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴与的位置关系是平行， 故答案为：平行； 【小问2详解】 解：成立，理由如下： 如图2，过作交的延长线于点，则， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接，过作于点，延长交于点，则， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是点关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 【点睛】本题是考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、正方形的判定与性质、轴对称的性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 23. 数学活动课上，李老师和同学们一起运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究—】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数图象一部分，已知图象经过原点，求抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，抛物线与轴交于另一点，点是叶片上的一对对称点，交直线于点．求叶片此处宽度的值； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）同学们在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点作轴，交直线于点，求得，，得到，证明为等腰直角三角形，得到，再证明为等腰直角三角形，得到，求出，即可求解； （3）求出右侧幼苗上方轮廓表达式，设，则，则，即可求解． 【详解】解：（1）把点代入中，得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）由（1）可知，抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， 如图，过点作轴，交直线于点， 将代入中，得：， ∴， ∴， ∵直线与坐标轴交于两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵点是关于对称轴直线的一对对称点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 解得：， ∴； （3）如图： ∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状想再，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓表达式为， 把代入得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $