专题01 四边形（暑假复习讲义）新九年级数学新教材沪教版五四制

专题01 四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用平行四边形的性质求解 题型2 利用平行四边形的性质证明 题型3 证明四边形是平行四边形 题型4 利用矩形的性质求角度 题型5 根据矩形的性质求线段长 题型6 矩形与折叠问题 题型7 证明四边形是矩形 题型8 利用菱形的性质求线段长 题型9 利用菱形的性质求面积 题型10 利用菱形的性质证明 题型11 证明四边形是菱形 题型12 根据正方形的性质求线段长 题型13 根据正方形的性质证明 题型14 与三角形中位线有关的求解问题 题型15 与三角形中位线有关的证明 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.平行四边形的性质 2.平行四边形定 3.矩形性质与判定 4.矩形折叠问题 5.菱形性质与判定 6.正方形性质与判定 7.三角形中位线定理 8.中点四边形规律 1.平行四边形边角、对角线计算:依托对边相等/平行、对角相等、对角线互相平分，求边长、角度，常结合周长列式计算。 2.平行四边形证明:选取判定定理(边/对角线条件)，证明四边形为平行四边形，基础证明必考。 3.矩形角度、线段求解:利用四角直角、对角线相等平分，结合直角三角形性质算边角。 4.矩形折叠综合:折叠找等角等边，设未知数列勾股方程，求线段、重叠面积，选择填空高频。 5.矩形判定证明:在平行四边形基础上加直角/等对角线证矩形。 6.菱形线段、面积计算:四边相等、对角线垂直平分，面积=对角线乘积-2;由内外角推导等边三角形求短对角线。 7.菱形证明:一组邻边相等的平行四边形/对角线垂直的四边形判定菱形。 8.正方形综合计算:兼具矩形、菱形全部性质，对角线平分45°，结合动点、垂线转化线段求值。 9.正方形判定:先证矩形+邻边相等，或菱形+一个直角，多在解答小问考查。 10.中位线求值:中位线平行且等于底边一半，常结合菱形、矩形边长求线段长;中点四边形题型:由原四边形对角线特征判断中点四边形形状。 11.中点四边形辨析:原四边形对角线相等-中点四边形菱形;对角线垂直一中点四边形矩形，选择题高频辨析。 考情解码：四边形是初中平面几何核心模块，承接平行线、三角形知识，是后续相似、圆的铺垫，为八下重难点。考题从单一性质识记，逐步转向多图形综合证明、折叠动点、中点模型、实际情境题型;平行四边形判定、矩形折叠、菱形面积、中位线是高频压轴小考点，常和直角三角形、勾股定理综合出题，侧重逻辑推理、方程解题与几何模型应用。 知识点一 多边形 1.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 2.多边形的内角和定理和外角和定理 多边形的内角和定理 n边形的内角和等于． 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于． 即时即练 如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多边形外角和定理得到，进而代入已知角度求出的度数． 【详解】解：，，，，． 故选：． 知识点二 平行四边形 1.定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 2.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 3.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等. 定理2 平行四边形的对角相等. 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 4.对称性、不稳定性与平行线之间的距离 平行四边形是中心对称图形,对称中心为平行四边形两条对角线的交点.四边形具有不稳定性. 如图，直线平行，是直线上任意一点，，垂足为，线段的长度就是直线之间的距离． 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度 如图所示，在中，于点于点．也就是平行四边形的面积底×高（其中是平行四边形的任何一条边长，必须是边长为的边与其对边之间的距离）． 5.平行四边形的判定方法 定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∴ 四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且）， ∴ 四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形，如图所示，四边形ABCD是平行四边形，，则，，但四边形 不是平行四边形. （3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形. （4）平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，在应用时要注意区别，以防混淆. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 1.另一组对边相等2.该组对边平行 一组对边平行 1.另一组对边平行2.该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角相等 即时即练 四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（     ） A．四边形的内角大小 B．四边形的内角和 C．四边形的外角和 D．四边形的周长 【答案】A 【详解】解：∵ 任意四边形的内角和恒为 ，外角和也恒为 ， ∴ B和C选项的量都是确定的； ∵ 四边形周长为四条边长的和，边长一定时，周长也一定， ∴ D选项的量是确定的； ∵ 四边形具有不稳定性，边长确定时，四边形可改变形状，内角大小会发生变化， ∴ 不能确定的是四边形的内角大小. 知识点三 矩形 1.定义：四个内角都是直角的四边形叫作矩形.矩形是一种特殊的平行四边形． （1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 2.矩形的性质 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 3.矩形的判定 1.定义判定法 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 【易错警示】 (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 即时即练 下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定和性质，平行四边形的性质． 根据正方形的判定，矩形的判定和性质，平行四边形的性质判断各选项的正确性即可． 【详解】解：对角线互相垂直的四边形不一定是正方形（如菱形），A不正确； 对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形），B不正确； 矩形的对角线相等且互相平分，C正确； 平行四边形的对角线互相平分，但不一定平分一组对角，D不正确； 故选：C． 知识点四 菱形 1.定义：四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 3.菱形的判定 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 【延伸】四边形、平行四边形、菱形的关系 1．四边形→平行四边形 当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2．平行四边形 → 菱形 当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等 对角线互相垂直 3．四边形 → 菱形（直接判定） 当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 4.菱形的面积 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt Rt Rt Rt ； （2） ； （3） 若菱形 A B C D 的对角线相交于点，则 （1） ； （2） ； （3） 【解题大招】 有一内角为60°或120°的菱形，较短对角线把菱形分成两个全等的等边三角形.较短对角线的长等于菱形的边长，较长对角线的长等于菱形边长的倍. 即时即练 如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O．    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 知识点五 正方形 1.定义： 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 2.正方形的判定 （1）定义判定： 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 （2）从边的角度判定： 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）从角的角度判定： 有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）从对角线的角度判定： ①对角线相等的菱形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 判定一个四边形是正方形的三种方法 (1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等 (3)先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直. 3.正方形的性质 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． 【横向比较】平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 即时即练 如图，在正方形中，点E在边上，将绕点D按顺时针方向旋转，与重合，，则旋转角度为（　　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由四边形是正方形，可得，又由将绕点D按顺时针方向旋转，与重合，可得是旋转角，继而求得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点D按顺时针方向旋转，与重合， ∴是旋转角， ∴旋转角等于． 故选：C． 【点睛】此题考查了旋转的性质、正方形的性质以及旋转角的定义．此题比较简单，注意找到旋转角是解此题的关键． 知识点六 中位线与重心 1.中位线与中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 每一个三角形有三条中位线. 图23-4-1 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点.如图D4-5-1所示,AD是中线,EF是中位线. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 2.三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 即时即练 顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】D 【分析】本题考查中位线定理和正方形的性质，解题的关键是掌握相关性质和判定． 画出图形，由三角形中位线的性质，可证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的四边形为菱形，可证明平行四边形是菱形，最后根据有一个角为直角的菱形是正方形即可证明菱形是正方形． 【详解】解：设正方形，、、、分别为、、、的中点，连接、. ∵ 、是、的中点， ∴ ，且 . 同理，，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形. ∵ 、是、的中点， ∴ ， . ∵ 正方形对角线相等且垂直， ∴ ，， ∴ = ， 又∵四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形. ∵ ，，， ∴， ∴ ， ∴ 菱形是正方形. 故选：D． 题型1 利用平行四边形的性质求解 例1．已知平行四边形周长为20，一边长4，则另一边长为________． 【答案】6 【分析】利用平行四边形对边相等的性质，结合周长的定义即可计算出另一边长． 【详解】∵平行四边形的对边相等， ∴平行四边形的周长等于2倍的两邻边长度之和， 设平行四边形另一边长为x，根据题意得， 解得． 例2．在中，如果，那么______． 【答案】135 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ， ， ， 解得， ， ． 【技巧总结】 平行四边形周长：对边相等，邻边和=周长÷2，邻边长=周长÷2－已知边长。 平行四边形内角：对角相等、邻角互补，用180°列式求角度。 【变式训练1-1】在平行四边形中，，，则__________． 【答案】/150度 【分析】根据平行四边形对角相等的性质列方程求出，得到的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 又 ， ， ， 解得， 即， 平行四边形对边平行，同旁内角互补， ， ． 【变式训练1-2】如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是____． 【答案】 【分析】根据作图可知，根据平行四边形的性质结合已知条件推出，进而求出的长，勾股定理求出即可． 【详解】解：在中， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，. 题型2 利用平行四边形的性质证明 例3．在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，三角形全等的判定与性质，根据三角形全等的判定与性质以及平行四边形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：如图， A选项：∵，， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； B选项：∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； C选项：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，本选项不合题意； D选项：由无法证明四边形是平行四边形，本选项符合题意． 故选：D． 例4．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，据此可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【技巧总结】 1.判定选择题:紧扣平行四边形5种判定定理，逐一核对选项，排除符合判定的条件。 2.证明大题:先证一组对边平行且相等，或两组对边分别相等/平行，完成判定。 【变式训练2-1】仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） 如图，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． (1)利用平行四边形的性质（1）画出的中点F； (2)在上画出点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； （2）连接延长交于点，点H即为所求，满足． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵E为平行四边形的边的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ． 【变式训练2-2】如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质证明，则可证明得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，求出，由全等三角形的性质得到，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； 由（1）知， ， ， ∴． 题型3 证明四边形是平行四边形 例5．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【详解】解：根据尺规作图可知，， ∴四边形为平行四边形， 其依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 例6．探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【答案】①② 【分析】根据平行四边形的判定定理，分别判断三种作图方法得到的四边形是否满足平行四边形的判定条件即可． 【详解】①由作图可得，， 根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故①正确； ②由作图可得，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知四边形是平行四边形，故②正确； ③由作图可得四边形是平行四边形，故③错误． 故答案为：①②． 【技巧总结】 熟记平行四边形判定定理，根据作图的边、对角线关系匹配判定依据。 逐个对照作图操作，结合「两组对边相等、对角线互相平分、两组对边平行」三条判定筛选正确 【变式训练3-1】如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定、三角形全等的判定和性质．掌握三角形全等的判定和性质及平行四边形的判定方法是解题关键． 首先，根据条件运用“”判定，然后，得出，，最后，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”判定四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：在和中， ∵， ． ，． 四边形是平行四边形． 【变式训练3-2】如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 题型4 利用矩形的性质求角度 例7．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角得到，三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 例8．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【技巧总结】 1.矩形对角线相等且平分，分出等腰三角形，结合直角、互余推导角度。 2.垂线生成90°直角，用三角形内角和、边角等量代换求值。 【变式训练4-1】如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 【答案】35 【分析】根据题意，得，根据，得到，求解即可； 【详解】解：矩形的对角线、相交于点O， ， ， ， ， ， ， ， ； 【变式训练4-2】如图，如果将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形的形状，并使它的面积为矩形面积的一半，那么这个平行四边形的最小内角等于__________． 【答案】/30度 【分析】过点D作于，根据平行四边形的面积等于矩形面积的一半，得出，取的中点，连接，由直角三角形的性质得出为等边三角形，由等边三角形的性质可得，最后由计算即可得解． 【详解】解：过点D作于，则， 根据题意得，， ， 取的中点，连接，则， ， 为等边三角形， ， ， 即这个平行四边形的最小内角等于． 题型5 根据矩形的性质求线段长 例9．矩形相邻两边的长是1和2，则它的两条对角线之和为________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质可知矩形内角为直角，且对角线相等，再利用勾股定理求出一条对角线的长，最后计算两条对角线的和即可． 【详解】解：∵矩形的四个内角都是直角，且矩形的对角线相等， ∴由勾股定理可得，一条对角线的长为， ∴两条对角线之和为． 例10．如图，矩形中，，垂足为，且，，则___________． 【答案】8 【分析】由矩形的性质得，进而可证垂直平分，可得，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ． 【技巧总结】 1．矩形对角线相等，先用勾股算出单条对角线，再求和。 2．结合面积两种算法（邻边相乘、对角线 × 高 ）列式求边长。 【变式训练5-1】已知矩形中，，，连接、交于点O，过A作，垂足为H，则的长为____． 【答案】/ 【分析】先利用矩形的性质得到对角线相等且互相平分，再用勾股定理求出对角线的长，通过等面积法求得的长，再由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∵， ∴在中，由勾股定理得． 【变式训练5-2】已知矩形的对角线、交于点O，是等边三角形．如果，则的长是______． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得到对角线相等且互相平分，结合等边三角形的性质求出矩形对角线的长度，再利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：． 题型6 矩形与折叠问题 例11．如图，在矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，如果设折痕为，那么重叠部分的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要求重叠部分的面积，选择作为底，高就等于的长；而由折叠可知，由平行得，代换后，可知，问题转化为在中求． 【详解】解：设，由折叠可知，，， 在中，，即， 解得：； 由折叠可知，由得， ，即； ． 故选B． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 例12．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等角对等边的运用，掌握矩形的性质是关键． 如图所示，设交于点，可证，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算得到，再根据面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为： ． 【技巧总结】 1．折叠得对应边相等、角相等，设未知数，依托勾股定理列方程求边长。 2．阴影多为等腰三角形，用底 × 高 计算面积。 【变式训练6-1】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论，正确理解题意作出图形． 根据题意分两种情况：在上，，四边形是正方形，；在上，，用勾股定理，解，即可得的长． 【详解】解：根据题意分以下两种情况： 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，， ∴四边形是正方形， ∴； 如图，在上，， ∵四边形是长方形， ∴， 由翻折的性质，可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：或． 【变式训练6-2】如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质和折叠的性质（垂直平分线的性质）、勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程求出的长度是解题的关键． 由折叠得垂直平分，得，设，则，，由矩形得，利用勾股定理列方程求得长，由即可得出． 【详解】解：由折叠得垂直平分， ∴， 设，则，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得，即， ∴． 故答案为． 题型7 证明四边形是矩形 例13．已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的判定定理对各选项逐一判断即可得到结论． 【详解】解： A ：四边形是平行四边形，， 平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），不符合题意； B ：四边形是平行四边形，得， 平行四边形是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形），不符合题意； C ：四边形是平行四边形， ， ， ， ， 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），不符合题意； D ：平行四边形本身就满足对角相等，即本来就有，这个条件不能判定平行四边形为矩形，符合题意． 例14．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，三线合一定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟知矩形和正方形的判定定理是解题的关键． （1）可证明，则可证明四边形是平行四边形，由三线合一定理得到，据此可证明结论； （2）当时，可证明是等腰直角三角形，得到，则可证明矩形是正方形． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：当时，四边形是正方形，证明如下： 由（1）可得，且四边形是矩形， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形． 【技巧总结】 矩形判定:1有一个直角的平行四边形;2对角线相等的平行四边形，逐条筛选选项。 先证是平行四边形，再找直角/等对角线，即可证矩形;加邻边相等变正方形。 【变式训练7-1】如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形 (2) 【分析】（1）由题意易得，然后可得，进而可得，最后问题可求证； （2）由题意易得，然后根据菱形的面积公式可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练7-2】如图，在中，，点是的中点，过点作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查矩形的判定定理、正方形的判定定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）易证得四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，从而得出结论； （2）易证得是等腰直角三角形，进而得到，从而得出结论． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，点是的中点， ， ， 平行四边形是矩形； （2）解：由（1）知四边形是矩形， 在中，， ， ， 矩形是正方形． 题型8 利用菱形的性质求线段长 例15．菱形的一个外角为，边长为厘米，则此菱形较短的对角线的长等于______厘米． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，邻补角的性质，等边三角形的判定与性质，正确求出菱形的内角度数，判断较短对角线与邻边的关系是解题关键． 【详解】解：已知菱形的一个外角为，根据邻补角的性质，可得该外角相邻的内角为， 设菱形的边长为厘米，，连接，如图所示： 菱形的四条边相等， 厘米 又， 是等边三角形， 厘米， 菱形内角所对的对角线为菱形较短的对角线， 此菱形较短的对角线的长等于厘米． 例16．如果菱形的对角线长24和10，那么菱形的周长为__________． 【答案】52 【分析】本题考查菱形的性质与勾股定理的应用，利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，再用勾股定理求出菱形的边长，最后根据菱形四边相等计算周长． 【详解】解：如图，四边形是菱形， 、、， 在中，由勾股定理得：， 菱形的周长为． 【技巧总结】 1.菱形四边等，外角推内角，短对角线与邻边构成等边三角形。 2.对角线垂直平分，勾股求边长再算周长。 【变式训练8-1】中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，其示意图如图所示，菱形的对角线，，则菱形边长为______． 【答案】10 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，求出两条对角线的一半长度，再在直角三角形中利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：四边形是菱形 ，， ， ， 在中，由勾股定理得． 【变式训练8-2】如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，的长度，然后根据勾股定理求出，然后根据垂线段最短得到当时，有最小值，然后利用菱形面积求解． 【详解】解：在菱形中，， ， ∵点P是边上的一个动点， ∴当时，有最小值，如图， ， ∴ ∴， 的最小值为． 题型9 利用菱形的性质求面积 例17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可解答． 【详解】解：∵菱形中，，， ∴菱形的面积为． 例18．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 【防错警示】 是菱形两条对角线的长度），利用该公式求菱形的面积时，千万不能漏乘． 【变式训练9-1】已知菱形的周长为20，两条对角线之比为，则菱形的面积为_______． 【答案】24 【分析】先根据菱形周长求出菱形边长，再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出两条对角线的长度，最后根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半计算面积． 【详解】解：如图所示，在菱形中，对角线交于点O，且， 设， 由菱形的性质可得， ， ∵菱形的周长为20， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的面积． 【变式训练9-2】如图，在菱形中，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由菱形的性质得到，，可证明垂直平分，得到，则可证明是等边三角形，得到，再由平行线的性质可得答案； （2）求出的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵E是的中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵E是的中点，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型10 利用菱形的性质证明 例19．下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 【答案】B 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的相关性质逐一判断即可得到错误说法． 【详解】解：A、平行四边形的基本性质是对角线互相平分，原说法正确，不符合题意； B、矩形的对角线性质是相等且互相平分，不一定互相垂直，原说法错误，符合题意； C、菱形的每一条对角线平分一组对角，原说法正确，不符合题意； D、正方形的对角线相等、互相垂直且平分，原说法正确，不符合题意； 例20．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的性质，理解菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵在菱形中，对角线、相交于点O， ∴，，，故A、C、D选项不符合题意． 只有当菱形中，时，，故B选项符合题意． 故选B． 【技巧总结】 菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起。 【变式训练10-1】有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形与特殊平行四边形的性质逐个判断各说法即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形， ∴矩形具有平行四边形的所有性质，故①正确； ∵普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， ∴②错误； ∵菱形是四边相等的平行四边形，任意一条对角线分割该平行四边形（菱形）后，得到的两个三角形三边对应相等（菱形边长相等，对角线为公共边），因此两个三角形全等，且每个三角形有两条边是菱形的边长，因此是等腰三角形， ∴③正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，四个小三角形等底同高，面积都等于平行四边形面积的，因此四个小三角形面积相等， ∴④正确； 综上，正确说法的序号是①③④． 故选：C． 【变式训练10-2】如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可． 【详解】解：连接，，与相交于点，如图所示：   ，， 四边形、、、是平行四边形， 四边形是菱形 ，，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ，， ， ， ，， ， ，， 四边形的面积为：． 题型11 证明四边形是菱形 例21．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可． 【详解】解：、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是矩形， 故本选项不符合题意； 、四边形是平行四边形，， 是菱形， 故本选项符合题意； 、， 是直角三角形， ， 四边形是平行四边形， 是矩形， 故本选项不符合题意； 故选：． 例22．对角线_____的四边形是菱形． 【答案】 互相垂直平分 【分析】本题考查菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理，进行解题，即可． 【详解】解：菱形的判定：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形． 【技巧总结】 1．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 2．判定思路：判断菱形时，一定要明确前提条件是从＂四边形＂出发的，还是从＂平行四边形＂出发的；若从四边形出发的，则还需四条边相等；若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直． 【变式训练11-1】下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线一定互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】③④/④③ 【分析】根据菱形，矩形，平行四边形，正方形的判定定理和性质，对每个说法逐一判断． 【详解】解：①根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，故①错误.； ②矩形的性质为对角线相等，矩形对角线不一定互相垂直，仅邻边相等的特殊矩形即正方形对角线互相垂直，故②错误； ③根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故③正确； ④根据正方形的判定定理，对角线垂直的矩形是正方形，故④正确； 综上，正确的是③④． 【变式训练11-2】如图，在平行四边形中，、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，连接、．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再利用线段垂直平分线的性质证明邻边相等． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平行四边形是菱形． 题型12 根据正方形的性质求线段长 例23．如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】连接，由正方形的性质可得，，，证明四边形是矩形，得出，，从而可得是等腰直角三角形，即可得出，结合题意求出，，从而可得，，再证明，即可得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 例24．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质以及勾股定理可得，如图，连接交于点，根据菱形的性质结合可得，再利用勾股定理得到，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，对角线长为， ∴， ∴，即 ∴ 如图，连接交于点， ∵将正方形变形为菱形， ∴，，，， ∵ ∴为等边三角形， ∴，， ， ∴． 【技巧总结】 正方形的特殊性质： 1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 2）对角线与边的夹角是45° 3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大． 2．证明线段的和、差问题，解决这类问题的基本方法是截长补短法，即在长的线段上截取，将短的线段延长，转化为线段相等的问题． 【变式训练12-1】如图，在正方形中，点是对角线上一点，作于点，连接，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，关键是连接，由正方形的性质求得，进而求得与，再由勾股定理求得，最后根据轴对称性质求得． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵正方形关于对称， ∴． 【变式训练12-2】如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交于两点．若，则线段的长为________． 【答案】/ 【分析】设正方形的边长为，则，过点作于点，根据角平分线的性质可知，再由四边形为正方形，，可得出，在直角三角形中根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 如图，过点作于点， 平分， ， ， ， ，即， 解得， ． 题型13 根据正方形的性质证明 例25．如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正方形的性质和判定，菱形的性质和判定，根据相关性质逐一判断即可，综合掌握相关知识点是解决问题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 在和中： ∴ ()， ∴； 同理可证： ()， ∴； 选项：∵，， ∴，依据四条边相等的四边形是菱形， 选项正确． 选项： ∵ ∴ 是成立的结论，无法推出四边形的边或对角线满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 选项：仅知道，无法保证四边形的四条边相等或对角线互相垂直平分，不能判定其为菱形，选项错误． 选项： 仅能确定点的位置，无法保证点的位置使四边形满足菱形的判定条件，选项不符合题意． 例26．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，结合已知，可证明，可得，连接，可得，可证明，对应角相等，可得，由三角形外角的性质，可得，由直角三角形的两个锐角互余，即可得的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵点是的中点，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余． 【技巧总结】 利用正方形对角线对称、四边相等，证对角线互相垂直平分判定菱形。 借助正方形边相等证全等，结合直角三角形涂斜边中线性质求角度。 【变式训练13-1】如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明； （2）利用证明即可得到． 【详解】（1）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵正方形的对角线、交于点， ∴， ∵，即， ∵， ∴， ∴． 【变式训练13-2】仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【分析】（1）①连接平行四边形的对角线、交于点，连接延长交于点，点F即为所求中点； ②连接延长交于点，点H即为所求，满足； （2）连接正方形的对角线、交于点O，连接交于点P，连接并延长交于M，点M即为所求，满足． 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形， 、， ， 在和中， ， ， ； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是正方形， 垂直平分、、， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型14 与三角形中位线有关的求解问题 例27．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查菱形的性质与三角形中位线定理的应用．先根据菱形周长求出边长，再结合中点条件，利用三角形中位线定理求出的长度． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，是的中点． ∵菱形的周长为， ∴． 又∵为的中点， ∴在中，是中位线， ∴． 故答案为：3． 例28．如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 【答案】 3 【分析】取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证得三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， 在矩形中， ， ，， ， 为对角线的中点，为的中点，为中点， 分别为和中位线， ，且， 三点共线， ． 【技巧总结】 (1)三角形的中位线具有两方面的性质:一是位置关系，即三角形的中位线平行于三角形的第三边;二是数量关系，即三角形的中位线等于第三边的一半.因此，若题目中给出三角形两边的中点时，则直接作出中位线，若题目中给出一边的中点时，则可以先取另一边的中点，再构造出中位线. (2)直角三角形斜边上的中线的性质是直角三角形的一个重要性质，是常考的知识点，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据. 【变式训练14-1】如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 【答案】36 【分析】根据三角形的中位线定理得到，，，进而可知的周长． 【详解】解：∵是三角形的中位线， ∴，D为中点，E为中点， ∴， ∴的周长的周长， ∴的周长． 【变式训练14-2】如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出是边上的中线，利用勾股定理求出的长，根据面积法求解即可． 【详解】解：，， 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， 设，则， ∵D为中点，， ∴， 连接， 则， 取中点E，连接， 则是中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 题型15 与三角形中位线有关的证明 例29．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，菱形和矩形的性质．根据三角形中位线定理以及菱形的性质，可得原四边形的对角线相等，即可求解． 【详解】解：如图，四边形的四边中点分别为，且四边形为菱形，连接四边形对角线， ∵中点分别为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， 即原四边形的对角线相等， 故符合题意的是矩形． 故选：C 例30．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中位线定理可得，，，进而判定四边形是平行四边形，结合即可求解． 【详解】点，，分别是边，，的中点， 、、为的中位线， ，，， 故A正确，不符合题意； ， ， 故B正确，不符合题意； ，是边的中点， 不是的平分线，即， 故C错误，符合题意； ，， 四边形是平行四边形， ， 故D正确，不符合题意． 【技巧总结】 中点四边形为菱形→原四边形对角线相等，对照选项筛选。 巧用三角形中位线平行且等于底边一半，逐一验证边角、线段关系。 【变式训练15-1】（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的辅助线问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、中位线的性质是解题的关键．连接，并延长交于点G，易证得，即可求得，继而可得是的中位线，则可推知结论． 【详解】解：连接，并延长交于点G， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵F是的中点， ∴（线段中点的定义） 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应边相等）， ∴， ∵E是的中点， ∴（线段中点的定义）， ∴（中位线的性质）． 【变式训练15-2】在四边形中，，分别是，的中点， (1)如图1，当时，求证： (2)如图2，当不平行于时，求证：． 【答案】(1)证明：连接并延长，交的延长线于点G，如图所示： ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴． (2)证明：连接，取的中点G，连接，，如图所示： ∵，，G分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， ∵与不平行， ∴B、G、F三个点一定不在同一直线上， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点G，证明，得出，，根据中位线的性质得出，即可得出结论； （2）连接，取的中点G，连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，即可得出，根据两点之间线段最短得出，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 1．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理．根据菱形的面积公式可得，从而得到（，，再由勾股定理解答即可． 【详解】解：如图，在菱形中，对角线交于点O，且， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 故选：A． 2．如图，在平行四边形中，两对角线交于点O，，，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得出，，从而求出的长；在中利用勾股定理求出的长；再在中利用勾股定理求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 3．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，作于点，连接，先由矩形的性质证明，再根据勾股定理求得，由三角形的面积公式求出，由即可求出答案． 【详解】解：作于点，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 4．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 5．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，由得，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 6．如图，以正方形的边为一边向外作等边三角形，则的大小为__________． 【答案】/15度 【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质，可以得到的度数，再根据等腰三角形的性质，可以得到的度数即可得到解答． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ，，， ，， ， 7．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，那么的度数为______． 【答案】 【分析】由三角形中位线定理结合题意得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】解：∵P是对角线的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 【答案】见解析 【分析】关键是掌握平行四边形是中心对称图形．先找出平行四边形的对称中心，过中心和P作直线即可． 【详解】解：如图所示 连接、相交于点O，则点O是平行四边形的对称中心。 过O、P作直线分别交、于E、F，则一人分四边形，另一人分四边形． 9．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）证明，得到，然后证明出，即可得到四边形是平行四边形； （2）连接，首先得到，然后结合得到四边形是平行四边形，然后利用三线合一得到，即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是矩形，证明如下： 如图，连接， ∵点G、H分别为、的中点， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形 ∵，点G为的中点 ∴ ∴四边形是矩形． 10．在四边形中，，，点在上，连接交于点． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据平行线的性质和等边对等角得出，再根据“角边角”证明，可得，然后证明四边形是平行四边形，最后根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得出答案； （2）先根据“角角边”证明，可得，再结合已知条件 可得答案． 【详解】（1）证明： ． ． ． ． ， ． 四边形是平行四边形． 四边形是菱形； （2）解： ． 点是的中点， ． ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 四边形 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 利用平行四边形的性质求解 题型2 利用平行四边形的性质证明 题型3 证明四边形是平行四边形 题型4 利用矩形的性质求角度 题型5 根据矩形的性质求线段长 题型6 矩形与折叠问题 题型7 证明四边形是矩形 题型8 利用菱形的性质求线段长 题型9 利用菱形的性质求面积 题型10 利用菱形的性质证明 题型11 证明四边形是菱形 题型12 根据正方形的性质求线段长 题型13 根据正方形的性质证明 题型14 与三角形中位线有关的求解问题 题型15 与三角形中位线有关的证明 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.平行四边形的性质 2.平行四边形定 3.矩形性质与判定 4.矩形折叠问题 5.菱形性质与判定 6.正方形性质与判定 7.三角形中位线定理 8.中点四边形规律 1.平行四边形边角、对角线计算:依托对边相等/平行、对角相等、对角线互相平分，求边长、角度，常结合周长列式计算。 2.平行四边形证明:选取判定定理(边/对角线条件)，证明四边形为平行四边形，基础证明必考。 3.矩形角度、线段求解:利用四角直角、对角线相等平分，结合直角三角形性质算边角。 4.矩形折叠综合:折叠找等角等边，设未知数列勾股方程，求线段、重叠面积，选择填空高频。 5.矩形判定证明:在平行四边形基础上加直角/等对角线证矩形。 6.菱形线段、面积计算:四边相等、对角线垂直平分，面积=对角线乘积-2;由内外角推导等边三角形求短对角线。 7.菱形证明:一组邻边相等的平行四边形/对角线垂直的四边形判定菱形。 8.正方形综合计算:兼具矩形、菱形全部性质，对角线平分45°，结合动点、垂线转化线段求值。 9.正方形判定:先证矩形+邻边相等，或菱形+一个直角，多在解答小问考查。 10.中位线求值:中位线平行且等于底边一半，常结合菱形、矩形边长求线段长;中点四边形题型:由原四边形对角线特征判断中点四边形形状。 11.中点四边形辨析:原四边形对角线相等-中点四边形菱形;对角线垂直一中点四边形矩形，选择题高频辨析。 考情解码：四边形是初中平面几何核心模块，承接平行线、三角形知识，是后续相似、圆的铺垫，为八下重难点。考题从单一性质识记，逐步转向多图形综合证明、折叠动点、中点模型、实际情境题型;平行四边形判定、矩形折叠、菱形面积、中位线是高频压轴小考点，常和直角三角形、勾股定理综合出题，侧重逻辑推理、方程解题与几何模型应用。 知识点一 多边形 1.连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。 2.多边形的内角和定理和外角和定理 多边形的内角和定理 n边形的内角和等于． 多边形的外角和定理 多边形的外角和等于． 即时即练 如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 知识点二 平行四边形 1.定义 有一组对边平行的四边形叫作梯形.两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形. 由上述定义，可知平行四边形是梯形的一种特殊情形. 2.平行四边形的基本元素 基本元素 主要内容 图示 边 邻边 和和和和，共有四对 对边 和和，共有两对 角 邻角 和和，和和，共有四对 对角 和和，共有两对 对角线 和，共有两条 3.平行四边形的性质 定理1 平行四边形的对边相等. 定理2 平行四边形的对角相等. 定理3 平行四边形的对角线互相平分. 4.对称性、不稳定性与平行线之间的距离 平行四边形是中心对称图形,对称中心为平行四边形两条对角线的交点.四边形具有不稳定性. 如图，直线平行，是直线上任意一点，，垂足为，线段的长度就是直线之间的距离． 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线之间的距离 区别 连接两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 都是指某一条线段的长度 如图所示，在中，于点于点．也就是平行四边形的面积底×高（其中是平行四边形的任何一条边长，必须是边长为的边与其对边之间的距离）． 5.平行四边形的判定方法 定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. 判定方法 符号语言 边 两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义) ∴ 四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且）， ∴ 四边形是平行四边形 角 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 对角线 对角线互相平分的四边形是平行四边形 ∴ 四边形是平行四边形 （1）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形. （2）一组对边相等，一组对角相等的四边形也不一定是平行四边形，如图所示，四边形ABCD是平行四边形，，则，，但四边形 不是平行四边形. （3）两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形. （4）平行四边形的判定定理与相应的性质定理互为逆定理，在应用时要注意区别，以防混淆. 平行四边形判定方法的选择 已知条件 证明思路 一组对边相等 1.另一组对边相等2.该组对边平行 一组对边平行 1.另一组对边平行2.该组对边相等 对角线相交 对角线互相平分 角 两组对角相等 即时即练 四边形的不稳定性是指当四边形的边长一定时，不能确定的是（     ） A．四边形的内角大小 B．四边形的内角和 C．四边形的外角和 D．四边形的周长 知识点三 矩形 1.定义：四个内角都是直角的四边形叫作矩形.矩形是一种特殊的平行四边形． （1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 2.矩形的性质 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 3.矩形的判定 1.定义判定法 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 【易错警示】 (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 即时即练 下列说法中正确的是（　　） A．对角线互相垂直的四边形是正方形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．矩形的对角线相等且互相平分 D．平行四边形的对角线平分一组对角 知识点四 菱形 1.定义：四条边都相等的四边形叫作菱形. 菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定. 2.菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的一切性质之外，还有其他性质，菱形的性质可从对称性、边、角、对角线来研究，如下表: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对称轴是对角线所在的直线 边 对边平行 四条边都相等 对角相等 角 邻角互补 对角线 两条对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 3.菱形的判定 元素 判定 图示 文字语言 符号语言 边 定义法 四条边都相等的四边形叫作菱形. ∵ ， ∴ 四边形 A B C D 是菱形 定理1 有一组邻边相等的平行四边形叫是菱形 在中，∵ 是菱形 对角线 定理2 对角线互相垂 直的平行四边 形是菱形 在中， ∵ ， ∴ 是菱形 在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，先判定这个四边形是平行四边形，再证一组邻边相等. 【延伸】四边形、平行四边形、菱形的关系 1．四边形→平行四边形 当四边形满足以下任一条件时，可判定为平行四边形： 一组对边平行且相等 两组对边分别平行 两组对边分别相等 2．平行四边形 → 菱形 当平行四边形满足以下任一条件时，可判定为菱形： 一组邻边相等 对角线互相垂直 3．四边形 → 菱形（直接判定） 当四边形的四条边都相等时，可直接判定为菱形。 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形所有的性质.(2)菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是对角线所在的直线.(3)菱形的两条对角线互相垂直，并且把菱形分成四个全等的直角三角形，进而可得菱形边长的平方等于两条对角线长一半的平方和.(4)菱形的四条边相等，故可连接对角线构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质解题. 4.菱形的面积 面积计算方法 一般方法 特殊方法 基本图形 计算公式 常见关系 若菱形 A B C D 的对角线相交于点 ，则 （1）Rt Rt Rt Rt ； （2） ； （3） 若菱形 A B C D 的对角线相交于点，则 （1） ； （2） ； （3） 【解题大招】 有一内角为60°或120°的菱形，较短对角线把菱形分成两个全等的等边三角形.较短对角线的长等于菱形的边长，较长对角线的长等于菱形边长的倍. 即时即练 如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 知识点五 正方形 1.定义： 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形 2.正方形的判定 （1）定义判定： 四个内角都是直角、四条边都相等的四边形叫作正方形。 （2）从边的角度判定： 有一组邻边相等的矩形是正方形。 （3）从角的角度判定： 有一个角是直角的菱形是正方形。 （4）从对角线的角度判定： ①对角线相等的菱形是正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 判定一个四边形是正方形的三种方法 (1)先证它是矩形,再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. (2)先证它是菱形,再证它有一个角是直角或对角线相等 (3)先证它是平行四边形，再证有一个角是直角且有一组邻边相等或对角线相等且互相垂直. 3.正方形的性质 正方形是一种特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形，因此它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.总结如下: 图形 性质 符号表示 对称性 是中心对称图形，对称中心是它的中心 是轴对称图形，有四条对称轴 边 对边平行 四条边相等 角 四个角都是直角 对角线 对角线相等且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 （1）正方形的每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； （2）若正方形的边长为 ，则对角线长为 ，面积为 ． 【横向比较】平行四边形、矩形、菱形、正方形的联系与区别 类型 平行四边形 矩形 菱形 正方形 边 共性 对边平行且相等 特性 四条边都相等 角 共性 对角相等且邻角互补 特性 四个角都是直角 四个角都是直角 对角线 共性 对角线互相平分 特性 对角线相等 对角线互相垂直 对角线相等且互相垂直 即时即练 如图，在正方形中，点E在边上，将绕点D按顺时针方向旋转，与重合，，则旋转角度为（　　 ） A． B． C． D． 知识点六 中位线与重心 1.中位线与中位线定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 每一个三角形有三条中位线. 图23-4-1 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中线与中位线的区别与联系: (1)区别:三角形的中线的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点对边的中点;而中位线的两个端点分别是三角形两边的中点.如图D4-5-1所示,AD是中线,EF是中位线. (2)联系:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 关于三角形的三条中位线的结论 (1)三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半; (2)三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形. 三角形中位线定理的作用 (1)证明位置关系:可以证明两条直线平行; (2)证明数量关系:可以证明线段的相等或倍分. 2.三角形的重心 三角形的三条中线交于一点，此交点叫作三角形的重心. 三角形重心定理 三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点的距离的两倍. 即时即练 顺次连接正方形各边的中点所组成的四边形是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 题型1 利用平行四边形的性质求解 例1．已知平行四边形周长为20，一边长4，则另一边长为________． 例2．在中，如果，那么______． 【技巧总结】 平行四边形周长：对边相等，邻边和=周长÷2，邻边长=周长÷2－已知边长。 平行四边形内角：对角相等、邻角互补，用180°列式求角度。 【变式训练1-1】在平行四边形中，，，则__________． 【变式训练1-2】如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是____． 题型2 利用平行四边形的性质证明 例3．在四边形中，是对角线的交点，不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 例4．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连接，交于点H，连接．求证：四边形是平行四边形． 【技巧总结】 1.判定选择题:紧扣平行四边形5种判定定理，逐一核对选项，排除符合判定的条件。 2.证明大题:先证一组对边平行且相等，或两组对边分别相等/平行，完成判定。 【变式训练2-1】仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） 如图，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． (1)利用平行四边形的性质（1）画出的中点F； (2)在上画出点H，使得． 【变式训练2-2】如图，在中，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证：； (2)求的面积． 题型3 证明四边形是平行四边形 例5．探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点，判定四边形为平行四边形的依据是___________． 例6．探究课上，小明画出，他想利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．以下三种作图方法中，正确的有______．（填序号）． ①以A为圆心，长为半径画弧；以C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D． ②连接，取中点O，连接并延长至D，使． ③过点B作，过点C作，两直线交于点D． 【技巧总结】 熟记平行四边形判定定理，根据作图的边、对角线关系匹配判定依据。 逐个对照作图操作，结合「两组对边相等、对角线互相平分、两组对边平行」三条判定筛选正确 【变式训练3-1】如图，在四边形中，连接，，．求证：四边形是平行四边形． 【变式训练3-2】如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 题型4 利用矩形的性质求角度 例7．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例8．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【技巧总结】 1.矩形对角线相等且平分，分出等腰三角形，结合直角、互余推导角度。 2.垂线生成90°直角，用三角形内角和、边角等量代换求值。 【变式训练4-1】如图，已知矩形的对角线、相交于点O，，垂足为H，如果，那么______°． 【变式训练4-2】如图，如果将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形的形状，并使它的面积为矩形面积的一半，那么这个平行四边形的最小内角等于__________． 题型5 根据矩形的性质求线段长 例9．矩形相邻两边的长是1和2，则它的两条对角线之和为________． 例10．如图，矩形中，，垂足为，且，，则___________． 【技巧总结】 1．矩形对角线相等，先用勾股算出单条对角线，再求和。 2．结合面积两种算法（邻边相乘、对角线 × 高 ）列式求边长。 【变式训练5-1】已知矩形中，，，连接、交于点O，过A作，垂足为H，则的长为____． 【变式训练5-2】已知矩形的对角线、交于点O，是等边三角形．如果，则的长是______． 题型6 矩形与折叠问题 例11．如图，在矩形纸片中，，，现将纸片折叠压平，使与重合，如果设折痕为，那么重叠部分的面积等于（    ）    A． B． C． D． 例12．如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是________． 【技巧总结】 1．折叠得对应边相等、角相等，设未知数，依托勾股定理列方程求边长。 2．阴影多为等腰三角形，用底 × 高 计算面积。 【变式训练6-1】如图，长方形纸片中，，．点是边上一点，连接并将沿折叠，得到，以点、、为顶点的三角形是直角三角形时，的长为___________． 【变式训练6-2】如图，将一矩形纸片折叠，使两个顶点，重合，折痕为．若，，则的面积为________． 题型7 证明四边形是矩形 例13．已知四边形是平行四边形，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 例14．如图，在中，，点D是的中点，过点A作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当 时，四边形是正方形． 【技巧总结】 矩形判定:1有一个直角的平行四边形;2对角线相等的平行四边形，逐条筛选选项。 先证是平行四边形，再找直角/等对角线，即可证矩形;加邻边相等变正方形。 【变式训练7-1】如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作的垂线，垂足为点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【变式训练7-2】如图，在中，，点是的中点，过点作平行于，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)当时，求证：四边形是正方形． 题型8 利用菱形的性质求线段长 例15．菱形的一个外角为，边长为厘米，则此菱形较短的对角线的长等于______厘米． 例16．如果菱形的对角线长24和10，那么菱形的周长为__________． 【技巧总结】 1.菱形四边等，外角推内角，短对角线与邻边构成等边三角形。 2.对角线垂直平分，勾股求边长再算周长。 【变式训练8-1】中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，其示意图如图所示，菱形的对角线，，则菱形边长为______． 【变式训练8-2】如图，菱形的两条对角线相交于O点，，，点P是边上的一个动点，则的最小值为______． 题型9 利用菱形的性质求面积 例17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，若，，则菱形的面积为___________． 例18．菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【防错警示】 是菱形两条对角线的长度），利用该公式求菱形的面积时，千万不能漏乘． 【变式训练9-1】已知菱形的周长为20，两条对角线之比为，则菱形的面积为_______． 【变式训练9-2】如图，在菱形中，E是的中点，且，． (1)求的度数； (2)求菱形的面积． 题型10 利用菱形的性质证明 例19．下列说法错误的是（   ） A．平行四边形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的每一条对角线平分一组对角 D．正方形的对角线相等、互相垂直且平分 例20．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，下列结论中不一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【技巧总结】 菱形的每条对角线把菱形分成两个全等的等腰三角形，两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，所以有关菱形的一些证明与计算问题常常与特殊的三角形的有关问题综合在一起。 【变式训练10-1】有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【变式训练10-2】如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 题型11 证明四边形是菱形 例21．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（   ） A． B． C． D． 例22．对角线_____的四边形是菱形． 【技巧总结】 1．菱形的判定： （1）一组邻边相等的平行四边形是菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四条边相等的四边形是菱形。 2．判定思路：判断菱形时，一定要明确前提条件是从＂四边形＂出发的，还是从＂平行四边形＂出发的；若从四边形出发的，则还需四条边相等；若从平行四边形出发，则还需一组邻边相等或对角线互相垂直． 【变式训练11-1】下列说法：①对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；②矩形的对角线一定互相垂直；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线垂直的矩形是正方形．其中正确的是________．（把所有正确结论的序号都填上） 【变式训练11-2】如图，在平行四边形中，、相交于点O，过点O作，分别交、于点E、F，连接、．求证： (1)； (2)四边形是菱形． 题型12 根据正方形的性质求线段长 例23．如图，已知正方形的边长为6，P是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则的长为（    ） A． B．4 C． D．5 例24．如图，用四根相同长度的木条制作成正方形，测得对角线长为，如果将此正方形变形为菱形，且，那么菱形对角线长为（    ） A．10 B． C． D． 【技巧总结】 正方形的特殊性质： 1）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形； 2）对角线与边的夹角是45° 3）周长相等的四边形中，正方形的面积最大． 2．证明线段的和、差问题，解决这类问题的基本方法是截长补短法，即在长的线段上截取，将短的线段延长，转化为线段相等的问题． 【变式训练12-1】如图，在正方形中，点是对角线上一点，作于点，连接，若，，则的长为______． 【变式训练12-2】如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别交于两点．若，则线段的长为________． 题型13 根据正方形的性质证明 例25．如图，在正方形中，点、在对角线上，连接、、、，若要判定四边形是菱形，则添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 例26．如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【技巧总结】 利用正方形对角线对称、四边相等，证对角线互相垂直平分判定菱形。 借助正方形边相等证全等，结合直角三角形涂斜边中线性质求角度。 【变式训练13-1】如图，正方形的对角线、交于点，是上一点，，垂足为．与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练13-2】仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F； ②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 题型14 与三角形中位线有关的求解问题 例27．如图，菱形对角线与相交于点，为的中点，菱形周长为，则的长为________． 例28．如图，在矩形中，，，为对角线的中点，为边上一点，连接，取的中点，连接，若，则的长为________． 【技巧总结】 (1)三角形的中位线具有两方面的性质:一是位置关系，即三角形的中位线平行于三角形的第三边;二是数量关系，即三角形的中位线等于第三边的一半.因此，若题目中给出三角形两边的中点时，则直接作出中位线，若题目中给出一边的中点时，则可以先取另一边的中点，再构造出中位线. (2)直角三角形斜边上的中线的性质是直角三角形的一个重要性质，是常考的知识点，它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据. 【变式训练14-1】如图，在中，是三角形的中位线．若的周长为，则的周长为______． 【变式训练14-2】如图，中，，直线是边上的中线，与交于点，则的长为___________ 题型15 与三角形中位线有关的证明 例29．顺次联结一个四边形的四条边的中点得到一个菱形，那么原四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 例30．如图，在中，，点，，分别是边，，的中点，连接，，，，设交于点，则下列结论中，错误的是（     ） A． B． C． D． 【技巧总结】 中点四边形为菱形→原四边形对角线相等，对照选项筛选。 巧用三角形中位线平行且等于底边一半，逐一验证边角、线段关系。 【变式训练15-1】（本题要写成完整的推导过程及证明理由）梯形中，分别是对角线中点，求证： 【变式训练15-2】在四边形中，，分别是，的中点， (1)如图1，当时，求证： (2)如图2，当不平行于时，求证：． 1．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，两对角线交于点O，，，那么的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 5．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 6．如图，以正方形的边为一边向外作等边三角形，则的大小为__________． 7．如图，在四边形中，P是对角线的中点，E、F分别是、的中点，，，那么的度数为______． 8．兄弟俩共同承包一块平行四边形的土地，现要进行平均划分，由于在这块地里有一口水井P，如图所示，为了兄弟俩都能方便使用这口井，兄弟俩在划分时犯难了，聪明的你能帮他们解决这个问题吗？请作图说明． 9．如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，点G，H分别是和的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 10．在四边形中，，，点在上，连接交于点． (1)如图1，若，求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接交于点，若点是的中点，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $