第六章 平行四边形 单元练习 2025-2026学年北师大版八年级下册数学

**基本信息** 北师大版八年级下册平行四边形单元卷，通过10选择+6填空+7解答题覆盖性质、判定、中位线等核心知识，强调逻辑推理与空间观念，适配单元复习，符合核心素养要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|平行四边形判定（第1题）、性质与勾股定理（第2题）、坐标对称（第3题）|基础巩固，多情境辨析| |填空题|6题|角平分线与边长（第11题）、坐标存在性（第13题）、折叠与等边三角形（第14题）|能力提升，综合应用| |解答题|7题|平行四边形证明（第17题）、中位线应用（第23题）、折叠与全等（第20题）|创新应用，核心素养导向|

北师大版8年级下数学第六章平行四边形 一．选择题（共10小题） 1．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．∠DAF＝∠BCE C．AE＝CF D．AF∥CE 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD，交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E．若AE＝4，DE＝2，，则AC长为（　　） A．6 B．5 C． D．4 3．如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 4．在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 5．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，AB＝5，AC＝9，则DE的值为（　　） A．7 B．4 C．2 D．5 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 7．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．13 D．14 8．如图，已知在▱ABCD中，点E是边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，点A正好落在CD边上的点F处，若△DEF的周长为10cm，△BCF的周长为24cm，则CF的长为（　　） A．6cm B．7cm C．10cm D．12cm 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为一组邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△BEF＝S△ABE；⑤S△CEF＝S△ABE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 二．填空题（共6小题） 11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是 　 　 ． 12．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB＝4，AC＝6，则EF的长为 　 　 ． 13．已知直角坐标系内有四个点A（0，0），B（5，0），C（2，3），D（x，y），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：　 　 ． 14．如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　 　 cm． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是 　 　 ． 16．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 　 　 （填上所有正确结论的序号）． 三．解答题（共7小题） 17．如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． 求证：四边形ABDF是平行四边形． 18．如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC．连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF．判断AB与OF的关系，并证明你的结论． 19．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若AE＝AC，求证：AB＝DB． 20．在平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE进行折叠点B落在点F处． （1）求证：CF∥AE； （2）若AE＝AB＝9，BC＝12，求CF的长． 21．如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G． （1）求证：BE＝DG； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为28，EF＝3，求△ABC的面积． 22．如图，四边形ABCD是平行四边形，线段MF在▱ABCD的左侧，连接MA、MD、FB和FC，四边形MABF的对角线AF和BM交于点O，且OA＝OF，OM＝OB．求证：四边形DMFC是平行四边形． 23．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝10，CD＝8，EF＝3，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC． 北师大版8年级下数学第六章平行四边形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（　　） A．BE＝DF B．∠DAF＝∠BCE C．AE＝CF D．AF∥CE 【分析】由平行四边形的性质或全等三角形的性质可证DF＝BE，由平行四边形的判定可得结论． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∵BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项A不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CBE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项B不符合题意； ∵AF∥CE， ∴∠AFB＝∠CED， ∴∠AFD＝∠CEB， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴BE＝DF， ∴EO＝FO， ∴四边形AECF是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD，交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E．若AE＝4，DE＝2，，则AC长为（　　） A．6 B．5 C． D．4 【分析】连接CE，由平行四边形的性质可得AO＝CO，CD＝AB＝2，再由线段垂直平分线的性质得CE＝AE＝4，然后由勾股定理的逆定理证出∠CED＝90°，则∠AEC＝90°，最后由勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接CE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，CD＝AB＝2， ∵OE⊥AC， ∴OE垂直平分AC， ∴CE＝AE＝4， ∵CE2+DE2＝42+22＝20，CD2＝（2）2＝20， ∴CE2+DE2＝CD2， ∴△CDE是直角三角形，∠CED＝90°， ∴∠AEC＝90°， ∴AC4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理等知识，正确作出辅助线证得∠CED＝90°是解题的关键． 3．如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点．若A（﹣1，2），则点C的坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【分析】由题意A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【解答】解：由题意A，C关于原点对称， ∵A（﹣1，2）， ∴C（1，﹣2）． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．在如图所示的▱ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（　　） A．四边形EFGH的周长 B．∠EFG的大小 C．四边形EFGH的面积 D．线段FH的长 【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，可证四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形，可得S△EGFS平行四边形ABGE，S△EHGS平行四边形DEGC，即可求解． 【解答】解：如图，连接EG， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E，G分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝DE＝BG＝CG， ∴四边形AEGB和四边形DEGC是平行四边形， ∴S△EGFS平行四边形ABGE，S△EHGS平行四边形DEGC， ∴四边形EFGH的面积S平行四边形ABCD， ∴四边形EFGH的面积是定值， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，AB＝5，AC＝9，则DE的值为（　　） A．7 B．4 C．2 D．5 【分析】延长BD交AC于点F，可证得△ABD≌△AFD，得到AF＝AB＝5，即可求解CF，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出的值，即可求解DE． 【解答】解：延长BD交AC于点F， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝∠ADF＝90°， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴∠BAD＝∠FAD， ∵AD＝AD， ∴△ABD≌△AFD（ASA）， ∴BD＝DF，AF＝AB＝5， ∴CF＝AC﹣AF＝9﹣5＝4， ∵BE＝CE， ∴DE是△BCF的中位线， ∴， 故选：C． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质、定理． 6．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连接DE，点M、N分别是AC、DE的中点，连接MN，则MN的长度为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK，由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MKAD＝2，NKCE，由勾股定理即可求出MN的长． 【解答】解：连接CD，取CD的中点K，连接MK，NK， ∵点M、N分别是AC、DE的中点， ∴MK、NK分别是△ACD和△DCE的中位线， ∴MK∥AB，NK∥BC，MKAD，NKCE， ∵AD＝4，CE＝3， ∴MK＝2，NK， ∵∠B＝90°， ∴AB⊥BC， ∴MK⊥NK， ∴∠MKN＝90°， ∴MN． 故选：A． 【点评】本题考查三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出MK∥AB，NK∥BC，MKAD，NKCE． 7．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　　） A．12 B．10 C．13 D．14 【分析】证明△AEO≌△CFO得OE＝OF＝1.5，AE＝CF，将四边形EFCD的周长转化为AD+CD+EF即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，周长为18， ∴AB＝CD，BC＝AD，OA＝OC，AD∥BC， ∴CD+AD＝9，∠OAE＝∠OCF， 在△AEO与△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（ASA）， ∴OE＝OF＝1.5，AE＝CF， ∴四边形EFCD的周长＝ED+CD+CF+EF ＝DE+CF+CD+EF ＝AD+CD+EF ＝9+3 ＝12， 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明△AEO≌△CFO是解题的关键． 8．如图，已知在▱ABCD中，点E是边AD上一点，将△ABE沿BE翻折，点A正好落在CD边上的点F处，若△DEF的周长为10cm，△BCF的周长为24cm，则CF的长为（　　） A．6cm B．7cm C．10cm D．12cm 【分析】根据折叠的性质可得EF＝AE、BF＝BA，从而▱ABCD的周长可转化为：△FDE的周长+△FCB的周长，求出AB+BC，再由△FCB的周长为42，求出FC的长，即可解决问题． 【解答】解：由折叠的性质可得EF＝AE、BF＝AB， ∴▱ABCD的周长＝DF+FC+CB+BA+AE+DE＝△FDE的周长+△FCB的周长＝10+24＝34， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB+BC＝17， ∵△FCB的周长＝CF+BC+BF＝CF+BC+AB＝24， 即FC+17＝24， ∴FC＝7cm， 故选：B． 【点评】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点；根据折叠的性质将平行四边形的周长与△FCB的周长进行转化是解决问题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为一组邻边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　　） A．6 B．8 C． D． 【分析】由平行四边形的性质可知O是PQ中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作AB的垂线P′O，然后根据等腰直角三角形的性质即可求出PQ的最小值． 【解答】解：设AC、PQ交于点O，如图所示： ∵四边形PAQC是平行四边形， ∴，OP＝OQ， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作OP′⊥AB于点P′， ∵∠BAC＝45°， ∴△AP′O是等腰直角三角形， ∴AP′＝OP′， ∵P′A2+P′O2＝OA2， ∴， ∴PQ的最小值， 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形性质、以及垂线段最短的性质等知识；解题的关键是作高线构建等腰直角三角形． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC，CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△BEF＝S△ABE；⑤S△CEF＝S△ABE．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE＝∠DAE，可得∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，由AB＝AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE＝∠EAD＝60°，由SAS证明△ABC≌△EAD，①正确；由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出④即可，由S△AEC＝S△DEC，S△ABE＝S△CEF得出⑤正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∵AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形； ②正确； ∴∠ABE＝∠EAD＝60°， ∵AB＝AE，BC＝AD， ∴△ABC≌△EAD（SAS）； ①正确； ∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等）， ∴S△FCD＝S△ABC， 又∵△AEC与△DEC同底等高， ∴S△AEC＝S△DEC， ∴S△ABE＝S△CEF． 若AD与BF相等，则BF＝BC， 题中未限定这一条件， 若S△BEF＝S△ACD；则S△BEF＝S△ABC， 则AB＝BF， ∴BF＝BE，题中未限定这一条件， ∴④不一定正确． 若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC， 即EC＝CD＝BE 即BC＝2CD， 题中未限定这一条件， ∴③不一定正确， ∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等）， ∴S△FCD＝S△ABC， 又∵△AEC与△DEC同底等高， ∴S△AEC＝S△DEC， ∴S△ABE＝S△CEF；⑤正确； 故选：D． 【点评】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积关系；此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析． 二．填空题（共6小题） 11．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝9，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，则线段EF的长是 　3　 ． 【分析】根据平行四边形的性质可知∠DFC＝∠FCB，又因为CF平分∠BCD，所以∠DCF＝∠FCB，则∠DFC＝∠DCF，则DF＝DC，同理可证AE＝AB，那么EF就可表示为AE+FD﹣BC＝2AB﹣BC，继而可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠DFC＝∠FCB， 又∵CF平分∠BCD， ∴∠DCF＝∠FCB， ∴∠DFC＝∠DCF， ∴DF＝DC， 同理可证：AE＝AB， ∵AB＝6，AD＝BC＝9， ∴2AB﹣BC＝AE+FD﹣BC＝EF＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可利用等腰三角形的性质解题，难度不大，关键是解题技巧的掌握． 12．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB＝4，AC＝6，则EF的长为 　　 ． 【分析】连接OE，由平行四边形的性质得OA＝3，OB＝OD，进而求出S△OAD＝S△OAB＝6，再由勾股定理得OB＝5，则OD＝5，然后由三角形面积公式求出EF的长即可． 【解答】解：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6， ∴OAAC＝3，OB＝OD， ∴S△OAD＝S△OABAB•OA4×3＝6， ∵AB⊥AC， ∴∠OAB＝90°， ∴OB5， ∴OD＝5， ∵点E是AD中点， ∴S△OAE＝S△ODE6＝3， ∵EF⊥BD， ∴S△ODEOD•EF＝3， ∴OD•EF＝6， 即5EF＝6， ∴EF， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 13．已知直角坐标系内有四个点A（0，0），B（5，0），C（2，3），D（x，y），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为：　（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）　 ． 【分析】由平行四边形的性质和中点坐标公式可求解． 【解答】解：①当AB为对角线时，中点坐标为（，），即（，0）， 根据平行四边形的性质，得，0， 解得x＝3，y＝﹣3， ∴点D的坐标为（3，﹣3）； ②当AC为对角线时，中点坐标为（，），即（1，）， 根据平行四边形的性质，得1， 解得x＝﹣3，y＝3， ∴点D的坐标为（﹣3，3）； ③当BC为对角线时，中点坐标为（，），即（，）， 根据平行四边形的性质，得， 解得x＝7，y＝3， ∴点D的坐标为（7，3）； 故答案为：（3，﹣3）或（﹣3，3）或（7，3）． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． 14．如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形．若AB＝6cm，则AD＝　12　 cm． 【分析】首先根据等边三角形的性质可得DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°，根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA，再利用平行四边形的性质、三角形外角性质证明∠DAC＝30°，∠ACD＝90°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半可得AD的长． 【解答】解：∵△CDE为等边三角形， ∴DE＝DC＝EC，∠D＝∠CED＝60°， 根据折叠的性质，∠BCA＝∠B′CA， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝6cm， ∴∠EAC＝∠BCA， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠CED＝∠EAC+∠ECA， ∴∠EAC＝30°， ∴∠ACD＝90°， ∴AD＝2CD＝12cm， 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及翻折变换，关键是掌握平行四边形的对边平行且相等，直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半． 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，D、E分别是边AB、AC上的动点，F、G分别是ED、EC的中点，则FG的最小值是 　　 ． 【分析】连接CD，根据三角形中位线的性质定理得出，由勾股定理求出BC，再根据三角形等面积法求出CD，即可得出结果． 【解答】解：连接CD， 由条件可知FG是△EDC的中位线， ∴， 当CD最小时，FG最小， 当CD⊥AB时，CD最小， 在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4， 则， 当CD⊥AB时， ， ∴， 解得：， ∴FG的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形．熟练掌握原式知识点是关键． 16．如图所示，在Rt△ABC外作等边△ADE，点E在AB边上，AC＝5，∠ABC＝30°，AD＝3．将△ADE沿AB方向平移，得到△A′D′E′，连接BD′．给出下列结论：①AB＝10；②四边形ADD′A′为平行四边形；③AB平分∠D′BC；④当平移的距离为4时，BD′＝3．其中正确的是 　①②④　 （填上所有正确结论的序号）． 【分析】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2AC＝10，故①正确；再由平移的性质得A'D'＝AD，A'D'∥AD，则四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确；当平移的距离为4时，EE'＝4，证出BE'＝D'E'，则∠E'BD'＝∠E'D'B∠A'E'D'＝30°，得∠A'D'B＝60°+30°＝90°，由含30°角的直角三角形的性质得BD'A'D'＝3，故④正确；由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误；即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝10，故①正确； 由平移的性质得：A'D'＝AD，A'D'∥AD， ∴四边形ADD′A′为平行四边形，故②正确； 当平移的距离为4时，EE'＝4， ∴BE'＝AB﹣AE﹣EE'＝10﹣3﹣4＝3， 由平移的性质得：∠A'D'E'＝∠A'E'D'＝∠AED＝60°，A'D'＝D'E'＝DE＝AD＝3， ∴BE'＝D'E'， ∴∠E'BD'＝∠E'D'B∠A'E'D'＝30°， ∴∠A'D'B＝60°+30°＝90°， ∴BD'A'D'＝3，故④正确； 由④得：当平移的距离为4时，∠E'BD'＝∠ABC＝30°，故③错误； 故答案为：①②④． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、平移的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平移的性质，证明四边形ADD′A′为平行四边形是解题的关键． 三．解答题（共7小题） 17．如图，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝FE，AB平分∠CAE，AB∥DF． 求证：四边形ABDF是平行四边形． 【分析】利用全等三角形可证AB＝FD，根据一组对边平行且相等可得四边形ABDF是平行四边形． 【解答】证明：∵AB平分∠CAE， ∴∠CAB＝∠BAE， ∵AB∥DF． ∴∠BAE＝∠DFE， ∴∠CAB＝∠EFD， 在△CAB和△EFD中， ， ∴△CAB≌△EFD（ASA）， ∴AB＝FD， 又∵AB∥FD， ∴四边形ABDF是平行四边形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是关键． 18．如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC．连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF．判断AB与OF的关系，并证明你的结论． 【分析】由平行四边形的性质得BA＝DC，BA∥DC，所以∠BAF＝∠E，因为CE＝DC，所以BA＝CE，而∠AFB＝∠EFC，即可根据“AAS”证明△AFB≌△EFC，得BF＝CF，即可由O、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得AB∥OF，且AB＝2OF． 【解答】解：AB∥OF，且AB＝2OF， 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AC交BD于点O， ∴BA＝DC，BA∥DC，AO＝CO， ∵点E在DC的延长线上，且CE＝DC， ∴BA＝CE，∠BAF＝∠E， 在△AFB和△EFC中， ， ∴△AFB≌△EFC（AAS）， ∴BF＝CF， ∵O、F分别是AC、BC的中点， ∴AB∥OF，且AB＝2OF． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，证明△AFB≌△EFC是解题的关键． 19．如图，在四边形ABDF中，点E，C为对角线BF上的两点，AB＝DF，AC＝DE，EB＝CF．连接AE，CD． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形； （2）若AE＝AC，求证：AB＝DB． 【分析】（1）根据等式的性质可得BC＝EF，从而利用SSS证明△ABC≌△DFE，然后利用全等三角形的性质可得∠ABC＝∠DFE，从而可得AB∥DF，即可解答； （2）连接AD交BF于点O，利用平行四边形的性质可得OB＝OF，从而可得OE＝OC，再利用等腰三角形的性质可得AO⊥EC，然后证明四边形ABDF是菱形，即可解答． 【解答】证明：（1）∵EB＝CF， ∴EB+EC＝CF+EC， ∴BC＝EF， ∵AB＝DF，AC＝DE， ∴△ABC≌△DFE（SSS）， ∴∠ABC＝∠DFE， ∴AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）连接AD交BF于点O， ∵四边形ABDF是平行四边形， ∴OB＝OF， ∵BE＝CF， ∴OB﹣BE＝OF﹣CF， ∴OE＝OC， ∵AE＝AC， ∴AO⊥EC， ∴四边形ABDF是菱形， ∴AB＝BD． 【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 20．在平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE进行折叠点B落在点F处． （1）求证：CF∥AE； （2）若AE＝AB＝9，BC＝12，求CF的长． 【分析】（1）由折叠的性质可知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF，进而得到EF＝CE，推出∠EFC＝∠ECF，再根据平角的性质和三角形内角和定理，得到∠AEF＝∠EFC，即可证明结论； （2）连接BF交AE于点G，由折叠的性质可知，AE垂直平分BF，进而推出EG为△BCF的中位线，得到，设EG＝x，利用勾股定理列方程，解得x＝2，即可求出CF的长． 【解答】（1）证明：由折叠的性质可知，∠AEB＝∠AEF，BE＝EF， ∵E是BC边的中点， ∴BE＝CE， ∴EF＝CE， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵∠AEB+∠AEF+∠CEF＝180°，∠EFC+∠ECF+∠CEF＝180°， ∴2∠AEF＝2∠EFC， ∴∠AEF＝∠EFC， ∴CF∥AE； （2）解：由题意可知，AE为对称轴，点B、F为对应点， 连接BF交AE于点G， 由折叠的性质可知，AE垂直平分BF， ∴∠BGA＝∠BGE，点G为BF的中点， ∵E是BC边的中点， ∴EG为△BCF的中位线， ∴， 设EG＝x，则CF＝2x， ∵AE＝AB＝9，BC＝12， ∴AG＝AE﹣EG＝9﹣x，， 在Rt△AGB中，BG2＝AB2﹣AG2， 在Rt△EGB中，BG2＝BE2﹣EG2， ∴92﹣（9﹣x）2＝62﹣x2， 解得：x＝2， ∴CF＝4． 【点评】本题考查了折叠的性质，平行的判定，等边对等角，中位线的性质，勾股定理，一元一次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和中位线的性质是解题关键． 21．如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G． （1）求证：BE＝DG； （2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若▱ABCD的周长为28，EF＝3，求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD，由角平分线的定义可得∠ADG＝∠CBE，利用ASA证明△ADG≌△CBE可得BE＝DG； （2）过E点作EH⊥BC于H，由角平分线的性质可求解EH＝EF＝3，根据平行四边形的性质可求解AB+BC＝14，再利用三角形的面积公式计算可求解． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC， ∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，AB＝CD， ∵BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC， ∴∠ADG＝∠CBE， 在△ADG和△CBE中， ， ∴△ADG≌△CBE（ASA）， ∴BE＝DG； （2）解：过E点作EH⊥BC于H， ∵BE平分∠ABC，EF⊥AB， ∴EH＝EF＝3， ∵▱ABCD的周长为28， ∴AB+BC＝14， ∴S△ABC ＝21． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义与性质，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 22．如图，四边形ABCD是平行四边形，线段MF在▱ABCD的左侧，连接MA、MD、FB和FC，四边形MABF的对角线AF和BM交于点O，且OA＝OF，OM＝OB．求证：四边形DMFC是平行四边形． 【分析】AF和BM交于点O，且OA＝OF，OM＝OB，证明四边形MABF是平行四边形，则FM∥AB，且FM＝AB，因为四边形ABCD是平行四边形，所以CD∥AB，且CD＝AB，推导出FM∥CD，且FM＝CD，则四边形DMFC是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形MABF的对角线AF和BM交于点O，且OA＝OF，OM＝OB， ∴四边形MABF是平行四边形， ∴FM∥AB，且FM＝AB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，且CD＝AB， ∴FM∥CD，且FM＝CD， ∴四边形DMFC是平行四边形． 【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行于同一条直线的两条直线平行等知识，推导出FM∥CD，且FM＝CD是解题的关键． 23．【三角形中位线定理】 已知：在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点．直接写出DE和BC的关系； 【应用】 如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC＝10，CD＝8，EF＝3，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数； 【拓展】 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，点M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG．求证：BD＝AC． 【分析】【三角形中位线定理】根据三角形中位线定理即可得到结论； 【应用】连接BD，根据三角形中位线定理得到EF∥BD，BD＝2EF＝6，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，计算即可； 【拓展】取DC的中点H，连接MH、NH，则MH、NH分别是△ACD、△BCD的中位线，由中位线的性质定理可得MH∥AC且，NH∥BD且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【解答】【三角形中位线定理】解：；理由如下： ∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴； 【应用】解：如图2，连接BD， ∵E、F分别是边AB、AD的中点，BC＝10，CD＝8，EF＝3，∠AFE＝45°， ∴EF是△ABD的中位线， ∴EF∥BD，BD＝2EF＝6， ∴∠ADB＝∠AFE＝45°， ∵BD2+CD2＝62+82＝100，BC2＝102＝100， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°； 【拓展】证明：取DC的中点H，连接MH、NH． ∵M、H分别是AD、DC的中点， ∴MH是△ADC的中位线， ∴MH∥AC，， 同理可得：NH∥BD且． ∵EF＝EG， ∴∠EFG＝∠EGF， ∵MH∥AC，NH∥BD， ∴∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM， ∴∠HMN＝∠HNM， ∴MH＝NH， ∴AC＝BD． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/4 15:27:30；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $