专题08 解三角形图形类问题5种常见考法归类（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以图形复杂度为线索，系统归类解三角形5种考法，覆盖从平面基础模型到立体、实际问题的全场景应用，培养数学眼光与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形模型|5题|含中点、角平分线等基础图形|正弦定理、余弦定理直接应用| |四边形模型|7题|含圆内接四边形、梯形等平面图形|图形分割转化为三角形求解| |复杂图形（设边设角）|10题|含动点、参数变量的多三角形组合|方程思想与正余弦定理综合应用| |立体几何应用|4题|含二面角、外接球的空间图形|空间问题平面化，解三角形工具迁移| |实际问题应用|10题|含方位角、仰角的测量场景|数学建模，将实际问题转化为解三角形|

专题08 解三角形图形类问题5种常考考法归类 题型一解三角形在三角形模型的应用 题型四解三角形在立体几何中的应用 题型二解三角形在四边形模型的应用 题型五解三角形在实际问题中的应用 题型三解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 解三角形在三角形模型的应用 1．（2026高一·浙江宁波·强基计划）如图，在中，，，D、E为为BC上的点．若，则______． 2．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．    3．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 4．（2026高一·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 5．（2026高一·福建龙岩·期中）如图中，，，，的中点为，求 (1)与的长； (2)的余弦值. 题型2 解三角形在四边形模型的应用 6．（2026高一·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 7．（2026高一·北京·期末）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 9．（2026高三·辽宁·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 10．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 11．（2026高一·山东泰安·期中）如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 12．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 题型3 解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） 13．（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 14．（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 15．（2026高一·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 16．（2026高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·河北唐山·期中）中，，，，D为线段的中点，点E，F分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为________． 18．（2026·河南·模拟预测）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 19．（2026高一·江苏盐城·期中）中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 20．（2026高一·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 21．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 22．（2026高一·山东枣庄·期中）如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 23．（2026高一·广东广州·期中）在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)求证：正的外心是的布洛卡点； (2)若满足，且时，求； (3)角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域. 题型4 解三角形在立体几何中的应用 24．（2026·湖南湘潭·模拟预测）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 26．（2026·湖北宜昌·模拟预测）在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 27．（2026高二·上海浦东新·期中）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论： ①；②；③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；④面积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是______. 题型5 解三角形在实际问题中的应用 28．（2026高一·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 29．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，有一艘缉毒船正在处巡逻，发现在北偏东方向､距离为4海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕. (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向. 30．（2026高一·江西吉安·阶段检测）如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 31．（2026高一·辽宁大连·期中）小王老师五一假期打卡泰山，如图，王老师为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为，山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（    ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 32．（2026高一·河南·阶段检测）为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 33．（2026高一·广东·期中）重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 34．（2026高一·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    35．（2026高一·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 36．（2026高一·广西南宁·期中）如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 37．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． $专题08 解三角形图形类问题5种常考考法归类 题型一解三角形在三角形模型的应用 题型四解三角形在立体几何中的应用 题型二解三角形在四边形模型的应用 题型五解三角形在实际问题中的应用 题型三解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 解三角形在三角形模型的应用 1．（2026高一·浙江宁波·强基计划）如图，在中，，，D、E为为BC上的点．若，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以为等腰三角形，故， 而又有 ,则， 故，则， 而，，则， 而由等腰三角形性质可知，，则， 由锐角三角函数可知，在中，， 因为，所以， 则， 因为为锐角，所以，因此， 所以，故. 2．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．    【答案】 10 【分析】利用正弦定理结合倍角公式可得；进而可得，，利用余弦定理解得，即可得的面积. 【详解】因为，，，可知角为锐角， 由正弦定理可得，则， 可得，； 因为，则， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或， 且，则，， 又因为，． 3．（2026高一·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 4．（2026高一·陕西榆林·期中）如图，已知中，，延长至点，连接. (1)求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理运算求解即可； （2）在中，利用余弦定理运算求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 且. 所以. （2）因为，则， 在中，由余弦定理得 5．（2026高一·福建龙岩·期中）如图中，，，，的中点为，求 (1)与的长； (2)的余弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得，即， 在中，， 所以是直角三角形，故， （2）因为的中点为，所以， 因为，所以是等边三角形， 所以，，. 题型2 解三角形在四边形模型的应用 6．（2026高一·广东江门·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则的长（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先在中利用余弦定理求解的长度，再结合垂直关系得到中的已知角，最后利用正弦定理求解的长度即可. 【详解】在中，， 由余弦定理得 ∴ 整理得 ，解得 或 （边长为正，舍去）. ∵ ，∴ ， ∴ . 在中，，，， 由正弦定理得 ∴ . 7．（2026高一·北京·期末）如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）若选①：根据面积公式求出，根据余弦定理求出，根据面积公式求出；若选②：根据两角差的正弦公式可求出结果； （2）若选①：根据正弦定理解得，可求出结果；若选②：利用正弦定理可得，进而可求的大小. 【详解】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）如图，四边形ABCD为圆内接四边形，，，． (1)求AD长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）先求的三角函数，利用倍角得的三角函数，再由圆内接四边形性质得，通过三角恒等变换可得，在中用正弦定理求，最后用面积公式计算即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 代入，，，得 ， 整理得，解得（不符合边长要求，舍去）. （2）在中，由余弦定理得， 所以，又因为，所以，， 四边形为圆内接四边形，，所以，， 所以，即，所以， 在中，由正弦定理得，所以， 所以. 9．（2026高三·辽宁·阶段检测）如图，在平面四边形中，. (1)若的面积为，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积公式求得，进而得，在中，由余弦定理求得，在中，由余弦定理得解； （2）由，可得四点共圆，进而得，在中，由余弦定理得解. 【详解】（1），即，解得， 由 ，可知，故， 在中，由余弦定理得， 所以，解得， 在中，由余弦定理得， 代值化简得，解得. （2）若，则四点共圆， 又，则， 在中，由余弦定理得， 所以，解得. 10．（2026高一·河南新乡·阶段检测）如图，在四边形中，，，，． (1)求边的长度； (2)求四边形的面积； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用数量积公式求解出的度数，然后由余弦定理即可求出. （2）利用三角形的面积公式分别求出和面积，即可求出四边形的面积. （3）利用已知条件在中先求出，再由正弦定理即可求出. 【详解】（1）因为， ． ，． 在中，， ． （2）由（1）得，． ． ， ． ． 四边形的面积． （3）在中， ， ． 由正弦定理，得， ． 11．（2026高一·山东泰安·期中）如图，四边形中，，，，且有，. (1)求的长和的大小； (2)证明：四边形是等腰梯形，并求四边形的面积. 【答案】(1)，； (2)证明过程见解析，面积为 【分析】（1）由余弦定理求出，再次利用余弦定理得到； （2）在（1）基础上得到，所以，再由正弦定理得到，得到四边形为梯形，利用三角形面积公式进行求解的面积，相加可得四边形的面积 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以， 由余弦定理得，而为三角形内角， 故. （2），故， ，，， 故，， 故，所以， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 故，又，所以四边形是等腰梯形， ， ， 所以四边形的面积为 12．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 题型3 解三角形在复杂图形中的应用（设边设角） 13．（2026·四川成都·模拟预测）在中，角所对的边分别为，是边上一点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理，结合建立等量关系，联立方程求解即可. 【详解】如图，设，则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 又，则，代入化简得①， 在中，由余弦定理可得， 化简整理得②，联立①②，解得. 14．（2026·河南·模拟预测）如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. (1)若，，求的面积； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. （2）设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 15．（2026高一·河北沧州·期中）如图，在中，，D为边AC上一点，且，． (1)若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ⅱ） (2) 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 16．（2026高一·江西南昌·期中）如图，在凸四边形中，，，，，当变化时，对角线的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据余弦定理，可得的表达式，根据条件，可得的表达式，根据正弦定理，可得，在中，根据余弦定理，可得的表达式，整理计算，结合辅助角公式及正弦函数的性质，分析求解即可得答案. 【详解】在中，设，由余弦定理得， 又，，所以， 由题意，为等腰直角三角形，则， ，则， 在中，由正弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得 ， 当时，取得最大值，且为， 所以对角线的最大值为. 17．（2026高一·河北唐山·期中）中，，，，D为线段的中点，点E，F分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为________． 【答案】/ 【分析】设，根据角度关系与正弦定理可得，结合与可得，进而由求得的面积． 【详解】在中，，，， 设，则， 在中，，， 在中，，，则， ， 又，为正三角形， 则，即， ，则， ， 的面积为． 18．（2026·河南·模拟预测）在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 19．（2026高一·江苏盐城·期中）中，为边延长线上一点，，，，且的面积为，若点在线段上，满足，则的值为________. 【答案】/ 【分析】根据题意可得，利用余弦定理解得，，进而可得和. 【详解】在中，因为，， 则的面积为， 即，则，可得， 在中，设， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或（舍去）， 即，，且，， 在中，由余弦定理可得，即， 在中，由余弦定理可得， 且，所以. 20．（2026高一·内蒙古赤峰·期中）如图，在四边形，，，，. (1)若，，求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，在与中利用正弦定理结合可得，展开化简即可得其正切值. 【详解】（1）在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． （2）设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以， 所以，解得，所以． 21．（2026·重庆北碚·模拟预测）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以， 因为，所以，所以 ， 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为. （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得， 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 . 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为. 22．（2026高一·山东枣庄·期中）如图，在中，，，且．为线段上的两个动点（在的右侧），且，记． (1)若时，求的周长； (2)若的面积是的面积的倍，求的大小； (3)当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用直角三角形及三角函数计算可得、、，即可得周长； （2）借助面积关系可得，再利用正弦定理计算可得，从而可计算出； （3）利用正弦定理可表示出，再利用面积公式计算可用表示，再利用三角函数性质可得最小值. 【详解】（1）由，得， 又，则，所以， 当时，， 在Rt中，则， 在中，，可得， 的周长为； （2），因为的面积是的面积的倍， 所以，即， 在中，， 由，得， 从而，即，而， 由，得，所以，即； （3）设，由（2）知， 在中，由，得， 所以 =， 当且仅当， 即时，的面积取最小值为. 23．（2026高一·广东广州·期中）在内一点P满足，则称P为的布洛卡点，为布洛卡角.小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点P为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题： (1)求证：正的外心是的布洛卡点； (2)若满足，且时，求； (3)角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，若的周长为4，试把表示为b的函数，并求的值域. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)，；值域为 【分析】利用三角形的三边长关系准确找到边长的取值范围进而求解. 【详解】（1） 若是正的外心，则，所以，，因此，同理可得：， 所以，则正的外心是的布洛卡点. （2） 由余弦定理可得：， 代入数据解得：，故， 在中，设，则，，所以， 在中，由正弦定理得：， 代入数据得：，即：， 在中，由正弦定理得：， 代入数据得：，即：， 所以，即：， 利用正弦的差角公式展开：，所以， 则. （3） 因为，所以， 则， 由题可知：，所以，则， 利用余弦定理可得：， 化简得：， 又因为，所以， 三角形半周长为2，因为三角形的任意一边，都必须大于半周长减去该边， 所以，则，即：. 令，其中，分析可得：在上单调递减，且 ，， 所以值域为：. 题型4 解三角形在立体几何中的应用 24．（2026·湖南湘潭·模拟预测）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，设外接圆的圆心为，设三棱锥外接球的球心为，连接，，设，过点作的平行线，与的延长线交于点，连接，利用题中条件分别求得，,4，进而，，由，列式，解得，再根据球的表面积公式即可得答案． 【详解】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 25．（2026·云南·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，和都是等腰三角形，且，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面垂直确定球心的大致位置，在直角三角形中利用勾股定理可求球的半径，结合表面积公式可得答案. 【详解】如图，由题可知，外接圆的圆心O是的中点. 设三棱锥外接球的球心为，连接，则平面. 过A作，与的延长线交于点，则由平面平面，可得平面. 因为，，所以，. 取的中点E连接，，可得，， 则. 设，连接，，则，解得， 故三棱锥外接球的表面积为. 26．（2026·湖北宜昌·模拟预测）在直角中，，，为斜边上一点，将沿折叠到，使得二面角为，且，则______． 【答案】 【分析】设，则，过作为垂足，过作，为垂足．在直角三角形中计算边长结合计算得到结果. 【详解】设，则，过作为垂足， 过作，为垂足． 在中有，， 在中有，， 则． 因为二面角为，所以, 又 ， 则，， 所以． 故答案为：.    27．（2026高二·上海浦东新·期中）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，平面ABCD，F，O分别是PA，BD的中点，E是线段PB上的动点，给出下列四个结论： ①；②；③直线PO与底面ABCD所成角的正弦值为；④面积的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③④ 【分析】对①，由线线垂直证平面，再证； 对②，由线面垂直得，由几何关系求出PO，在由余弦定理求得，即可进一步求在由余弦定理求得FC； 对③，由线面角定义，就是直线与底面所成的角，； 对④，由平面得，，讨论OE的范围即可 【详解】对①，菱形ABCD中，由平面ABCD ，平面ABCD得，又平面，所以平面， 因为平面，所以，①对； 对②，菱形ABCD中，，，，平面，所以，， ， ，所以，②错； 对③，由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③对； 对④，由平面得，， 时OE最小，为， OE最大时与OP重合，故，④对. 故答案为：①③④. 题型5 解三角形在实际问题中的应用 28．（2026高一·上海·期中）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东且与相距海里的处有一货船正以匀速直线行驶，分钟后又测得该船位于观测站北偏东（其中，），且与观测站相距海里的处． (1)求的值； (2)求该船的行驶速度（海里/小时）； (3)在离观测站的正南方海里的处有一半径为3海里的警戒区域，并且要求进入警戒区域的船只不得停留在该区域超过分钟．如果货船不改变航向和速度继续前行，则该货船是否会进入警戒区域？若进入警戒区域，是否能按规定时间离开该区域？请说明理由． 【答案】(1) (2)海里/小时 (3)货船会进入警戒区域，货船可以在规定时间之内离开警戒区域，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件，结合同角三角关系计算求解； （2）利用余弦定理计算求解； （3）利用余弦定理求出，进而求出，利用正弦定理求出，进而求出，进而结合题意得出结论． 【详解】（1）由题意：，，， ，，则，解得， ． （2）由余弦定理得： ， 即， 航行时间为20分钟，即小时， 该船的行驶速度为海里/小时． （3）在中，根据余弦定理得，则， 设延长线交于点，则，， 则， ， 在中，由正弦定理可得：， 解得海里， 过点作垂直于点， 在中，，，， 显然，，故货船会进入警戒区域； 则货船进入警戒区域的时间为小时， 而， 货船可以在规定时间之内离开警戒区域． 29．（2026高一·贵州贵阳·阶段检测）如图所示，有一艘缉毒船正在处巡逻，发现在北偏东方向､距离为4海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕. (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向. 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【详解】（1）设缉毒船经过小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知： ， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 30．（2026高一·江西吉安·阶段检测）如图，，，三点位于同一水平面，位于的北偏西方向，位于的北偏东方向，在的正西方向，且，之间的距离为50米，处正上方建有一栋楼房，处正上方建有一座塔，从处观察塔尖，测得仰角为，从楼房顶处观察塔尖，测得仰角为，则楼房的高度为__________米． 【答案】25 【分析】画出图形，通过作辅助线将空间几何问题转化为平面几何问题通过三角函数即可解决. 【详解】由题意知，，，，米，. 则米，米. 过点作，交于点， 则米，，所以米， 所以米， 故楼房的高度为25米. 31．（2026高一·辽宁大连·期中）小王老师五一假期打卡泰山，如图，王老师为了测量泰山主峰玉皇顶的高度AB（单位：米），在地面上选择一个观测点，在附近的山峰顶端选择另一个测量点，在处测得处的仰角为，测得主峰玉皇顶最高点的仰角为，山峰的高度CD为772.5米，且在处测得点的仰角为，点B，P，D在同一水平面的一条直线上，则玉皇顶的高度AB为（    ） A．1030米 B．1545米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据题意，将长度与角度转化成三角形的边角，利用解三角形的思路计算即可． 【详解】由题意知，，；故; 又在处测得点的仰角为，故, 则； 在直角中，，， 则米； 在中，由正弦定理，即， 可得米， 在直角中，可得米． 32．（2026高一·河南·阶段检测）为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【详解】设塔高为，已知平面，则均为直角三角形， 已知，则，故， 已知，则， 由余弦定理得，即 ，解得． 33．（2026高一·广东·期中）重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角：， 在 点仰角：， 在 点仰角：， 又，即，是中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式：， 化简计算：， 因此木铎金声钟的高约为 . 34．（2026高一·江苏淮安·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 35．（2026高一·天津蓟州·期中）盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 36．（2026高一·广西南宁·期中）如图，一架飞机以的速度，沿北偏东的航向从A地出发飞往B地，飞行了后到达E地，由于天气原因该飞机按命令改飞C地，已知，，，且，．（参考数据：）    (1)求； (2)收到命令时飞机应该沿什么航向飞行？E地离C地的距离是多少？ 【答案】(1)60° (2)收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 【分析】(1)在中使用余弦定理得出及 (2)在中使用余弦定理得出及，再在中使用余弦定理得出及． 【详解】（1）连接，在中由余弦定理得 ， ， 又，， ，即， ．    （2）连接，则由及 得：， ， ， 在中，由余弦定理，得：， 则， 又，则是等腰三角形，且， 由已知有， 在中，由余弦定理得： ， 又，则． 由飞机出发时沿北偏东方向飞行得：飞机由E地改飞C地的方向角为南偏东． 答：收到命令时飞机应该沿南偏东的航向飞行，E地离C地． 37．（2026高三·全国·一轮复习）如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． $