专题1.1 勾股定理（举一反三讲义）数学新教材北师大版八年级上册

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，从直角三角形两直角边平方和等于斜边平方的定义出发，通过12个题型构建学习支架，涵盖基础计算、定理验证、几何应用及实际问题解决，形成完整知识脉络。 该资料以题型分层设计为特色，例题与变式结合，通过赵爽弦图、拼图验证培养几何直观和推理意识，实际问题强化应用意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生举一反三，查漏补缺，提升数学思维与实践能力。

专题1.1 勾股定理（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 直角三角形中知两边求第三边】 1 【题型2 直角三角形中知一边及关系求边】 2 【题型3 赵爽弦图求面积】 3 【题型4 拼图法验证定理】 4 【题型5 三边向外作正方形或三角形求面积】 6 【题型6 三边向外作半圆求面积】 7 【题型7 勾股树】 8 【题型8 求折叠后的线段长】 10 【题型9 格点中求线段长】 11 【题型10 利用勾股定理求线段平方和(差)】 12 【题型11 利用勾股定理证明线段平方关系】 13 【题型12 利用勾股定理解决实际问题】 14 考点1 勾股定理 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【题型1 直角三角形中知两边求第三边】 【例1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，当笔记本电脑的张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离为，则电脑屏幕的宽为_____________． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，则______． 【变式1-2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图是空调外机的支撑架，钢条的长度为，焊点A到B的距离为，若要保证钢条与垂直，则焊点C到A的距离应为_______． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 【题型2 直角三角形中知一边及关系求边】 【例2】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）在中，，则的值为______ 【变式2-1】已知直角三角形最短边为9，另两边相差3，则斜边长为________． 【变式2-2】一个长方形的相邻两边的比是，它的对角线长为，则这个长方形的较长边长为______． 【变式2-3】直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形的另两边可能是__________．（写出一组即可） 知识点2 勾股定理的验证考点2 勾股定理的面积验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【题型3 赵爽弦图求面积】 【例3】（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 【变式3-1】如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【变式3-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式3-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．7 C． D． 【题型4 拼图法验证定理】 【例4】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【变式4-1】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式4-2】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【变式4-3】请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 考点3 三边向外作图形的面积 【题型5 三边向外作正方形或三角形求面积】 【例5】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【变式5-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，分别以为斜边作等腰直角三角形，，以为边作正方形S．若与的面积和为1，则正方形S的边长为_______． 【变式5-3】勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【题型6 三边向外作半圆求面积】 【例6】如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为________．（结果保留） 【变式6-1】如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（　　） A．+= B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，，，．在的上方分别以、、为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为____． 【变式6-3】如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________ 【题型7 勾股树】考点4 勾股定理的几何应用 【例7】（25-26七年级上·山东烟台·期末）以正方形的边长为斜边向外作直角三角形，再分别以这个直角三角形的直角边为边长向外作正方形，如图①．重复上面的操作，先分别以得到的各个小正方形的边长为斜边向外作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是执行两次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则六次操作后图形中所有正方形的面积和为______． 【变式7-1】（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为____________． 【变式7-2】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【变式7-3】图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为______． 【题型8 求折叠后的线段长】 【例8】（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，沿矩形的对角线折叠后打开，再沿折叠，使落在对角线上，点A的对应点为点E．若，，则的长是______． 【变式8-2】如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为_________． 【题型9 格点中求线段长】 【例9】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【变式9-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A．3 B． C．4 D． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为______． 【变式9-3】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【题型10 利用勾股定理求线段平方和(差)】 【例10】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式10-2】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【变式10-3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【题型11 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例11】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【变式11-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【变式11-2】如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 【变式11-3】阅读下面材料，完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯定理 阿波罗尼奥斯（约公元前262－190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图，在中，点D为的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得． 下面是该定理的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E． 在中，由勾股定理，得． 同理可得，． ∵点D为的中点，∴． ∴… 任务： (1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整； (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知点P为矩形内任意一点，求证：． 【题型12 利用勾股定理解决实际问题】考点5 利用勾股定理解决实际问题 【例12】（25-26八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【变式12-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，从电杆离地面米处向地面拉一条米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电杆底部的距离？ 【变式12-2】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【变式12-3】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 勾股定理（举一反三讲义） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 直角三角形中知两边求第三边】 1 【题型2 直角三角形中知一边及关系求边】 3 【题型3 赵爽弦图求面积】 5 【题型4 拼图法验证定理】 9 【题型5 三边向外作正方形或三角形求面积】 13 【题型6 三边向外作半圆求面积】 17 【题型7 勾股树】 20 【题型8 求折叠后的线段长】 23 【题型9 格点中求线段长】 27 【题型10 利用勾股定理求线段平方和(差)】 29 【题型11 利用勾股定理证明线段平方关系】 32 【题型12 利用勾股定理解决实际问题】 35 考点1 勾股定理 知识点1 勾股定理 1.定义：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 如图所示，是直角三角形，其中较短的直角边a叫做勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 【题型1 直角三角形中知两边求第三边】 【例1】（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，当笔记本电脑的张角为时，顶部边缘处离桌面的高度，此时底部边缘处与处之间的距离为，则电脑屏幕的宽为_____________． 【答案】25 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，由勾股定理得：． 【变式1-1】（25-26八年级下·湖北孝感·期中）在中，，，，则______． 【答案】 【分析】在中，，满足，把和的长度，代入即可求出的长． 【详解】解：∵，，， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·河南许昌·期中）如图是空调外机的支撑架，钢条的长度为，焊点A到B的距离为，若要保证钢条与垂直，则焊点C到A的距离应为_______． 【答案】24 【详解】解：由题意得：，，， ∴． 【变式1-3】（25-26八年级下·河南商丘·期中）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的周长为_____ 【答案】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，可知底边上的中线即为底边上的高，利用勾股定理求出底边一半的长度，再得到底边长，最后计算三角形的周长即可． 【详解】解：等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为， 由等腰三角形三线合一的性质可得，该中线垂直于底边，即该中线为底边上的高， 底边的一半长 底边长 等腰三角形的周长． 【题型2 直角三角形中知一边及关系求边】 【例2】（25-26八年级下·河北廊坊·期中）在中，，则的值为______ 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴． 【变式2-1】已知直角三角形最短边为9，另两边相差3，则斜边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，先设出另外一条直角边的边长，然后可得到斜边长，根据勾股定理可解出结果，熟练运用勾股定理解三角形是解题的关键． 【详解】解：设另外一个直角边边长为，则斜边长为， 则， 解得：， ∴斜边长为， 故答案为：． 【变式2-2】一个长方形的相邻两边的比是，它的对角线长为，则这个长方形的较长边长为______． 【答案】 【分析】设长方形的两邻边长分别为、，根据勾股定理列方程求解x值即可解答． 【详解】解：根据题意，设长方形的两邻边长分别为、， ∵它的对角线长为，两邻边的夹角为， ∴， ∴，解得（负值舍去）， 则这个长方形的较长边长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、算术平方根，利用勾股定理建立方程求解是解答的关键． 【变式2-3】直角三角形的一直角边长为12，另外两边之长为自然数，则满足要求的直角三角形的另两边可能是__________．（写出一组即可） 【答案】37，35或20，16或9，15或5，13（任写一组即可） 【分析】设直角三角形的斜边是c，另一条直角边是a，根据勾股定理，得，则，借助因数分解的方法即可求得另外两边的可能值． 【详解】解：设直角三角形的斜边是c，另一条直角边是a. 根据勾股定理，得， 即， 则有 或 或 或 ． ∴或或 或， 则另外两边可能是37，35或20，16或15，9或13，5． 故答案为：37，35或20，16或9，15或5，13（任写一组即可） 【点睛】此题为开放性试题，答案不唯一．根据勾股定理得到另外两条边的平方差，再进一步借助因式分解和因数分解的知识，得到关于两条边的方程组，从而求解． 知识点2 勾股定理的验证考点2 勾股定理的面积验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想，图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.用两种方式表示图形面积（算两次》，根据面积相同得到等量关系，进而进行等量变换得到勾股定理公式是证明勾股定理的常见方法. 拼图法验证勾股定理的一般步骤 （1）拼出图形 直角梯形（3个直角三角形） （2）用两种方式表示图形面积 ， （3）根据面积相同得到等量关系 （4）恒等变形 （5）推导出勾股定理 【题型3 赵爽弦图求面积】 【例3】（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图，是公元三世纪初我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，赵爽弦图指出：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，若，则小正方形的面积为___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理求得，即可得到结论． 【详解】解：四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形， ， ， ， 则小正方形的面积为， 故答案为：4． 【变式3-1】如图1，在赵爽弦图中连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为9，短直角边为4，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（   ） A．56 B．60 C．65 D．75 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式，将图中阴影部分的面积分割成一个正方形的面积加上四个全等三角形的面积是解题关键．如解答图，易得，则图中阴影部分是由中间的小正方形和四个全等三角形组成的，利用三角形和正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，， ， 则中间小正方形的面积为， 小正方形的外阴影部分的， 阴影部分的面积为． 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 【变式3-3】（24-25八年级上·福建泉州·期末）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为（   ） A．5 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等角对等边，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质得因为，所以，即，再运用勾股定理列式，得，故阴影部分的面积，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：C． 【题型4 拼图法验证定理】 【例4】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点D在边上，顶点B、F重合，连接．设交于点G，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：　　　，　　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明见解析 【分析】本题考查了图形的面积计算以及勾股定理的证明 （1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质证明即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可； 熟知数形结合思想的运用是关键 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； ， ， 故答案为：90，； （2）方法一∶ 方法二： 根据上面的方法可得出 【变式4-1】在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现了数形结合的思想．下列选项中的图形，不能证明勾股定理得是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据各个图形，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； B、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； C、通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式，不能证明勾股定理，符合题意； D、通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式，可得，可以证明勾股定理，不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图1所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．下面是小华给出的相关证明： 如图，延长交①于点G． 用两种不同的方法表示五边形的面积S： 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则②． 方法二：将五边形看成是由③，正方形，，拼成，根据面积相等可以得到④，进而通过化简验证得出勾股定理． 则下列说法错误的是（　　） A．①代表 B．②代表 C．③代表正方形 D．④代表 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，根据题意用两种方法表示出S，然后根据两种表示方法表示的S相等，即可得到结论． 【详解】解：如图所示，延长交于G， 方法一：将五边形看成是由正方形与，拼成，则； 方法二：将五边形看成是由正方形，正方形，，拼成，则 ， 根据面积相等可以得到，即，故C选项错误，符合题意． 故选：C． 【变式4-3】请阅读下列材料，并完成相应的任务． 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，下面是我国三国时期的数学家赵爽和意大利著名画家达·芬奇的证明方法． 赵爽利用4个全等的直角三角形拼成如图1所示的“弦图”（史称“赵爽弦图”），其中a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，四边形和四边形是正方形．   达·芬奇用如图2所示的方法证明，其中剪开前的空白部分由2个正方形和2个全等的直角三角形组成，面积记为；剪开翻转后的空白部分由2个全等的直角三角形和1个正方形组成，面积记为． 任务： (1)下面是小颖利用赵爽弦图验证勾股定理的过程，请你帮她补充完整． 证明：由图1，知，正方形的边长为 ． ， ， ， ，即． (2)请你参照小颖的验证过程，利用图2及图中标明的字母写出勾股定理的验证过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形和正方形的面积公式，根据题目读懂题意，列出等量关系，验证勾股定理是解答本题的关键． （1）依题分析，直角三角形两个直角边长分别，，正方形的边长为，根据直角三角形和正方形的面积公式，得到三角形面积为，正方形的面积为； （2）剪开前，直角三角形的两直角边长分别为，，两个正方形边长分别为，；剪开后正方形的边长为，直角三角形的两直角边长分别为，，根据直角三角形和正方形的面积公式，列出剪开前后的面积公式，两个面积相等，得到验证． 【详解】（1）解：由图知， 直角三角形的两个边长为，， 正方形的边长为， ， ， 故答案为，， （2）根据题意，得， ， ， ，即考点3 三边向外作图形的面积 【题型5 三边向外作正方形或三角形求面积】 【例5】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在中，．若，则正方形和正方形的面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，则正方形和正方形的面积之和为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴正方形和正方形的面积之和为：， 故选：． 【变式5-1】（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，，面积分别记为、、，若，则阴影部分面积为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，由勾股定理得出是解题的关键．由勾股定理得出，再根据已知，得出的值，即可求出答案； 【详解】解：由勾股定理得， ， ∵中，分别以这个三角形的三边为边长作等腰直角三角形，，， ∴ ∴， 即 ∵， ∵， ∴ ∴阴影部分的面积， 故选：A． 【变式5-2】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，分别以为斜边作等腰直角三角形，，以为边作正方形S．若与的面积和为1，则正方形S的边长为_______． 【答案】2 【分析】本题主要考查勾股定理，分别以，为边向的外部作正方形，利用勾股定理列算式时解题的关键． 设，根据勾股定理得到，根据与的面积和为1得到，即可求出正方形S的边长． 【详解】解：分别以，为边向的外部作正方形，设， 根据勾股定理可知，， 的面积为 的面积为正方形S的面积， ∵与的面积和为1， ∴ ∴ ．即正方形S的边长为2． 故答案为：2． 【变式5-3】勾股定理有着悠久的历史，它神秘而美妙，曾引起很多人的兴趣．如图所示，为的斜边，四边形，，均为正方形，四边形是长方形，若，，则图中空白部分的面积是_____． 【答案】60 【分析】延长，交于点，先证出，再求出的长，然后根据图中空白部分的面积等于求解即可． 【详解】解：如图，延长，交于点， ∵为的斜边，，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵四边形，，均为正方形， ∴，，， ∴四边形是长方形，， ∴，点共线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 又∵，，， ∴四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∴图中空白部分的面积是 ． 【题型6 三边向外作半圆求面积】 【例6】如图，在中，，分别以为直径向外作半圆，半圆的面积分别记为，则的值为________．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、圆的面积问题．由勾股定理可得，再根据即可求解． 【详解】解： 中，， ， ， 故答案为：． 【变式6-1】如图所示，直角三边形三边上的半圆面积从小到大依次记为、、，则、、的关系是（　　） A．+= B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设直角三角形各边长为2a、2b、2c，如图所示： ∵三角形是直角三角形， ∴（2a）2+（2b）2=（2c）2， 化简得：a2+b2=c2， S1=πa2，S2=πb2，S3=πc2； S1+S2=π（a2+b2）=πc2=S3． 故选：A． 【变式6-2】（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，，，．在的上方分别以、、为直径作三个半圆，则图中阴影部分的面积之和为____． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算、圆面积的计算，解题关键是找出各个图形之间的关系，求出．先由勾股定理得，再由直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积，即可得出． 【详解】解：在中，由勾股定理得：， 直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积直径为的半圆的面积 ， 故答案为：． 【变式6-3】如图，正方形ABCD边长为2，E是AB的中点，以E为圆心，线段ED的长为半径作半圆，交直线AB于点M，N，分别以线段MD，ND为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____________ 【答案】2 【分析】根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积，MN的半圆的直径，从而可知∠MDN＝90°，此阴影部分的面积＝△DMN的面积，在Rt△AED中，求出DE＝，所以MN＝2，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据图形可知阴影部分的面积＝两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积． ∵MN是半圆的直径， ∴∠MDN＝90°． 在Rt△MDN中，MN2＝MD2+DN2， ∴两个小半圆的面积＝大半圆的面积． ∴阴影部分的面积＝△DMN的面积． 在Rt△AED中，DE＝， ∴MN＝2DE＝2， ∴阴影部分的面积＝△DMN的面积＝MN•AD＝×2×2＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积＝△DMN的面积是解题的关键． 【题型7 勾股树】考点4 勾股定理的几何应用 【例7】（25-26七年级上·山东烟台·期末）以正方形的边长为斜边向外作直角三角形，再分别以这个直角三角形的直角边为边长向外作正方形，如图①．重复上面的操作，先分别以得到的各个小正方形的边长为斜边向外作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是执行两次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则六次操作后图形中所有正方形的面积和为______． 【答案】63 【分析】本题主要考查了图形规律，勾股定理，掌握勾股定理是解决本题的关键． 根据题意分别计算出图①、图②的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：如下图， 由题意得，，， ， 图①中两个小正方形的面积和为，大正方形的面积为， 图①中所有正方形面积和为， 图②中所有正方形面积和，即2次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 同理，得3次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ； 次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：63． 【变式7-1】（24-25八年级下·四川广元·期中）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为1，则第2025代勾股树中所有正方形的面积为____________． 【答案】2026 【分析】本题主要考查勾股定理，由题目条件和所画出来的图形正确找出规律是解题的关键．分别计算出第一，第二，第三代勾股树中所有正方形的面积，得出第代勾股树中所有正方形的面积为进行分析计算． 【详解】解：由题意可知，第一代勾股树中所有正方形的面积为； 第二代勾股树中所有正方形的面积为； 第三代勾股树中所有正方形的面积为……， 则第代勾股树中所有正方形的面积为， ∴第2025代勾股树中所有正方形的面积为． 故答案为：2026． 【变式7-2】如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，，，，S₄分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则的值为_____ 【答案】55 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据勾股定理可得，，，，然后列式解答即可． 【详解】解：建立如图的数据， 由题意得，，，，，， ∴ ， 故答案为：55． 【变式7-3】图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形（如图2所示）演化而成的．如果图2中的，那么的长为______． 【答案】 【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解． 【详解】解： ， 由勾股定理可得：， ， ， 可知， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键． 【题型8 求折叠后的线段长】 【例8】（24-25八年级下·云南大理·期末）如图，在中，，，，将折叠，沿折叠，使点与点重合，则的周长等于_____． 【答案】17 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 故答案为：17． 【变式8-1】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，沿矩形的对角线折叠后打开，再沿折叠，使落在对角线上，点A的对应点为点E．若，，则的长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，，由勾股定理得，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：∵矩形折叠后落在对角线上，点A的对应点为点E， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， 由勾股定理得：，解得：， ∴． 故答案为：3． 【变式8-2】如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 【变式8-3】如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 【题型9 格点中求线段长】 【例9】（25-26八年级下·陕西榆林·期中）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，若“车”“炮”两枚棋子均放置在格点上，则这两枚棋子所在格点之间的距离为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过网格确定水平与竖直距离，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：观察图形可知，“车”与“炮”在水平方向上相距1个单位长度，在竖直方向上相距3个单位长度． ∴这两枚棋子所在格点之间的距离为． 故选：B． 【变式9-1】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】解：平移的距离即为对应点所连线段的长度， ∴平移距离． 【变式9-2】（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点到表示数1的点的距离，然后结合点在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点到表示数1的点的距离是， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点在线段上运动，连接，则线段的最小值为______． 【答案】2 【分析】点在线段上运动，当时，线段有最小值，利用网格计算的面积，再由，计算出的最小值． 【详解】解：点在线段上运动，当时，线段有最小值， 而， ， 得． 【题型10 利用勾股定理求线段平方和(差)】 【例10】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式10-1】（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式10-2】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【变式10-3】如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 【答案】D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 【题型11 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例11】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接    (1)求证：； (2)若，，求的周长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵D是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵D是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键． 【变式11-1】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 【变式11-2】如图在中，，点E，F分别在上，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由勾股定理可得，，，，则有，，即可得到结论 【详解】 ，均为直角三角形 在中， 在中， 在中， 在中， 【点睛】本题主要考查了勾股定理的简单应用，解题关键在于找出直角三角形，利用勾股定理求证． 【变式11-3】阅读下面材料，完成相应的任务． 阿波罗尼奥斯定理 阿波罗尼奥斯（约公元前262－190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍． 如图，在中，点D为的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得． 下面是该定理的部分证明过程： 证明：如图，过点A作于点E． 在中，由勾股定理，得． 同理可得，． ∵点D为的中点，∴． ∴… 任务： (1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整； (2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知点P为矩形内任意一点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，以及矩形的性质． （1）用线段的和差关系以及等量代换即可证明． （2）连接，相交于点O，连接，由矩形的性质可得出，，，进而可得出，根据阿波罗尼奥斯定理，得，．则可证明． 【详解】（1）解： ． （2）如图，连接，相交于点O，连接． ∵四边形是矩形， ∴，，． ∴． 根据阿波罗尼奥斯定理，得，． ∴． 【题型12 利用勾股定理解决实际问题】考点5 利用勾股定理解决实际问题 【例12】（25-26八年级下·甘肃平凉·阶段检测）如图，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为米，如果梯子的顶端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】米 【分析】在中根据勾股定理求出的长度，从而得出的长度，然后根据和勾股定理求出的长度，从而得出答案． 【详解】解：∵是直角三角形，，米，米， ∴（米）， ∵米， ∴米， ∵米， ∴（米）， ∴（米）． 故梯子的底端在水平方向滑动了0.8米． 【变式12-1】（24-25八年级下·甘肃临夏·期中）如图，从电杆离地面米处向地面拉一条米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电杆底部的距离？ 【答案】米 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式12-2】如图，有两棵树，一棵树高AC是10米，另一棵树高BD是4米，两树相距8米（即CD=8米），一只小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？ 【答案】小鸟至少飞行了10米 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图，大树高为AC=10米，小树高为BD=4米， 过点B作BE⊥AC于E，则四边形EBDC是矩形，连接AB， ∴EC=BD=4（米），EB=CD=8（米）， ∴AE=AC-EC=10-4=6（米）， 在中，（米）， 答：小鸟至少飞行了10米． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息是解题的关键． 【变式12-3】（24-25八年级下·吉林白城·期末）某人欲从一条河岸边的点A，划船垂直河岸横渡一条河，到达河对岸岸边的点B，由于水流的影响，实际上岸地点C离欲到达点B距离，已知他在水中实际划了．（假设河两岸互相平行，预计行走路线和实际行走路线均为直线） (1)画出符合题意的图形； (2)求该河流的宽度． 【答案】(1)见解析 (2)60米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：由题意知，，，， 在中，由勾股定理得 答：该河流的宽度为60米． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $