专题1.1 探索勾股定理【导图+知识卡片+知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题】-2026-2027学年北师大版数学八年级上册同步讲义

本讲义聚焦勾股定理这一核心知识点，系统梳理其定义、验证方法及简单应用，通过思维导图和知识卡片构建知识框架，前承三角形性质，后启实际问题解决，为学生搭建从概念理解到应用拓展的学习支架。 该资料以赵爽弦图等经典证明培养推理意识，10类题型涵盖解三角形、面积计算及旗杆高度等生活实例，发展几何直观与应用意识，55道分层题及中考真题助力查漏补缺，课中辅助教学，课后强化巩固，提升学生用数学思维解决问题的能力。

null 专题1.1 探索勾股定理『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 勾股定理 2 知识点二 勾股定理的验证 3 知识点三 勾股定理的简单应用 3 题型讲练 4 题型一 用勾股定理解三角形 4 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 4 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 5 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 6 题型五 勾股定理的证明方法 7 题型六 以弦图为背景的计算题 9 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 10 题型八 求旗杆高度(勾股定理的应用) 11 题型九 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 13 题型十 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 14 中考真题演练 14 难度分层训练 16 【基础夯实】 16 【培优拔高】 19 知识点一 勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a²  (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b²  (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c²  (c 为斜边长) 知识点二 勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点三 勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 题型一 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式训练1】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 _____ ． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【变式训练1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【变式训练2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 题型五 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期末）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【变式训练2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 题型六 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式训练1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【变式训练2】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 题型八 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【变式训练1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，如图，在一次高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶处，然后在地面上拉着绳子移动，当他移动到距离该居民楼10米的点处时（即米），拉直的绳子的另一端恰好位于他的头顶处，已知该工作人员的身高米，绳长比楼高多2.4米，于点，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上信息，求出这栋居民楼的高度．    题型九 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 题型十 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 【变式训练1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为______尺． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【真题演练1】（2025·江苏泰州·中考真题）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2025·河南郑州·中考真题）已知某品牌养生壶内装有升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾，然后自动启动保温模式：当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温y随时间x的变化关系的图象： 下列说法正确的是（    ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．该养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．养生壶从启动烧水开始两小时内，仅有一次显示温度 【真题演练3】（2025·重庆北碚·中考真题）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 【真题演练4】（2025·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 【真题演练5】（2025·广东梅州·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【基础夯实】 1．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．有以下结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为____． 6．已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________． 7．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 8．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 9．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 10．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【培优拔高】 1．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 4．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 6．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．     B．     C．      D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，是等腰三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 10．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $null 专题1.1 探索勾股定理『重点难点同步培优讲义』 （知识梳理+10个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【北师大版数学新教材•八年级上册】 思维导图 2 知识梳理 2 知识点一 勾股定理 2 知识点二 勾股定理的验证 3 知识点三 勾股定理的简单应用 3 题型讲练 4 题型一 用勾股定理解三角形 4 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 5 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 7 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 10 题型五 勾股定理的证明方法 12 题型六 以弦图为背景的计算题 16 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 18 题型八 求旗杆高度(勾股定理的应用) 21 题型九 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 23 题型十 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 26 中考真题演练 27 难度分层训练 32 【基础夯实】 32 【培优拔高】 39 知识点一 勾股定理 1. 勾股定理 文字语言 图示 符号语言 变式 直角三角形 两直角边的 平方和等于 斜边的平方 如果用a，b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a²+b²=c a²=c²-b²， b²=c²-a² 2. 找准条件灵活应用勾股定理 条件 结论 注意 Rt △ ABC 中，BC=a，AC=b，AB=c ∠A =90° b²+c²=a²  (a为斜边长) ① Rt △ ABC 中，斜边的长不一定是c； ② 应用勾股定理时若没有明确哪个角是直角，则需分情况讨论 ∠B =90° a²+c²=b²  (b为斜边长) ∠C =90° a²+b²=c²  (c 为斜边长) 知识点二 勾股定理的验证 1. 常用验证法 验证勾股定理的方法很多，有测量法、几何证明法(以后将学到)，但最常用的是通过拼图，构造特殊图形，并根据拼图中各部分面积之间的关系验证。 2. 著名验证法举例 方法 图形 说明 赵爽弦图 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又因为大正方形的面积＝4×ab＋  (b－a)²＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 知识点三 勾股定理的简单应用 运用勾股定理解决实际问题的一般思路 题型一 用勾股定理解三角形 【典例精讲】（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【答案】 【分析】先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为 _____ ． 【答案】 【分析】由作图步骤可知，利用勾股定理可求出的长，再根据即可求解． 【详解】解：在中，，，， ， 由作图步骤可知：， ． 题型二 以直角三角形三边为边长的图形面积 【典例精讲】（25-26八年级上·山西吕梁·阶段检测）如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，，， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·广东茂名·阶段检测）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，若，则图中阴影部分的面积为_________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理得出，得出，根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得，即， ， ， ， 根据正方形的性质得，， ∴阴影部分的面积为． 【变式训练2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 题型三 利用勾股定理求两条线段的平方和(差) 【典例精讲】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【变式训练1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，，于点D，E为上任意一点，则______． 【答案】231 【分析】该题考查了勾股定理，在 、、、中，由勾股定理得出，再代入求解即可． 【详解】证明：在 中，由勾股定理，得①， 在 中，由勾股定理，得②， 得． 在 中，由勾股定理，得③， 在 中，由勾股定理，得④， 得， 所以， ∵，， ∴． 故答案为：231． 题型四 利用勾股定理证明线段平方关系 【典例精讲】（25-26八年级上·福建福州·期末）（1）【阅读材料】 如图1，在边长为a的正方形边上挖去一个边长为b的正方形，再将剩余部分中长方形①剪下，与其它部分拼成图2所示的长方形．由面积的不同算法可得乘法公式：________； （2）【类比探究】 如图3，的三条边长分别记为a，b，c，，点C，A，E在同一条直线上，连接．请推导出a，b，c之间的等量关系． （3）【应用结论】 如图4，的两条直角边及斜边上的高分别记为a，b，h．应用上面结论求证． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质： （1）根据面积的不同算法即可得乘法公式； （2）结合全等三角形的性质可得到，再由，即可解答； （3）由（2）得：，根据，可得，从而得到，即可求证． 【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， 由面积的不同算法可得乘法公式：； 故答案为： （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）由（2）得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式训练1】（25-26八年级上·上海普陀·期末）如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，，，， ∴， 整理得， 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）如图，为的斜边上的高，设，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理得出，则可得出答案． 【详解】证明：在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， 在中，根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 题型五 勾股定理的证明方法 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期末）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和如图放置，其三边长分别为，显然． 请用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确表示出相关图形的面积是解题的关键． 先分别表示出四边形、梯形、的面积，再根据列出等式整理即可证明结论． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴ ，即． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）【问题背景】赵爽弦图是中国古代数学家赵爽为证明勾股定理设计的几何图形．郑州市中原区某中学的数学实验室社团在“数学文化节”上展示了这个经典图形：四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)【探索求证】数学实验室里，学生用硬纸板拼出如图②的模型：与按如图所示位置放置，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】中原区某学校在东西走向的操场北侧有一个花园C，操场边原有两个取水点（在同一直线上），其中，因操场改造，路封闭，学校决定在操场边新建取水点H并修新路，且．测得米，米，求新路比原路少多少米？ (3)【延伸扩展】在问题解决中若时，，米，米，米，求的长度？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少1米 (3)米 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证． （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果． （3）为y米，在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）解：， 又， 是同一图形的面积，面积相等， ， ． （2）解：设为米，则米，米， ， ∴， 在中，，米， ， 即， 解得：， （米）， （米）， 新路比原路少1米． （3）解：由题意设：为y米， 又米，米，米， 米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长度为米． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东枣庄·期末）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的验证方法，关键是利用图形的面积关系，通过等面积法推导，判断各选项是否能通过面积相等得到勾股定理的结论． 【详解】解：对于选项A，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ，展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项B，梯形的面积可表示为，也可表示为， ， 展开化简得，可以验证勾股定理． 对于选项C，图形的面积关系无法直接通过等面积法推导出，不能用来验证勾股定理． 对于选项D，大正方形的面积可表示为，也可表示为， ， 化简得，可以验证勾股定理． 故选：C． 题型六 以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解． 【详解】解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 所以一个小三角形的面积是，， 所以，即， 所以． 所以． 【变式训练1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为（　　） A．64 B．54 C．108 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再与已知条件联立，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故选：B． 【变式训练2】（25-26八年级上·江西鹰潭·期末）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．其中，，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了赵爽弦图，勾股定理，完全平方公式，三角形面积计算，由题意可得，再由已知条件可得，即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为， 故答案为：． 题型七 用勾股定理构造图形解决问题 【典例精讲】（25-26八年级上·福建漳州·期中）在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度． 【答案】绳索的长为 【详解】解：由题意知：四边形是长方形，是直角三角形， ， 又， ， 设绳索的长为， 则，， 在中，， ， 解得：， 答：绳索的长为． 【变式训练1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 【变式训练2】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为，宽为．一辆卡车装满货物后，高为，宽为，它能通过该隧道吗？ 【答案】能通过该隧道 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，取的中点，作于点，连接．设，则．结合勾股定理求出，即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作，取的中点，作于点，连接． 设，则． 由题意可知：， 在中，由勾股定理，得． ． ． 这辆卡车能通过该隧道． 题型八 求旗杆高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·河南郑州·期末）小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米． (1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度． (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？ 【答案】(1)此时风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该朝射线方向前进4米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式． （1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可； （2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可． 【详解】（1）解：中， 米， 米， 答：此时风筝离地面的垂直高度为米； （2）解：米， 由题意可得：米， 中， 米， 米． 答：他应该朝射线方向前进4米． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）某班数学兴趣小组到平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①已知绳子一端系在旗杆顶端A处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米的E点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米到达G点．此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地面的距离都是1.6米；则旗杆的高度为______米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 连接并延长交于，在中和中，分别使用勾股定理得，，再即可求得，代入可得即可求解． 【详解】解：连接并延长交于， ，， 则， 在中，， 即， 在中，， 即， 由得：， 解得， 代入得：， ， ， （米）． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）在城市建筑测量中，经常会用到几何知识．小明家附近有一栋居民楼，如图，在一次高空作业时，工作人员将一根绳子的一端固定在楼顶处，然后在地面上拉着绳子移动，当他移动到距离该居民楼10米的点处时（即米），拉直的绳子的另一端恰好位于他的头顶处，已知该工作人员的身高米，绳长比楼高多2.4米，于点，，图中所有的点都在同一平面内，请你根据以上信息，求出这栋居民楼的高度．    【答案】这栋居民楼的高度为米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设米，则米，米，在中，利用勾股定理列方程，解方程即可求解． 【详解】解：设米，则米，米， 在中，根据勾股定理得， 即， 解得， 答：这栋居民楼的高度为米． 题型九 求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【典例精讲】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 【详解】解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 题型十 求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【典例精讲】（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（   ） A．10米 B．12米 C．8米 D．16米 【答案】B 【分析】设，则，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得， 即， 整理得，解得， 即的距离为12米． 【变式训练1】（25-26八年级上·福建泉州·期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，则折断处离地面的高度为______尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面尺，根据勾股定理建立方程即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【变式训练2】（25-26八年级上·江苏·期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？（1丈10尺），该问题可利用勾股定理求解，折后竹尖离地面的高度为（    ） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.45尺 D．7.55尺 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键：根据题意，竹子原高10尺，折断后竹尖触地，离根3尺，设折断处高度为x尺，则折断部分长度为尺，利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设折后竹尖离地面高度为x尺，则折断部分长度为尺， 由勾股定理得：， 即 ， 解得． 故折后竹尖离地面高度为4.55尺． 故选A． 【真题演练1】（2025·江苏泰州·中考真题）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 【真题演练2】（2025·河南郑州·中考真题）已知某品牌养生壶内装有升水，在初始温度时以恒定功率烧水直至水沸腾，然后自动启动保温模式：当水温降至时，养生壶会再次加热使水温达到，如此循环往复．如图给出了该养生壶从开始烧水到保温状态下完成第一次加热时，水温y随时间x的变化关系的图象： 下列说法正确的是（    ） A．烧水状态下，水温y是x的一次函数，一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高 B．该养生壶水温下降阶段满足关系式 C．养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为 D．养生壶从启动烧水开始两小时内，仅有一次显示温度 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的应用，灵活运用一次函数的相关知识以及数形结合思想是解题的关键． 根据所给函数图像中的关键点的坐标以及图像的形状逐项求解即可． 【详解】解：烧水状态下，函数图像为一条线段，所以水温y是x的一次函数，水温在16分钟内上升了，所以每分钟上升，即， ∴一次项系数的实际意义表示每分钟水温升高，故A选项正确，符合题意； 该养生壶水温下降阶段的函数图像不是一条线段，故不能用一次函数来表示，即B选项错误，不符合题意； 养生壶启动工作5分钟后，壶内水温为：，即C选项错误，不符合题意； 如图，当时，对应的时间有3个，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【真题演练3】（2025·重庆北碚·中考真题）如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 【答案】5 【分析】在上取一点F'，使，连接，交于E，此时的值最小，为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接，交于E， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴，当C、E、共线时取等号， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得． ∴的最小值是5． 故答案为：5． 【真题演练4】（2025·贵州毕节·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，，，一只蚂蚁从点出发，沿循环爬行，当它停止爬行时，一共爬行了2025个单位长度，则这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为___________． 【答案】 【分析】根据坐标，计算矩形的各边长度，确定矩形的周长，用总长度除以周长，根据余数判定位置即可． 【详解】解：根据题意，得，，，， ，, , ， 故终点一定在线段上，设其坐标为， 根据题意，得， 解得， 这只蚂蚁停止爬行时所在位置的坐标为． 【真题演练5】（2025·广东梅州·中考真题）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理 (1)请用图1推导勾股定理，并写出推导过程． (2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (3)如图3，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)28 (3) 【分析】（1）根据大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）根据空白部分的面积=边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （3）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， ∴． （2）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； （3）解：∵长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处． ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即． 【基础夯实】 1．（24-25九年级上·山西长治·期中）如图，矩形内有两个相邻的正方形．若两个正方形的面积分别为和，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出两个正方形的边长，再根据长方形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵图中两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为， ∴阴影部分的面积． 2．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．有以下结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】①根据速度路程时间计算即可判断；②观察图象即可判断；③求出相遇时行驶的路程，根据速度路程时间计算即可；④根据“起点与终点之间的距离当乙到达终点时，甲走过的路程”列式计算即可． 【详解】解：甲步行的速度为（米/分），故①正确，符合题意； 乙用（分）追上甲，故②正确，符合题意； 相遇时步行的路程为（米） ∴乙的速度为（米/分），故③正确，符合题意； ∴乙走完全程用了（分）， 乙到达终点时，甲离终点还有（米），故④不正确，不符合题意． 综上，正确的结论有①②③． 3．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 4．（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积是_____． 【答案】/67平方厘米 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中长和宽的构成列出二元一次方程组，求出a，b的值，再利用面积的和差关系计算阴影部分面积． 【详解】设小长方形的长为，宽为， 由图可知，， 解得， ∴长方形的宽为， ∴阴影部分面积为． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为____． 【答案】 【分析】根据勾股定理得到，根据正方形的面积可得；再根据，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 6．已知关于的方程组的解满足等式，则的值是___________． 【答案】1 【分析】根据加减消元法，用含的式子表示出和，将其代入即可求得的值． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②得：， 将和代入得：， 解得：． 7．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 8．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1) (2)不能成功，理由见解析． 【分析】（1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解；（2）假设能上升，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 过点作于点，则，，， 在中，， ； （2）不能成功，理由如下：假设能上升，如图所示， 延长至点，连接，则， ， 在中，， ，余线仅剩， ， 不能上升，即不能成功． 9．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根和算术平方根的定义列方程求出和，再估算的大小得到它的整数部分，即可求出； （2）将，，的值代入计算出结果，再求这个结果的平方根即可． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ，， ， 将代入，得，解得， ， ， 是的整数部分， ； （2）解：将，，代入得：， 的平方根为， 即的平方根是． 10．下面是小强解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得，③ 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得 第五步：所以原方程组的解为 (1)任务一：小强解方程组用的方法是____________消元法． (2)任务二：小强解方程组的过程，从第____________步开始出现错误，错误的原因是____________； (3)任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)二，整体代入未添加括号 (3)见解析 【分析】（）根据定义判断即可；（）整体代入的过程中如果是代数式要添加括号;（）整体代入后解一元一次方程求出，再代回解出即可． 【详解】（1）把二元一次方程组中一个方程的某个未知数，用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解，这种方法叫做代入消元法； 根据定义可知小强解方程组用的方法是代入消元法； （2）二，整体代入未添加括号； （3）解：由①得③ 将③代入②得，解得； 把代入③，即：，解得x＝2， 原方程组的解为：． 【培优拔高】 1．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 2．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）直四棱柱的上下底面是正方形，底面边长为，高为．在其侧面从点开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点停止，则彩条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的勾股定理的实际应用，平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 【详解】解：将长方体的侧面沿展开，取的中点，取的中点，连接，，则为所求最短彩条长， 由题意得，，， 由勾股定理得， 同理可得， ∴， 即：所用彩条最短长度是41． 3．（24-25八年级上·重庆北碚·期末）李师傅和陈师傅同时出发，运送货物到丙地，李师傅从甲地出发，陈师傅从乙地出发，已知甲乙丙三地可看作顺次在一条直线上的三个点．李师傅将货物送达丙地即停止，陈师傅运输过程中，停车到便利店花分钟买了一瓶水，然后继续以原来的速度前进，将货物送达至丙地后停止．如图是陈师傅所用时间（单位：分钟）与两人到乙地的距离（单位：米）的关系图，则下列说法正确的是（    ） A．甲乙两地相距米 B．李师傅的速度是米/分钟 C．李师傅出发分钟后追上陈师傅 D．李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由图象可得， 甲乙两地相距米，故选项A错误，不符合题意； 李师傅的速度为：（米/分钟），故选项B错误，不符合题意； 设李师傅出发分钟后追上陈师傅， 陈师傅的速度为：（米/分钟）， ∴， 解得，故选项C正确，符合题意； 李师傅到达丙地时，陈师傅距甲地： ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与轴相交于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，再过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，依此类推，得到直线上的点、，，，与直线上的点，，，，则的长为______． 【答案】64 【分析】根据一次函数解析式求出相关点的坐标，然后找出的长的规律，对于直线，令求出的值，确定出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，由与的横坐标相等得出的横坐标，代入求出纵坐标，即为的纵坐标，代入直线中求出的横坐标，即可求出的长，同理求出，，，归纳总结即可得到的长． 【详解】解：对于直线，令，求出，即， 轴， 的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 轴， 的横坐标为， 将代入直线中得：，即， 与的纵坐标为， 将代入中得：，即， ， 同理，，， 则的长为． 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，过点作直线于点，，分别是直线、边上的动点，且，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点作，使，连接，，利用“”证明，得到，从而得到的最小值为，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点作，使，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 在中， ∵， ∴， ∴的最小值为． 6．（24-25八年级上·重庆·阶段检测）若一个四位数M的各个数位上的数字互不相同，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且，把M的前两位数字组成的两位数记为，后两位数字组成的两位数记为，交换M的百位数字和十位数字，得到一个新的四位数N，记，，若是整数，则______；在此条件下，若是一个完全平方数，则满足条件的N的最大值与最小值的差为______． 【答案】 9 4752 【分析】要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除即可，进而可得的值；是完全平方数，则N能被33整除，且是完全平方数，列举出各值，找出符合题意的数，再作差求值． 本题考查了因式分解的应用，读懂题意，找出各数值之间的内在关系，通过估算列举找出符合题意的值是解本题的关键，综合性较强． 【详解】解：要使得是整数，则与应能被9整除，而已满足能被9整除，只需要能被9整除，只需能被9整除，则能被9整除，而c与d都是大于0且小于10的整数，所以； N是四位数，则， 即， 是完全平方数，，则N的值有： ，不是四位数，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； 不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，符合要求； ，不满足各个数位数字不同的要求，不符合要求； ，满足各个数位数字不同的要求，不满足，的要求，不符合要求； ，不是四位数，不符合要求， 的最大值为7425，最小值为2673，， 的最大值与最小值的差为4752 7．（24-25八年级上·山东聊城·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到的理由是___________． A．SSS        B．SAS        C．AAS        D．HL (2)求得的取值范围是___________． A．     B．     C．      D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 (3)如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． (4)如图3，是的中线，点，分别在，上，且．求证：． 【答案】(1)B (2)C (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据推出结论即可； （2）根据全等得出，由三边关系推出； （3）延长到，使，连接，根据等腰三角形性质求出； （4）延长到H，使得，连接，可证，得到，再在中，根据边长的关系即可证明． 【详解】（1）解：（1）在和中， ， ； （2）由（1）可得：， ， 中，， 由三边关系得：， ； （3）延长到，使，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （4）证明：如图所示，延长到H，使得，连接， 同理， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 8．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）已知在矩形中，，，点是边上一动点． (1)连接，若点是边上的中点，求的长； (2)如图1，在（1）的条件下，作的垂直平分线分别交，，于点，，，求的长； (3)如图2，点为边上一点，连接，将沿折叠得到，点的对应点恰好落在边上，为上一动点，连接，过点作交于点，若，是否存在点，使得的值最小？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，折叠，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，折叠的性质，进行解答，即可． （1）根据勾股定理，进行解答，即可； （2）连接，，设，则，根据勾股定理，则，求出，得到的值；作，垂足为，，则四边形是矩形，根据，求出； （3）由折叠可得，可得，根据勾股定理，求出，根据所对的直角边是斜边的一半的逆定理，可得，，过点作交于点，根据矩形的判定和性质，可得，根据所对的直角边是斜边的一半，，连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点，根据等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，求出，，当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长；根据等腰直角三角形的判定和性质，求出，过点作交于点，利用勾股定理求出，，同理求出，，根据线段的等量关系，，，，即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， 是边的中点， ， 在中，． （2）解：如图1，连接，， ∵，为的中点， ∴， 设，则， 由（1）知，在中，， ∴，解得， ∴， 作，垂足为，，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在，依题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中， ∵， ∴， 连接，以点为顶点，在的左侧作，过点作交于点， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当，，三点在同一条直线上且时，有最小值，最小值为的长， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过点作交于点， 在中，， ∴， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 9．（25-26八年级上·河北沧州·期末）已知，是等腰三角形，，点在x轴的负半轴上，直角顶点在y轴上，点在x轴上方． (1)如图1所示，点的坐标是，点的坐标是，过点作轴于，则线段 ，点的坐标是 ； (2)如图2，利用尺规作图过点作轴于，（不写作法，保留作图痕迹）请猜想线段，，之间的数量关系并写出证明过程． (3)如图3，若x轴恰好平分，于x轴交于点，过点作轴于，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)4， (2)画图见解析，或，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出，，再判断出，，进而得出，即可得出结论； （2）先过点作轴于，再结合（1）的方法，进行分类讨论，即可得出结论； （3）先判断出，再判断出，进而判断出，得出，最后判断出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， . （2）解：如图，即为所求作的直线； 当点在轴下方时， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 当点在轴上方时，如图， 同（1）原理可得， ，， ， ； 综上，或； （3）解：如图，延长，相交于点， ， 轴， ， ， ， 在和中， ， ， ， 轴平分，轴， ， ， ， ， ， ∴． 10．（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______； (2)若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】（1）仿照题干中的方法，根据“阳光区间”的定义求解； （2）先根据无理数和的“阳光区间”求出a的取值范围，再根据a为正整数求出a的值，代入即可求解； （3）先根据，得出，进而得出，，两式相减可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是； （2）解：∵无理数的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，， 当时，， ∴的值为或3； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 两式相减，得， ∴， ∴m的算术平方根为， ∵， ∴， ∴m的算术平方根的“阳光区间”是． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $