第01讲 正数与负数（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学新教材苏科版

第01讲 正数与负数（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+5个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 正数与负数 在我们的生活中，数字无处不在.从古代的结绳记事，到用“1、2、3”来计数，再到用“0”来表示“没有”，数学一直在随着人类的需求不断进化. 但是，仅仅有这些数就足够了吗？当温度计“零下10℃”时，当电梯带你去往“地下一层”时，当手机账单显示“-50.00”的支出时，我们熟悉的数字似乎遇到了表达上的瓶颈.为了精准描述这些具有“相反意义”的状态，数学王国迎来了一群新朋友——正数和负数.它们就像一对对性格迥异的双胞胎，用独特的符号记录着这个世界的对立与统一. 【知识点1 相反意义的量】 日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．人们习惯把上升、零上、前进、向东、收人、盈利、高于海平面等意义的量规定为正，而把与这些量具有相反意义的量，如下降、零下、后退、向西、支出、亏损、低于海平面等规定为负．例如向东走5m记作,则向西走6m就记作． 【知识点2 正数和负数】 像2 020，，50%这样的数是正数，“”读作“正”，如“”读作“正三”，正号通常省略不写． 像2 020，，50%这样的数是负数，“”读作“负”，如“”读作“负三”． 0既不是正数，也不是负数． 【题型1 具有相反意义的量】 【例1】（25-26九年级下·广东河源·期中）如果德育量化分加5分，记作分，那么德育量化分扣3分就记作（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【详解】解：∵德育量化分加5分记作分， ∴扣3分记作分． 【变式1-1】（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．长3米和重10千克是具有相反意义的量 B．收入500元是具有相反意义的量 C．支出100元和向南走200米是具有相反意义的量 D．顺时针转3圈和逆时针转1圈是具有相反意义的量 【答案】D 【分析】本题考查了相反意义的量．利用相反意义量的定义判断即可． 【详解】解：A、长3米和重10千克不是具有相反意义的量，故本选项不符合题意； B、收入500元与支出200元是具有相反意义的量，故本选项不符合题意； C、支出100元和向南走200米不是具有相反意义的量，故本选项不符合题意； D、顺时针转3圈和逆时针转1圈是具有相反意义的量，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，若微信收入0.1元，微信账单显示元，如果微信账单显示元表示为（   ） A．收入10元 B．支出10元 C．收支10 D．10元 【答案】B 【分析】本题主要考查正数与负数．根据正数与负数的意义可求解． 【详解】解：若微信收入0.1元，微信账单显示元，那么微信账单显示元表示为支出10元， 故选：B． 【变式1-3】等高线指的是地形图上海拔相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若某地的等高线标注为－20m，表示此处的高度______海平面20米．（填“高于”或“低于”） 【答案】低于 【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可． 【详解】解：某地的等高线标注为－20m，表示此处的高度低于海平面20米． 故答案为：低于． 【点睛】本题主要考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【题型2 正负数的定义】 【例2】（25-26六年级下·云南楚雄·期中）在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【答案】 4 3 0 【详解】解：正数：，，，，共个； 负数：，，，共个； 既不是正数，也不是负数． 【变式2-1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【答案】D 【分析】根据正数、负数、自然数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：根据定义，大于0的数是正数，小于0的数是负数，0既不大于0也不小于0， ∴0不是正数，也不是负数， 故选项A、B不符合题意，选项D符合题意； ∵初中教材规定，0是自然数， ∴选项C不符合题意． 【变式2-2】（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）在数，，，，，，，中，非负数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：非负数有：，，，，共个， 故选：． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列叙述中，数学关系正确的有（　　） 不是正数也不是负数；正数都不小于；负数都不大于；负数小于；正数大于； 大于的数一定是正数；小于的数一定是负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了正数，负数，，根据正数，负数，定义逐一排除即可，掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解： 是正数，原叙述错误； 不小于0的数有正数和0，0既不是正数也不是负数，原叙述错误； 不大于0的数有负数和0，0既不是正数也不是负数，原叙述错误； 负数小于，原叙述正确； 正数大于，原叙述正确； 大于的数一定是正数，原叙述正确； 小于的数一定是负数，原叙述正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【题型3 正负数的实际应用】 【例3】在跳远测验中，合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为米，何叶跳出了3.95米，记作（    ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【答案】D 【分析】根据正负数的意义解答即可 【详解】解：合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为米， ∵，即何叶跳出了3.95米，记作米， 故选：D． 【点睛】此题考查了正负数的意义，在一个实际问题中，规定一个量为正数，则相反意义表示的量即为负数． 【变式3-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数，如图①．那么图②表示的数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】解：∵算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数， ∴观察图中信息，得如图①．那么图②表示的数分别是和． 【变式3-2】体育课上规定时间内仰卧起坐的满分标准为46个，高于标准的个数记为正数．如某同学做了50个记作“+4”，那么“-5”表示这位同学做了_________个． 【答案】41 【分析】根据高于标准的个数记为正数，得出低于标准的个数记为负数即可得到答案． 【详解】解： 满分标准为46个，高于标准的个数记为正数， 低于标准的个数记为负数， “-5”表示低于满分标准5个， ， 即“-5”表示这位同学做了41个， 故答案为：41． 【点睛】本题考查了正数和负数的实际意义，正确理解题意是解题的关键． 【变式3-3】（25-26六年级上·山东威海·期末）在数学测验中，规定分及以上为优秀．以分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩记为“，，，，0”．这五名同学中，成绩最高的实际分数是（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】以分为标准，正数表示比分高的分数，负数表示比分低的分数，0表示刚好分．先从记录的分数中找出最大的数，再用标准分加上这个数，即可得到最高的实际分数． 【详解】解：∵记录的成绩“，，，，0”中，最大的数是， ∴成绩最高的实际分数为分． 模块三 有理数的初步认识 同学们，经过刚才的探索，我们的数字家族迎来了许多新成员！现在，家族里变得热闹非凡：有像 1、2、3 这样从小玩到大的"老熟人"（自然数），有像 -5、-10 这样带着负号的新朋友，还有像 0.5、 这样长相各异的小数与分数. 面对这么庞大的数字队伍，如果乱成一团，不仅找起来麻烦，还会闹出笑话.这就好比一个巨大的超市，如果衣服、零食、日用品全都堆在一起，我们肯定找不到想要的东西.因此，我们需要像超市管理员一样，给这些数字"分分类"、"归归类".今天，就让我们化身"数字整理师"，一起揭开有理数分类的秘密，看看它们到底有哪些不同的"家族派系"！ 【知识点3 整数和分数】 正整数、零、负整数统称为整数． 正分数、负分数统称为分数． 【知识点4 有理数的概念】 整数和分数统称为有理数． 【知识点5 有理数的分类】 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 【题型4 辨别有理数的概念】 【例4】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数定义和性质，有理数是整数和分数的统称，有理数没有最小的数，也没有最大的数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、0是有理数，原说法错误，不符合题意； B、有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意； C、在有理数中没有最小的数，原说法错误，不符合题意； D、是有理数，则不一定是负数，例如时，是正数，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式4-1】（24-25七年级上·广东广州·期中）关于有理数说法正确的是（ ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的分类，概念，掌握有理数的分类，概念是解题的关键．根据有理数的分类，概念即可求解． 【详解】解：A．是分数，故A不符合题意； B．0不带“−”号，但不是正数，故B不符合题意； C．0是自然数，但既不是正数，也不是负数，故C不符合题意； D．整数和分数统称为有理数，说法正确，故D符合题意． 故选：D． 【变式4-2】下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 根据有理数的分类方式作答即可． 【详解】A． 有理数包括正数、负数和零，说法错误 B． 一个有理数不是整数就是分数，说法正确 C．分类标准混乱，说法错误 D．综上可知，说法错误 故选：B 【变式4-3】下列说法中，错误的有（    ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数，带“非”字的有理数的概念，注意没有最小的有理数． 本题根据有理数的基本定义，对各项进行判定即可求得答案． 【详解】解： 是负分数；故①说法是正确的，不符合题意； 1.5不是整数；故②说法是正确的，不符合题意； 非负有理数包括0，故③说法是错误的，符合题意； 整数和分数统称为有理数，故④说法是错误的，符合题意； 0不是最小的有理数，故⑤说法是错误的，符合题意； 是有理数，故⑥说法是错误的，符合题意； 故选：D． 【题型5 整数与分数】 【例5】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分数和负数的定义，在有理数的分类中，分数是指整数以外的有理数，负数是指小于零的数． 【详解】解：∵分数是非整数的有理数，负数是小于零的数， ∴选项A：2是正整数，不是负数， 选项B：是分数且是负数， 选项C：是负整数，不是分数， 选项D：是正分数，不是负数， 故选：B． 【变式5-1】化成分数是________，化成小数是________． 【答案】 【分析】根据分数与小数的关系，将它们互相转换． 【详解】解：，． 故答案是：，． 【点睛】本题考查分数与小数的互相转换，解题的关键是掌握分数与小数互相转换的方法． 【变式5-2】（1）将下列各数填在相应的大括号里： ﹣50%，2014，0.61，﹣3，﹣，0，5.9，﹣3.14，﹣92 整数：{             ，… } 分数：{             ，… } 负分数：{             ，… } （2）在（1）的数据中，最大的整数是 ，最小的分数是 . 【答案】(1)见解析；（2）2014，－ 【分析】（1）有理数包括整数和分数，整数包括正整数、0、负整数，分数包括正分数和负分数，根据以上内容判断即可; （2）根据有理数的大小比较确定出最大的整数和最小的分数. 【详解】（1）整数：{  2014，﹣3， 0， ﹣92，… } 分数：{ ﹣50%， 0.61，﹣，  5.9，﹣3.14，… } 负分数：{ ﹣50%，﹣， ﹣3.14，… } （2）在（1）的数据中，最大的整数是 2014 ，最小的分数是 ﹣ . 【点睛】本题考查了有理数，有理数大小比较，解题关键是熟练掌握有理数定义. 【变式5-3】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）将化成分数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了把循环小数化成分数，掌握小数化分数的方法是解题的关键． 把循环小数化为分数：只需将其小数部分化成分数，然后与2相加即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴化成分数是． 故答案为． 【题型6 有理数的分类】 【例6】（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据负有理数、整数、负分数及非负有理数的定义将各有理数进行分类即可． 【详解】解：，， 负有理数集合：是负整数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负分数，属于负有理数；是负无限循环小数，属于负有理数， ∴负有理数集合为； 整数集合：是负整数，属于整数；0是整数；是正整数，属于整数， ∴整数集合为； 负分数集合：是负分数；是负分数；是负无限循环小数，可化为负分数，属于负分数， ∴负分数集合为； 非负有理数集合：0.6是正分数，属于非负有理数；0是非负有理数；是正整数，属于非负有理数， ∴非负有理数集合为． 【变式6-1】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了有理数、正数、分数、非正数的定义，理解其定义是解题的关键． 根据相关知识点逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A：整数和分数统称有理数，题目中的7个数均为有理数，故该选项不合题意； B：10.1是有限小数，属于分数，故该选项不合题意； C：非正数包含0和负数，则有，，，共3个，故该选项符合题意． 故选：C． 【变式6-2】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为__________． 【答案】，， 【分析】本题主要考查有理数的分类，根据负有理数的概念求解即可． 【详解】在5，，，，0.22，，中， 是负有理数的为，，． 故答案为：，，． 【变式6-3】把下列各数填入它所属的集合内：． (1)分数集合{_______…}； (2)自然数集合{______…}； (3)非正整数集合{_______…}； (4)非负有理数集合{______…}． 【答案】(1) (2) (3)，0 (4)15，，0，，80%，5 【分析】（1）根据有理数的分类进行作答即可； （2）根据有理数的分类进行作答即可； （3）根据有理数的分类进行作答即可； （4）根据有理数的分类进行作答即可． 【详解】（1）解：分数集合：； 故答案为：； （2）自然数集合：； 故答案为：； （3）非正整数集合：； 故答案为：，0； （4）非负有理数集合： 故答案为：15，，0，，80%，5． 【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键． 【题型7 探究数的规律】 【例7】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 【答案】(1)在A位置的数是正数 (2)在B和D位置的数是负数 (3)第2025个数是负数，排在对应于B的位置 【分析】本题考查了数字变化规律，仔细观察图形，从箭头方向向下和向上两种情况对应的数的正负情况考虑求解是解题的关键． （1）根据A是向上箭头的上方对应的数解答； （2）根据箭头的方向与所对应的数的正、负情况解答； （3）根据4个数为一个循环组依次循环，用2025除以4，根据余数的情况确定对应的位置即可． 【详解】（1）（1）A是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在A处的数是正数； （2）（2）观察图形可知，向下箭头的上边的数是正数，下方是负数，向上箭头的下方是正数，上方是负数， 所以，B和D的位置是负数； （3）（3）， ∴第2025个数是负数，对应的是B的位置． 【变式7-1】观察下列各组数的排列规律，接着写出后面的三个数． （1）－2，4，－6，8，－10，________，________，________，…； （2），－，，－，，________，________，________，…. 【答案】（1）12，；－14，；16；；（2）－，；，；－. 【分析】分析找到每个小题前面几个数的排列规律，并由此规律写出后面的三个数即可. 【详解】（1）－2，4，－6，8，－10，12，-14，16，； （2），，，，. 故答案为：（1）12、-14、16；（2），，. 【点睛】（1）第1小题中数的排列规律是：当n为奇数时，第n个数是-2n；当n为偶数时，第n个数为2n；（2）第2小题中数的排列规律是：当n为奇数时，第n个数是，当n为偶数时，第n个数是. 【变式7-2】在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）我们知道：，，．．．，观察下面的一列数：-1，2，，4，，6，…，将这些数排成如下形式，根据规律猜想：第20行第4个数是（    ） 2 4 6 8 10 12 14 16 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的变化规律，根据题意找出数字的排列规律是解题的关键． 按照什么规律变化的．先求出19行有多少个数，再加4就等于第20行第4个数是多少．然后根据奇偶性来决定负正即可． 【详解】解：∵1行1个数， 2行3个数， 3行5个数， 4行7个数， … 19行应有个数， ∴到第19行一共有， ． 第20行第4个数的绝对值是． 又∵365是奇数， ∴第20行第4个数是． 故选：B． 模块四 课后作业 1．（25-26九年级下·云南昭通·期中）小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（    ） A．元 B．12元 C．元 D．25元 【答案】A 【详解】解：∵存入与取出是一对相反意义的量，题目规定存入记为正， ∴取出应记为负， ∴取出12元可记作元． 2．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数，根据负数和分数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、是整数，不是分数，该选项不符合题意； 、不是负数，该选项不符合题意； 、是负数，又是分数，该选项符合题意； 、是正数，不是负数，该选项不符合题意； 故选：． 3．世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A．高于海平面15250米 B．低于海平面15250米 C．比“拉索”高15250米 D．比“拉索”低15250米 【答案】B 【分析】根据正负数表示具有相反意义的两种量：“”表示高出海平面，则“”即为低于海平面，即可得出答案． 【详解】解：“米”，表示高出海平面4410米， 则“米”，表示低于海平面15250米； 故选：B． 【点睛】本题考查了正负数所表示的意义，以海平面的高度为基准，高于则为正，低于则为负，由此可得出结果． 4．（25-26七年级上·河南·期末）在，，，50，、，，，0中，正有理数个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题需根据正有理数的定义（正整数、正分数的统称，包含正有限小数、正无限循环小数、正百分数等），逐一判断所给数是否为正有理数，再统计个数即可． 【详解】解：∵正有理数是大于0的有理数，涵盖正整数、正分数（含正有限小数、正无限循环小数、正百分数）， ∴对各数逐一判断： 是负整数，不是正有理数； 是正分数，属于正有理数； 是正百分数，可转化为正分数，属于正有理数； 是正整数，属于正有理数； 是负无限循环小数，不是正有理数； 是负整数，不是正有理数； 是负百分数，不是正有理数； 是正有限小数，属于正有理数； 既不是正数也不是负数，不是正有理数； 综上，正有理数共有4个． 故选：B． 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 【答案】C 【分析】本题考查正负数的意义，支出用负数表示，收入用正数表示，根据某人某天的微信支付账单，可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元，判断出正确选项． 【详解】解：由微信支付账单可知，表示某人某天收入元，表示某人某天支出元，结余元， 正确的选项是． 故选：C． 6．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）我国是最早使用正负数表示相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷的计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实5斗（减少5斗）记为___________． 【答案】斗 【分析】此题考查正负数表示相反意义，根据正负数表示相反意义的量，增加记为正数，减少记为负数 【详解】由题意，益实一斗（增加1斗）记为斗，则损实5斗（减少5斗）表示相反意义的量，应记为负数，即斗， 故答案为斗 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）任意写一个有理数______． 【答案】 【分析】本题考查有理数定义：有理数是整数和分数的统称，包括正有理数、负有理数和零，熟记有理数定义及常见有理数是解决问题的关键． 有理数包括整数和分数，可以是正数、负数或零，任意写一个即可得到答案． 【详解】解：任意写一个有理数可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是以，，，四人的平均体重为，表示了其中三人的体重情况，若的体重为，则的体重是________． 【答案】 【分析】本题考查正负数的实际意义，有理数的加减运算，掌握相关知识是解决问题的关键．由四个人体重的平均数为零且的体重已知，可由的实际体重可得标准体重数值，则的体重可求． 【详解】解： ，，，四人的平均体重为点，的体重为， 标准体重数值为， 的体重是， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长D品牌减少，则今年第二季度A品牌手机销售量的增长率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用．根据A品牌减少，因此增长率为负值，即可求解． 【详解】解：A品牌手机销售量减少，故增长率为． 故答案为：． 10．袋装牛奶的标准质量为克，现抽取袋进行检测，超过标准的质量记为正数，不足的记为负数，结果如下表所示：（单位：克） 代号 ① ② ③ ④ ⑤ 质量 －2 ＋4 －1 ＋5 －6 其中，质量最接近标准的是__________号（填写序号）． 【答案】③ 【分析】根据表中数据求出每袋的质量，选出和100克比较接近的即可；也可以根据-2，+4，-1，+5，-6直接得出答案． 【详解】∵①的质量是100-2=98（克），②的质量是100+4=104（克），③的质量是100-1=99（克），④的质量是100+5=105（克），⑤的质量是100-6=94（克）， ∴最接近100克的是③， 故答案为③． 【点睛】本题考查了正数和负数的应用，解此题的关键是理解题意． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中，哪些是正数，哪些是负数？ ，，，，，，，0，． 【答案】正数：，，，；负数：，，， 【分析】本题主要考查了正数和负数的定义，正确理解正数与负数的定义是解题的关键．根据正数和负数的定义划分即可． 【详解】解：正数：，，，；负数：，，，． 12．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 【答案】②⑦；①③⑦；②④⑤⑥；①②③④⑤⑥⑦ 【分析】本题考查有理数的定义及分类，熟记负数、整数、分数及有理数定义与分类是解决问题的关键． 根据有理数定义及分类，按照负数、整数、分数定义逐个归类即可得到答案． 【详解】解：负数：{②⑦}； 整数：{①③⑦}； 分数：{②④⑤⑥}； 有理数：{①②③④⑤⑥⑦}． 13．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 【答案】(1)，，正整数 (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握相关概念是解题的关键． （1）根据整数分为正整数和负整数和零，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数，进行作答即可； （2）根据有理数的分类逐个判断进行填写即可． 【详解】（1）解：是整数，应填在区域； 是正有理数，应填在区域； 区域表示的有理数是正整数； 故答案为：，，正整数； （2）解：将各数填入适当的区域如图所示： 14．已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}． (1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． (2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. (3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 【答案】(1)见解析;(2) －1，－4，－4.2，;(3)见解析. 【分析】（1）根据数集的包含关系进行分类（2）选出负数；（3）根据观察易得. 【详解】解：(1)如图所示． (2)－1，－4，－4.2， (3)有，是2.1. 故答案为(2)－1，－4，－4;2，;(3)有，是2.1. 【点睛】本题考核知识点：有理数分类. 解题关键点：分析各有理数的关系. 15．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从A处出发去看望、、处的其他甲虫．规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到记为：，从到A记为：，括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中， (1) ， ； ， ． (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从A处去甲虫处的行走路线一次为，，，，请在图中标出的位置，并计算该甲虫走过的路程． 【答案】(1)， (2)10 (3)图见解析，路程为15 【分析】本题考查了有理数加法的应用及正负数的意义，读懂题目信息，理解行走路线的记录方法是解题的关键． （1）根据第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向结合图形写出即可； （2）根据行走路线列出算式计算即可得解； （3）根据方格和标记方法作出线路图即可得解． 【详解】（1），； 故答案为，； （2）； （3）点如图所示． 路程为： 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 正数与负数（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+5个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 正数与负数 在我们的生活中，数字无处不在.从古代的结绳记事，到用“1、2、3”来计数，再到用“0”来表示“没有”，数学一直在随着人类的需求不断进化. 但是，仅仅有这些数就足够了吗？当温度计“零下10℃”时，当电梯带你去往“地下一层”时，当手机账单显示“-50.00”的支出时，我们熟悉的数字似乎遇到了表达上的瓶颈.为了精准描述这些具有“相反意义”的状态，数学王国迎来了一群新朋友——正数和负数.它们就像一对对性格迥异的双胞胎，用独特的符号记录着这个世界的对立与统一. 【知识点1 相反意义的量】 日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．人们习惯把上升、零上、前进、向东、收人、盈利、高于海平面等意义的量规定为正，而把与这些量具有相反意义的量，如下降、零下、后退、向西、支出、亏损、低于海平面等规定为负．例如向东走5m记作,则向西走6m就记作． 【知识点2 正数和负数】 像2 020，，50%这样的数是正数，“”读作“正”，如“”读作“正三”，正号通常省略不写． 像2 020，，50%这样的数是负数，“”读作“负”，如“”读作“负三”． 0既不是正数，也不是负数． 【题型1 具有相反意义的量】 【例1】（25-26九年级下·广东河源·期中）如果德育量化分加5分，记作分，那么德育量化分扣3分就记作（     ） A．分 B．分 C．分 D．分 【变式1-1】（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．长3米和重10千克是具有相反意义的量 B．收入500元是具有相反意义的量 C．支出100元和向南走200米是具有相反意义的量 D．顺时针转3圈和逆时针转1圈是具有相反意义的量 【变式1-2】（24-25七年级上·河北唐山·期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，若微信收入0.1元，微信账单显示元，如果微信账单显示元表示为（   ） A．收入10元 B．支出10元 C．收支10 D．10元 【变式1-3】等高线指的是地形图上海拔相等的相邻各点所连成的闭合曲线，在等高线上标注的数字为该等高线的海拔．若某地的等高线标注为－20m，表示此处的高度______海平面20米．（填“高于”或“低于”） 【题型2 正负数的定义】 【例2】（25-26六年级下·云南楚雄·期中）在、、0、、、、263、中，正数有( )个，负数有( )个，( )既不是正数，也不是负数． 【变式2-1】（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）下列说法中正确的是（   ） A．0是正数 B．0是负数 C．0不是自然数 D．0不是正数也不是负数 【变式2-2】（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）在数，，，，，，，中，非负数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式2-3】（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列叙述中，数学关系正确的有（　　） 不是正数也不是负数；正数都不小于；负数都不大于；负数小于；正数大于； 大于的数一定是正数；小于的数一定是负数． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型3 正负数的实际应用】 【例3】在跳远测验中，合格的标准是4.00米，王非跳出了4.12米，记为米，何叶跳出了3.95米，记作（    ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 【变式3-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正斜摆放，分别表示正数和负数，如图①．那么图②表示的数分别是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-2】体育课上规定时间内仰卧起坐的满分标准为46个，高于标准的个数记为正数．如某同学做了50个记作“+4”，那么“-5”表示这位同学做了_________个． 【变式3-3】（25-26六年级上·山东威海·期末）在数学测验中，规定分及以上为优秀．以分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩记为“，，，，0”．这五名同学中，成绩最高的实际分数是（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 模块三 有理数的初步认识 同学们，经过刚才的探索，我们的数字家族迎来了许多新成员！现在，家族里变得热闹非凡：有像 1、2、3 这样从小玩到大的"老熟人"（自然数），有像 -5、-10 这样带着负号的新朋友，还有像 0.5、 这样长相各异的小数与分数. 面对这么庞大的数字队伍，如果乱成一团，不仅找起来麻烦，还会闹出笑话.这就好比一个巨大的超市，如果衣服、零食、日用品全都堆在一起，我们肯定找不到想要的东西.因此，我们需要像超市管理员一样，给这些数字"分分类"、"归归类".今天，就让我们化身"数字整理师"，一起揭开有理数分类的秘密，看看它们到底有哪些不同的"家族派系"！ 【知识点3 整数和分数】 正整数、零、负整数统称为整数． 正分数、负分数统称为分数． 【知识点4 有理数的概念】 整数和分数统称为有理数． 【知识点5 有理数的分类】 按有理数的定义分类 按有理数的性质符号分类 分数 整数 正整数 0 负整数 正分数 有理数 负分数 有理数 正有理数 0 负有理数 正整数 正分数 负整数 负分数 【题型4 辨别有理数的概念】 【例4】（25-26七年级上·辽宁沈阳·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．不是有理数 B．有理数不是整数就是分数 C．在有理数中有最小的数 D．是有理数，则一定是负数 【变式4-1】（24-25七年级上·广东广州·期中）关于有理数说法正确的是（ ） A．不是分数 B．不带“”号的数都是正数 C．是自然数也是正数 D．能写成分数形式的数称为有理数 【变式4-2】下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．有理数可分整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类 D．以上说法都正确 【变式4-3】下列说法中，错误的有（    ） ①是负分数；②不是整数；③非负有理数不包括0；④正整数、负整数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥不是有理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 整数与分数】 【例5】（25-26七年级上·甘肃庆阳·期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是（   ） A．2 B． C． D． 【变式5-1】化成分数是________，化成小数是________． 【变式5-2】（1）将下列各数填在相应的大括号里： ﹣50%，2014，0.61，﹣3，﹣，0，5.9，﹣3.14，﹣92 整数：{             ，… } 分数：{             ，… } 负分数：{             ，… } （2）在（1）的数据中，最大的整数是 ，最小的分数是 . 【变式5-3】（25-26八年级上·上海宝山·阶段检测）将化成分数是_____． 【题型6 有理数的分类】 【例6】（25-26七年级上·重庆·期末）把下列各有理数填入相应的集合内： ，，0.6，，0，，． 负有理数集合：{                         …}； 整数集合：{                             …}； 负分数集合：{                           …}； 非负有理数集合：{                       …}． 【变式6-1】（25-26七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）有下列一组数：，，，，0，，2025，则下列说法正确的是（   ） A．有理数有6个 B．是正数，不是分数 C．非正数有3个 D．以上都不对 【变式6-2】（24-25七年级上·北京朝阳·期末）在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为__________． 【变式6-3】把下列各数填入它所属的集合内：． (1)分数集合{_______…}； (2)自然数集合{______…}； (3)非正整数集合{_______…}； (4)非负有理数集合{______…}． 【题型7 探究数的规律】 【例7】（25-26七年级上·全国·课后作业）将一串有理数按如下图所示的规律排列，回答下列问题： (1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)A，B，C，D中哪些位置的数是负数？ (3)第2025个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 【变式7-1】观察下列各组数的排列规律，接着写出后面的三个数． （1）－2，4，－6，8，－10，________，________，________，…； （2），－，，－，，________，________，________，…. 【变式7-2】在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 _____列． 【变式7-3】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）我们知道：，，．．．，观察下面的一列数：-1，2，，4，，6，…，将这些数排成如下形式，根据规律猜想：第20行第4个数是（    ） 2 4 6 8 10 12 14 16 … A． B． C． D． 模块四 课后作业 1．（25-26九年级下·云南昭通·期中）小明有一个储蓄罐，如果往储蓄罐中存入25元记作元，那么从中取出12元可记作（    ） A．元 B．12元 C．元 D．25元 2．（25-26七年级上·广东惠州·期中）下列各数中，既是负数又是分数的是（    ） A． B． C． D． 3．世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“米”，表示高出海平面4410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻深记为“米”．“米”表示的意义为（　　） A．高于海平面15250米 B．低于海平面15250米 C．比“拉索”高15250米 D．比“拉索”低15250米 4．（25-26七年级上·河南·期末）在，，，50，、，，，0中，正有理数个数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（25-26七年级上·河北唐山·期末）微信支付方便生活．如图是某人某天的微信支付账单，如果支出用负数表示，收入用正数表示，则这个人一天的收支情况表述正确的是（    ） A．收入元 B．支出元 C．支出元 D．结余元 6．（25-26七年级上·甘肃临夏·期中）我国是最早使用正负数表示相反意义的量的国家，早在我国西汉时期的《九章算术》中就引入了负数．若在粮谷的计算中，益实一斗（增加1斗）记为斗，那么损实5斗（减少5斗）记为___________． 7．（25-26七年级上·湖北孝感·期末）任意写一个有理数______． 8．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）如图是以，，，四人的平均体重为，表示了其中三人的体重情况，若的体重为，则的体重是________． 9．（25-26七年级上·湖北宜昌·期末）四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比，变化率如下：A品牌减少，B品牌增长，C品牌增长D品牌减少，则今年第二季度A品牌手机销售量的增长率为___________． 10．袋装牛奶的标准质量为克，现抽取袋进行检测，超过标准的质量记为正数，不足的记为负数，结果如下表所示：（单位：克） 代号 ① ② ③ ④ ⑤ 质量 －2 ＋4 －1 ＋5 －6 其中，质量最接近标准的是__________号（填写序号）． 11．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列各数中，哪些是正数，哪些是负数？ ，，，，，，，0，． 12．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）把下列各数填入到相应的括号内（只填写序号）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦． 负数：{______________________}； 整数：{______________________}； 分数：{______________________}； 有理数：{______________________}． 13．（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）下图中的三个圈分别表示负有理数集合，整数集合和正有理数集合． (1)应填在______区域，应填入______区域，区域表示的有理数是______； (2)请将下列各数填入图中适当的区域内． ，，，，，，，，， 14．已知有A，B，C三个数的“家族”： A：{－1,3.1，－4,6,2.1}，B：，C：{2.1，－4.2,8,6}． (1)请把每个“家族”中所含的数填入图中的相应部分． (2)把A，B，C三个数的“家族”中的负数写在横线上：__________. (3)有没有同时属于A，B，C三个数的“家族”的数？若有，请指出． 15．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为上沿着网格线运动．它从A处出发去看望、、处的其他甲虫．规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．如从A到记为：，从到A记为：，括号内第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中， (1) ， ； ， ． (2)若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程； (3)若这只甲虫从A处去甲虫处的行走路线一次为，，，，请在图中标出的位置，并计算该甲虫走过的路程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $