第02讲 配方法解一元二次方程（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学新教材人教版

第02讲 配方法解一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 用直接开平方法解一元二次方程 如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值． 【知识点1 用直接开平方法解一元二次方程】 1. 定义：根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【变式1-1】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【变式1-2】用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型2 直接开平方法的运用】 【例2】关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2-1】若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2-2】若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【变式2-3】若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 模块三 用配方法解一元二次方程 吴老师让学生解一元二次方程x2－6x－4＝0，同学们都束手无策，学习委员考虑了一下，在方程两边 同时加上15，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？ 【知识点2 用配方法解一元二次方程】 1. 定义：解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 一般地，对于方程． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； （2）二次项系数化为1：方程左、右两边同时除以二次项系数； （3）配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开平方：利用平方根的意义直接开平方； （5）求解：移项，合并同类项； 【题型3 配方】 【例3】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】下列各式： ①；②；③；④．其中变形正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．④ 【题型4 用配方法解一元二次方程】 【例4】用配方法解方程： (1)； (2)． 【变式4-1】用配方法解方程： (1)． (2)． 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2)． 【变式4-3】用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【题型5 配方法解一元二次方程的理解】 【例5】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【变式5-2】小刚用配方法解，得，则等于（  ） A． B． C．6 D．3 【变式5-3】已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 用配方法求字母或代数式的值】 【例6】若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【变式6-1】当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【变式6-2】已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【变式6-3】设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 模块四 课后作业 1．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 5．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 6．代数式的最大值______． 7．若多项式．那么的最小值是______． 8．如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 9．用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 10．用配方法解方程： (1)． (2) (3) 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 配方法解一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 用直接开平方法解一元二次方程 如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值． 【知识点1 用直接开平方法解一元二次方程】 1. 定义：根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法． 例如，解得． 一般地，对于方程p． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 直接降次解一元二次方程的步骤 (1)将方程化为p或的形式； （2)直接开平方化为两个一元一次方程； （3)解两个一元一次方程得到原方程的解． 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 【例1】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据直接开平方法即可求出答案； （2）根据直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵． ∴， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 【变式1-1】用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 【变式1-2】用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 【变式1-3】用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时乘以2，接着把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先去括号，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案； （3）（4）把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 解得，； （2）解： ， ， ， 解得，； （3）解： ，即或， 解得，； （4）解： ，即或， 解得，． 【题型2 直接开平方法的运用】 【例2】关于的一元二次方程配方为，若是该方程的两个根，则的值是（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题关键．利用直接开平方法解方程可得，由此即可得． 【详解】解：方程， ， ， ∵是该方程的两个根， ∴， 故选：C． 【变式2-1】若一元二次方程的两个实数根分别是和，则m的值是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的意义，掌握相关知识是解决问题的关键．方程 的两个根互为相反数，因此两根之和为零，据此求出 a 的值，再代入求根，进而求出 m． 【详解】解：∵方程的两个根互为相反数， ∴ 即 ∴， 则两根分别为和， ∴ ． 故选：B． 【变式2-2】若关于x的方程的根为b，则的值为（    ） A．5 B． C．4或 D．5或 【答案】D 【分析】将代入方程中，得，再求解关于的方程即可． 本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：将代入方程中， 得， ∴， ∴， 解得或． 故选：D． 【变式2-3】若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 【详解】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 模块三 用配方法解一元二次方程 吴老师让学生解一元二次方程x2－6x－4＝0，同学们都束手无策，学习委员考虑了一下，在方程两边 同时加上15，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？ 【知识点2 用配方法解一元二次方程】 1. 定义：解一元二次方程时，先把常数项移到右边，再把它的左边配成含有未知数的完全平方式，即将方程化为的形式，如果右边是一个非负数，那么就可以利用直接开平方的方法求解．这种通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法． 一般地，对于方程． 方程有两个不等的实数根， 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 用配方法解一元二次方程的步骤 （1）移项：将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边； （2）二次项系数化为1：方程左、右两边同时除以二次项系数； （3）配方：方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）开平方：利用平方根的意义直接开平方； （5）求解：移项，合并同类项； 【题型3 配方】 【例3】用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再整理二次项，随后配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵原方程为 ， 移项得 ， 提取二次项系数得 ， 对括号内配方，给括号内加上一次项系数一半的平方 ，等式变形得， ， 整理得 ． 故选：C． 【变式3-1】将一元二次方程配方，其正确的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将二次项系数化为，再根据完全平方公式进行配方计算． 【详解】解：， 两边同时除以，得， 方程两边同时加，得， 即． 【变式3-2】用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 【变式3-3】下列各式： ①；②；③；④．其中变形正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．①④ D．④ 【答案】C 【分析】通过配方法对各式变形然后验证． 【详解】解：①：，正确； ②：，错误； ③：，错误； ④：，正确． 综上，变形正确的是①④． 【题型4 用配方法解一元二次方程】 【例4】用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无实数根 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，解题关键是掌握解一元二次方程——配方法． （1）先去括号，移项、合并同类项，再配方，开方求解； （2）先移项、合并同类项，二次项系数化为 ，再配方求解． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项、合并同类项，得， 配方，得， 由此可得， ． （2）解：移项、合并同类项，得 二次项系数化为 ，得 配方，得 ∵， ∴原方程无实数根． 【变式4-1】用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的基本步骤． （1）将系数化为得，配方得，再开平方即可求解； （2）将方程整理得，配方得，再开平方即可求解． 【小题1】解：系数化为，得． 移项，得． 配方，得． 解得，． 【小题2】解：两边同时乘以，整理得． 配方，得． 解得，． 【变式4-2】用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 【变式4-3】用配方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目是一道比较常见的题目，难度不是很大． （1）先配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）去分母后配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2） ， 配方得： ， ∴， （3） ∴ 则 （4） 整理得，， 配方得：， ， ∴． 【题型5 配方法解一元二次方程的理解】 【例5】用配方法解方程，将方程变为的形式，则，的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用完全平方公式配方即可得到结果． 【详解】解：∵， 移项得， 二次项系数化为1得， 配方，两边同时加1得， 即， 对比可得，． 故选：D． 【变式5-1】用配方法解一元二次方程，得，则的值是（    ） A．11 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】按照配方法的步骤将原方程化为题目要求的形式，得到m和n的值，再计算即可． 【详解】解：， 方程两边同除以2，得， 移项得 配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方16，得 ， 整理得，即 对比，得 ∴． 【变式5-2】小刚用配方法解，得，则等于（  ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，关键是通过对比配方后的完全平方式，建立关于的等量关系．通过将已知的配方结果还原为一元二次方程，再与原方程对比系数；也可以直接对比配方后的完全平方式的一次项系数部分，求出的值． 【详解】解：原方程，先将二次项系数化为1，得； 对其进行配方：，即； 已知配方法得到的结果为，等价于， ∴；解得； 故选：C． 【变式5-3】已知关于的一元二次方程配方成的形式，且该方程的一个根为，求的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的一个根为得到，再得到，配方即可得到答案 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入得， 即， ∴， ∴ 即 ∴ ∵关于的一元二次方程配方成的形式， ∴ 故选 B. 【题型6 用配方法求字母或代数式的值】 【例6】若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 【变式6-1】当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 【变式6-2】已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 【变式6-3】设m，n为实数，且有最小值，则W的最小值为________． 【答案】/ 【分析】把变形为，结合， ，从而可得，进而可得解． 【详解】解：由题意得： 又∵， ， ∴， ∴W的最小值为． 模块四 课后作业 1．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 2．某班开展“数学接力闯关”活动，每人只能看到前一人的方程，并继续变形，最终求出方程的解，过程如图所示． 上述求解过程中，开始出现错误的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】需逐一对甲、乙、丙、丁四步的变形过程进行检查，找出计算错误的步骤． 【详解】解：班长：， 甲：两边同除以3，得，正确， 乙：配方，两边加1，得，即，但乙写成了，错误， ∴开始出现错误的是对应选项为B． 3．用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤是解题关键．先通过配方法将方程转化为的形式，求出、的值，再计算． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 对比的形式，可得， ∴ 故选：D． 4．用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 【详解】解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 5．若一元二次方程的两个不相等的根分别是与，则为_______． 【答案】25 【分析】本题考查了解一元二次方程—直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程—直接开平方法是解题的关键．利用解一元二次方程—直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， ， ， ， ， 故答案为：25． 6．代数式的最大值______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，对原式进行配方，再根据非负数的性质即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值为， 故答案为：． 7．若多项式．那么的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法把原式转化为，进而根据完全平方式是非负数即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 当且时，的最小值，最小值为， 故答案为：． 8．如果是关于的一元二次方程 的一个根，求的值及方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】将代入，解方程求出，再解方程即可求出另一个解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入得：， 解得：， ∴方程为：， ∴， 解得：， ∴另一根为：． 9．用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 10．用配方法解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴，． （2）解： ， ， ， ， 解得：，； （3）解： 解得：， 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $