精品解析：山西运城市康杰中学2026届高三下学期保温训练（六）数学试题

康杰中学2026届保温训练题（六） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】或， 因此若，， 则. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】对化简即可. 【详解】，复平面内对应的点坐标为，因此位于第一象限. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】原式. 4. 已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为5，极差为7 B. 中位数为5，极差为8 C. 中位数为5.5，极差为7 D. 中位数为5.5，极差为8 【答案】C 【解析】 【分析】利用中位数和极差公式求解即可. 【详解】由题可得中位数是，极差为： 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是周期为的函数，所以． 因为是奇函数，当时，， 所以， 故． 6. 若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为 A. 3 B. 3或－1 C. －3 D. 3或－3 【答案】A 【解析】 【分析】由题意列关于a，b的方程组，求得a，b后可得等差数列的公差． 【详解】∵1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5成等比数列，则 ，解得或, ∵3，a+2，b+5成等比数列,故b+50,即，∴舍去， 即∴等差数列的公差为b-a=3． 故选A． 【点睛】本题考查了等差数列,等比数列的性质，考查了等差数列的定义.属于基础题. 7. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，可得a的范围，根据对数函数的单调性，可得b，c的范围，比较即可得答案. 【详解】因为在R上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，所以，则， 因为在上单调递增，且， 所以，则. 8. 双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】写出直线 方程，求出点与中点的坐标，再将点坐标代入双曲线方程，利用并令求解出，进而得到离心率. 【详解】记，则：，整理得， 则，因为为的中点，所以， 因为点B在双曲线E上，则，令，得， 化简得，又，则，故离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由已知中圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，我们可以分圆柱的底面周长为4cm，高为2cm的和圆柱的底面周长为2cm，高为4cm，两种情况分别由体积公式即可求解. 【详解】侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形， 若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 故选：BD 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 【答案】ACD 【解析】 【分析】辅助角公式化简函数，根据三角函数的基本性质即可求解. 【详解】因为， A选项，的最小正周期为，故A选项正确； B选项，，故B选项错误； C选项，因为，则， 所以函数在区间内单调递增，故C选项正确； D选项，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度得，的图象，故D选项正确； 故选：ACD 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（ ） A. 时，使得要6步雹程 B. 时， C. 时， D. 使得的的值有6个 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据“冰雹猜想”可快速判断ABC选项；结合“冰雹猜想”倒推满足情况的所有值即可判断D选项. 【详解】若，则， 则需要6步雹程，故A正确； 若，则， 因，则，故B错误； 若，则， ， 则，故C正确； 若，则或， 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 若，则，，，； 故的所有取值为，共个，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由. 所以. 13. 已知的分布列如下表，则__________. 2 3 【答案】 【解析】 【分析】先根据分布列的性质求出，再求期望即可. 【详解】由分布列的性质有，得，从而， 故答案为： 14. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出在处的切线方程，设切点为，即可得到方程组，解得即可. 【详解】由，则，则，又当时， 所以曲线在处的切线为； 对于，可得，设切点为， 则，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求关于的经验回归方程，若该市航空公司预计2025年航班正点率为，请估算2025年顾客对该市航空公司投诉的次数； （2）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 【答案】（1），次 （2）分布列为 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题中数据利用最小二乘法求出，进而可求回归直线方程，将代入回归方程即可得解； （2）先写出随机变量的所有可能取值，再求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 ， 则， 所以， 所以关于的经验回归方程为； 当时，， 所以2025年顾客对该市航空公司投诉的次数约为次； 【小问2详解】 可取，， ，， ，， ， 所以分布列为 所以. （另解：服从，）. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）求内角的最大值． 【答案】（1）证明：因为， 所以由题得 ，即， 由余弦定理可得，所以． （2）． 【解析】 【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到，再由余弦定理角化边即可求证； （2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出的最小值即可由余弦函数性质得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为，， 所以内角的最大值为． 17. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明线面垂直，即证明垂直于底面上的两条相交直线和，最终推导出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系将几何问题代数化，利用空间向量求出平面的法向量，通过计算法向量与直线方向向量夹角的余弦值的绝对值，直接得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 取BE的中点为O，连接，OC，OD， 由图1中，△ABE是边长为2的正三角形，等腰梯形BCDE， 且ED＝DC＝CB＝1，可得OC＝OD＝1，且， 因为＝2，所以，所以， 又由△正三角形性质，可得， 因为OCBE＝O，且OC，BE平面BCDE，所以平面BCDE， 又因为平面，所以平面平面BCDE． 【小问2详解】 取CD的中点F，连接OF，因为四边形BCDE为等腰梯形， 且O为BE的中点，所以OF⊥BE，又因为⊥平面BCDE， 以O为坐标原点，OB，OF，所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，，所以， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的正弦值为． 18. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （i）由（1）知椭圆的上顶点为点，设直线与椭圆交于， 由，得，整理得， 所以，， 又， 所以 ， 所以，所以以线段为直径的圆过点； （ii）9 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而代入点的坐标，可求得椭圆的方程； （2）（i）联立直线与椭圆方程，设，利用根与系数的关系可得，利用向量的坐标运算可得，进而可证结论；（ii）根据，结合换元法与函数的单调性可求得面积的最大值． 【小问1详解】 因为椭圆的离心率，所以，所以， 所以椭圆的方程为，又椭圆过点， 所以，解得，所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）因为直线过定点， 所以 ， 令， 则 所以，可得， 所以函数在上单调递增，所以， 所以，即，所以. 所以当时，面积的最大值为9． 19. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求零点的个数． 【答案】（1）当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）有2个零点． 【解析】 【分析】（1）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （2）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【小问1详解】 ，令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026届保温训练题（六） 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. （ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据为：2，5，5，6，7，9，下列说法正确的是（ ） A. 中位数为5，极差为7 B. 中位数为5，极差为8 C. 中位数为5.5，极差为7 D. 中位数为5.5，极差为8 5. 已知是定义在上且周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若1，a，b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为 A. 3 B. 3或－1 C. －3 D. 3或－3 7. 设，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线：的右焦点为，过点且斜率为的直线与y轴交于点A，线段与E交于点B，若B为的中点，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 5 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆柱的侧面展开图是长4cm，宽2cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 的一个对称中心为 C. 在区间内单调递增 D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”），即．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，前项和为．则下列结论正确的是（ ） A. 时，使得要6步雹程 B. 时， C. 时， D. 使得的的值有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则______. 13. 已知的分布列如下表，则__________. 2 3 14. 已知曲线在处的切线与曲线相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求关于的经验回归方程，若该市航空公司预计2025年航班正点率为，请估算2025年顾客对该市航空公司投诉的次数； （2）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取4人，记这4人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）求内角的最大值． 17. 如图1所示，△ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个梯形；其中BE∥CD，ED＝DC＝CB＝1，现在沿着BE把△ABE折起到△的位置，连接，且使得＝2，如图2所示． （1）求证：平面； （2）求直线与平面夹角的正弦值． 18. 已知椭圆的离心率，且过点， （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的上顶点为点，若直线与椭圆交于两点， （i）证明：以线段为直径的圆过点； （ii）求面积的最大值． 19. 设函数． （1）求函数的单调区间； （2）当时，求零点的个数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $