精品解析：山西运城市康杰中学2026届高三保温训练（三）数学试题

康杰中学2026届保温训练题（三） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 4. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则或 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直， 若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误； 对于B：若，，，则，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C错误； 对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或， 又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误； 故选：C 5. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 6. 已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为， 则，故， 由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即， 所以双曲线的离心率为 7. 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出圆锥底面圆的半径，并由题意联立方程组求出；再由勾股定理解出圆锥内切球的半径即可. 【详解】 设圆锥底面圆的半径为，高为，母线长为，由题意知：， 两式相除解得，； 所以圆锥的顶角为，轴截面为等边三角形，圆锥的高， 设圆锥的内切圆半径为，，解得. 故选：D. 8. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果. 【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称， 又， 为定义域上的奇函数，可排除AC； 当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，排除B； 当时，， 在上单调递减，在定义域内单调递增， 根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式的各项系数和为243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中有理项一共有3项 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据二项式系数最大得到方程，求出；B选项，赋值法得到各项系数和；C选项，先求出二项式系数和，结合二项式系数的性质得到答案；D选项，写出展开式的通项公式，从而得到有理项的项数. 【详解】A选项，二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，即为奇数， 且与最大，所以，解得，A错误； B选项，中，令得，， 故展开式的各项系数和为243，B正确； C选项，展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等， 所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C正确； D选项，展开式通项公式为，，且为整数， 当时，满足要求，当时，满足要求，当时，满足要求， 综上，展开式中有理项一共有3项，D正确. 故选：BCD 10. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. 满足的的最小值为10 C. 数列前项和的最小值为 D. 数列前项和满足 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用等差中项的性质以及等差数列基本量运算即可得解；对于B，由A可得差数列的通项公式，易知n最小为11；对于C，求出数列中最后一个负项即可；对于D，求出后，代入检验即可. 【详解】对于A：由，， 又，则数列的公差，选项A正确； 对于B：由，，，的最小值为，选项B错误； 对于C：由，，数列前项和最小，其最小值为，选项C错误； 对于D：由，，选项D正确. 故选：AD. 11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D. 【详解】如图，过点C作于点D， 则向量在向量上的投影向量为， 由已知，所以， 设，则，又，所以，所以， 在中，，又，所以， 所以，，，所以， 在中，易得， 所以边BC的高为，故选项A正确； 在中，由余弦定理的推论得， 又因为， 所以，故选项B正确； ，故选项C错误； 设的中点为，则， 所以， 则，故选项D正确， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，则a等于________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】因为， 又，， 所以，解得. 故答案为： 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 【答案】64 【解析】 【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解. 【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种； （2）当从8门课中选修3门， ①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种； ②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种； 综上所述：不同的选课方案共有种. 故答案为：64. 14. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，作，垂直于直线，垂足分别为，记的面积分别为，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】设，，由导数的几何意义求得切线方程，再根据两切线的交点为，代入切线方程后相减可得点为点的中点，设直角梯形的面积为，从而可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】设，，由得， 所以切线，切线， 则有，， 由两式相减得，即点为点的中点， 设直角梯形的面积为， 则， 所以，于是 当且仅当时，取等号， 所以，的最小值为 故答案为：4 【点睛】方法点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．常从以下方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可得，进而分析求解； （2）利用余弦定理整理可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据正弦函数有界性运算求解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得 ， 则 ，即， 又因为， 则， 即， 且，则，即，可得， 又因为，则， 可得，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得，则， 由余弦定理得，即， 可得， 又因为 ， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 则，可得，即， 所以的取值范围为. 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． （1）求点到平面的距离； （2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）法1，取中点，可得二面角的平面角为，进而求得，得解；法2，利用向量法求得平面和平面的法向量，进而求得点的坐标，计算得解. 【小问1详解】 方法－：因为为直径，所以， 由，得，，所以， 所以， 在中，，，所以， 设点到平面的距离为，由，得. 方法二：取弧的中点，连接，则， 以为坐标原点，方向为轴方向如图建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， ，令，得， 则点到平面的距离为. 【小问2详解】 方法一：取中点，连接、，则， 又平面，则，，故面，故， 所以二面角的平面角为，即， 在等边中，，为等腰直角三角形得， 在中，，故所求线面角，. 方法二：设， 设平面的法向量， ，令，得， 底面的法向量，则，得， 即，， 设直线与底面所成角为，则. 17. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增，无单调递减区间 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次求导，分析函数的单调性，可得函数的单调区间. （2）设，问题转化为 在上恒成立，求实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，. 设，则. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，即在上恒成立. 所以在上单调递增，无单调递减区间. 【小问2详解】 设， 问题转化为在上恒成立，求的取值范围. 因为， ， 由，可得. 此时，，. 设，. 则在恒成立. 所以在单调递增. 所以，即，恒成立. 所以在上单调递增. 所以在上恒成立. 故为所求. 即实数的取值范围为. 18. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【答案】（1）方程为，离心率为 （2） 【解析】 【分析】（1）先写出椭圆右顶点、上顶点、左焦点坐标，求出两条直线斜率并利用斜率乘积条件化简得 ，再结合椭圆 的关系求出 的值，进而写出椭圆标准方程并算出离心率. （2）分直线斜率不存在、存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求出点坐标并算出向量数量积；斜率存在时设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理得根与系数关系，把向量数量积坐标展开并代入直线方程化简，再分离常数变形为分式型函数，由 求出值域范围，结合两种情况综合得到数量积的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点. 因为 ，所以，即. 因为，所以. 椭圆的方程为，离心率为. 【小问2详解】 由题可知. 当直线斜率不存在时，， 所以 当直线斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为. 由可得. . 设. 则 因为， 所以 因为，所以. 所以 综上所述，的取值范围为 19. 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. 【小问2详解】 设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026届保温训练题（三） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的侧面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则f(x)（ ） A. 是偶函数，且在单调递增 B. 是奇函数，且在单调递减 C. 是偶函数，且在单调递增 D. 是奇函数，且在单调递减 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（ ） A. B. 展开式的各项系数和为243 C. 展开式中奇数项的二项式系数和为16 D. 展开式中有理项一共有3项 10. 已知等差数列中，，，则（ ） A. 数列的公差为2 B. 满足的的最小值为10 C. 数列前项和的最小值为 D. 数列前项和满足 11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A. 边上的高为 B. C. D. 边上的中线为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，则a等于________. 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 14. 过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，作，垂直于直线，垂足分别为，记的面积分别为，则的最小值为____________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角的对边分别为，且满足. （1）求角的大小； （2）若为锐角三角形，且外接圆的半径为，求的取值范围. 16. 如图，圆锥的底面半径为1，高为2，是的直径，点在上，且． （1）求点到平面的距离； （2）点在线段上，二面角的大小为，求直线与圆锥底面所成角的正弦值． 17. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 18. 设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 19. 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $