精品解析：山西运城市康杰中学2026届高三下学期保温训练（五）数学试题

康杰中学2026届保温训练题（五）数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设集合，且，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 在的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 4 D. 6 4. 已知平面向量的夹角为60°，，则＝（ ） A. 4 B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A. B. C. D. 7. 若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（ ） A. B. C. 9 D. 15 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. B. 估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C. 估计该年级学生物理成绩的众数为75 D. 估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 10. 已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 11. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则__________． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 14. 某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 16. 已知数列的前项和为，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 18. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为，丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若从该商店有放回地随机抽取3台机器人，求抽到的机器人中至多1台甲品牌不合格品的概率． 19. 已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． （1）求C的标准方程； （2）证明：直线恒过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 康杰中学2026届保温训练题（五）数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（    ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，； 的虚部为. 2. 设集合，且，则实数的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以或. 当时，，若，集合，不满足互异性，舍去； 若，此时集合，满足，符合条件. 当时，或， 若，集合，不满足互异性，舍去，同理，也舍去， 综上，. 3. 在的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为的展开式中二项式通项为， 令，得，则，所以的系数是. 4. 已知平面向量的夹角为60°，，则＝（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积及向量的模计算即可. 【详解】因为平面向量的夹角为60°，＝2，＝1， 而， 所以． 5. 已知函数在上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 6. 圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由圆台的侧面展开图可得母线长，进而可求圆台的高，再结合圆台体积的计算公式即可求解. 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得， ，解得，故圆台的母线， 高， 故圆台的体积， 7. 若函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合抽象函数的奇偶性，单调性和，画出简图，求解即可． 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且在上单调递减，， 所以在上单调递减，且， 作出简图，如图所示， 当时，由得，即， 当时，由得，即， 当时，不合题意， 所以满足不等式的的取值范围是， 故选：C． 8. 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（ ） A. B. C. 9 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理进行边角互化，再使用基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 由正弦定理可得， 整理得，则有， 即，，， 当且仅当时，等号成立， 因为周长为， 故周长的最大值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高二年级第一次月考后，为分析该年级1200名学生的物理学习情况，通过分层抽样的方法对该年级200名学生的物理成绩进行统计，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ） A. B. 估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为600人 C. 估计该年级学生物理成绩的众数为75 D. 估计该年级学生物理成绩的中位数为72.6 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A：因为在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1， 所以，解得，故A正确； 对于B：估计该年级学生物理成绩在70分及以上的学生人数为，故B错误； 对于C：频率分布直方图中，众数是最高矩形所对应的区间中点，最高矩形是，所以中点为75，故C正确； 对于D：设中位数为，前两组的频率为，前三组的频率为， 因此中位数位于区间内，即，解得，故D错误. 10. 已知直线l：和圆O：，则下列说法正确的是（ ） A. 直线l恒过定点 B. 存在k使得直线l与直线：垂直 C. 直线l与圆O相交 D. 若，直线l被圆O截得的弦长为4 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线恒过定点可判断A,C，利用直线垂直时斜率的关系可判断B,根据勾股定理求弦长，可判断D. 【详解】整理可得，由可得， 所以直线恒过定点，A不正确； 直线的斜率为，直线的斜率为，若，则有，，B正确； 直线恒过定点，且在圆O内部，所以直线l与圆O相交，C正确； 若，直线l：，圆心O到直线的距离为， 所以直线l被圆O截得的弦长为，D不正确. 故选：BC 11. 已知，则下列说法正确的有（ ）． A. 函数有唯一零点 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数有极大值 D. 若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【详解】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列中，，则__________． 【答案】7 【解析】 【详解】因为为等差数列， 则，解得， 因为，故． 13. 已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，，则的离心率______． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线定义结合条件求出，再由余弦定理即可得到的方程，即可求其离心率. 【详解】如图，设．则．由双曲线定义可得．即， 所以，，又，． 在中，由余弦定理得， 解得，故的离心率． 14. 某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【解析】 【详解】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． （1）证明：； （2）求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【小问1详解】 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 【小问2详解】 连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 16. 已知数列的前项和为，，数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 【小问2详解】 . 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值． 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数值求解斜率，由点斜式即可求得直线方程； （2）由导数确定单调性即可求得极值. 【小问1详解】 由，得， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由（1）知，令，得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增； 所以是的极小值，无极大值. 18. 某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占，合格率为；乙品牌的占，合格率为，丙品牌的占，合格率为，在该商店随机买一台机器人． （1）求该机器人是甲品牌合格品的概率； （2）求该机器人是合格品的概率； （3）若从该商店有放回地随机抽取3台机器人，求抽到的机器人中至多1台甲品牌不合格品的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 用A表示机器人是甲品牌，用B表示机器人是合格品， 则． 【小问2详解】 用C表示机器人是乙品牌，用D表示机器人是丙品牌， 则 ． 【小问3详解】 单次抽到的是甲品牌且不合格的概率为， 则有放回地抽取3台，设X为抽到的甲品牌不合格数量，则， 所以至多1台的概率为 ． 19. 已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． （1）求C的标准方程； （2）证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据条件确定求椭圆方程； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，并利用坐标表示直线的方程，利用韦达定理表示直线与轴的交点，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $