第09讲 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式（预习讲义）-2024-2025学年高二年级数学暑假讲义（江苏专用）

第09讲 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式 一 知识结构图 内 容 考点 关注点 两条直线的交点坐标与两点间的距离公式 求两条相交直线的交点坐标 求直线的交点坐标 根据方程解的个数判定两条直线的位置关系 判断直线的位置关系 二.学法指导 1．两条直线相交的判定方法 方法一：联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交． 方法二：两直线斜率都存在且斜率不等． 方法三：两直线的斜率一个存在，另一个不存在． 2．两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想． 三.知识点贯通 知识点1 两条直线的交点问题 两条直线的交点坐标 几何元素及关系 代数表示 点A A(a，b) 直线l l：Ax＋By＋C＝0 点A在直线l上 Aa＋Bb＋C＝0 直线l1与l2的交点是A 方程组的解是 例题1.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 知识点二 两点间距离 两点间的距离公式 (1)平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式 |P1P2|＝. (2)两点间距离的特殊情况 ①原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. ②当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|. ③当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|. 例题2：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 知识点三 过两条直线交点的直线系方程应用 过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括l2的方程)． 例题3 .求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 五 易错点分析 易错一 两条平行线间的距离 六、核心素养聚焦 考点一 数学运算-直线交点坐标 例题7若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－　　　 B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 考点二 直观想象-求直线方程 例题8已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.求过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1的方程； 考点三 逻辑推理-求直线方程 例题9、　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 练习： 一、选择题 1．若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ） A．8 B．－8 C．9 D．－9 2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ） A．10 B．5 C．8 D．6 3．若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ） A．(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 4．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 5．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 6．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 7．（选择题）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ） A． B． C． D．－2 8．（多选题）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0，则AC边上的高BD所在的直线方程为________． 10．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，c＝________，m＝________. 11．已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________． 12．已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为___________，直线的方程为___________. 三、解答题 13．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0 （1）求直线AB的方程； （2）求点C的坐标． ． 14．已知两条直线和，试分别确定的值，使： （1）与相交于一点； （2）且过点； （3）且在y轴上的截距为． 15．已知点，，，求证：是等腰三角形． 第九讲 例题1.分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点． (1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0； (2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0； (3)l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3. 【解析】：(1)方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，－1)． (2)方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合． (3)方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 例题2：已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)． (1)判断△ABC的形状； (2)求△ABC的面积． 【解析】(1)如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证． 法一：∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝，|BC|＝＝5. ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 法二：∵kAB＝＝－2，kAC＝＝. ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC. ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． (2)由(1)中法一得|AB|＝2，|AC|＝. 又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5. 例题3 .求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程． 【解析】解方程组 得所以两直线的交点坐标为. 又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为y＋＝－3， 即15x＋5y＋16＝0. 例题6求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程 【解析】设所求直线方程为(2x－3y－3)＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ)x＋(λ－3)y＋(2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直。则3(2＋λ)＋(λ－3)×1＝0，得λ＝－。所以所求直线方程为5x－15y－18＝0 例题7若直线l1：y＝kx＋k＋2与直线l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限内，则实数k的取值范围是(　　) A．k＞－　　　 B．k＜2 C．－＜k＜2 D．k＜－或k＞2 【答案】C　 【解析】法一：由题意知，直线l1过定点P(－1,2)，斜率为k，直线l2与x轴、y轴分别交于点A(2,0)、B(0,4)，若直线l1与l2的交点在第一象限内，则l1必过线段AB上的点(不包括A，B)，因为kPA＝－，kPB＝2，所以－＜k＜2.故选C. 考点二 直观想象-求直线方程 例题8已知直线l的方程为2x－y＋1＝0.求过点A(3,2)，且与直线l垂直的直线l1的方程； 【解析】∵直线l的斜率为2，∴所求直线斜率为－， 又∵过点A(3,2)，∴所求直线方程为y－2＝－(x－3)，即x＋2y－7＝0. 考点三 逻辑推理-求直线方程 例题9、　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程． 【解析】设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)． 由得正方形的中心坐标为P(－1,0)， 由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0. 又正方形另两边所在直线与l垂直， ∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0,3x－y＋b＝0. ∵正方形中心到四条边的距离相等， ∴＝，得a＝9或a＝－3， ∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0,3x－y－3＝0. ∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0,3x－y－3＝0. 练习： 一、选择题 1．若(－1，－2)为直线2x＋3y＋a＝0与直线bx－y－1＝0的交点，则ab的值为（ ） A．8 B．－8 C．9 D．－9 【答案】A 【详解】 由题意得， 解得， 所以ab＝8. 故选：A 2．点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点为(3，4)，则|AB|等于（ ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【详解】 由题意得A(6，0)，B(0，8)， 所以|AB|＝. 故选：A 3．若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ） A．(1，＋∞) B．(－1，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 【答案】B 【详解】 联立直线方程，解得， ∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得. 故选：B． 4．已知点，，点在轴上，则的最小值为（ ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】 点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 5．已知△ABC的三个顶点是A(－a，0)，B(a，0)和C，则△ABC的形状是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．斜三角形 【答案】C 【详解】 因为kAC＝＝，kBC＝＝－，kAC·kBC＝－1，所以AC⊥BC. 又AC＝＝a，|BC|＝＝a， 所以△ABC为直角三角形． 故选：C 6．若过点A(3，a)和点B(4，b)的直线与y＝2x＋3平行，则|AB|的值为（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【详解】 由题意得＝2，即b－a＝2. 所以|AB|＝. 故选：D 7．（选择题）三条直线，，构成三角形，则的值不能为（ ） A． B． C． D．－2 【答案】AC 【详解】 直线与都经过原点，而无论为何值，直线总不经过原点， 因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线与另两条直线不平行， 所以． 故选：AC. 8．（多选题）等腰直角三角形的直角顶点为，若点A的坐标为，则点B的坐标可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 设，根据题意可得即 解得或所以或. 故选：AC． 三、填空题 9．已知△ABC三边所在直线方程为AB：3x＋4y＋12＝0，BC：4x－3y＋16＝0，CA：2x＋y－2＝0，则AC边上的高BD所在的直线方程为________． 【答案】x－2y＋4＝0 【详解】 由，解得交点B(－4，0)． 因为BD⊥AC， 所以kBD＝－＝. 所以AC边上的高线BD的方程为y＝ (x＋4)， 即x－2y＋4＝0. 故答案为：x－2y＋4＝0. 10．已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，c＝________，m＝________. 【答案】5 -12 -2 【详解】 由题意得 解得a＝5，c＝－12，m＝－2. 故答案为：5，-12，-2 11．已知点A(－3，4)，B(2，)在x轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则P点坐标为________． 【答案】 【详解】 设点P(x，0)，则有|PA|＝＝， |PB|＝＝. 由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7， 解得x＝－，即所求点P为. 故答案为： 12．已知直线和点，过点作直线与直线相交于点，且，则点的坐标为___________，直线的方程为___________. 【答案】或 或. 【详解】 根据题意，点在直线上，设的坐标为， 又由，则， 解可得：或5， 时，的坐标为，直线的方程为， 时，的坐标为，此时直线的斜率，直线的方程为，变形可得， 则的坐标为或，直线的方程为或， 故答案为：或；或. 四、解答题 13．已知的顶点A（3，1），边AB上的高CE所在直线的方程为x+3y-5=0，AC边上中线BD所在的直线方程为x+y-4=0 （1）求直线AB的方程； （2）求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）． 【详解】 （1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为， ∴直线AB的斜率为， ∴直线AB的方程为，即； （2）设， 由为AC中点可得， ∴， 解得，代入， ∴． 14．已知两条直线和，试分别确定的值，使： （1）与相交于一点； （2）且过点； （3）且在y轴上的截距为． 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【详解】 （1）由题意，直线和， 因为与相交于一点，故把点代入的方程， 可得，解得. （2）当时，，不满足， 当时，由且过点， 所以，解得或 （3）由且在y轴上的截距为，可得，解得. 15．已知点，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析. 【详解】 证明：由题可知，，，， ， ， ， ， 又由坐标可知，，，三点不共线， 是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$