26.1反比例函数 同步作业 2024-2025学年人教版九年级下册

26.1.2反比例函数的图像与性质 同步作业 一、单选题 1．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 2．下列点在反比例函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．在反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知是双曲线上的两点，当时，有，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A． B． C．或 D．或 6．反比例函数的图像与函数的图像没有交点，若点、、在这个反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 8．如图，在直线：上方的双曲线上有一个动点，过点作轴的垂线，交直线于点，连接，，则面积的最大值是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知反比例函数，当时，的取值范围是 ． 10．已知点，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 11．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 12．反比例函数的图象如图所示，若矩形的面积是2，则的值为 ． 13．双曲线、在第一象限的图象如图，，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于B，交y轴于C，若，则的解析式是 ． 三、解答题 14．已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 15．已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 16．已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与x轴、y轴相交于点C、点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为直线上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，连接，若，求的值． 17．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． (1)求这两个函数的解析式． (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集． (3)连接，，求的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点C为第一象限反比例函数图象上一点，连接，BO． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若时，求点C的坐标； (3)定义：我们把对角线与一边垂直的平行四边形叫做“铅垂平行四边形”，若点D在x轴上方，当以A，B，C，D为顶点的四边形是“铅垂平行四边形”时，求点D的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 2．C 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的特点，先得出反比例函数，然后一一计算并判断即可． 【详解】解：根据反比例函数，则反比例函数中， ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； ．，该点在反比例函数图像上，故该选项符合题意； ．，该点不在反比例函数图像上，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，熟记反比例函数图象增减性与的关系是解决问题的关键．根据反比例函数图象与性质，当反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大，得到，解得，从而得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象的每一支上，随的增大而增大， ，解得． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了反比例函数的概念及增减性，解题的关键是根据函数在特定区间内的增减趋势判断比例系数的符号． 根据反比例函数，当时，y随x的增大而增大即可解题． 【详解】：∵当时，有，即y随x的减小而减小， ∴函数图像在第二、四象限，且反比例函数系数， ∴． 故选：D． 5．D 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：D． 6．B 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，比较反比例函数的函数值大小，先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数增减性，进行判断即可． 【详解】解：联立，得：， ∵反比例函数 的图像与正比例函数的图像没有交点， ∴， ∴双曲线过二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大， ∵若点、、在这个反比例函数的图像上， ∴点、在第二象限，点在第四象限， ∴，，, ∵， ∴； ∴， 故选：B． 7．B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点关于原点对称，设点坐标，则可表示出；再根据“与y轴平行，与x轴平行”可知，从而可得A的坐标，进而可以表示出，最后根据列式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点关于原点对称， 设，则， ∵与y轴平行，与x轴平行， ∴， ∴， 故选：B． 8．C 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征及一次函数、二次函数性质解答即可． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、一次函数和二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：设点坐标为，则， ， 由三角形面积公式可得：， 整理得， 根据二次函数性质可知，当时，三角形面积有最大值，最大值为． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性是解题关键．根据反比例解析式可知图象在第一象限内，随的增大而减小，求出时函数值的最大值和最小值，即可得到答案． 【详解】解：反比例函数的图象在第一象限内，随的增大而减小， 时，，时，， 的取值范围是， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握当 时，反比例函数在同一象限内y随x的增大而减小这一性质． 判断点在同一象限（第一象限）；明确反比例函数的性质：第一象限内y随x增大而减小；比较横坐标，结合性质即可解题． 【详解】解：已知反比例函数，根据反比例函数的性质：当时，函数图象在第一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小． 点和的横坐标分别为2和3，均为正数，因此两点都在第一象限． 因为，且在第一象限内y随x的增大而减小，所以． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质． 根据题意得到反比例函数在同一个象限内，随的增大而增大，可得，然后计算即可． 【详解】解：，， 反比例函数在同一个象限内，随的增大而增大， ∴， 即． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：点在反比例函数图象上，且矩形的面积是， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 根据k的几何意义得出的面积为2，进而得出面积为5，即可得出的解析式． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴的解析式为：． 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 15．(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【详解】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 16．(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ， ， 为直线上的动点，过点P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段外，如图， ． 17．(1)； (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数与一次函数解析式； （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可； （3）先求出点坐标即长，再根据代入数据计算即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点． ， 解得，， 反比例函数解析式为， 将代入得 解得： 一次函数解析式为． （2）由函数图象可知：不等式的解集为：或． （3）如图，连接、，一次函数交轴于点， 对于，当时，， ∴，即， ∴． 18．(1)， (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数表达式的求解、三角形面积的坐标计算以及新定义“铅垂平行四边形”的综合应用；解题的关键是利用函数图象上点的坐标特征求解析式，结合坐标表示面积建立等量关系，以及分类讨论平行四边形中对角线与边的垂直关系． （1）由点B在反比例函数上求出反比例函数解析式，进而确定点A的坐标，再将A、B坐标代入一次函数求出其表达式； （2）设点C的坐标，通过坐标表示出三角形的高（即点C与直线的纵向距离），结合面积关系列方程求解点C的坐标； （3）按“铅垂平行四边形”的垂直条件分三类：①为对角线且，通过构造相似三角形求得直线解析式，联立反比例函数得，再用平移求；②为对角线且，构造相似直角三角形，用相似比列方程求，再求；③为对角线且，同理求C后用平移求D． 【详解】（1）解：反比例函数经过点， ， ， 反比例函数的表达式为， 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 把，代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：设，过点C作y轴的平行线交直线于E，如图1，设直线交y轴于点F，则，， ，， ， ， 即， 整理得：或， 或或， 点C在第一象限， 或， 或； （3）解：分三类讨论： ①当为对角线，时，如图2， 直线的表达式为，设与x轴、y轴的交点为M、L， 当时，，当时，， ∴点，且， 所以，，， 设直线与与x轴交于点N， ∵， ∴， ∴，即，得， ∴，即， 设直线的解析式为，将点B与点N坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立方程组得：， 解得：舍去，， ， 四边形是平行四边形，，， ，， 由平移规律得：，， ； ②当为对角线，时，如图3，设，过点C作轴，过点A、B分别作y轴的平行线交于E、F， 则，，，，， ， ， ∽， ，即， 解得：（舍去）或舍去或， ， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； ③当为对角线，时，如图4， 同理可得：， 四边形是平行四边形， ，， 由平移规律得：，， ； 综上所述，点D的坐标为或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.1.1反比例函数 同步作业 一、单选题 1．下列成反比例关系的是（　　） A．圆的面积一定，它的半径与圆周率 B．平行四边形的面积一定，它的底与高 C．同学的年龄一定，他们的身高与体重 D．三角形的高不变，它的底和面积 2．如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，那么与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．下面每组中的两种量成反比例关系的是（   ） A．长方形的周长一定，它的长和宽 B．圆的半径和面积 C．一个人的身高与他的年龄 D．圆柱的体积一定，它的底面积和高 4．下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 5．如果函数是反比例函数，那么的值是（　　） A．2 B． C．1 D．0 6．若函数是反比例函数，则m的值是（   ） A． B． C．0 D．1 7．已知反比例函数，则k的值不可能为（   ） A． B． C． D． 8．若y与成反比例，x与 成正比例，则y与z成（　　） A．正比例 B．反比例 C．不成比例 D．不能确定 二、填空题 9．下列函数中，是的反比例函数的有 （填序号） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）（为常数，）． 10．用函数表达式表示下列问题中的两个变量之间的关系，其中是反比例函数的关系是 ． （1）长为的绳子剪下m米后，还剩下n米； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元； （3）矩形的面积为，相邻两边的边长是； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟； 11．若是反比例函数，那么的值是 ． 12．已知，与成正比例，与成反比例，当时，，时，．则当时， ． 三、解答题 13．分别写出下列函数的表达式，并判断它们是不是反比例函数（不用写出自变量的取值范围）． (1)当圆柱的体积是时，它的高（单位：）关于底面圆的面积（单位：）的函数． (2)玲玲用200元购买营养品送给妈妈，她所能购买的营养品的质量（单位：kg）关于营养品的售价（单位：元）的函数． 14．已知函数． (1)当m为何值时，y是x的正比例函数？ (2)当m为何值时，y是x的反比例函数？ 15．已知函数． (1)若是关于的正比例函数，求的值； (2)若是关于的反比例函数，求的值． 16．已知反比例函数，求： (1)自变量的取值范围． (2)当时，函数的值． (3)当时，自变量的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 【分析】此题考查反比例的定义：两种相关联的量的乘积为定值时，它们成反比例关系，逐一分析各选项中的两个量是否满足该条件 【详解】解：A. 圆的面积公式为，当面积一定时，是常数，也随之固定，二者无变化关系，不成反比例； B. 平行四边形的面积公式为，当面积一定时，底与高的乘积为定值，符合反比例定义； C. 年龄一定时，身高与体重无必然的乘积或比值关系，不成比例； D. 三角形面积公式为，当高不变时，面积与底的比值为（定值），二者成正比例； 故选：B 2．C 【分析】此题考查了列反比例函数解析式，根据等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，可以得到，即可得到函数解析式．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为， ， 与之间的函数关系式为． 故选：C． 3．D 【分析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断． 两种相关联的量，若其比值一定，两种量成正比例；若其乘积一定，两种量成反比例，据此判断． 【详解】解：A、因为长方形的周长=（长+宽），长方形周长一定，是长和宽的和一定，所以长和宽不成比例，故此选项不符合题意； B、因为圆的面积半径2，所以圆的半径和面积不成反比例，故此选项不符合题意； C、一个人的身高和年龄虽然是相关联的两个量，但是它们的比值和乘积都不一定，所以不成比例，故此选项不符合题意； D、因为底面积×高=圆柱的体积（一定），乘积一定，所以底面积和高成反比例，故此选项符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查反比例函数的判断，根据反比例函数的定义，形如，这样的函数叫做反比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是二次函数，不符合题意； C、是反比例函数，符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选C． 5．C 【分析】本题考查的是反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数，其一般形式可表示为，因此，函数为反比例函数时，需满足的指数为，且系数不为零，进一步可得答案. 【详解】解：∵函数为反比例函数，则的指数必须为，即， 解得：， 故选：C 6．B 【分析】本题考查反比例函数定义．根据题意可知，解出m的值即为本题答案． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义可得，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：C． 8．A 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的定义．关键是先求出函数的解析式，再根据函数定义判定即可． 先求出y与z的函数解析式，再根据正比例函数的定义判定即可． 【详解】解：由题意可设，，且，， ∴，即 ∵，， ∴， ∴是正比例函数， 故选：A． 9．（2）（3）（4）（6）（9） 【分析】根据反比例函数的定义求解即可． 【详解】由题意可得（2）（3）（4）（6）（9）是反比例函数． 故答案为：（2）（3）（4）（6）（9）． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为（k为常数，）或（k为常数，）．也考查了一次函数的定义． 10．（3）（4）/（4）（3） 【分析】分别根据题意列出对应的函数关系式，再根据反比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）长为的绳子剪下m米后，还剩下n米，则，这不是反比例函数，不符合题意； （2）买单价为10元的笔记本x本，一共用了y元，则，这是正比例函数，不符合题意； （3）矩形的面积为，相邻两边的边长是，则，这是反比例函数，符合题意； （4）家到学校的距离为480米，步行上学平均速度v米/分钟，所用时间为t分钟，则，这是反比例函数，符合题意， 故答案为：（3）（4）． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的定义，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． 11． 【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，掌握待定系数法是关键． 根据题意，设，分别代入计算得到解得，则，即可求解． 【详解】解：∵与成正比例，与成反比例， ∴设， ∴， 当时，，时，， ∴， 解得，， ∴， 当时，， 故答案为： ． 13．(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义； （1）根据圆柱体的体积底面积高列函数关系式，再结合反比例函数的定义进行判断，即可得到结论； （2）根据单价数量，可得和的关系式，接下来根据反比例函数的定义判断. 【详解】（1）解：由题意，得，是反比例函数． （2）解：由题意，得，是反比例函数． 14．(1)1 (2)0 【分析】本题考查了正比例函数、反比例函数的定义．熟记定义是解题的关键． （1）根据正比例函数的定义得到，且； （2）根据正比例函数的定义得到，且； 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴，且，解得． （2）解：∵函数是反比例函数， ∴，且，解得． 即当时，y是x的反比例函数． 15．(1) (2) 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的定义、解一元二次方程，掌握正比例函数，反比例函数是关键． （1）根据正比例函数的定义，可得且，进而即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵是关于x的正比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得，， ∴． （2）解：∵是关于x的反比例函数， ∴且， 由得，解得或， 由得， ∴． 16．(1) (2)4 (3) 【分析】本题考查了反比例函数自变量的取值范围、反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义求自变量的取值范围； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答； （3）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答． 【详解】（1）由反比例函数的定义和分式的意义可知，． （2）将代入中，得． （3）将代入中，得，解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$