学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷【山东济南专用，测试范围：北师大版八下全部】

**基本信息** 这份八年级数学期末模拟卷覆盖北师大版下册全内容，以山东传统文化图形、汴绣销售等真实情境为载体，通过动点面积、旋转规律等问题设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|不等式性质、图形对称、因式分解、平行四边形判定|第2题以胶东瑞兽等传统文化图形考查轴对称与中心对称，体现文化传承| |填空题|5/20|分式值为零、正多边形密铺、平移性质、平行四边形性质|第12题结合正五边形地砖铺设，考查多边形内角和，关联实际生活| |解答题|10/110|不等式组、几何证明、函数综合、动态探究|第21题汴绣挂件销售问题，融合分式方程与不等式组，培养应用意识；第25题等边三角形动态探究，发展推理能力与创新意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册全部。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 6．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 7．如图，在中，，，点D，P分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 9．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．若分式的值为零，则______． 12．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 13．如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 14．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________． 15．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 17．因式分解： (1)； (2) ． 18．先化简，再求值： 其中 19．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 21．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 22．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 23．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 24．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 25．【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册全部。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：∵ ，， ∴，故A选项不符合题意； ∵ ， ∴移项得：，故B选项不符合题意； ∵ ， ∴不等式两边同时乘以，再加得：，故C选项符合题意； ∵ ， ∴不等式两边同时除以得：，故D选项不符合题意； 2．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、它是整式乘法运算，结果是多项式和的形式，不是几个整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； B、等式右边是和的形式，不是整式乘积，故式子从左到右的变形不是因式分解； C、原式左边是单项式，不是多项式，故式子从左到右的变形不是因式分解； D、将多项式转化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义，故式子从左到右的变形是因式分解． 4．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 5．下列命题错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【分析】据平行四边形的判定定理逐项判断命题的正误，即可找出错误的命题． 【详解】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，命题错误，符合题意； C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； D、如图，若，，则， ， ， 四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意． 6．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，， 解得：； 当整式方程的解为原分式方程的增根时，即， 代入得：， 解得， 综上，的值为或． 7．如图，在中，，，点D，P分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据尺规作图判定出角平分线与线段垂直平分线，再利用等腰三角形性质求出各角度数，最后逐一比对选项判断正误； 【详解】解：∵ 由尺规作图痕迹可知，射线是的角平分线， ∴ ，故选项A正确． ∵ 由尺规作图痕迹可知，所作直线为线段的垂直平分线，点在该直线上， ∴ ，故选项B正确． ∵ ，， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，， ∴，故选项C错误． ∵平分， ∴ ． 在中， 根据三角形内角和为， ， 故选项D正确． 8．如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据点运动和三角形的面积变化得出线段长度是解题关键．根据点运动，可得，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：在平行四边形中， ， 根据点运动，可得 当时，点P在点D处， ∴ 当时，点P在点C处， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得． 9．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接， ， 点D为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． ∴正确的有4个． 故选：D． 10．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形的变化−旋转，根据题意得出点坐标变化规律，再得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：如图，分别过点B，作x轴的垂线，交x轴于E，F， 则，， ∴，，， ∴， ∵，，每操作1次，三角形的边长增加1， 则第2024次操作得到的在第一象限，且边长为2025， ∴． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 12．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 【答案】10 【详解】解：由题意，得， 设这个正多边形地砖的边数为n， 则有， 解得， ∴这块正多边形地砖的边数是10． 13．如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 【答案】/16厘米 【分析】根据图形平移的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形的周长是， ∴， 根据平移的性质可知，，， ∴，即， ∴三角形的周长是 ． 14．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________． 【答案】2 【分析】先连接交于点，结合平行四边形的性质以及，得，再计算出的长度，即可作答． 【详解】解：如图，连接交于点， ∵在平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∴． 15．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】先根据作图判断平分，再结合平行四边形的性质证明，轴，进而设，结合勾股定理，利用建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据作图可知：平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∴，∴， ∵的顶点，点在轴的正半轴上， ∴轴，即轴， ∵，∴设， ∴，， ∵， ∴，解得 ∴． 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 【答案】不等式组的解集为，所有整数解为1，2． 【分析】分别解两个不等式，求出解集，再找出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得；（2分） 解不等式②得；（4分） 因此，不等式组的解集为，（5分） 所有整数解为1，2．（6分） 17．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ；（3分） （2）解：原式 ．（7分） 18．先化简，再求值： 其中 【答案】 ， 【详解】解： 原式（2分） （4分） ；（6分） 将代入化简后的式子得： 原式.（8分） 19．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）根据中点的定义和平行线的性质得到条件，证明即可； （2）证明，又由已知即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）证明：是的中点， ．     ， ，  （2分） （3分） （2）四边形是平行四边形    （ 4分） 证明：， （5分）     又是的中线， ， ∴     又，（7分） ∴四边形是平行四边形．（8分） 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如（1）中图，即为所求． (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，结合网格特征，找出点、的对应点，顺次连接即可； （2）根据平移的性质，结合网格特征，找出点、、的对应点，顺次连接即可； （3）由旋转的性质及中心对称的定义得出点与关于原点中心对称，根据关于原点中心对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数即可得答案． 【详解】（1）（3分） （2）（6分） （3）解：∵将绕原点旋转，点的对应点为，， ∴点与关于原点中心对称， ∴的坐标为．（8分） 21．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 【答案】(1) 机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元 (2) 共有3种进货方案，分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件 【分析】（1）设机绣挂件每件进价为元，根据“用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同”列分式方程求解即可； （2）设购进手工挂件件，根据“总费用不超过500元，手工挂件至少购进10件”列不等式组求解即可. 【详解】（1）解：设机绣挂件每件进价为元， 根据题意，得，（1分） 解得，（2分） 经检验，是原分式方程的解，（3分） ， 答：机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元；（4分） （2）解：设购进手工挂件件， 根据题意，得，（6分） 解得，（7分） 整数为10或11或12，（8分） 共有3种进货方案， 分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件.（9分） 22．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 【答案】(1)等边三角形，理由见详解 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握直角三角形的特点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得，则，在结合三角形内角和定理得，即可确定的形状； （2）根据（1）可推得，根据直角三角形的特点得，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下，（1分） ∵，， ∴，（2分） ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴，（4分） 则为等边三角形；（5分） （2）解：由（1）可知，为等边三角形， 则，即为的中点， ∵垂直平分，即点E是的中点， ∴是的中位线， ∴，（7分） ∵， ∴，（8分） ∴，（9分） 则的周长为．（10分） 23．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：；（2分） （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴；（4分） （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴，（6分） ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或；（8分） （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为．（10分） 24．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 【答案】(1) (2)或， (3)或 【分析】（1）先根据点求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可得； （2）先根据直线的解析式求出，再利用待定系数法求出直线的解析式，从而可得点，的坐标，则可得的长，然后根据平行四边形的判定可得，据此建立方程，解方程即可得； （3）设点的坐标为．由点在直线上，求出或．再求出相应的的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入一次函数得：，解得， 点坐标为； 故答案为：；（2分） （2）解：将代入直线得：， ， ， 将点代入直线得： ， 解得， 直线的解析式为， 由题意得：点的坐标为，点的坐标为， ，（4分） ， 要使以、、、为顶点四边形是平行四边形，则， ，（6分） 解得或， 当为或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形；（8分） （3）解：设点的坐标为． ∵点在直线上， 解得， 即或． 当时，，解得，此时点坐标为； 当时，，解得，此时点坐标为． 所以点的坐标为或．（12分） 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像上点的坐标特征、平行四边形的判定等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． 25．【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 【答案】(1) (2)的值最小为 (3)道路的长为 【分析】（1）先证明，再利用三角形的外角的性质求解即可； （2）如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明是等边三角形，可得，即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图，连接，则是等边三角形，再进一步求解即可． （）如图，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足为，可得是等边三角形，得到，又由旋转的性质得到，可得，点在的延长线上，则可得，由勾股定理求得，进而可得，即可得，得到，，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵等边， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴．（2分） （2）解：如图，将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转得，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即当点B，Q，M，N共线时，的值最小，如图，（4分） 连接，则是等边三角形， ∴． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴点A，C在线段的垂直平分线上，点B，N在线段的垂直平分线上，即与互相垂直平分． 设与的交点为F，则为直角三角形，，， ∴， ∴， 即的值最小为．（7分） （3）解：如图，将绕点A逆时针旋转至，连接，过点A作，垂足为H，则． ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形．（8分） ∴ ． 根据旋转的性质可知，，，，（9分） ∵， ∴，即点G在的延长线上， 在中，， ∴， 由勾股定理，得． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ，， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 即道路的长为．（12分） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册全部。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列式子从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 5．下列命题错误的是（     ） A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 6．关于的分式方程无解，则的值为（） A．或 B．或 C．或 D． 7．如图，在中，，，点D，P分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点P是平行四边形边上一动点，沿的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图（）是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 9．在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在直角坐标系中，边长是1的等边的顶点与原点重合，边与轴重合，把 绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1，得到 ，称为第1次操作；第2次操作（把绕点按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到 第3次操作（把 绕点 按逆时针方向旋转，同时边长增加1）得到． ，按此规律操作下去，第2024次操作得到 ，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11．若分式的值为零，则______． 12．工人师傅用两块边长均为a的正五边形地砖按如图所示的方式进行铺设，若一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是_______． 13．如图，三角形向右平移得到三角形，如果四边形的周长是，那么三角形的周长是_____． 14．如图，在平行四边形中，点为对角线上一点，连接并延长至，使得，连接．若，则的长度为__________． 15．如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为_____． 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23每题10分，24-25每题12分。 16．解不等式组：，并写出它的所有的整数解． 17．因式分解： (1)； (2) ． 18．先化简，再求值： 其中 19．如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． 20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）．请完成以下画图并填空． (1)将绕点按逆时针方向旋转，画出旋转后得到的． (2)将向上平移个单位，再向右平移个单位，画出平移后的． (3)若将绕原点旋转，的对应点的坐标是_________． 21．开封汴绣是国家级非物质文化遗产，某商店计划购进汴绣手工挂件和汴绣机绣挂件进行销售． (1)用600元购进汴绣手工挂件的数量与用400元购进汴绣机绣挂件的数量相同，且每件手工挂件的进价比机绣挂件的进价高8元．求两种挂件每件的进价各是多少元？ (2)若该商店决定购进这两种挂件共25件，总费用不超过500元，其中手工挂件至少购进10件，该商店共有哪几种进货方案． 22．如图，在中，，作的垂直平分线，交于点，交于点． (1)判断的形状，并说明理由． (2)若，求的周长． 23．材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 24．如图，直线：分别与轴、轴交于、两点，与直线：交于点． (1)点坐标为________； (2)在直线上有一点，过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形； (3)若在直线上有一点，使的面积为8，直接写出点的坐标________． 25．【问题提出】如图，在等边中，E是边上一动点（不与端点重合），连接． (1)如图①，若D是边上的点，且，连接交于点F，则的度数为 ； (2)如图②，若，Q是线段上的一个动点，连接，，，求的最小值； (3)【问题解决】如图③，某公园的四条通道围成了四边形，已知m，，，，道路，上分别有景点E，F，满足， ，为了游客们能更方便地游玩这两个景点，现要在E，F之间修一条笔直的道路，求道路的长． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、 单项 选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 4 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 1 1 . _______________ 1 5 . ________________ 1 2 . __ _________ 13. _________________ 14. __________________ 三 、解答题：本题共 10 小题，共 110 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16 .（ 6 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17 ．（ 7 分） 18 ．（ 8 分） 19 ．（ 8 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 20 ．（ 8 分） （3） 21 ．（ 9 分） 22 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 23 ．（ 10 分） （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） 24 ．（1 2 分） （1） （ 2 ） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 25 ．（ 12 分） （1） （2） （3） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 --------------------------------------- 1。答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B]LC][D] 5.[A][B][C]LD] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.LA][BJ[C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 12 三、解答题：本题共10小题，共110分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 16.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(7分) 18.(8分) 19.(8分) F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 20. (8分) (3) 珠 4 2 + 5 -4-3-2 9 1 2345主 -6 5 21.(9分) 22. (10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(10分) (1) (2) (3) (4) 24.(12分) (1) (2) \B h-B A 备用图 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A D B C C B4 E 图① 图② 图③ (1) (2) (3)@学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D C B B C A D C 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.-3 12.10 13.16cm/16厘米 14.2 15.3+3√5/3V3+3 三、解答题：本题共10小题，共110分。其中：16题6分，17题7分，18-20每题8分，21题9分，22-23 每题10分，24-25每题12分。 16.【详解】解：解不等式①得x≤2；(2分) 解不等式②得x>8 :(4分) 8 因此，不等式组的解集为<x≤2，(5分) 所有整数解为1,2.(6分) 17.【详解】(1)解：原式=4x2-2x+1 =4(x-1;(3分) (2)解：原式=a2(a-b)-25(a-b) =(a-b)(a2-25) =a-b)a+5)a-5).(7分) 18.【详解】解： 原式=2x+1x+3）-2 (x+3x+3x+3 .(2分) =2x+1-x-3x+3 x+3 (x-2)2 =x-2 (x-2)2 (4分) -2:(6分) 1 将x=2+√5代入化简后的式子得： 1/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 -15 原式2+)-2万-3.(8分) 19.【详解】(1)证明：：E是AD的中点， .AE=DE. :AF∥BC, :LAFE=LDCE,∠EAF=∠EDC(2分) ∴△AEF≌△DEC(AAS)(3分) (2)四边形ADBF是平行四边形（4分) 证明：，△AEF≌△DEC, AF=CD(5分) 又：AD是ABC的中线， :CD=BD .AF=BD 又：AF∥BC,(7分) 四边形ADBF是平行四边形.(8分) Y 20.【详解】(1) A (3分) 一4大3 1.2345 2/9 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B (2) (6分) 5-43-219 1.2345x (3)解：，将ABC绕原点0旋转180°，点A的对应点为A,A-2,4), 点A与A关于原点中心对称， A的坐标为(2，-4).(8分) 21.【详解】(1)解：设机绣挂件每件进价为x元， 根据题意，得600=40 ,1分) ”x+8x 解得x=16,(2分) 经检验，x=16是原分式方程的解，(3分) x+8=24, 答：机绣挂件每件进价16元，手工挂件每件进价24元；(4分) (2)解：设购进手工挂件a件， a≥10 根据题意，得 24a+16(25-a)≤500'(6分) 解得10≤a≤12.5，(7分) :整数a为10或11或12，(8分) “共有3种进货方案， 分别为：方案1：购进手工挂件10件，机绣挂件15件；方案2：购进手工挂件11件，机绣挂件14件；方 案3：购进手工挂件12件，机绣挂件13件.(9分) 22.【详解】(1)解：△ACD为等边三角形，理由如下，(1分) ,∠ACB=90°，∠B=30°， ∴.∠A=60°，(2分) 3/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,DE垂直平分BC, .DB=DC, ∴.∠B=∠DCB=30°， .∠ADC=60°，(4分) 则△ACD为等边三角形；(5分) (2)解：由(1)可知，△ACD为等边三角形， 则CD=AD=BD,即D为AB的中点， ,DE垂直平分BC,即点E是BC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， ∴.AC=2DE=2,(7分) ,∠B=30°， ∴.AB=2AC=4,(8分) .BC=VAB2-AC2=2√5，(9分) 则ABC的周长为AB+BC+AC=4+2√5+2=6+2√5.(10分) 23.【详解】（1)解：2a+1_2a-+3=2+3 ；(2分) a-1a-1 a-1 (2)解：由分母x-1,可设x2+6x-3=(x-1)(x+a+b, 则x2+6x-3=(x-1)(x+a+b=x2+(a-1)x-a+b, 对于任意x上述等式成立， a-1=6 a=7 a+b-3解得： b=4' :.x2+6x-3-(x-1(x+7列+4 x-1 x-1 x+7+,·(4分) (3)解：对于分式2x+5x-20 x-3 由分母(x-3),可设2x2+5x-20=(x-3)(2x+a+b, 则2x2+5x-20=(x-3)(2x+a+b=2x2+(a-6)x-3a+b, ,对于任意x上述等式成立， a-6=5 a=11 ·-3a+6=-20'解得：6=13 4/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :2x+5x-20_x-3训2x+1山+13-2x+11+13,(6分) x-3 x-3 x-3 :整数x使分式2x+5x-20的值为整数， x-3 ,13为整数，即x-3=士1或x-3=13, x-3 当x-3=1时，解得x=4, 当x-3=-1时，解得x=2, 当x-3=13时，解得x=16, 当x-3=-13时，解得x=-10, ∴.满足条件的整数x=4或2或16或-10；(8分) (4)解：对于分式+3r2-2 x2+1 由分母x2+1,可设x4+3x2-2=(x2+1(x2+a+b, 则x+3x2-2=(x2+1(x2+a+b=x+(a+1)x2+a+b, ,对于任意x上述等式成立， /0*1s3 a=2 0+b=-2’解得： b=41 .x+3x2-2（x2+1x2+2-4 x2+1 =x2+2-4 x2+1 x2+1 令1=x2+1,则+3r2-2 t+1-4, x2+1 当-1≤x≤1时，0≤x2≤1， 1≤t≤2， 当取最小值时，4取最大值，则-4取最小值， 此时1+1-4取最小值， 当1=1时，+3-2取最小值，此时+3r-2=1+1-4-2, x2+1 x2+1 1 即分式+3-2的最小值为-2.(10分) x2+1 1解：将0代入一次函数y=+2得：x+20, ·点A坐标为(4,0)； 故答案为：(4,0)；（2分) 5/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 (2)解：将x=0代入直线：y=2x+2得：y=2, B(0,2), 0B=2, 将点C(2,)代入直线：y=kx-3得： 2k-3=1, 解得k=2, ·直线Z的解析式为y=2x-3, 由题意得：点E的坐标为E0mm+2),点F的坐标为Fm2m-3, a--4分 :EF∥OB, :要使以O、B、E、F为顶点四边形是平行四边形，则EF=OB, 昌m-2,6分) 14 解得m=5或m=5, 6 5 14 m为；或°时，以0、8、E、F为顶点四边形是平行四边形：(8 5 (3)解：设点P的坐标为(x,y). ,点P在直线上， S0P=2 1 04.yp =8, 1 2×4x1y8 解得引y=4, 即y=4或y=-4 智24时，x+2=4,解得-4，此时点P坐标为←4 当y=-4时， 2+2=-4,解得x=12,此时点P坐标为02,4. 所以点P的坐标为(-4,4)或12,4).（12分) 25.【详解】(1)解：：等边ABC, 6/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.AB=BC,∠ABC=∠C=60°， .CD =BE △ABE≌aBCD(SAS, ∴.∠BAE=∠CBD, ∴.∠AFD=∠BAE+∠ABF=∠CBD+∠ABF=LABC=60°.(2分) (2)解：如图，将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到aNCM,连接QM,BN. E 由旋转得∠QCM=∠ACN=60°，CQ=CM,CA=CN,QA=MN, ∴.△MCQ是等边三角形， .OC=OM, ∴.QA+QB+QC=QB+QM+MN≥BN, 即当点B,Q,M,N共线时，OA+QB+QC的值最小，如图，(4分) 连接AN,则△ACN是等边三角形， .AN CN =AC. ,ABC是等边三角形， ∴.AB=CB=AC=6. ∴.AB=AN=BC=NC. ∴.点A,C在线段BN的垂直平分线上，点B,N在线段AC的垂直平分线上，即AC与BN互相垂直平分. 设AC与BN的交点为F,则BCF为直角三角形，FC=AC=3,BN=2BF, 2 BF=BC2-CF2=33, .BN =2BF=63, 即QA+QB+QC的值最小为6√3.(7分) 7/9 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)解：如图，将△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG,连接AF,过点A作AH⊥GD,垂足为H, 则∠AHD=90°. G 、D B E ∠BAD=150°，∠DAE=90°， ∴.∠BAE=60°. 又：LB=60°， ∴△ABE是等边三角形.(8分) .'BE AB=AE =600. 根据旋转的性质可知LBAE=∠DAG=60°，LADG=∠B=60°，AE=AG,BE=DG=600,(9分) ,∠ADF=120°， .∠GDF=180°，即点G在CD的延长线上， 在Rt△ADH中，∠DAH=90°-∠ADG=30°， DH=54D=30. 由勾股定理，得AH=VAD2-DH=300√5. .HF=HD+DF=300+300√5-300=300V5. .AH =HF ∴.∠HAF=45°. .∴.∠DAF=∠HAF-∠HAD=45°-30°=15°. ∴.∠GAF=∠DAG+∠DAF=75°，∠EAF=∠EAD-∠DAF=90°-15°=75°， .∠GAF=∠EAF, .AE=AG,AF=AF, ∴.△AEF≌△AGF(SAS, ∴.EF=GF. .GF=DG+DF, :.EF=DG+DF=600+300√5-300=300V5+300m. 8/9 窗学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 即道路EF的长为300√3+300m,(12分) 9/9