精品解析：2026年安徽宿城第一初级中学中考考前数学自测

2026年安徽宿城第一初级中学中考考前数学自测 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．诸务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，共中只有一个是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，由个大小相同的小正方体堆成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，根据尺规作图痕迹，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 7. 如图，点是对角线上一点，已知且，都经过点，连接，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A. B. C. D. 9. 已知有，，，四种气体各一瓶，可燃气体为，，能使石灰水变浑浊的是．先后不放回各抽一瓶，抽到第一种是可燃气体，第二种能使石灰水变浑浊的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点是线段上一点，点是内一点且，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是__________． 12. 2026年安徽省新建高标准农田200.9万亩，同步实施高效节水灌溉，持续改善农业生产条件，提升耕地质量与粮食综合生产能力．其中数据200.9万用科学记数法表示为__________． 13. 如图，是的半径，是的弦，垂直平分，是的切线且与的延长线交于点，连接，，，，则__________． 14. 如图，已知矩形，将该矩形折叠使得点落在上，点的对应点分别为点，，折痕为． （1）若，则__________； （2）已知，当时，__________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 近年来，安徽大力推进优质粮食与特色茶产业融合发展，某农业大县年优质水稻与黄山毛峰两大板块的总产值为亿元．年，优质水稻产值同比增长，黄山毛峰产值同比增长，全年总产值达到亿元．求该县年优质水稻、黄山毛峰的产值分别是多少亿元？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点． （1）画出先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的； （3）直接写出（2）中线段所扫过的面积． 18. 如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的半径． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 清代安徽籍数学家梅文鼎（宣城人）是我国古代三角测量的集大成者，他曾用方位角法测量城池间的距离．如图，为测量某烽火台到官道点的距离，工匠在官道上的点处测得烽火台位于点西偏北方向上；随后沿正西方向行进一段距离到达点，在点处测得烽火台位于点西偏北方向上，同时测得瞭望台位于点的西北方向．已知瞭望台正好在烽火台的正西方向处．求烽火台处到官道处之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 20. 安徽新能源汽车产业近年来发展迅猛，已成为全国重要的新能源汽车生产基地，整车制造、动力电池、智能网联等产业链不断完善．为提升一线技术工人的专业能力，某新能源汽车企业组织了“汽车零部件检测技能竞赛”，竞赛结束后从整车装配组、电池检测组各随机抽取相同人数的成绩，分A，B，C，D四个等级，对应分数依次为10分、9分、8分、7分．将整车装配组、电池检测组的成绩制成统计图如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的整车装配组竞赛成绩的中位数是__________分；电池检测组竞赛成绩的众数是__________； （2）求抽取的电池检测组竞赛成绩的平均数； （3）若整车装配组共有300名工人参加竞赛，电池检测组共有200名工人参加竞赛，请估计两个组别竞赛成绩为10分的工人总人数． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】探究正多边形单位点数的个数． 【项目探究】将正边形（）不断向外扩展，每扩展一个正边形每条边上的单位点数的个数就增加一个，那么个正边形的单位点数总共有多少个？接下来从最简单的正多边形入手，根据特殊到一般思想，归纳单位点数规律，再由规律解决特殊问题． 【探究一】 （1）个正三角形的单位点数总共有多少个？ 如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（ ）个； …… 个正三角形的单位点数总共有：（ ）个． 【探究二】 个正方形的单位点数总共有多少个？ 如图2-1，1个正方形的单位点数总共有个； 如图2-2，2个正方形的单位点数总共有个； 如图2-3，3个正方形的单位点数总共有个； 如图2-4，4个正方形的单位点数总共有个； …… 个正方形的单位点数总共有：个． 【探究三】 （2）个正五边形的单位点数总共有多少个？ 如图3-1，1个正五边形的单位点数总共有5个，即； 如图3-2，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-3，连接，，得到三个三角形．每个三角形都有10个点，就是（个）点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-4，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是（个）点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的单位点数总共有：（个），即…… 个正五边形的单位点数总共有：（ ）个； 【探究四】 （3）个正六边形的点数总共有（ ）个．（用含的代数式表示） 【项目归纳】 （4）个正边形的单位点数总共有： ]个； 【项目实施】 （5）若19个正边形的单位点数总共有3820个，则的值为 ． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，已知正方形，点是延长线上一点且，连接，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作于点，连接． ①求证：； ②求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线：（是常数且）和直线． （1）若抛物线的对称轴为直线，求直线与轴、轴围成的三角形的面积； （2）已知抛物线：． 求抛物线与轴交点的纵坐标的最大值； 已知抛物线经过点，若点，点为抛物线上的不同的两点，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年安徽宿城第一初级中学中考考前数学自测 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．诸务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，共中只有一个是符合题目要求的．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 2. 如图，由个大小相同的小正方体堆成的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据几何体的形状可知，俯视图为“”． 3. 下列运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂相除、积的乘方法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故结果不为，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 4. 一个三角形的两边长分别为和，则此三角形第三边的长可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先估算出，设此三角形第三边的长为，再由三角形的三边关系计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，即， 设此三角形第三边的长为， 由三角形的三边关系可得：， ∵， ∴， ∴此三角形第三边的长可能是． 5. 如图，已知，根据尺规作图痕迹，与交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得，由是的平分线得，根据直角三角形两锐角互余得，再由三角形外角关系可得的度数． 【详解】解：在中，， ∴； 由作图得是的平分线， ∴； 由作图得于点， ∴， 又， ∴． 6. 在同一平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】联立可得，再结合题意得出，，计算即可得出结果． 【详解】解：联立可得， ∵直线与反比例函数的图象有两个公共点， ∴，， 解得：且， ∴实数的取值范围是且． 7. 如图，点是对角线上一点，已知且，都经过点，连接，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先，根据已知条件证得四边形均是平行四边形， A选项：如图1，过B作于M，过D作于N， 先证得，得，再运用三角形同底等高证得， 可得， 进而得，A选项正确，不符合题意； B选项：根据已知条件可证得， 但不一定等于，即不一定等于，B选项错误，符合题意； C选项：根据已知条件可证得，同理可得，进而得，C选项正确，不符合题意； D选项：如图2，过H作于K，过G作于T，根据已知条件可证得，又， ，可得，D选项正确，不符合题意， 最后可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形均是平行四边形． ∵是的对角线， ∴． A选项：如图1，过B作于M，过D作于N， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∵四边形均是平行四边形， ∴， ∴，A选项正确，不符合题意； B选项：∵四边形均是平行四边形， ∴，， ∴， ∵P在上的位置不确定， ∴不一定等于，即不一定等于，B选项错误，符合题意； C选项：∵四边形均是平行四边形且与同底等高，与同底等高， ∴， 同理可得， ∴，C选项正确，不符合题意； D选项：如图2，过H作于K，过G作于T， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴，D选项正确，不符合题意； 综上，故选B． 8. 二次函数是常数且的图象如图所示，则直线与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据抛物线的对称轴为直线得到，求出，，然后判断一次函数图象；由二次函数当时，，得到，然后判断反比例函数图象． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ， ∴直线的图象经过第一、三、四象限； 由二次函数图象可知，当时，，即， ， ∴反比例函数的图象分别位于第一、三象限． 综上，只有C选项符合题意． 9. 已知有，，，四种气体各一瓶，可燃气体为，，能使石灰水变浑浊的是．先后不放回各抽一瓶，抽到第一种是可燃气体，第二种能使石灰水变浑浊的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：记，，，四种气体分别为A，B，C，D， 列表可得： A B C D A B C D 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中抽到第一种是可燃气体，第二种能使石灰水变浑浊的情况有，，共种， 抽到第一种是可燃气体，第二种能使石灰水变浑浊的概率为． 10. 如图，在中，，，，点是线段上一点，点是内一点且，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，由旋转的性质可得，，，进而证明，则，使用勾股定理可计算出，．由可得，的最小值为． 【详解】解：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、， 由旋转的性质可得，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当点在线段上时，取得最小值． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 使代数式有意义的的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数计算即可得出结果． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴． 12. 2026年安徽省新建高标准农田200.9万亩，同步实施高效节水灌溉，持续改善农业生产条件，提升耕地质量与粮食综合生产能力．其中数据200.9万用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：200.9万． 13. 如图，是的半径，是的弦，垂直平分，是的切线且与的延长线交于点，连接，，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用垂直平分线性质得为等边三角形，可知；接着由切线性质知，在中用三角函数求出；最后计算比值． 【详解】解：设 ， ∵垂直平分， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ∵是的切线， ∴，即 ， 在 中，， ∴，即 ， ∴， ∴． 14. 如图，已知矩形，将该矩形折叠使得点落在上，点的对应点分别为点，，折痕为． （1）若，则__________； （2）已知，当时，__________． 【答案】 ①. 115 ②. 2 【解析】 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余求出，根据折叠得，最后根据平行线的性质得出． （2）连接．根据证明可得结论． 【详解】（1）在中，， ∴结合折叠可知． 又， ． （2）如图，连接． 由折叠得． ， ． 在和中， ． ． ， ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 16. 近年来，安徽大力推进优质粮食与特色茶产业融合发展，某农业大县年优质水稻与黄山毛峰两大板块的总产值为亿元．年，优质水稻产值同比增长，黄山毛峰产值同比增长，全年总产值达到亿元．求该县年优质水稻、黄山毛峰的产值分别是多少亿元？ 【答案】该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元 【解析】 【分析】设该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元，根据题意列出方程组，并求解出、的值，再计算出年的产值即可． 【详解】解：设该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元， 根据题意，可列方程： ， 解得， ∴（亿元），（亿元）， 答：该县年优质水稻的产值为亿元，黄山毛峰的产值为亿元． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的坐标分别为点． （1）画出先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的； （2）画出将绕点逆时针旋转后得到的； （3）直接写出（2）中线段所扫过的面积． 【答案】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求； （3）线段所扫过的面积为 【解析】 【分析】（1）根据平移规则，画出即可； （2）根据旋转的性质，画出即可； （3）勾股定理求出，利用扇形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意，勾股定理，得， 由旋转的性质，得， ∴线段所扫过的面积为． 18. 如图，在中，，以为直径作交于点，延长交于点，连接． （1）求证：； （2）已知，，求的半径． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角结合等腰三角形的性质可得，，，由圆周角定理可得，则，因此； （2）结合（1）的结论可得，，，，使用勾股定理计算出，进而求出的半径． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， ∵， ∴， 在中，， ∴的半径为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 清代安徽籍数学家梅文鼎（宣城人）是我国古代三角测量的集大成者，他曾用方位角法测量城池间的距离．如图，为测量某烽火台到官道点的距离，工匠在官道上的点处测得烽火台位于点西偏北方向上；随后沿正西方向行进一段距离到达点，在点处测得烽火台位于点西偏北方向上，同时测得瞭望台位于点的西北方向．已知瞭望台正好在烽火台的正西方向处．求烽火台处到官道处之间的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】烽火台处到官道处之间的距离约为 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，四边形是矩形，，所以，，在中，根据，求出，，求出，即为所求． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∴四边形是矩形，则． 在中，， ． ． 在中，， ，即，解得． 在中，， ． 答：烽火台处到官道处之间的距离约为． 20. 安徽新能源汽车产业近年来发展迅猛，已成为全国重要的新能源汽车生产基地，整车制造、动力电池、智能网联等产业链不断完善．为提升一线技术工人的专业能力，某新能源汽车企业组织了“汽车零部件检测技能竞赛”，竞赛结束后从整车装配组、电池检测组各随机抽取相同人数的成绩，分A，B，C，D四个等级，对应分数依次为10分、9分、8分、7分．将整车装配组、电池检测组的成绩制成统计图如图所示． 根据以上信息，解答下列问题： （1）抽取的整车装配组竞赛成绩的中位数是__________分；电池检测组竞赛成绩的众数是__________； （2）求抽取的电池检测组竞赛成绩的平均数； （3）若整车装配组共有300名工人参加竞赛，电池检测组共有200名工人参加竞赛，请估计两个组别竞赛成绩为10分的工人总人数． 【答案】（1）9，10 （2）抽取的电池检测组竞赛成绩的平均数是8.7分 （3）估计两个组别竞赛成绩为10分的工人总人数是170名 【解析】 【分析】（1）先计算抽取的每组人数：因为整车装配组各等级人数已知，求和即可得到抽取的人数，电池检测组抽取人数与其相等，求整车装配组中位数：先将整车装配组成绩按分数从高到低排序，因为总抽取人数为偶数，所以取中间两个数的平均值作为中位数；求电池检测组众数：因为扇形图中占比最高的等级对应的分数就是众数，所以直接找占比最大的等级即可． （2）求电池检测组平均数：如果用加权平均数公式，那么用各等级分数乘以对应占比，求和即可得到平均数． （3）估计10分总人数：先算出抽取的整车装配组10分人数占抽取人数的比例，再分别乘以两组总人数得到各组10分估计值，相加即可． 【小问1详解】 ∵整车装配组抽取人数为 人，两组抽取人数相同， ∴电池检测组也抽取40人． ∵40个数据的中位数是排序后第20、21个数据的平均数． ∴将成绩从小到大排列： D级（7分，共9人）→ C级（8分，共5人）→ B级（9分，共14人）→ A级（10分，共12人）， ∵前14个数据不超过8分，第15~28个数据都是9分， ∴第20、21个数据都是9分， ∴中位数为 分． ∵电池检测组中，A级（10分）占比最高（40%），人数最多， ∴众数是10分． 【小问2详解】 利用加权平均数计算： （分）． 答：抽取的电池检测组竞赛成绩的平均数是8.7分． 【小问3详解】 ∵整车装配组：样本中10分（A级）占比为 ​，电池检测组：10分（A级）占比， ∴总人数为 （名）． 答：估计两个组别竞赛成绩为10分的工人总人数是170名． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践 【项目主题】探究正多边形单位点数的个数． 【项目探究】将正边形（）不断向外扩展，每扩展一个正边形每条边上的单位点数的个数就增加一个，那么个正边形的单位点数总共有多少个？接下来从最简单的正多边形入手，根据特殊到一般思想，归纳单位点数规律，再由规律解决特殊问题． 【探究一】 （1）个正三角形的单位点数总共有多少个？ 如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（ ）个； …… 个正三角形的单位点数总共有：（ ）个． 【探究二】 个正方形的单位点数总共有多少个？ 如图2-1，1个正方形的单位点数总共有个； 如图2-2，2个正方形的单位点数总共有个； 如图2-3，3个正方形的单位点数总共有个； 如图2-4，4个正方形的单位点数总共有个； …… 个正方形的单位点数总共有：个． 【探究三】 （2）个正五边形的单位点数总共有多少个？ 如图3-1，1个正五边形的单位点数总共有5个，即； 如图3-2，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-3，连接，，得到三个三角形．每个三角形都有10个点，就是（个）点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的单位点数总共有：（个），即； 如图3-4，连接，，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是（个）点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的单位点数总共有：（个），即…… 个正五边形的单位点数总共有：（ ）个； 【探究四】 （3）个正六边形的点数总共有（ ）个．（用含的代数式表示） 【项目归纳】 （4）个正边形的单位点数总共有： ]个； 【项目实施】 （5）若19个正边形的单位点数总共有3820个，则的值为 ． 【答案】（1）5， （2） （3） （4） （5）22 【解析】 【分析】（1）n个正三角形的点数总个数是前个数的和； （2）规律得：n个正五边形的点数总共有：个； （3）分别连接，，，仿照探究三得出规律，即可得出结论； （4）根据以上规律可得结论； （5）将代入（4）中的结论，可得关于m的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：如图1-1，1个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-2，2个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-3，3个正三角形的单位点数总共有个； 如图1-4，4个正三角形的单位点数总共有（）个； …… 个正三角形的单位点数总共有：个； 【小问2详解】 解：由题意可得：个正五边形的单位点数总共有：个； 【小问3详解】 解：如图4-1，连接，，， 得到四个三角形，每个三角形都有3个点，就是（个）点， 因为每两个三角形有2个点重合， 所以，1个正六边形的单位点数总共有：（个）； 如图4-2，连接，，， 得到四个三角形，每个三角形都有6个点，就是（个）点， 因为每两个三角形有3个点重合， 所以，2个正六边形的单位点数总共有：（个）； 如图4-3，连接，，， 得到四个三角形，每个三角形都有10个点，就是（个）点， 因为每两个三角形有4个点重合， 所以，3个正六边形的单位点数总共有：（个）； …… 个正六边形的点数总共有： 个； 【小问4详解】 解：个正三角形的单位点数总共有：个； 个正方形的单位点数总共有：个； 个正五边形的单位点数总共有：个； 个正六边形的点数总共有：个；…… 个正边形的单位点数总共有：个； 【小问5详解】 解：根据题意，知当时，得， 解得． 七、（本题满分12分） 22. 如图1，已知正方形，点是延长线上一点且，连接，，与交于点． （1）求证：； （2）如图2，过点作于点，连接． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质，结合，容易证明，则； （2）①由可得，、、、四点共圆，则，，结合可得，因此命题得证； ②容易判断是等腰直角三角形，则，，由、、、四点共圆可得，从而证明也是等腰直角三角形，则，．容易证明，则，因此． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在四边形中，， ∴四边形是以为直径的圆的内接四边形， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点作交于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由①可知，、、、四点共圆， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线：（是常数且）和直线． （1）若抛物线的对称轴为直线，求直线与轴、轴围成的三角形的面积； （2）已知抛物线：． 求抛物线与轴交点的纵坐标的最大值； 已知抛物线经过点，若点，点为抛物线上的不同的两点，且，求证：． 【答案】（1）直线与轴、轴围成的三角形的面积为； （2）该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为；见解析． 【解析】 【分析】（）根据题意得，解得，所以，当时，；当时，，解得，然后通过面积公式即可求解； （）先求得交点的纵坐标，再用顶点式确定二次函数的最值即可； 根据抛物线的对称性质，一元二次方程根与系数关系，方程根的定义，证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，解得， ∴， 当时，；当时，，解得， ∴直线与轴、轴围成的三角形的面积为； 【小问2详解】 解：， 当时，， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为； 证明：把（）代入抛物线，得， 整理得， 解得，， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为， 把点代入抛物线，得， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点，关于直线对称， ∴， ∴， 又∵， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $