精品解析：2024年安徽省安庆市石化第一中学中考三模数学试题

2024届初三毕业模拟考试（三模） 数学试题 温馨提示：本卷共八大题23小题，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 数学张老师采用一种新的计分方法如下：以全班同学的平均分70分为标准，李强考了75分记为分，赵刚考试成绩记为分，那么他这次测验的实际分数为（ ） A. 65分 B. 67分 C. 73分 D. 75分 2. 在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 5. 图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 21 C. 15 D. 12 6. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 7. 如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①②③⑤ D. ②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分） 11. 春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，这两周参观人数的平均增长率为______． 12. 如图，某链条每节长为3.6cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm．按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是______． 13. 点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为______. 14. 如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标，同时抛物线还经过点． （1）抛物线的解析式为_____________； （2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算． 16 先化简，再求值：，其中 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，、线段和线段的位置如图所示． （1）画出与关于原点对称的； （2）线段绕点旋转得到线段（点，对应点分别为点，），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 观察下列各式 …… 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得___________（其中n为正整数）； （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，） 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为点G，连接DE，交AB于点F，连接BE． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若AE＝4，，求BE的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校在课后延时服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法，且每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D对应扇形的圆心角为．请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人；若该校共有1500名学生加入了社团，则估计其中有______名学生参加了计算机社团． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四名同学平时的表现优秀，恰好其中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四名同学中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． 【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________． 【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024届初三毕业模拟考试（三模） 数学试题 温馨提示：本卷共八大题23小题，满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 数学张老师采用一种新的计分方法如下：以全班同学的平均分70分为标准，李强考了75分记为分，赵刚考试成绩记为分，那么他这次测验的实际分数为（ ） A. 65分 B. 67分 C. 73分 D. 75分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反意义的量，有理数减法的应用，根据题意列出算式，即可． 【详解】解：分， 即他这次测验的实际分数为67分． 故选：B 2. 在式子5，，a，，，中，属于代数式的有（ ）个 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或者一个字母也是代数式．依此对每个选项分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：5，a，，是代数式， x=2是等式，不是代数式， m+n＞0是不等式，不是代数式． 故选：B． 【点睛】此题考查了代数式，解题的关键是掌握代数式的定义，注意等式、不等式与代数式的区别． 3. 据中科院国家天文台，基于我国郭守敬望远镜和美国APOGEE巡天的观测数据，我国天文学家精确测量了距离银河系中心1.6万光年至8.1万光年范围内的恒星运动速度，并估算出银河系的“体重”约为8050亿个太阳质量，其中数据“8050亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：8050亿； 故选C． 4. 积木有助于开发智力，有利于数学概念的早期培养．某积木配件如图所示，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：观察图形，从左面看到的图形是， 故选：． 5. 图1是一张菱形纸片，点是边上的点．将该菱形纸片沿折叠得到图2，的对应边恰好落在直线上．已知，则四边形的周长为（ ） A. 24 B. 21 C. 15 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由的对应边恰好落在直线上可知，再证明是等边三角形即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，． ∵的对应边恰好落在直线上， ∴到、的距离相等， ∴，点是边的中点， ∴四边形、四边形是平行四边形，， ∴． 由折叠知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为∶． 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 6. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答． 【详解】解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响， 故选：B． 【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键． 7. 如图，小明想利用“，，”这些条件作．他先作出了和，在用圆规作时，发现点出现和两个位置，那么的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了度直角三角形的性质，勾股定理，及等腰三角形的性质，熟练掌握度直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．过点作于点，有度直角三角形的性质得，再勾股定理得，从而即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选∶． 8. 已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案 【详解】解：连接、、， 轴，， 四边形为平行四边形， ， 轴， ， 由反比例函数系数的几何意义得， ，，　 ， ， 故选：B． 9. 如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可． 【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心， ∴直线EO垂直BC， ∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t， ∴S=； 当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心， ∴直线OF∥BC， ∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t， ∴S=； 故选D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键． 10. 如图，在正方形中，点是对角线的中点，点在线段上，连接并延长交于点，过点作交于点，连接、，交于，现有以下结论：①；②；③；④为定值；⑤．以上结论正确的是（ ） A. ①③④ B. ①②③④ C. ①②③⑤ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题； 证明、、、四点共圆，推出，可得结论，故①正确；将绕点顺时针旋转得到 ，利用全等三角形的性质证明即可，②正确；连接，过点作于，过点作于，则四边形是矩形，证明，由， ，推出 ③正确；由，推出，因为的长度是变化的，所以的面积不是定值，④错误；利用相似三角形的性质证明即可，⑤正确． 【详解】解：如图，取的中点，则，连接，， ，四边形是正方形， ， ， ， 、、、四点共圆， ，， ， ， 故①正确； 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， 、、共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故②正确； 连接，过点作于，过点作 于，则四边形是矩形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故③正确； ， ， 的长度是变化的， 的面积不是定值， 故④错误， 、、、四点共圆， ， ， ， ， ， ， ， ， 故⑤正确． 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分） 11. 春节期间电影《满江红》的公映带火拍摄地太原古县城，太原古县城也因此迎来了旅游的高峰期．据了解，今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，这两周参观人数的平均增长率为______． 【答案】 【解析】 【分析】设这两周参观人数的平均增长率为x，根据今年1月份第一周该景点参观人数约10万人，第三周参观人数增加到约万人，列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两周参观人数的平均增长率为x，则由题意可得， ， 解得（不合题意，舍去）， ∴这两周参观人数的平均增长率为， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的相关知识是解题的关键． 12. 如图，某链条每节长为3.6cm，每两节链条相连部分重叠的圆的直径为1.2cm．按照这种连接方式，节链条总长度为，则与的关系式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的变化类规律，先求出1节链条的长度，2节链条的总长度，3节链条的总长度，然后从数字找规律，进行计算。 【详解】解：由题意得： 1节链条的长度, 2节链条的总长度, 3节链条的总长度, ∴节链条总长度, ∴与的关系式为：. 故答案为： 13. 点O是内一点，经过点A和直角顶点C，与直角边交于点E，与斜边交于点D，且，若的半径为5，，则斜边的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接、，根据是的直径，得出，，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：连接、，如图所示： ，，， ∴是的直径，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，勾股定理，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握直径所对的圆周角是直角． 14. 如图，抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点，其中点B坐标为，同时抛物线还经过点． （1）抛物线的解析式为_____________； （2）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接，将抛物线向下平移n个单位，当平分时，则n的值为_____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为，再证明，得到，则，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， ∴， ∴抛物线解析式为， 故答案为：； （2）∵原抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后点E的坐标为，平移后点C的坐标为， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了实数的加减运算，正确化简每一项是解题的关键． 分别计算零指数幂，去绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内，在进行乘法运算，最后再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 在平面直角坐标系中，、线段和线段的位置如图所示． （1）画出与关于原点对称的； （2）线段绕点旋转得到线段（点，的对应点分别为点，），作出旋转中心点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见详解； （2）见详解． 【解析】 【分析】本题考查的是确定旋转中心，画关于原点对称的图形，熟记旋转的性质是解本题的关键； （1）分别确定，，关于原点的对称点，，，再顺次连接即可； （2）利用网格的特点确定线段，的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心． 【小问1详解】 如图，即为所求作的三角形， 【小问2详解】 如图，点即为所求作的旋转中心； 18. 观察下列各式 …… 请根据你发现的规律完成下列各题： （1）根据规律可得___________（其中n为正整数）； （2）计算：； （3）①计算：； ②计算：． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）观察所给式子的特点，等号右边x的指数比等号左边x的最高指数大1，然后写出即可； （2）根据所给式子的规律，把x换为3即可， （3）配成上述结构式子，利用总结规律直接写出结果； 【小问1详解】 【小问2详解】 = 【小问3详解】 ① = =； ② = = = 【点睛】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在港口A处的正东方向有两个相距的观测点B、C，一艘轮船从A处出发， 北偏东方向航行至D处， 在B、C处分别测得，求轮船航行的距离AD (参考数据：，，，，，） 【答案】20km 【解析】 【分析】过点作，垂足为，通过解和得和，根据求得DH，再解求得AD即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为 在中， 在中， 在中， （km） 因此，轮船航行的距离约为 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DG⊥AC，垂足为点G，连接DE，交AB于点F，连接BE． （1）求证：DG是⊙O的切线； （2）若AE＝4，，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得∠ODB=∠OBD=∠ACB，从而得ODAC，进而得DG⊥OD，即可得到结论； （2）首先根据相似三角形的性质求出OD的长度，进而得出直径的长度，最后根据勾股定理即可求出BE的长度． 【详解】解：（1）连接OD， ∵OB=OD， ∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB， ∵在△ABC中， AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ODB=∠OBD=∠ACB， ∴ODAC， ∵DG⊥AC， ∴DG⊥OD， ∴DG是⊙O的切线； （2）由（1）可知：， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某校在课后延时服务中，成立了以下社团：A．计算机，B．围棋，C．篮球，D．书法，且每人只能加入一个社团．为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D对应扇形的圆心角为．请结合图中所给信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有______人；若该校共有1500名学生加入了社团，则估计其中有______名学生参加了计算机社团． （2）请将条形统计图补充完整． （3）在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四名同学平时的表现优秀，恰好其中有两名是男同学，两名是女同学．现决定从这四名同学中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图或列表的方法，求恰好选中一男一女的概率． 【答案】（1）360；500 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体： （1）由D的人数除以所占比例即可；由该校共有学生人数除以参加计算机社团的学生所占的比例即可； （2）求出C的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵D所占扇形的圆心角为， ∴这次被调查的学生共有：（人）； （人）， 故这1500名学生中有500人参加了计算机社团， 故答案为：360；500； 小问2详解】 解：C组人数为：（人）， 故补充条形统计图如图： 【小问3详解】 解：设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下： ∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种， ∴选择一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系． 请回答下列问题： （1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式； （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长； （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解； （3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点， 设抛物线的解析式为， ∵四边形为矩形，为的中垂线， ∴，， ∵， ∴点，代入，得： ， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵四边形，四边形均为正方形，， ∴， 延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形， ∴， ∴， ∵，当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴； 小问3详解】 ∵，垂直平分， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， ∵太阳光为平行光， 设过点平行于的光线的解析式为， 由题意，得：与抛物线相切， 联立，整理得：， 则：，解得：； ∴，当时，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． 【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________． 【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出面积． 【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，． （3）分两种情况求解：①如图3，作，垂足为，，垂足为，由题意知，，，，，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，由题意知，，，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可． 【详解】解：（1）∵点D是的中点 ∴， ∴等腰直角三角形 ∵是等腰直角三角形 ∴为中点 ∵点H是的中点 ∴是中位线 ∴ ∴ （2）结论仍然成立． 理由如下： 如图2，延长到，使，连接，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，． （3）分两种情况求解： ①如图3，作，垂足为，，垂足为 由题意知，，， ∴ ∴， ∴ ∴ 由（2）知 ∴ ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为， 由题意知 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， 由（2）知， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$