精品解析：河南信阳高级中学国际部高考班2025-2026学年高二下学期5月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的长半轴长等于其短轴长，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 7. 若是函数的极大值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 0 8. 将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. ，，成等比数列 C. D. 当且仅当时，取得最大值 10. 已知样本点的回归直线l的方程为，相关系数为r，样本均值分别为，．现令，．设新样本点的回归直线为，则（ ） 附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． A. 过点 B. 的斜率为 C. u与v的相关系数为 D. 的截距为 11. 已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的直线与交于，两点，且，延长，与分别交于点，，则（ ） A. B. C. 直线的斜率为 D. 四边形的面积为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______． 13. 已知奇函数满足：当时，，则________． 14. 在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 M类家庭 80 20 N类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关． （1）用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前项和，证明：. 18. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值． 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学国际部高考班 2025-2026学年高二下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由已知得，所以. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 3. 已知椭圆的长半轴长等于其短轴长，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，所以. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，即，所以， 则解得或， 所以不等式的解集为. 5. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得的值，再根据余弦二倍角公式即可求得的值. 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 6. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 【答案】C 【解析】 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以， 所以得分在区间内的人数约为. 7. 若是函数的极大值点，则的极小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知，， 由，解得. 当时，， 或时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 显然是的极小值点，不符合题意； 当时，，同理可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，符合题意， 故是的极小值点，则的极小值为. 8. 将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为（ ） A. 7 B. 10 C. 13 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】先找出中所有等差三元集合：，共组. 每组可排成递增、递减种有序等差排列，所以前三张共有种排法. 剩余个数全排列有种.总排法数为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A. B. ，，成等比数列 C. D. 当且仅当时，取得最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求出等差数列的首项和公差，即可判断A；求出通项公式，继而求出，，，即可判断B；根据数列的前n项和公式可判断C；求出前n项和的表达式，结合二次函数性质求其最大值，即可判断D. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得，，A项错误； 由上得，所以，，，则， 而，所以，，成等比数列，B项正确； ，C项正确； ，显然二次函数的图象开口向下， 且对称轴方程为，又，所以取得最大值时，或，D项错误. 10. 已知样本点的回归直线l的方程为，相关系数为r，样本均值分别为，．现令，．设新样本点的回归直线为，则（ ） 附：相关系数；回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． A. 过点 B. 的斜率为 C. u与v的相关系数为 D. 的截距为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由已知样本均值性质可得新样本均值分别为与， 因为回归直线必过样本中心点，所以新回归直线过点，故A正确； 对于B，因为且，代入公式可得新回归直线方程的斜率 ，故B错误； 对于C，代入公式可得新样本的相关系数 ，故C正确； 对于D，由截距公式可得新回归直线的截距 ，故D正确． 11. 已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的直线与交于，两点，且，延长，与分别交于点，，则（ ） A. B. C. 直线的斜率为 D. 四边形的面积为 【答案】ABD 【解析】 【详解】因为的准线与轴交于点，所以的准线的方程为，则， 所以，即抛物线：,此时焦点，即，故A项正确； 如图，过点，分别作，，垂足分别为点，， 根据抛物线的定义可知，，且，又， 所以，则为的中位线，所以，故B项正确； 不妨设，均在第一象限内，由， 可得，， 所以，，将其代入，可解得，， 所以直线的斜率为， 由图形的对称性可知，又可能均在第四象限内，所以直线的斜率为，故C项错误； 由点，，可求得直线的方程为， 整理得，与抛物线联立，消可得： ，整理得，解得， 再由点，，可求得直线的方程为， 整理得，与抛物线联立，消可得： ，整理得，解得， 由上可得，，可得四边形， 即四边形为梯形，因为，，所以， 即四边形的面积为，故D项正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得，因为，所以. 13. 已知奇函数满足：当时，，则________． 【答案】4052 【解析】 【分析】化简的表达式即可求得答案. 【详解】显然，注意到时， 于是． 14. 在中，，点D满足，，，则的内切圆半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】记，根据已知有，结合余弦定理、二倍角余弦公式得、，最后应用等面积法求内切圆半径即可. 【详解】显然，记，则， 所以，可知， 由等腰三角形性质得，即，且为锐角，得， 由余弦定理得， 则， 故的内切圆半径． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某兴趣小组对当地家庭的收入情况与消费情况量化并进行建模，最终得到收支情况良好与较差的两类情况，统计结果如下： 收支情况良好 收支情况较差 M类家庭 80 20 N类家庭 75 25 这里家庭种类与恩格尔系数相关． （1）用频率估计概率，从收支情况良好的家庭中任选一家，求其为M类家庭的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，分析收支情况是否与家庭种类相关． 附：，． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）收支情况与家庭种类无关 【解析】 【小问1详解】 记事件A：收支情况良好，事件B：家庭种类为M， ， 【小问2详解】 零假设为：收支情况与家庭种类无关， ， 所以根据小概率值的独立性检验， 没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即收支情况与家庭种类无关． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【小问1详解】 由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 17. 已知数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）设，记为数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义和通项公式进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列前项和公式，利用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，，作差得： ， 即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以. 【小问2详解】 ， ， 所以， 所以， 命题得证. 18. 已知椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可； （2）设点坐标及设直线方程，利用结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 又离心率为， 即椭圆方程为：； 【小问2详解】 设直线，， 则， 因为以线段为直径的圆恒过点，所以， 联立直线与椭圆， 所以，则， 由， ， 整理得或， 易知时不符题意，所以. 19. 已知函数，． （1）当时，求函数的极值； （2）若曲线在点处的切线与函数的图象相切，求切线的方程； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，确定单调性即可求解； （2）先求得曲线在点处的切线方程，在通过判别式即可求解； （3）通过和两段，结合参变分离求最值法即可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，解得， 易知当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故函数有极小值，无极大值； 【小问2详解】 ，则， 又，所以在点处的切线方程为：， 即， 由，消去得， 由题意，解得， 经验证符合题意， 故，切线方程为：； 【小问3详解】 当时，恒成立， 即在上恒成立， 当时，显然不等式成立，则， 当时，参变分离可得：恒成立， 设， 则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故， 所以，则， 综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $