精品解析：河南驻马店市新蔡县第一高级中学2025-2026学年下学期7月月考高二理科数学试题

新蔡一高2025-2026学年下学期7月月考 高二理科数学试题 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， ， ，解得． 2. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐项计算找到数列的周期即可. 【详解】由题意，，，，，… 故数列周期为4，则. 故选：B 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的片段和的性质即可求解． 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 4. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 【答案】C 【解析】 【详解】由正态分布的对称性可知，， 所以， 所以， 所以得分在区间内的人数约为. 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由全概率公式求出接收到的信号为0的概率，再利用条件概率公式计算即可求解. 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”， 由题意得，，，，， ， ． 6. 已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出圆关于轴的对称圆，结合图形分析即可得. 【详解】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为. 故选：B 7. 已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（ ） A. B. -1 C. -e D. 【答案】A 【解析】 【分析】转换，函数表达式，进而得到，之间的关系，即可求解. 【详解】因为，故设， 所以， 因此如果，则， 而对于，，因此在定义域上单调递增， 则应有，且，故， 设，所以， 因此当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以， 则的最大值为 8. 已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】设点在双曲线右支上，延长交的延长线于点，由 及得到平分且，从而，进而根据双曲线的定义结合中位线可求. 【详解】不妨设点在双曲线右支上， ，分别表示与同方向的 单位向量， 由 可知点在的平分线上， 又由，可知， 延长交的延长线于点，则， 根据双曲线的定义，得， 易得点O，M分别为，的中点， . 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正态分布、两点分布以及数学期望、概率的性质求解即可. 【详解】选项A：随机变量，根据正态分布性质，则，选项A正确； 选项B：随机变量服从两点分布，且，则，进而，选项B正确； 选项C：随机变量的分布列为，则，解得，选项C错误； 选项D：随机变量满足，且，则，进而，选项D正确. 10. 设数列的前n项和为且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 当时，取最大值 D. 设，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据得出数列是等差数列即可判断A；求出，依据等差数列的定义判断；C根据二次函数的最值判断；D计算，解不等式即可. 【详解】因为，所以， 则， 两式作差得， 即，则， 因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，故A正确； 因为， 所以，则， 所以数列为等差数列，故B正确； 因为，对称轴为，故当时，取最大值，故C错误； 得，则，故D正确. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】A利用导函数判断单调性；B根据函数对称中心的性质建立方程求解；C根据对称性和单调性以及基本不等式求解；D.根据对称性和单调性以及韦达定理求出. 【详解】选项A，由题意 的定义域为 ， 因为 恒成立，当且仅当时， 所以在定义域内单调递增，A正确； 选项B，设的对称中心为，由对称中心的定义可知 对恒成立，代入 整理得，令， 解得，所以的对称中心为 ，B正确； 选项C，因为， 所以， 则，即， 因为，所以， 等号成立时 ，C正确； 选项D，因为为方程的两个不同根， 所以， 因为，所以 ，则， 故 ，得，D错误. 三、填空题 12. 设，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】令，得，则． 13. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定摸一次中奖的概率，4个人摸奖，相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】从袋子中一次性摸出两个球，共有种情况， 其中两个号码的和为偶数的有共4种情况， 所以一个人摸球，能够获奖的概率为， 所以4人参与摸球，恰好2人获奖的概率. 故答案为：. 14. 已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得有两个不等实根，时，令，利用导数求得的单调性和极值；当，令，利用导数求得的单调性和极值，作出、与图象，则与和图象一共有两个交点，结合m的范围，分析即可得答案. 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知数列满足，，数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项的和. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【详解】试题分析： (1)题中所给的递推关系整理可得：，且，据此可得是首项为2，公比为2的等比数列， (2)由题意结合(1)的结论可得，裂项求和可得. 试题解析： （1） ，又因为， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， （2） 满足上式. 点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 16. 现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． （1）求送审的每幅作品被淘汰的概率． （2）每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列如下表． Y P 期望为20000【解析】 【分析】（1）先计算单次评审通过的概率，再用独立事件同时发生的概率公式计算获奖概率，最后用对立事件概率公式得到作品被淘汰的概率； （2）根据四幅作品中获奖作品数量服从二项分布，写出获奖奖金的分布列，再利用期望公式求解期望. 【小问1详解】 设事件分别为“一幅送审作品在第一、二、三次评审时通过”， 事件A为“一幅送审作品通过了三次评审”， 事件B为“一幅送审作品被淘汰”，则． 由题意，得． 因为， 所以， 所以送审的每幅作品被淘汰的概率为． 【小问2详解】 设四幅作品中，获奖的作品数为随机变量X． 由题意知，X的可能取值为0，1，2，3，4，且． 设这四幅作品所获奖金为随机变量Y（单位：元）， 则， Y的对应可能取值为． 因为， ， ， ， 所以Y的分布列如下表． Y P 所以期望为：. 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． （2）建立空间直角坐标系，根据两点距离公式列方程，可求解球心的坐标，即可求解， （3）根据面面垂直的性质，结合二面角的定义可得为所求的角，即可根据三角形的边角关系求解，或者求解平面法向量，根据法向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点中点，连接， 则， 因为平面，平面，所以，所以， 在中，为中点，所以. 以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系， 则． 设该球的球心坐标为，则 解得. 所以该球的半径为. 【小问3详解】 法一：取中点，在中，过作，垂足为，连接， 平面平面平面， 平面平面，所以平面． 而平面，故， 又因为，平面，故平面， 而平面，所以， 则为平面与平面的所成角. 直角三角形中，， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 法二：平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则即 取，得平面的一个法向量为. 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，再由点在上，代入求得，进而求得，结合椭圆离心率的公式，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的方程为，且为，设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为，联立方程组，利用，求得的值，得到两平行线间的最大距离为，进而求得的面积的最大值； （3）设，，分别求得直线和的方程，联立方程组，求得和，得到直线的得方程，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由椭圆的长轴长为，可得，解得， 又由点在上，可得，解得，即， 所以， 所以椭圆的离心率为. 【小问2详解】 解：由（1）知：且，所以椭圆的方程为， 又由，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 设与直线平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得， 可得，解得， 所以直线与直线之间的距离为： ， 直线与直线之间的距离为： ， 所以两平行线间的最大距离为， 又因为， 所以的面积的最大值为. 【小问3详解】 解：因为动点在直线上，可设，其中， 再设，且， 可得直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，可得， 所以，即， 同理可得：直线的方程为，且， 所以直线的斜率的倒数为， 所以直线的方程为，整理得， 设直线与轴的交点为， 令，可得，所以直线与轴的交点为. 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）化简，求导，并令，分离参数得到，令，利用导数分析函数的取值，求出m的取值范围； （ⅱ）利用极值点性质得到，，令，将待证式转化为，构造函数，利用导数分析单调性，进而证明. 【小问1详解】 当时, ，, 所以，所以函数在点处的切线方程为：， 即； 【小问2详解】 ， ，令，则， 令，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 当时，，当时， 因为函数有两个不同的极值点，所以有两个不同的根， 所以，故m的取值范围为； （ⅱ）因为， 所以， 所以， 令，则，代入上式得：， 因为，所以 ， 要证，只需证，即证， 令，则， 令，则， 所以即在上单调递减，， 所以在上单调递增，所以， 即成立，故得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2025-2026学年下学期7月月考 高二理科数学试题 一、单选题 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列满足．若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知某校4000名学生的体能测试得分（单位：分）服从正态分布，若，，则得分在区间内的人数约为（ ） A. 1500 B. 1800 C. 2000 D. 2600 5. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1，假设发送信号0和1是等可能的.已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数， ，若 ，使得，则的最大值为（ ） A. B. -1 C. -e D. 8. 已知点是双曲线上非顶点的动点， 为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点M满足 且，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 随机变量，则 B. 随机变量服从两点分布，且，则 C. 随机变量的分布列为，则 D. 随机变量满足，且，则 10. 设数列的前n项和为且，则下列选项正确的是（ ） A. B. 数列为等差数列 C. 当时，取最大值 D. 设，则 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 在定义域内单调递增 B. 的对称中心为 C. 若，则的最小值为 D. 已知，为方程的两个根，且，则的取值范围为 三、填空题 12. 设，则_____． 13. 袋中装有标号为1，2，3，4，5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码后将两球放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖. 若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是________． 14. 已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是________ 四、解答题 15. 已知数列满足，，数列满足，. （1）证明：是等比数列； （2）数列满足，求数列的前项的和. 16. 现有四人参加摄影作品有奖大赛，规定每人只能选取一幅作品参加比赛．每一幅作品都要通过三次评审，三次评审都通过才可获奖．每一幅作品第一次评审被淘汰的概率为，第二次评审被淘汰的概率为，第三次评审被淘汰的概率为，每次评审是否被淘汰相互独立． （1）求送审的每幅作品被淘汰的概率． （2）每幅送审作品，若能够通过三次评审，则该幅作品可获奖金9000元；若被淘汰，则该幅作品要亏损3000元的报名费．求这四幅作品所获奖金的分布列和数学期望． 17. 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． （1）证明：平面； （2）若在同一个球面上，求该球的半径； （3）求平面与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的长轴长为，点在上． （1）求的离心率； （2）若点在上，为坐标原点，求面积的最大值； （3）设分别为的左、右顶点，动点在直线上，直线与的另一个交点为（异于点），直线与的另一个交点为（异于点），求直线与轴的交点坐标． 19. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）函数有两个不同的极值点，，且， （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $