期末备考专项讲与练13——立体几何中的折叠问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 以教材例题为基础，系统提炼折叠问题中不变量与变量的分析方法，构建从平面到空间的转化逻辑，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|3道教材原题|对比折叠前后图形，明确变化量与不变量|从平面图形折叠到空间几何体，建立线面位置关系与数量关系的联系| |基础知识|1个方法总结|三步处理策略：确定关系→明确线面→定理证明|以不变量为核心，推导空间线面垂直、体积等性质| |跟踪训练|15题（7单2多2填4解）|结合判定定理分析线面垂直、外接球等问题|从基础折叠到复杂二面角、距离计算，实现方法迁移与能力提升|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练13 测试范围：立体几何中的折叠问题 回归教材： 【人教A版必修二习题8.6第15题】如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 【答案】平面GEF，平面GSE，平面GSF. 【分析】通过对折叠前后直线位置关系的辨析得折后，根据线面垂直的判定定理即可判定. 【详解】折前∴折后. 又SG，EG，FG交于一点G.根据EG，FG交于一点G，可得平面GEF，同理可证：平面GSE，平面GSF. 【点睛】此题考查折叠问题中的垂直关系，找准折叠前后的变化关系和不变关系，关键在于根据线线垂直证明线面垂直. 【人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题】如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 【分析】（1）由折叠可知三条直线两两垂直，利用线面垂直的判定定理，可先证明平面，再由线面垂直性质证求证； （2）由折叠可知三条直线两两垂直，，可求解. 【详解】（1）正方形中，，，折起后，有，， 平面，，∴平面，∵平面PEF，∴. （2）正方形中，，折叠后可知三条直线两两垂直，， ，. 【人教B版2020年数学必修四习题11-4C第2题】如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直,连接. （1）求与平面所成的角的余弦值；（2）求点到面的距离. 【详解】（1）取中点,连接,.面面, 面,即为与平面所成的角.为等腰直角三角形且, .. 与平面所成的角的余弦值为. （2）,面面,面,面,.面. 面,面面.过作,则面, 的长即为点到面的距离.在中,, ,在中,,. 点到面的距离为. 【基础知识】 折叠问题处理策略： 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 跟踪训练： 一、单选题 1．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，证明平面，再逐项分析判断即得. 【详解】依题意，平面，则平面， 而平面，因此，而不重合，C正确，A错误；显然，B错误； 若，而，平面，则平面，又平面， 于是，在中，为斜边的中点，，矛盾，D错误.故选：C 2．如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠前后的关系可得，，，从而可得，求出的值，再根据球的体积公式求解即可. 【详解】解：因为折前，，，所以折后，，， 如图所示： 则四面体的外接球半径，从而四面体的外接球体积.故选：D． 3．如图，在正方形中，分别是的中点，沿把正方形折成一个四面体， 使三点重合，重合后的点记为 点在△AEF 内的射影为，则下列说法正确的是(     ) A．是的垂心 B．是 的内心 C．是 的外心 D．是的重心 【答案】A 【详解】 由题意得，可知两两垂直，由平面，从而，而平面，从而， 所以平面，所以，同理可知，所以为的垂心，故选A. 点睛：本题考查了三角形垂心的性质，考查了直线和平面垂直的判定定理和性质定理，以及直线和直线垂直的判定，在证明线线垂直时，其常用的方法是利用证明线面垂直，在证明线线垂直，同时熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，试题属于中档试题. 4．如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥几何关系得出边长计算求解. 【详解】在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点， 将分别沿折起，使得三点重合记为，如图所示，因为，所以，因为，所以，所以是等腰三角形，因为是中点，所以，所以，所以.故选：B. 5．如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，过作，求证为二面角的平面角，最后在中求出余弦值即可. 【详解】过点作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因平面平面，平面平面，平面，则平面， 又平面，则，又，，平面，则平面， 又平面，则，则为二面角的平面角，因，，则为的中点，，，因，，则为等边三角形， 则为边上靠近点的四等分点，，则，则，则，故二面角的余弦值为.故选：B 6．如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明平面，利用二面角的定义可得，利用勾股定理可得的外接圆直径为，将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径，再利用球体表面积公式可得出答案. 【详解】如图所示， 折叠前，由于是边长为4的正三角形，是的中点，则，折叠后，则有，，因为，所以平面，因为二面角为直二面角，，则二面角的平面角为，且，， 可将三棱锥补形成长方体来求其外接球的半径，即，解得，从而三棱锥外接球的表面积为．故选：B 7．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确； 假设平面，推出，矛盾，B错误；由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误；由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误. 【详解】对于A，在正方形中，，，所以在四面体中，，，又平面，，所以平面，故选项A正确； 对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误； 对于C，因为面，面，所以，又，平面，，所以平面，假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误； 对于D，因为面，面，所以，若平面，平面，则， 平面，故，显然矛盾，故D错误. 二、多选题 8．如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．平面 B．四面体的体积为 C．点到面的距离为 D．四面体的外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】由已知结合线面垂直的判定定理判断A；计算棱锥的体积公式判断B；由等体积法求出G点到面SEF的距离判断C；根据SG，EG，FG两两垂直计算外接球的半径，进一步求出外接球的表面积判断D． 【详解】对于A，由已知可得SG⊥FG，SG⊥EG，EG∩FG＝G，平面EFG，则SG⊥平面EFG，故A正确； 对于B，由已知可得EG⊥FG，EG＝FG＝，则＝，又SG⊥平面GEF，SG＝1， ∴＝，故B错误；对于C，∵EF＝，SD＝，∴，设G到平面SEF的距离为d，则，可得d＝，即G点到面SEF的距离为，故C正确； 对于D，∵SG，EG，FG两两垂直，且EG＝FG＝，SG＝1，∴三棱锥的外接球可看作棱长分别为，，1的长方体的外接球，故外接球的直径，∴r＝，∴外接球的表面积为：＝，故D正确．故选：ACD． 9．在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（    ） A．异面直线AC，BD所成的角是 B．平面 C．平面平面AEC D． 【答案】BCD 【分析】取线段的中点，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面AEC，从而证出，平面平面AEC；再利用三棱锥等体积法结合求可判断D. 【详解】取线段的中点，连接.因为，，所以，. 因为平面，所以平面，故B正确；因为平面，所以，即异面直线,所成的角是，故A不正确；因为平面，所以平面平面.故C正确； 因为，且都垂直于平面，所以.故D正确. 三、填空题 10．如图，点E，H，G，F是矩形中，，，边的中点，依次沿，，，，折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【详解】如图： 设折叠后，矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，记为.则，，平面，且，所以平面.同理平面.所以三点共线.又，，所以.，，所以是等腰直角三角形，所以.所以. 11．如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 【答案】 1 【分析】根据面面垂直及二面角定义得到，在求解即可. 【详解】因为，所以，，所以是二面角的平面角． 因为平面平面，所以．在中，，， 所以．则为正三角形，所以． 四、解答题 12．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题改编）如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求点到平面的距离; (2)求三棱锥的外接球的体积. 【详解】（1）设点到平面的距离为，由， 得，解得，即点到平面的距离为； （2）因为，所以三棱锥的外接球即为以为同一顶点的长方体的外接球，所以，所以，所以三棱锥的外接球的体积为. 13．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面. (2)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）用勾股定理证明，再用等腰三角形中线得，进而再由折叠可得，再用线面垂直的判定定理可得； （2）先证平面，从而可得平面，进而可得与平面所成的角为，在直角三角形计算可得. 【详解】（1）因为，且，所以，. 又为的中线，所以.因为，所以，所以. 由题意知，为的中线，所以. 而是沿折叠到点的位置，所以 因为，，且，且平面，所以平面. （2）因为，，，所以平面.又，所以平面，所以与平面所成的角为.在中，，，所以. 所以直线与平面所成角的正切值. 14．已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证明，再利用线面垂直的判定性质推理即得. （2）证明平面，再利用等体积法求出点到平面的距离即可. 【详解】（1）连接，由，， 得， 在中，由余弦定理得，则， 于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. （2）在中，由，，得，而平面， 平面，则平面，于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 又，设点到平面的距离为，则，， 则，所以，， 由，得，即，解得， 所以点N到平面的距离. 15．如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）由题意可得，则由线面垂直的判定定理可得平面，则，再由正方形性质可得，则平面，从而可证得； （2）由（1）可得为直线MF与平面所成角，则，令，然后根据正方形的性质求出其它边长，最后在中利用余弦定理可求得结果. 【详解】（1）证明：在正方形中，连接，则， 因为点E、F分别是AB、BC的中点，所以∥，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以，因为，平面， 所以平面，因为平面，所以； （2）由（1）平面，所以为直线MF与平面所成角， 所以，令，则，所以， 设，连接，由（1）知平面，因为平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为为的中点，，所以为等腰三角形， 所以，因为，所以， 所以，，， 在中，由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为. 【点睛】此题考查由线面垂直证线线垂直，考查线面角和二面角，考查折叠问题，解题的关键是弄清折叠前后边角的关系，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题》 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练13 测试范围：立体几何中的折叠问题 回归教材： 【人教A版必修二习题8.6第15题】如图，在正方形中，E，F分别是的中点，D是EF的中点，若沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中，哪些棱与面互相垂直？ 【人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题】如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求证:; (2)求三棱锥的体积. 【人教B版2020年数学必修四习题11-4C第2题】如图（1）所示，和都是直角三角形，，如图（2）所示，把沿边折起，使所在平面与所在平面垂直,连接. （1）求与平面所成的角的余弦值；（2）求点到面的距离. 【基础知识】 折叠问题处理策略： 解决折叠问题最重要的就是对比折叠前后的图形，找到哪些线、面的位置关系和数学量没有发生变化，哪些发生了变化，在证明和求解的过程中恰当地加以利用。 一般步骤： ①确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量； ②在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面； ③利用判定定理或性质定理进行证明。 跟踪训练： 一、单选题 1．如图，在正方形中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G，且取EF中点为O，则在这个空间图形中必有（    ） A． B． C． D． 2．如图，在边长为2的正方形中，，分别是，的中点，若沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则四面体的外接球体积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，分别是的中点，沿把正方形折成一个四面体， 使三点重合，重合后的点记为 点在△AEF 内的射影为，则下列说法正确的是(     ) A．是的垂心 B．是 的内心 C．是 的外心 D．是的重心 4．如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 5．如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是边长为4的正三角形，是的中点，沿将折叠，形成三棱锥．当二面角为直二面角时，三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 二、多选题 8．如图，正方形的边长为1，分别是的中点，交于，现沿及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．平面 B．四面体的体积为 C．点到面的距离为 D．四面体的外接球的表面积为 9．在平面四边形ABCD中，，.将该四边形沿着对角线AC折叠，得到空间四边形ABCD，E为棱BD的中点，则（    ） A．异面直线AC，BD所成的角是 B．平面 C．平面平面AEC D． 三、填空题 10．如图，点E，H，G，F是矩形中，，，边的中点，依次沿，，，，折叠，使得矩形四个顶点D，C，B，A重合于一点，得到三棱锥．若，，则三棱锥的体积为______． 11．如图，是等腰直角三角形，，，将沿斜边上的高折叠，使平面平面，则折叠后______________，______________． 四、解答题 12．（人教A版必修二复习参考题8综合运用第10题改编）如图，在边长为2的正方形中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点 (1)求点到平面的距离; (2)求三棱锥的外接球的体积. 13．如图，在平行四边形中，，，为的中线，将沿折叠，使点到点的位置，连接，且. (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正切值. 14．已知如图，在矩形中，，，将沿折起，得到三棱锥，其中是折叠前的，过M作的垂线，垂足为H，. (1)求证：； (2)过H作的垂线，垂足为N，求点N到平面的距离. 15．如图，在正方形中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、分别沿DE、DF折起，使A，C两点重合于P，连接EF，PB. (1)求证：； (2)点M是PD上一点，若直线MF与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $