暑假作业11 复数（4种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 高中数学复数专项训练，以知识点为纲，构建“核心知识+解题思路”双维度体系，融合数学抽象、运算推理与几何直观，实现概念-运算-应用-拓展的逻辑闭环。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |复数的相关概念|4题（含纯虚数判断）|分离实虚部列方程组|从标准形式到分类、共轭、相等，构建概念基础| |复数的四则运算|4题（含高次幂）|除法必乘共轭，高次幂用周期性|基于代数形式展开加减乘除，突出运算技巧| |复数的几何意义|4题（含模的最值）|模公式与数形结合（圆方程）|连接复平面、向量与模，体现几何直观| |实数系一元二次方程|4题（含虚根应用）|先判判别式，虚根成对共轭|拓展实根到虚根，韦达定理延续| |复数的三角形式|4题（含乘除运算）|高次运算优先三角形式（模辐角法则）|从代数形式到三角形式，深化运算本质|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 复数 【知识点1 复数的相关概念】 一、核心知识 1. 标准形式：， 实部， 虚部，。 1. 分类 · ：，实数； · ：虚数；：纯虚数。 1. 共轭复数：； 1. 复数相等：。 二、解题思路 看到复数等式，分离实部、虚部，列方程组求参数。 【知识点2 复数的四则运算】 一、核心知识 设 1. 加减：实虚部分别合并 1. 乘法：多项式展开， 1. 除法：分母实数化（同乘分母共轭） 二、解题思路 除法必乘共轭；高次幂先找 周期性：，周期 。 【知识点3 复数的几何意义】 一、核心知识 1. 复平面点 向量 。 1. 模：，几何：原点到点 距离； ：两点间距离。 1. 几何运算：加减遵循向量平行四边形、三角形法则。 二、解题思路 求模→代模公式； 代表圆方程，数形结合。 【知识点4 实数系一元二次方程】 一、核心知识 1. ：两不等实根； 1. ：两相等实根； 1. ：一对共轭虚根：。 韦达定理依然成立：。 二、解题思路 先算判别式， 套用虚根公式，虚根成对共轭。 【知识点5 复数的三角形式】 一、核心知识 模， 辐角； 1. 乘法：模相乘，辐角相加 1. 除法：模相除，辐角相减 1. 棣莫弗： 二、解题思路 高次乘除优先三角形式，简化运算。 【题型1 复数的四则运算】 1．若，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 3．复数，则的虚部是_____． 4．已知是虚数单位，复数______． 【题型2 复数的几何意义】 1．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 3．设复数，满足，且，则____________． 4．已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【题型3 实数系一元二次方程】 1．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 2．已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 3．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 4．已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【题型4 复数的三角形式】 1．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 3．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 4．_________． 1．若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 2．设复数，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 3．若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 5．若复数，则实数的取值为__________. 6．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 7．已知的实系数一元二次方程. (1)若复数是该方程的一个虚根，且，求复数z： (2)记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： (3)在（2）的前提下，对任意，存在使得成立，求实数的取值范围. 8．已知复数. (1)若为纯虚数，求及的值； (2)若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 1．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 2．已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． (1)求的取值范围； (2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； (3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 3．已知是虚数，，，且. (1)求的值和的实部的取值范围； (2)求证：为纯虚数； (3)求的最小值. 4．已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. (1)写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； (2)设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； (3)设复数不全为实数，，证明：. 5．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 6．形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业11 复数 【知识点1 复数的相关概念】 一、核心知识 1. 标准形式：， 实部， 虚部，。 1. 分类 · ：，实数； · ：虚数；：纯虚数。 1. 共轭复数：； 1. 复数相等：。 二、解题思路 看到复数等式，分离实部、虚部，列方程组求参数。 【知识点2 复数的四则运算】 一、核心知识 设 1. 加减：实虚部分别合并 1. 乘法：多项式展开， 1. 除法：分母实数化（同乘分母共轭） 二、解题思路 除法必乘共轭；高次幂先找 周期性：，周期 。 【知识点3 复数的几何意义】 一、核心知识 1. 复平面点 向量 。 1. 模：，几何：原点到点 距离； ：两点间距离。 1. 几何运算：加减遵循向量平行四边形、三角形法则。 二、解题思路 求模→代模公式； 代表圆方程，数形结合。 【知识点4 实数系一元二次方程】 一、核心知识 1. ：两不等实根； 1. ：两相等实根； 1. ：一对共轭虚根：。 韦达定理依然成立：。 二、解题思路 先算判别式， 套用虚根公式，虚根成对共轭。 【知识点5 复数的三角形式】 一、核心知识 模， 辐角； 1. 乘法：模相乘，辐角相加 1. 除法：模相除，辐角相减 1. 棣莫弗： 二、解题思路 高次乘除优先三角形式，简化运算。 【题型1 复数的四则运算】 1．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用虚数单位的幂次周期性化简分子和分母，再通过分母实数化计算得到的代数形式 【详解】因为，， 所以. 2．已知复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则. 3．复数，则的虚部是_____． 【答案】 【详解】先化简：，. 所以，共轭复数. 的虚部为. 4．已知是虚数单位，复数______． 【答案】 【详解】 【题型2 复数的几何意义】 1．若复数满足，则的最大值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先利用复数模的几何意义，将复数转化为复平面上的点，根据圆上点到定点的最大距离为圆心到定点的距离加半径求解即可. 【详解】因为，所以复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与定点的距离， 而圆心到定点的距离为4， 则的最大值为． 2．已知复数z满足，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，先由得到，再由，结合复数的几何意义可得z在复平面内对应的点的运动轨迹，最后由表示点和之间的距离，数形结合可得结果. 【详解】设，， 由题意可知，则， 又，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点在半径为3的圆内部（含边界）的坐标轴上运动， 如图所示即在线段，上运动， 设，则，由图象可知， 所以. 3．设复数，满足，且，则____________． 【答案】 【分析】法一：设，，借助模长公式及复数加减运算法则计算即可得；法二：借助复数模长性质有，再利用模长公式计算即可得. 【详解】法一：设，，， 由，则， 则， 即，， 则，， 即， 故， 又， 则 . 法二：由复数模长性质可得， 则， 故. 4．已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 【题型3 实数系一元二次方程】 1．设实数，复数 ． (1)若复数是纯虚数，求实数的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用纯虚数实部为0且虚部不为0的限制求解即可, （2）利用实系数一元二次方程“复数根成对共轭出现”的性质找出另一根，随后通过韦达定理即可求解. 【详解】（1） 因为复数是纯虚数，所以,解得, 综上所述. （2）当时，， 因为方程为实系数一元二次方程，所以复数根成对共轭出现，另一根为 ． 由韦达定理得 综上所述，． 2．已知复数，． (1)当z为纯虚数时，求m的值； (2)当时，z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数实部为0、虚部不为0的定义列不等式组求解； （2）先计算时的值，代入实系数方程后利用复数相等的充要条件列方程组求解. 【详解】（1）复数，其中实部为，虚部为， 由纯虚数的定义得： ，解得. （2）当时， ， z是关于x的方程的一个根，得： ， 由复数相等的充要条件得： ， 解得， 代入方程得. 3．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由于为纯虚数，故 且，解得， （2）,则， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故，即， 则， 因此且，解得， 4．已知复数. (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）当时，，代入方程求解即可. 【详解】（1）由， 因为为纯虚数，所以，解得. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根， 将代入方程，得， 则， 所以，解得. 【题型4 复数的三角形式】 1．已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 2．已知复数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】， 则. 3．已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】， ， ，设， 则， 当，，即，时，， 此时取最大值， 当，，即，时，， 此时取最小值， ． 4．_________． 【答案】 【详解】 ． 1．若，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】两个复数一般不能比较大小，只有两个数都是实数时才能比较大小，由此规律对“”与“”的关系进行研究即可得解. 【详解】因为、是两个复数，若“”成立，则是正实数， 此时两复数可能是实数也可能是虚部相等的虚数，故不能得出“”， 若“”成立，则都是实数，故可得出“”， 即“”是“”的必要非充分条件， 2．设复数，，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】使用复数的乘法运算表示，，作差比较，的大小. 【详解】设，则， 设，则， ， ， 因为， 所以. 3．若复数z满足（为虚数单位），则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则， 所以，解得， 所以． 4．已知，方程的一个根为（为虚数单位），则________． 【答案】 【详解】由方程的一个根为，可得方程的另一个根为， 根据根与系数的关系，可得. 5．若复数，则实数的取值为__________. 【答案】 【分析】根据复数可比较大小的充要条件为该复数是正实数，则条件转化为实部大于0，且虚部等于0，化简求解即可. 【详解】， ，解得， 故实数的取值为. 6．已知关于x的方程的两个根分别为，，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据一元二次方程是否有根，结合一元二次方程的判别式、根与系数的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】关于x的方程的两个根分别为，， 当时，即当时，方程有两个实数根分别为，， 有， 由 ，显然满足，因此. 当时，即当时，方程有两个虚数根分别为，， 根据一元二次方程虚数根的特点，设，则， 由， 由， 由，显然满足， 综上所述：实数，或. 7．已知的实系数一元二次方程. (1)若复数是该方程的一个虚根，且，求复数z： (2)记方程的两虚根为和，若，且，求实数的值： (3)在（2）的前提下，对任意，存在使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）根据共轭复数的模的性质及复数相等求解即可； （2）根据复数的加减乘法运算及实系数一元二次方程的韦达定理得解； （3）分离参数，转化为存在，使成立，再由函数求最大值即可. 【详解】（1）设，由题意知也是方程的一个虚根， 由得. 因为，所以 ，解得， 故. （2）设，则，得. 由 得. 因为，所以， 所以. （3）当时， ，存在使 ， 即存在，使成立 . 因为在上单调递增，所以当时，， 所以，即，故的取值范围是. 8．已知复数. (1)若为纯虚数，求及的值； (2)若为虚数，且其在复平面内对应的点在直线上，复数满足，求的大小． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，可得m的值，即可得，根据复数的运算性质，整理计算，即可得答案. （2）根据为虚数，可得m的范围，根据复数的几何意义，可得其坐标，根据条件，可得m的值，即可得复数，根据复数的除法法则，可得，结合求模公式，即可得答案. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得，即， 所以， ， 则. （2）由为虚数，得，则， 在复平面内对应的点坐标为， 因为在复平面内对应的点在直线上， 所以，即， 解得，则， 又，则， 所以， 则. 1．我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用复数的三角形式乘法，将已知复数与表示和旋转的复数相乘，可直接得出结果； （2）（ⅰ）设，利用复数乘法表示出，再由列方程，通过辅助角公式即可求得，进而得到；（ⅱ）利用复数乘法表示，结合向量等式，通过模长平方和向量数量积运算化简，可得到，最后结合的范围即可证明. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为，    所以，   ， 所以，. （2）设，， 则， 设对应的复数为，则. （ⅰ）设对应的复数为， 则， 设对应的复数为，所以，    所以， 由已知可得， 所以， 又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以， 又，，， 所以， 整理得：， 即， 所以， 又，所以， 所以的范围为. 2．已知复数（、）满足，且的取值范围为；复数满足． (1)求的取值范围； (2)若、恰为实系数一元二次方程的两个根，求的值； (3)在复平面上，复数对应点，复数对应点，求在方向上的数量投影的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据题意，得到，结合一次函数的单调性，即可求解； （2）根据实系数的一元二次方程的虚根化为共轭复数对，得到，将其代入，结合，求得或，利用韦达定理，即可求解； （3）由向量在方向上的投影数量的公式，根据题意，得到的轨迹，得到投影取值范围为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：由的取值范围为，， 因为，可得该函数为单调递增的一次函数， 当时，可得；当时，可得； 所以的取值范围为. （2）解：由实系数的一元二次方程的虚根成共轭复数对， 可得，将其代入，可得， 因为，可得， 整理得，解得或， 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以； 当时，，此时，可得， 由韦达定理得，所以， 综上可得，的值为或. （3）解：因为向量在方向上的数量投影的公式为：投影， 由，可得的轨迹是以点为圆心，半径为的圆， 所以对于固定的，向量在向量方向上的投影取值范围为， 将代入，可得 令，可得， 则， 所以在上单调递增，且，即， 所以向量在方向上的数量投影的取值范围为. 3．已知是虚数，，，且. (1)求的值和的实部的取值范围； (2)求证：为纯虚数； (3)求的最小值. 【答案】(1)，的实部. (2)证明见详解. (3)最小值为1. 【分析】(1)设出虚数的一般形式表示出，通过的范围推出属于实数，从而求出以及实部范围. (2)代入一般形式到中并利用第一小问的内容化简求证. (3)代入和后化简换元，并利用均值不等式求出其最小值. 【详解】（1）设，且，则 . 因，得出为实数，那么，. . ，因为，所以，. （2）证:，且(1)得. 因此为纯虚数. （3）由上题得，，，那么. 设，那么 . 其最小值在时取得，即，因为，所以， 因此时取得最小值且最小值为. 4．已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. (1)写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； (2)设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； (3)设复数不全为实数，，证明：. 【答案】(1) (2)8个 (3)证明见解析 【分析】(1)写出的三角形式，再观察规律； (2) 根据三角函数的周期性求解； (3) 根据导出三角关系再求解. 【详解】（1），故.故. （2）正十六边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即. 故， 由三角函数的周期性知，，即以8为周期，所以一共对应8个不同的点. （3）设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值， ，则. ，即， 即. 又因为，所以. 采用反证法：假设，因为不全为实数，则，所以. 即，进一步得到， 又，所以，所以， 故，这与矛盾，故假设不成立， 从而. 5．定义“变换”如下：设是一个关于复数z的表达式，若，则称复平面内点经过“变换”得到点.例如当时，点经过“变换”得到. (1)已知复数可以写成()，若()，求点经过“变换”得到的点的坐标； (2)若()，设直线，是否存在，使得直线上的任意一点“变换”到点后，点都在函数（其中为的反函数）的图象上？若存在，试求出有序实数对及此时的值；若不存在，请说明理由； (3)设()，其中.集合，，若对于集合中任意的复数在复平面内所对应的点经过“变换”后得到的点都是集合内的元素，求的取值范围.（分别为复数的实部与虚部） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)或. 【分析】（1）根据给定定义及函数关系求解. （2）根据变换的定义及点与直线关系，建立恒成立的方程，进而求得方程组的解. （3）根据给定变换求出，再利用的几何意义建立不等式组，进而求出范围. 【详解】（1）依题意，点P对应的复数为， ，则点Q对应的复数为，所以. （2）设点P对应的复数为， 则点Q对应的复数， 点Q坐标为， 由点P在直线上，得， 的反函数为， 将点Q的坐标带入中得， 代入并整理得到， 由对于任意的该方程都成立，得， 解得或， 所以有序实数对为，或，. （3）设，则， ， 因此复数z经过“变换”后在复平面内得到的点的集合是一个圆心为、 内半径为、外半径为的一个圆环中辐角在内的部分， 又该部分点集是集合的子集，且， 则或， 解得或， 所以的取值范围是或. 6．形如z=a+bi（a，b∈R）的数称为复数的代数形式.任何一个复数z=a+bi都可以表示成r（cosθ+isinθ）的形式， 即 其中r为复数z的模，θ是以x轴非负半轴为始边，向量 所在射线（射线OZ）为终边的角，称为复数. 的辐角，规定范围内的辐角θ的值为辐角的主值，记为 argz. 叫做复数的三角形式.根据复数乘法运算的三角表示知： .推广，到n次幂有： 此结论称为棣莫弗定理.下面我们利用棣莫弗定理探究1的3次方根：设z=r（cosθ+isinθ）（）是1的3次方根，则 所以 因为相等的复数的模相等，辐角可以相差的整数倍.所以,所以1的3次方根是 .由三角函数周期性可得，1的3次方根为： 请结合材料回答以下问题： (1)将 表示成三角形式 （辐角取主值）； (2)在复数范围内，求出1的8次方根； (3)在复数范围内是否存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 若存请确定集合S；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)以 (2) (3)存在这样的集合， 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义计算可求解； （2）设是 1 的 8 次方根，有，求解即可； （3）取，验证可得结论. 【详解】（1）由，, 则，, 由，则， 所以； （2）1 的三角形式： 设是 1 的 8 次方根，则：， 解得：，， 取，得到 8 个不同的根： 所以， 即1 的 8 次方根为：，， ，， ，， ，； （3）取， ， ， 则 ， 因为，，所以， 所以是的整数倍，故. 所以在复数范围内存在满足以下条件的集合 （i） ; （ii） 任意m 都有 . 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $