暑假作业10 向量的应用（6种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 以转化思想为核心，构建“几何-向量-物理”三维应用体系，通过建系法、基底法等方法提炼，系统整合平面几何、物理场景及三角形心的向量表示，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面几何向量方法|核心知识点+解题思路|建系法（坐标运算）、基底法（统一表示）|几何条件与向量关系转化（平行/垂直/长度/夹角）| |物理向量应用|核心知识点+解题思路|建模（抽象向量）、作图（合成图）、计算（向量运算）|物理量（力/位移）与向量的对应及数量积应用| |三角形心向量表示|核心结论+解题思路|判心（匹配向量等式）、化式（统一起点）、运算（数量积/模长）|三角形心的向量特征及与解三角形的结合| |夹角/长度/最值等题型|多题型多例题|坐标法求夹角、模长公式求长度、函数思想求最值|方法与题型对应，从基础应用到综合拓展|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 向量的应用 【知识点1 平面几何中的向量方法】 一、核心知识点 1. 转化思想：几何条件⇔向量关系式 · 平行：；坐标： · 垂直：；坐标： · 长度：，求边长、距离 · 夹角：，求角度 1. 常用基底：选一组不共线向量作基底，把全部几何向量用基底表示。 二、解题思路 1. 建系法（坐标法）：建立平面直角坐标系→标出各点坐标→写出相关向量坐标→用坐标运算证平行、垂直、求边长； 1. 基底法：选定一组基底→将题目所有向量统一用基底表示→借助线性运算、数量积推导结论。 【知识点2 向量在物理中的应用】 一、核心知识点 1. 物理量对应向量 · 力、位移、速度：矢量（向量），满足向量加减法则； · 功：标量，（数量积）。 1. 力的合成/分解遵循：平行四边形法则、三角形法则。 二、解题思路 1. 建模：把力、位移抽象为有向线段（向量）； 1. 作图：根据题意画矢量合成图； 1. 计算：用向量加减法、数量积、解三角形（正余弦定理）求合力大小、夹角、做功。 【知识点3 三角形的心的向量表示】 一、核心结论（为内一点） 设对应向量 1. 重心（三条中线交点） 2. 垂心（三条高线交点） 3. 外心（三边中垂线交点、外接圆圆心） 4. 内心（三条角平分线交点） 边长： 2、 解题思路 1.判心：对照上面向量等式，匹配条件确定是重心/垂心/外心/内心； 2.化式：统一起点（常换成以为起点），拆向量、线性变形； 3.运算： · 出现模相等→外心； · 向量和为零→重心； · 数量积为→垂心； · 边长加权和为零→内心； 4.求值：结合数量积、模长公式、解三角形求边长、角度。 【题型1 用向量解决夹角问题】 1．已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，进而由求出与的夹角. 【详解】，两边平方得 ， 又， ，， 所以，故， ，即， 设与的夹角为，所以， 所以，解得， 又，所以， 故与的夹角为. 2．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据三角函数的定义求出和的长度，再利用向量的加法的长度，再利用向量的乘法求出，进而利用向量夹角的余弦公式即可求得的值． 【详解】由，则， 且，得， 又是的中点，即是中线，则， 则，得， 所以 故选：D． 3．已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设点的坐标，进一步表示出点、的坐标，计算和，利用数量积公式，将问题转化为求三角函数在给定区间上的值域. 【详解】如图所示，    以直角三角形的边所在直线为轴，中点为坐标原点， 建立平面直角坐标系，得、、、， 则动点是在以原点为圆心，半径为的圆上（不含点、）. 设. ，. ， ， ， . . 因为，所以， 得，， 所以，的取值范围为. 4．在中，为的中点，，与相交于点F，则________． 【答案】 【分析】先由余弦定理确定形状，建立平面直角坐标系，计算向量的夹角，弦化切计算即可. 【详解】由余弦定理可知, 所以为直角三角形， 不妨以C为中心分别为轴，建立平面直角坐标系，    则由题意可知：， 即，且， 易知， 即是钝角， 所以. 故答案为： 【题型2 用向量解决线段的长度问题】 1．三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】先求出三边边长，再根据中线向量可求中线的长度. 【详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 2．记锐角的内角的对边分别为，已知，且，若点是线段的中点，则的长度可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用正弦定理结合两角和正弦公式计算得出，再应用向量的数量关系得出，最后应用正弦定理结合两角和正弦公式化简得出边长范围. 【详解】因为， 由正弦定理可得：，即得， 化简得出 因为在，，， 所以，因为在，，所以， 因为为的中点， 所以， 即， 设， 因为且由正弦定理可知：， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 又因为， 又因为，单调递增，所以，所以， 所以长度的取值范围是，所以的长度可以为. 3．平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则__________. 【答案】 【分析】设，，，作关于的对称点，如图根据向量的线性运算化简题中的等式，利用点关于直线的对称性可得，结合余弦定理可得出，利用二倍角的余弦公式求出，最后根据即可求解. 【详解】如图所示，设，则点在线段OB上运动， 故，设， 则 ， ，即 作关于的对称点，设， ，当且仅当三点共线时等号成立， 即， 在中，，，， 由余弦定理结合二倍角公式可得，解得：， 则. 故答案为：. 4．在中，是的中点，.则的大小为__________；为的角平分线，在线段上，则的长度为__________. 【答案】 【分析】以为基底表示出向量，再由以及向量数量积的运算律计算可得，由角平分线利用等面积法列方程即可解得. 【详解】如下图： 由是的中点可得， 又， 所以 ， 解得，又， 所以； 因此可得， 由可得； 即，解得. 故答案为：； 【题型3 向量与几何最值】 1．如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用表示，再根据向量数量积求解即可. （2）用表示，再根据向量数量积以及二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）由题意可知：，， 则， ， 所以， 所以. （2）因为点M为线段（含端点）上的动点，设，， 则， ， 其中， 可得 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 2．如图，在四边形中，，，点是的中点，点满足，且与交于点.    (1)求的值； (2)已知，点在以为圆心，1为半径的圆上运动. （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)①6  ② 【分析】（1）通过平面向量基本定理以及向量共线求解即可； （2）①由（1）设出的基底，由已知条件，再由向量积以及向量的模长求解即可； ②由（1）可得为线段的中点，再由向量的减法运算，通过向量的数量积转化为关于两向量夹角的函数即可求解. 【详解】（1）设，，因为，所以， 因为在四边形中，，所以， 因为， 已知，所以，所以，， 因为，，共线，设，因为点是的中点， 所以，， 因为，，三点共线，设， ， 由平面向量基本定理可得，，解得， 因为，所以向量与方向相同，故. （2）①，因为， 所以， 所以，所以， 所以，所以. ②因为，所以为线段的中点，即有， 所以， 所以，进而得到， 因为点在以为圆心，1为半径的圆上运动，所以，设， 因为，， 所以，， 设与的夹角为，则，所以， 所以， 令，所以， 因为，所以，所以当时，取得最小值，所以最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 所以，所以，所以的取值范围为. 3．如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）梯形中线段和的位置关系和长度关系得到，再利用向量的线性运算； （2）因为，，三点共线，所以，且； （3）设，用，和表示和，所以可转化成关于的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】（1）因为，且，所以， 则. （2）因为，所以， 又因为，，三点共线，所以，解得. （3）因为，，，所以，，， 设， 则， ， 所以 ， 因为，所以当时，的最小值为. 4．如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积公式，可得，则为等边三角形，取BC中点O，连接AO，求出AO的长，根据向量线性运算法则，即可求得答案. （2）设，根据线性运算法则，可得，的表达式，根据数量积公式及运算律，整理化简，结合二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为，所以， 解得，因为，所以，则为等边三角形， 取BC中点O，连接AO，则， 所以. （2）当时， ， 设，则， 又， 所以 ， 所以当时，有最小值. 【题型4 向量在几何中的其他应用】 1．（1）叙述正弦定理； （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； （3）类比上述方法，解决以下问题：如图，直线与的边分别相交于点，设，试用向量方法证明：. 【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析 【详解】（1）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， 即. （2）如图，在锐角中，过点A作与垂直的单位向量， 则与的夹角为，与的夹角为， 因为，所以， 由分配律得， 即， 也即， 所以. 同理，过点C作与垂直的单位向量，可得， 因此. （3）如图，在中，. 设单位向量， 则，即. 过点D作BC的平行线， 则， ， ， 所以， 则， 当为零角､直角､钝角时，仍然成立. 2．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】(1)根据题意得三个等式，再代入原等式结合角度化简即可证明结论. (2)延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. (3)由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； 【详解】（1）因为O为的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以： ， 由于 所以， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，则 所以， ， 所以由化简得： 所以. （2）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图： 所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. （3）因为， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. 3．已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： (1)设点，，，求． (2)在（1）的条件下，求证． (3)其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）直接按定义计算即可； （2）把与三角形面积公式联系起来求解； （3）先利用第 2 问得到，再借助圆中“垂径定理”和对角线互相垂直，将四边形面积转化为关于的式子，最后求最值. 【详解】（1）因为，所以 可得. （2），，， ， ， ，. （3）由结论， 可得 ． 由垂径定理知， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为． 4．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可； （2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参； （3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可． 【详解】（1）， ， ． （2）设， ， ， ，， ，解得， ∴存在一点，使得，． （3）， ∴， ， ， ， ， ，，三点共线， ， 当且仅当时，即为中点时等号成立， 而， 所以的最小值为． 【题型5 向量在物理中的应用】 1．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量的概念、加法运算及平面向量的模求解即可. 【详解】设飞行器在该时刻的地速对应的向量为，相对于周围空气的空速和风速对应的向量分别为，， 由题意可得，且，，所以， 故，即飞行器在该时刻的地速大小为． 2．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则、数量积公式，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】如图，对于A，当、方向同向时，有，此时取得最小值，且最小值为，故A正确； 对于B，当时，有，行李包不会处于平衡状态，即，故B错误； 对于C，当行李包处于平衡时，，若，则有，变形得，，即，故C正确； 对于D，若，则有，变形可得，故D正确. 3．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______ 【答案】17 【分析】借助功的定义计算即可得. 【详解】因为，，则，且， 所以， 故力对冰球所做的功为. 4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为________． 【答案】 【分析】计算出游船垂直河岸方向（正北方向）的分速度后，结合河宽即可得所需时间. 【详解】游船垂直河岸方向（正北方向）的分速度为， 则游船到达对岸的时间为. 【题型6 三角形的心的向量表示】 1．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算，结合向量加法的几何意义判断即可. 【详解】依题意，， ，由，得， 即， 记，其中分别表示方向上的单位向量，因此， 可视为以点为起点的某个菱形的对角线向量，与共线，该对角线平分， 因此平分，所以为内心. 2．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 3．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的________.（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【分析】为的中点，由，得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 4．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点. （1）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______； （2）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______. 【答案】 重心 内心 【分析】先化简目标式，结合平面向量的运算规则及三角形重心，内心的特点可得答案. 【详解】（1）设的中点为，则； 因为，所以； 因为的重心一定在直线上，所以点的轨迹一定通过的重心. （2）因为， 所以； 又分别表示平行于的单位向量， 故平分∠BAC，即平分∠BAC， 所以点的轨迹一定通过的内心. 故答案为：重心   内心. 1．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 2．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标法以及二次函数性质分析求解即可. 【详解】取的中点，连接，由题意为等边三角形，故以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，            因为等边的边长为，所以， 又点为边的中点，所以， 设，则， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 3．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法的几何意义得，从而化为求的范围，根据已知及向量数量积的运算律、二次函数的性质求范围. 【详解】因为点是线段的中点，所以向量， 所以，又向量方向相反，且， 所以． 4．在中，，作交于，若，则为_________． 【答案】 【分析】设基底 ，由垂直得 ，结合在上设参数，利用 列方程解出 ，最后化得代入即得. 【详解】   设，，则，记. 由得. 因为，所以. 点在上，可设. 则，解得. 又 ，故. 计算得，所以. 而，代入得. 两边平方得， 即 ，故 ，. 由于. 由得 ，代入得. 因为，所以. 综上，. 5．如图，在中，，，D、E为为BC上的点．若，则______． 【答案】 【详解】因为，所以为等腰三角形，故， 而又有 ,则， 故，则， 而，，则， 而由等腰三角形性质可知，，则， 由锐角三角函数可知，在中，， 因为，所以， 则， 因为为锐角，所以，因此， 所以，故. 6．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 【答案】 3 【分析】取中点，连接，由条件得到是等边三角形，进而求出，在中，由余弦定理求出，即可求出；取中点，连接，交半圆于点，将转化为，分析出即点与点重合时，取到最大值1，即可求出的最大值. 【详解】 如图所示，取中点，连接， 因为四边形是菱形，，， 所以，所以可得是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理可得 ， 所以，所以； 如图所示，取中点，连接，交半圆于点， 则，. 所以 ， 因为，所以当，即点与点重合时， 取到最大值1，此时取到最大值. 7．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 【答案】(1)左侧，理由见解析 (2)， (3) 【分析】（1）求出沿河岸方向的分速度方向与大小即可. （2）利用沿河岸方向的分速度大小等于，再求出夹角的余弦及航行时间. （3）求出垂直河岸及沿河岸方向的航程，再利用勾股定理求解. 【详解】（1）由题设，在反方向上的分速度为， 所以游船航行到达北岸的位置是在的左侧. （2）要能到达处，则在反方向上的分速度为， 解得，即，而，则， 因此垂直河岸方向上的速度为， 所以当时，游船能到达处，用时. （3）由（1）知，垂直河岸方向的航行速度为，则航行时间为， 因此水平方向航行距离， 所以游船航行到达北岸的实际航程. 8．如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 【答案】(1)约1.41N (2)不能 【分析】（1）根据降落伞匀速下落可知根绳子拉力的合力的大小等于礼物重力的大小，则绳子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量与礼物的重力是一对相反向量，由此可构造方程求得结果； （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小，由题意知，代入数据即可求得结果. 【详解】（1）如图，设水平面的单位法向量为，其中每一根绳子的拉力均为，因为，所以在上的投影向量为，所以8根绳子拉力的合力． 又因为降落伞匀速下落，所以，所以， 所以． （2）设降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小， 则，故，当时，， 解得：． 因为超过最大承受拉力，有安全隐患，故此降落伞不能安全使用． 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 【答案】(1)5；0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意，根据新定义即可求解； （2）由新定义可证得，，即可证明； （3）作图并设，由推得，进而，设，代入坐标，联立推得，根据题意将化成，利用基本不等式即可求得其最大值. 【详解】（1）因为，，因为， 故不共线，又， 所以 ； 又，，所以，故共线， 所以 ； （2）当，不共线时，； 当，共线时， ， 因为向量，共线，所以， 所以，共线时，关系依然成立， 因为向量，且向量， 则， 所以， ， 所以； （3）    如图，在平面直角坐标系中作出单位圆，设，， 则， 由可得，则. 设，（，，），即得 ，则得， 由可得，即， 由（2）可得 , 因，由可得， 即，当且仅当时等号成立， 的最大值为. 2．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由题设且、的夹角为，应用向量数量积的定义和运算律求向量模长； （2）由题设，，且，应用向量数量积的运算律求的数量积和模长，再由夹角公式求夹角余弦值，即可得； （3）设、（，），且，，，进而有、，可得，在中应用正余弦定理及三角恒等变换化简并求出的最大值. 【详解】（1）由题意可知，、的夹角为， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，则， 则， 所以. （2）由，，得，， 且， 所以，， 则， ， 因为与的夹角为，所以，解得. 又，，所以； 所以 （3）依题意，设、（，），且，，， 因为为的中点，则 ， 因为为中点，同理可得， 所以 ， 由题意知，， 则， 在中，依据余弦定理得，所以， 代入上式得，. 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， ， 为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则. 3．已知为边长为的等边三角形，O为的重心．    (1)求的值； (2)P为平面内一点，满足． （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）已知点M为边AC的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）1 【分析】（1）利用重心的向量性质，先把所求数量积化为，再计算等边三角形中重心到顶点的距离． （2）（ⅰ）由可知，关于点对称，再用余弦定理分别表示，，从而求和的范围；（ⅱ）建立平面直角坐标系，把向量等式转化为坐标关系，再由求的最大值，最后代入求． 【详解】（1）因为为的重心，所以. 因此， 所以. 等边三角形的边长为，它的高为. 重心到顶点的距离等于中线长的，所以. 故. （2）（ⅰ）由，得. 所以，关于点对称，且. 又．设，则. 在中，由余弦定理得. 在中，由余弦定理得. 令，则，于是. 设. 则 因为，所以. 从而. 所以. 又，故. 即. （ⅱ）以为原点，建立平面直角坐标系，取.    则为的中点，所以. 设，由，得. 由. 可得. 整理得. 若，则结合上式可得，此时无意义，不合题意． 因此． 由于，，同乘同一个非零常数时，和都不变，所以可令. 于是. 对横坐标、纵坐标分别比较，得,. 又. 解这个方程组，得，，. 因为，所以可设. 于是. 这里分母. 所以可以直接比较的大小．设. 则. 整理得. 左边是形如的式子，它的最大值为，所以要使上式有解，必须满足. 两边平方，得. 化简得. 所以. 因此. 当时，即，，有. 此时. 所以的最大值为1．此时. 4．设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足. (1)设，计算和； (2)设，求证：； (3)如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)7 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算求出的余弦值，进而可得出的正弦值，结合题中定义可求得和的值； （2）设射线分别为角的终边，则，，，则，，利用题中定义结合两角差的正弦公式化简可证得结论成立； （3）建立合适的平面直角坐标系，利用向量叉乘将三角形的面积转化为，最后利用基本不等式即可求出其最大值. 【详解】（1）由平面向量数量积的坐标运算可得， 由于为锐角，则， 故， . （2）不妨设射线分别为角的终边，则， 设，，则，， 则 ， 故，故. （3）以点为坐标原点，直线所在直线分别为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设，由题意知， . 由垂径定理知， ， ， 当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当时等号成立， 综上所述三角形的面积的最大值为. 5．（1）已知平面向量，，且与垂直，求的夹角的正切值．    （2）如图，在中，､分别为､的中点，与相交于点． （i）若，，求的最小值； （ii），，，求的余弦值． 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【分析】（1）通过向量垂直的性质建立方程，先求出两向量的数量积，再利用数量积的定义和同角三角函数关系，依次求出夹角的余弦值、正弦值，最终得到夹角的正切值； （2）（i）利用三角形重心的向量性质建立系数关系，再结合均值不等式求目标式的最值，核心是将向量问题转化为代数不等式问题； （ii）通过向量法表示中线，计算其模长与数量积，再利用向量夹角公式求解角度余弦值． 【详解】（1）由得， 由与垂直，得， 展开得，代入，，得， 解得， 设，的夹角为，则， 又，故， 因此． （2）（i）已知、分别为、的中点， 故为的重心，因此， 又，由平面向量基本定理得：， 两式相加得：，且， 由均值不等式：， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． （ii）由题设，，，则， 又，， ， ， ， 设，则． 6．已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意知在上的投影向量为，再根据数量积的定义求解即可； （2）用，表示向量，，进而结合题意，利用求解即可； （3）设，用，表示向量，，再结合得，根据得，根据求得中边上的高为，最后结合基本不等式求解面积的最小值即可. 【详解】（1）解：因为在边上的射影满足， 所以在上的投影向量为，且， 所以 所以，当时， （2）解：因为点满足， 所以， 因为是中点，所以， 所以， 因为， 所以，即，解得（负舍） 所以 （3）解：结合（2）知，因为点在直线上， 设，则， 因为， 所以，即， 代入整理得，即 因为的中点为， 所以， 所以 因为，，在边上的射影满足， 所以，且 因为点满足 所以点到的距离为，即中边上的高为 所以面积为 记，令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，即时等号成立， 所以面积为，即面积的最小值为，此时. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业10 向量的应用 【知识点1 平面几何中的向量方法】 一、核心知识点 1. 转化思想：几何条件⇔向量关系式 · 平行：；坐标： · 垂直：；坐标： · 长度：，求边长、距离 · 夹角：，求角度 1. 常用基底：选一组不共线向量作基底，把全部几何向量用基底表示。 二、解题思路 1. 建系法（坐标法）：建立平面直角坐标系→标出各点坐标→写出相关向量坐标→用坐标运算证平行、垂直、求边长； 1. 基底法：选定一组基底→将题目所有向量统一用基底表示→借助线性运算、数量积推导结论。 【知识点2 向量在物理中的应用】 一、核心知识点 1. 物理量对应向量 · 力、位移、速度：矢量（向量），满足向量加减法则； · 功：标量，（数量积）。 1. 力的合成/分解遵循：平行四边形法则、三角形法则。 二、解题思路 1. 建模：把力、位移抽象为有向线段（向量）； 1. 作图：根据题意画矢量合成图； 1. 计算：用向量加减法、数量积、解三角形（正余弦定理）求合力大小、夹角、做功。 【知识点3 三角形的心的向量表示】 一、核心结论（为内一点） 设对应向量 1. 重心（三条中线交点） 2. 垂心（三条高线交点） 3. 外心（三边中垂线交点、外接圆圆心） 4. 内心（三条角平分线交点） 边长： 2、 解题思路 1.判心：对照上面向量等式，匹配条件确定是重心/垂心/外心/内心； 2.化式：统一起点（常换成以为起点），拆向量、线性变形； 3.运算： · 出现模相等→外心； · 向量和为零→重心； · 数量积为→垂心； · 边长加权和为零→内心； 4.求值：结合数量积、模长公式、解三角形求边长、角度。 【题型1 用向量解决夹角问题】 1．已知非零向量满足，且，，若与的夹角为， 则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，D是BC的中点，，AD与CE交于点F.则（   ） A． B． C． D． 3．已知直角三角形的斜边，点是边上的两个三等分点，则的取值范围是______. 4．在中，为的中点，，与相交于点F，则________． 【题型2 用向量解决线段的长度问题】 1．三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 2．记锐角的内角的对边分别为，已知，且，若点是线段的中点，则的长度可以为（   ） A． B． C． D． 3．平面内不同的三点O，A，B满足，若，的最小值为，则__________. 4．在中，是的中点，.则的大小为__________；为的角平分线，在线段上，则的长度为__________. 【题型3 向量与几何最值】 1．如图，在边长为2的正方形中，P是对角线上一点，且，则 (1)求的值 (2)若点M为线段（含端点）上的动点，求的最小值. 2．如图，在四边形中，，，点是的中点，点满足，且与交于点.    (1)求的值； (2)已知，点在以为圆心，1为半径的圆上运动. （ⅰ）求； （ⅱ）求的取值范围. 3．如图，在梯形中，，且，设，. (1)试用和表示； (2)若点满足，且，，三点共线，求实数的值； (3)若，，，且点是线段上的动点，求的最小值. 4．如图，已知满足，，、、…是线段上的等分点，且满足. (1)当时，求的值； (2)当时，若为线段上的动点，求的最小值. 【题型4 向量在几何中的其他应用】 1．（1）叙述正弦定理； （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； （3）类比上述方法，解决以下问题：如图，直线与的边分别相交于点，设，试用向量方法证明：. 2．已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，O为的外心，、、的面积分别记、、满足 (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的最大值. 3．已知平面内两个非零向量，定义一种运算：，且此运算满足如下运算律①；②；试求解下列问题： (1)设点，，，求． (2)在（1）的条件下，求证． (3)其实对任意，此结论均成立．设四边形有外接圆，圆心为，半径为2，对角线相互垂直且交点为交于分别为的中点，求三角形的面积的最大值． 4．如图所示，在中，，，，，． (1)求的值． (2)线段上是否存在一点，使得?若存在，求的值；若不存在，说明理由． (3)若是内一点，且满足，求的最小值． 【题型5 向量在物理中的应用】 1．飞行器飞行中的地速（GS）是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中顺风为加，逆风为减．已知某飞行器顺风飞行，在某时刻测得风速对应的向量与空速对应的向量如图所示（单位：km/h），则飞行器在该时刻的地速大小为（    ） A． B． C． D． 2．在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为，，且，与的夹角为θ，则以下结论不正确的是（   ） A．的最小值为 B．θ的范围为 C．当时， D．当时， 3．冰球运动是以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的一种相互对抗的集体性竞技运动.同学小张在冰球训练的过程中，以力作用于冰球，使冰球从点移动到点，则力对冰球所做的功为______ 4．一条东西方向的河流两岸平行，河宽，水流的速度为向东，一艘游船从南岸码头出发航行到河对岸．已知游船在静水中的航行速度的大小为，方向为北偏西，则游船到达对岸的时间为________． 【题型6 三角形的心的向量表示】 1．已知是所在平面内的一点，所对的边分别为，若，则是的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 2．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的________.（填：内心，外心，垂心，重心） 4．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点. （1）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______； （2）若动点P满足，，则点P的轨迹一定通过△ABC的______. 1．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 2．已知为边长为的等边三角形，设点为边的中点，点在边上（包括端点），则的最小值等于（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．在中，，作交于，若，则为_________． 5．如图，在中，，，D、E为为BC上的点．若，则______． 6．如图，在菱形ABCD中，，，以BC为直径的半圆与AB交于点M，P是半圆上的动点，则______；的最大值是______． 7．长江某段南北两岸平行，如图，江面宽度.一艘游船从南岸头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为.设和的夹角为（），北岸的点在A的正北方向.    (1)当时，试判断游船航行到达北岸的位置是在的左侧还是右侧，并说明理由. (2)当多大时，游船能到达处？需要航行多长时间？（不必近似计算） (3)当时，游船航行到达北岸的实际航程是多少？ 8．如图，为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为θ．已知礼物的质量为1 kg，每根绳子的拉力大小相同． (1)当求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小（重力加速度g取9.8 m/s2，精确到0.01 N）． (2)若每根绳子可承受的最大拉力为2牛，则当时，此降落伞能否安全使用？ 1．在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量，，作，．当，不共线时，记以，为邻边的平行四边形的面积为；当，共线时，规定 ． (1)分别根据下列已知条件求： ①，； ②，； (2)若向量（，，）， 证明： (3)若，，是以为圆心的单位圆上不同的点，记，，．当时，求的最大值． 2．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值． 3．已知为边长为的等边三角形，O为的重心．    (1)求的值； (2)P为平面内一点，满足． （ⅰ）若，求的取值范围； （ⅱ）已知点M为边AC的中点，且存在实数x，y，z，使得，求出当最大时的的值． 4．设两个非零向量，定义伪叉积：，其中是方向逆时针旋转到方向所成的角.规定零向量与任意向量的伪叉积为零.已知对任意的，满足. (1)设，计算和； (2)设，求证：； (3)如图所示，四边形的外接圆圆心为，半径为4，对角线相互垂直且交点为，直线交于点分别为的中点，求三角形面积的最大值. 5．（1）已知平面向量，，且与垂直，求的夹角的正切值．    （2）如图，在中，､分别为､的中点，与相交于点． （i）若，，求的最小值； （ii），，，求的余弦值． 6．已知平面上的，是锐角，，，在边上的射影满足，点满足，点在直线上，使得. (1)若，求； (2)若是中点，求的值； (3)记的中点为，求面积的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $