作业11 向量的应用-2021年高一数学暑假作业（沪教版2020必修第二册）

作业11 向量的应用 一、单选题 1．（2021·上海高一课时练习）在等式① ; ② ；③ ；④ ；⑤若 ，则 ；正确的个数是（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由零向量、向量数乘、点乘等概念和性质，即可判断正误，进而确定答案. 【详解】零向量与任何向量的数量积都为0， 错误； 0乘以任何向量都为零向量， 正确； 向量的加减、数乘满足结合律，而向量点乘不满足结合律， 错误； 向量模的平方等于向量的平方， 正确； 不一定有 ，故错误； 故选：C 【点睛】本题考核查了向量，利用向量相关概念、性质判断正误，属于基础题. 2．（2021·上海高一课时练习）已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是 的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在 ， 上分别取单位向量 ，作 ，则 平分 ，用 表示出 代入条件式，用 表示出 ，则可证明 ， ， 三点共线，即 平分 ． 【详解】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ， 则 ． 以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图， 则四边形 是菱形，且 ． 为 的平分线． ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ． ， ， 三点共线，即 在 的平分线上． 同理可得 在其他两角的平分线上， 是 的内心． 故选： ． 【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题. 3．（2021·上海高一课时练习）已知点 ，点 ，点 的横坐标、纵坐标都为整数，则 的面积的最小值为（ ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】利用结论 ， ，则 求出三角形面积，分析可得最小值（需要先证明此结论）． 【详解】先证明一个结论， 若 ， ， 则 ，下面对此作出证明： 在本题中，设 ， 则 ， ， 所以 ， 因为 ， 都是整数，所以 ， 所以 ． 故选：C． 【点睛】结论点睛：本题考查三角形的面积，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标常常是已知的，此时有结论： ， ，则 ． 二、填空题 4．（2021·浙江高一单元测试）设点 在 内部，且 ，则 与 的面积之比为________. 【答案】 【分析】本题可根据奔驰定理以及 得出结果. 【详解】因为点 在 内部，满足奔驰定理 ，且 ， 所以 与 的面积之比为 ， 故答案为： . 【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考查计算能力，是简单题. 5．（2020·上海高二课时练习）在静水中划船的速度为 ，水流的速度为 ，如果船从岸边出发，最终船垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进的方向与水流方向所成角是________． 【答案】 【分析】如图所示，设水流的速度为 ，船航行的速度为 ，根据平行四边形法则得到 ，然后在直角三角形 中，计算出 ，可得 . 【详解】如图所示，设水流的速度为 ，船航行的速度为 ， 由题意可知， ，且 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 在直角三角形 中， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ，所以 ， 所以船行进的方向与水流方向所成角是 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了向量的应用，考查了平行四边法则，属于基础题. 6．（2021·浙江高一单元测试）已知三个力 ，某物体在这三个力的同时作用下保持平衡，则力 ________． 【答案】 【分析】根据 及其向量加法的坐标运算可得答案. 【详解】依题意可得 ， 所以 ， 所以 ，解得 ， 所以 . 故答案为： . 【点睛】本题考查了向量加法的坐标运算，属于基础题. 7．（2021·上海高一课时练习）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆⊙Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P为⊙Q上及内部的动点，设向量 .则m＋n的取值范围是_______. 【答案】［2，5］ 【详解】由已知得 ， 则 = . 注意到， 等于 在 方向的投影乘以 . 当点Q在点c处、点P在BC上时， 在 方向的投影最短为2； 当点Q在点D处、点P在AD上时， 在方向的投影最长为5. 综上， 故答案为［2，5］ 8．（2021·上海高一课时练习）已知 , ,则| |＝_____． 【答案】5 【分析】利用向量的运算法则和模的计算公式即可得出. 【详解】解:因为 , , , 故答案为:5 【点睛】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式,属于基础题. 9．（2021·上海高一课时练习）一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功为______． 【答案】 【分析】根据力 所做的功 ，利用平面向量数量积公式，代