暑假作业09 向量的数量积（7种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 以向量数量积概念为核心，构建“定义-几何意义-运算律-应用”逻辑链条，覆盖7类基础题型及综合应用，培养抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|7个核心概念|从夹角定义到坐标运算，层层递进|概念生成：夹角→数量积定义→投影→性质运算律→坐标公式| |题型|7类基础+综合题|涵盖几何意义、投影、夹角计算等高频考法|题型对应：基础概念辨析→几何应用→代数运算→综合问题|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 向量的数量积 【知识点1 向量夹角的定义】 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 【知识点2 向量的数量积及其几何意义】 设夹角 1. 代数定义：，结果是实数（标量），不是向量； 1. 几何意义： 等于 乘 在 方向上的投影。 【知识点3 向量的数量积的定义】 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 【知识点4 投影】 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 【知识点5 向量数量积的性质、运算律、运算性质】 一、常用性质 1. ； 1. ； 1. 。 二、运算律 1. 交换律： 1. 数乘结合： 1. 分配律： 1. 易错：不满足结合律 三、坐标公式（） ， 【题型1 平面向量数量积的几何意义】 1．在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 【答案】A 【分析】根据向量的加法及向量数量积的几何意义直接可得. 【详解】如图：因为等腰直角三角形中，，所以.      设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，. 由数量积的几何意义可知，. 故选：A. 2．已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数量积的几何意义即可求解。 【详解】如图：取弦的中点为, , 故选:D 3．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    4．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【答案】4 【分析】由条件结合投影数量的定义求解即可. 【详解】由投影数量的定义可知在方向上的投影数量为． 故答案为：. 【题型2 求投影向量】 1．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】代入投影向量公式求解. 【详解】在上的投影向量为， 所以. 2．已知 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算向量数量积与和向量的模长，再结合投影向量的定义，代入单位向量条件求解结果. 【详解】由，，与的夹角为，得. . . 因此，在上的投影向量为. 3．已知，，，则在方向上的投影向量的模长为________． 【答案】 【详解】由，，得， 所以在方向上的投影向量的模长为. 4．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______． 【答案】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为. 【题型3 平面向量数量积的定义及辨析】 1．设满足：，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意，利用向量数量积的定义和运算律，证得为等腰直角三角形，结合勾股定理，列出方程，即可求解. 【详解】由，可得，所以，即为直角三角形， 又由， 所以，可得，所以为等腰直角三角形， 设，且，可得，解得，即. 2．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】△ABC中，，，，与的夹角为角的补角， 则. 故选：C 3．已知，8，与的夹角为，则____________. 【答案】 【详解】由向量数量积定义可得. 4．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，向量也是单位向量，则的最大值是______． 【答案】 【分析】利用数量积的运算律得，然后根据数量积的概念结合图形求解范围即可. 【详解】 ， 如图： 当向量与向量同向时，取最大值， 当向量与向量反向时，取最小值， 所以. 故所求最大值为． 故答案为： 【题型4 数量积的运算律】 1．在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【分析】由可得，然后由表示，结合数量积运算律可得答案. 【详解】因，则. 又，， 则    2．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 3．如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则________．    【答案】20 【分析】利用数量积的运算律得出，再计算即可. 【详解】由，得， 而E在边AC上，且， 所以. 4．已知向量，的夹角为，，，则________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律计算求解. 【详解】， 所以 【题型5 向量夹角的计算】 1．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，得， 而，则. 2．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，化简得：，即 ，有， 设与的夹角为，，所以. 3．已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________. 【答案】 【分析】根据向量垂直列方程，求得，进而求得与的夹角的余弦值. 【详解】已知，由于与垂直，则，解得， 设与的夹角为，， 则由向量数量积的定义，有，即与的夹角的余弦值为 4．已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【答案】 【详解】设与的夹角为， 由于在上的投影向量为，则，又，， 则，即，而，则. 【题型6 垂直关系的向量垂直】 1．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】依题意， ，即 ， 所以，故． 2．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】，两边平方得， 即， 又，为单位向量且不共线，故， 解得，（舍去）； 若，则， 解得. 3．已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 【答案】 【详解】因为与的夹角为，所以. 因为，所以， 解得. 4．已知向量满足，且，则_______________. 【答案】 【详解】∵ ，对等式两边同时平方得. 展开得①， ∵， ∴， 展开得， 整理得②， 将①中的代入②，得， 即，解得， ∴ 【题型7 已知模求数量积】 1．已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 【详解】因为，所以， 化简得：，所以，则：. 2．已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据模长计算公式：，将所给的模长利用模长公式展开计算可得的值． 【详解】因为； 故； 又； 故； 将两式相减即可得：；故． 3．设，为单位向量，且，则_______. 【答案】 【分析】结合单位向量的性质求出两向量的数量积，判断两向量相等，再计算即可. 【详解】已知，为单位向量，且， 所以，解得. 则与同向.又两向量模长均为1，故，因此. 4．已知向量满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过已知条件得到的表达式，利用向量三角不等式确定的范围进行求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得， 又根据向量三角不等式， 代入，，解得， 所以 1．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，先由的面积求出及的值，再根据平面向量共线定理，向量的加法法则和平面向量基本定理求出，进而确定，求出，再利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由，可得， 所以. 由可得. 因为为CD上一点，所以设， 则 . 因为， 所以，解得， 所以， 所以 (当且仅当，即时等号成立). 所以的最小值是. 2．已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 3．已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件用表示，再根据，求出的取值范围，进而求出的范围，得到答案. 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 因为， 所以，解得， 又 ， 所以，所以. 4．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的几何意义可得点与点或点重合时，取最大，结合数量积公式计算即可得，再利用对称性可得其最小值，即可得其范围. 【详解】如图，作，则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又,所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 5．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】如图所示，以为原点，以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，则    设，则， 所以， ， 当且仅当时，取得最小值. 6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______． 【答案】5 【分析】由几何关系得出，由同角三角函数的平方关系得出，进而得出，即可得出，再根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】在中，，， 所以， 因为，，所以（*）， 两边平方得，即， 因为是锐角，所以，， 所以（**）， 将（*）式与（**）式联立解得，， 所以，，因为点是的中点， 所以，因为， 所以 ． 7．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3). 【分析】（1）利用数量积的定义求解. （2）利用数量积的运算律求解. （3）利用向量的夹角公式及共线向量的意义求解. 【详解】（1）由与的夹角为，得. （2）由（1）得， . （3）由向量与的夹角为锐角，得，且向量与不共线， 则，即，解得且， 所以实数的取值范围是. 8．设向量，满足，． (1)已知向量与的夹角为． ①求； ②求的最小值． (2)若对任意的x，不等式恒成立，求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用向量数量积的运算律结合其定义表达式计算即得；②先将所求的模转化为为关于的二次函数，利用其性质即可求得； （2）设向量与的夹角为，将不等式两边同时平方，整理为关于参数的一元二次不等式恒成立问题，再利用判别式小于等于0即可求出夹角的余弦值. 【详解】（1），，向量与的夹角为，则， 则， 故； ②因， ， 当时，取得最小值3，即的最小值为. （2）设向量与的夹角为，则， ， ，即； 也即， 可得， 整理得. 即对任意的，不等式恒成立. 则， 因为对于任意的，都有， 解得，即向量与夹角的余弦值为. 1．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点P即为费马点．在中，角的对边分别为，且．若P是的“费马点”，，． (1)求角； (2)设，，，若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，结合三角恒等变换与三角形内角和求出角； （2）由向量数量积得到，结合面积关系、余弦定理联立求出，进而算出三角形周长； （3）借助余弦定理与已知等式求得，换元后利用对勾函数最值求解的取值范围。 【详解】（1）由题可知， 由正弦定理可知，其中为外接圆半径. 所以可得， 即， 即， 由于，，所以，所以； （2）设，，， 由题可知 所以． 所以，由得： ，即， 由余弦定理得，， 即，即， 又，联立解得，． 所以的周长为； （3）设，，， 由（2）在，，中， 由余弦定理得， 联立求解可得， 所以， 所以， ， 即，令，， 由对勾函数性质知在上单调递减， 所以， 即m的取值范围为． 2．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． (1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 【答案】(1)①成立，②不成立． (2) (3)． 【分析】（1）根据向量坐标运算法则以及仿射坐标系定义利用共线定理和数量积坐标运算，即可判断①成立，②不成立； （2）由－仿射坐标系中向量坐标表示以及数量积的运算律计算可得结果； （3）设，以为基底将表示出来，得出数量积的表达式，再由正弦定理以及辅助角公式计算即可得出最大值. 【详解】（1）①成立，②不成立． 若，则存在非零实数满足， 因此可得，即，所以①成立， 若，可得则，因此不成立，即②不成立 （2）由，，得，，且， 所以，， 则， 故， 因为与的夹角为，则， 解得，或（舍去） （3）依题意设、，且，，， 因为F为BC的中点，则， 因为E为BD中点，同理可得， 所以 由题意可知，，， 则 在中，由余弦定理得，所以， 代入上式得 在中，由正弦定理得， 设，则，且， 所以，， 因为，则， 故当时，取最大值， 则的最大值为． 3．已知在中，，是边的中点， (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求的最小值； (3)若，，为线段上两点，且，，求的最大值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算表示出，再根据向量数量积求解即可. （2）根据三角形面积公式以及基本不等式求解即可. （3）根据向量的加法、减法运算表示出，再结合正弦、余弦定理以及向量数量积化简得到，再结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1）   ，. 因此. （2）设，则， 由面积. 因为，所以. 由基本不等式，当且仅当，故，即. （3）   ，，设， 由余弦定理得. 化简得， 由正弦定理得，， ，最大值为， 代入得最大值. 4．如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． (1)试用，表示； (2)若，，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到，设，根据平面向量共线定理的推论求出，即可求出； （2）首先用、表示出、，再根据数量积的运算律及定义计算可得. 【详解】（1）因为，所以，即， 设，所以， 又、、三点共线，所以，解得，所以. （2）因为， 设， 又、、三点共线，所以，解得，所以， 所以， 又，即， 即，解得或（舍去）. 5．如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正弦定理得到，根据向量数量积的运算律得到，进而求出，结合余弦定理求解即可. （2）①设，，，根据向量的线性运算得到，结合平面向量基本定理即可得证. ②根据向量数量积的运算律及①得到，根据面积关系得到，进而得到，代入化简得，结合的范围求值域即可. 【详解】（1）由及正弦定理，得. 又为边上的中点，所以， 则， 所以. 所以，则. 所以的边长 （2）①设，，， 所以，. 由于，所以. 由、、三点共线，可得，所以. ② 由，得. 又， 所以. 由于，，所以， 则，所以， 故. 6．在中，已知，的面积S满足：． (1)求的值； (2)如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 【答案】(1) (2)（i）的面积为，的面积为 （ii） 【分析】（1）利用三角形面积公式和向量数量积公式，结合已知等式求出，再利用余弦定理求出边长比. （2）（i）先用余弦定理表示出，再结合第一问表示出的面积，利用三角形面积公式及正弦定理、余弦定理表示出的面积. （ii）利用三角形面积之间的关系将转化为关于的函数，最后利用三角函数的性质求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即，得， 所以，而， 在中，由余弦定理可知，, 所以，即. （2）（i）记，的面积分别为，设， 在中，由余弦定理可知，， 则， 即，则， 在中，由正弦定理可知，，即， 所以 ， 故的面积为，的面积为. （ii）记的面积为，则， 由，可得 ， 令，则由，得， 而在上单调递增，故， 所以实数的最大值为，当且仅当，即时等号成立. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业09 向量的数量积 【知识点1 向量夹角的定义】 （1）向量的夹角：两向量的夹角与两直线的夹角的范围不同，向量夹角范围是[0，π]，而两直线夹角的范围为 （2）向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角. 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 【知识点2 向量的数量积及其几何意义】 设夹角 1. 代数定义：，结果是实数（标量），不是向量； 1. 几何意义： 等于 乘 在 方向上的投影。 【知识点3 向量的数量积的定义】 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 【知识点4 投影】 如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 【知识点5 向量数量积的性质、运算律、运算性质】 一、常用性质 1. ； 1. ； 1. 。 二、运算律 1. 交换律： 1. 数乘结合： 1. 分配律： 1. 易错：不满足结合律 三、坐标公式（） ， 【题型1 平面向量数量积的几何意义】 1．在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 2．已知是圆的弦，且，则（   ） A． B． C． D． 3．为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 4．已知，，且，则在方向上的投影数量为___________． 【题型2 求投影向量】 1．已知平面向量满足，记在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 2．已知 与 的夹角为 ， 是与向量 方向相同的单位向量，则 在向量 上的投影向量为（      ） A． B． C． D． 3．已知，，，则在方向上的投影向量的模长为________． 4．已知平面向量，是单位向量，与夹角为，则向量在向量上的投影向量为______． 【题型3 平面向量数量积的定义及辨析】 1．设满足：，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 2．在△ABC中，，，，则（    ） A．12 B．6 C． D． 3．已知，8，与的夹角为，则____________. 4．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，向量也是单位向量，则的最大值是______． 【题型4 数量积的运算律】 1．在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 2．已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则________．    4．已知向量，的夹角为，，，则________． 【题型5 向量夹角的计算】 1．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 2．已知非零向量的夹角为，且满足，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 3．已知，若与垂直，则向量与的夹角的余弦值为__________. 4．已知为一个单位向量，，若在上的投影向量为，则与的夹角为___________． 【题型6 垂直关系的向量垂直】 1．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 2．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知向量满足与的夹角为，若，则__________. 4．已知向量满足，且，则_______________. 【题型7 已知模求数量积】 1．已知向量满足，则的值为（    ） A．4 B．2 C．1 D．0 2．已知向量满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 3．设，为单位向量，且，则_______. 4．已知向量满足，，则的取值范围是________. 1．如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为（     ）    A． B． C． D． 2．已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．在矩形中，，点为矩形所在平面内一点，则的最小值为__________. 6．我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，如图所示.记较小的锐角为，大正方形的边长为，小正方形EFGH的边长为，点是GC的中点，若，，则______． 7．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 8．设向量，满足，． (1)已知向量与的夹角为． ①求； ②求的最小值． (2)若对任意的x，不等式恒成立，求向量与夹角的余弦值． 1．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点P即为费马点．在中，角的对边分别为，且．若P是的“费马点”，，． (1)求角； (2)设，，，若，求的周长； (3)在（2）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，、分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为-仿射坐标系，在-仿射坐标系中，若，则记． (1)-仿射坐标系中，，，以下两个结论①若，则；②若，则是否一定成立？（不必说明理由） (2)在-仿射坐标系中，若，，且与的夹角恰为，求； (3)如图所示，在-仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，，，E、F分别为BD、BC中点，求的最大值． 3．已知在中，，是边的中点， (1)若，，，求； (2)若，的面积为，求的最小值； (3)若，，为线段上两点，且，，求的最大值． 4．如图，的内角的对边分别为，是边的中点，点在边上，且满足，与交于点． (1)试用，表示； (2)若，，，求． 5．如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且，    (1)求以及的边长； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 6．在中，已知，的面积S满足：． (1)求的值； (2)如图所示，O为线段上一点，延长至点D，使得，记 （i）用含的式子分别表示与的面积； （ii）若，求实数的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $