复习01讲 平面向量基本定理与平面向量的数量积的应用（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习01讲 平面向量基本定理与平面向量的数量积的应用（精讲+精练） ①平面向量基本定理 ②向量共线定理 ③平面向量的数量积、垂直 ④平面向量的模长 ⑤平面向量的夹角 ⑥投影向量 一、平面向量基本定理和性质 （1）共线向量定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． （2）三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点． 若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得存在唯一的实数，使得 存在唯一的实数，使得存在，使得． （3）中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 二、平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作． （2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量向量点． （3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． 若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标． （4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标． 三、平面向量的直角坐标运算 ①已知点，，则， ②已知，，则，， 四、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. ,向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). 五、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 六、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 七、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【常用结论】 (1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． (2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线； 两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线 ①平面向量基本定理 策略方法 平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决． (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便． (3)若直接利用基底表示向量比较困难,可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式),再根据待定系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得. 【题型精练】 一、单选题 1．（2024高三·全国·专题练习）设D为ABC所在平面内一点，则（　） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形中，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·山东枣庄·期中）在梯形中，若，且，则（  ） A． B．1 C． D． 4．（2024高三下·全国·专题练习）在四边形中，，，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 二、多选题 5．（23-24高一下·重庆·期中）若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西景德镇·三模）等边边长为2，，，与交于点，则（    ） A． B． C． D．在方向上的投影向量为 三、填空题 7．（23-24高一下·安徽安庆·期中）如图，在中，，，若，，则 .（用，表示） 8．（23-24高一下·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且与相交于点，若，则实数 . 9．（23-24高一下·浙江·期中）如图，在中，是的中点，与交于点．设，则 ；若，则 ．    ②向量共线定理 策略方法 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 (1)