暑假作业07 正切函数的图像与性质（10种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 聚焦正切函数图像与性质，以知识点系统梳理为基础，通过10类题型分层突破，构建"概念-性质-应用"逻辑链，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心点|五点三线法作图、渐近线与关键点分析、区间分类讨论最值|从图像画法（基础）到性质（奇偶性/周期/单调/对称）再到最值应用，形成递进逻辑| |题型|10类共40+题|单调区间求解公式、参数范围不等式法、二次式换元求最值|题型覆盖性质应用全场景，从基础判断到综合参数问题，实现方法迁移|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 正切函数的图像与性质 【知识点1 正切函数和余弦函数图像的画法】 1. 定义域：，最小正周期 1. 五点三线法（先画 ） 渐近线： 关键点： 1. 作图：在区间内画光滑曲线，再左右平移 得到全部图像。 【知识点2 正切函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性】 1. 奇偶性：，奇函数，关于原点对称。 1. 周期性：最小正周期 。 1. 单调性 在每个区间 上单调递增；无递减区间。 1. 对称性 对称中心：；没有对称轴。 【知识点3 正切函数的最值问题】 ，，全体实数，无最大、最小值。 2.给定 · 若区间不含渐近线 ：单调，端点代入求值域； · 若区间跨过渐近线：值域。 【题型1 求正切型三角函数的单调性】 1．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的严格增区间为________. 4．函数的单调递增区间为____________. 【题型2 由正切型函数的单调性求参数】 1．已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 4．若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【题型3 求正切型三角函数的最值或值域】 1．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 3．函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 4．函数，的值域为____________ 【题型4 求含正切型三角函数的二次式的最值】 1．已知函数，，则其值域为__________. 2．函数的值域为_______________. 3．函数，的值域为______． 【题型5 由正切型函数的最值或值域求参数】 1．已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 2．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 3．设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 4．函数在上的最大值为4，则实数的值为______. 【题型6 由正切型函数的奇偶性求参数】 1．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 3．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 4．已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值______． 【题型7 求正切型三角函数的最小正周期】 1．函数的最小正周期为（   ） A．2 B． C． D． 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 3．函数的最小正周期为_________． 4．函数的最小正周期为________. 【题型8 由正切型函数的周期性求参数】 1．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 2．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 3．函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 4．设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为__________． 【题型9 求正切型三角函数的对称中心】 1．函数的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 3．函数距离轴最近的对称中心为__________． 4．函数的一个对称中心为___________． 【题型10 由正切型函数的对称中心求参数】 1．函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 2．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为______. 3．若的一个对称中心为，则________． 4．函数的图象的一个对称中心为，则实数的最大值为______. 1．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 2．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 3．函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．函数，如图，则___________. 5．关于x的不等式：的解集为______． 6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________. 7．已知函数，. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若函数有3个零点，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上有两个不同的实根，且，证明：. 8．已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 1．如图，正方形的边长为1，分别为边长上的动点.已知，且.    (1)用表示的面积，并求的最小值； (2)记点到直线的距离为，求的最大值. 2．记锐角的内角，，的对边分别为，，． (1)若，求证：； (2)当，时，求面积的最大值； (3)若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值． 3．某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 4．已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业07 正切函数的图像与性质 【知识点1 正切函数和余弦函数图像的画法】 1. 定义域：，最小正周期 1. 五点三线法（先画 ） 渐近线： 关键点： 1. 作图：在区间内画光滑曲线，再左右平移 得到全部图像。 【知识点2 正切函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性】 1. 奇偶性：，奇函数，关于原点对称。 1. 周期性：最小正周期 。 1. 单调性 在每个区间 上单调递增；无递减区间。 1. 对称性 对称中心：；没有对称轴。 【知识点3 正切函数的最值问题】 ，，全体实数，无最大、最小值。 2.给定 · 若区间不含渐近线 ：单调，端点代入求值域； · 若区间跨过渐近线：值域。 【题型1 求正切型三角函数的单调性】 1．函数的单调递增区间是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】解不等式，，可得出函数的递增区间. 【详解】因为正切函数的单调递增区间为，， 对于函数，由，， 解得，， 故函数的单调递增区间是，， 故选：B. 2．下列区间中，函数单调递减的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】整体代入由正切函数的单调性可得. 【详解】令，解得， 令，可得. 故选：A. 3．函数的严格增区间为________. 【答案】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 4．函数的单调递增区间为____________. 【答案】 【分析】根据正切函数的单调递增区间利用整体代换解不等式可得结果. 【详解】易知正切函数的单调递增区间为， 所以令，解得； 即该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【题型2 由正切型函数的单调性求参数】 1．已知函数图象的相邻两个对称中心的距离为，且函数在上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知性质得，再由区间单调性有，即可得. 【详解】由题设，则，即， 当，则， 由，则，且， 又函数在上单调递增， 所以，可得，故的最大值为. 2．已知函数在上单调递增，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的范围，求出的范围，由正切函数的单调性可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 函数在上单调递增， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以，即的最大值为. 故选：A 3．若对任意，都有函数在上单调，则的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据给定条件可得在上单调，再按的正负情况分类，利用正切函数单调区间列式求解. 【详解】由对任意，都有函数在上单调， 得函数在上单调， 当时，是常数函数，不单调，不符合题意； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以的取值范围为. 4．若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】分析正切函数的单调区间，并根据恒成立问题求解. 【详解】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 【题型3 求正切型三角函数的最值或值域】 1．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 2．函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再由正切函数的性质求出范围，再乘以3即可. 【详解】 故选：C. 3．函数在上的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 【分析】分析函数在区间上的单调性，即可求得该函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】，．在上为增函数， ，． 即函数在上的最大值为，最小值为. 故答案为：；. 4．函数，的值域为____________ 【答案】 【分析】令，得到，再利用正切函数的性质求解即可. 【详解】设，因为，所以． 因为正切函数在上单调递增，且，， 所以． 故答案为： 【题型4 求含正切型三角函数的二次式的最值】 1．已知函数，，则其值域为__________. 【答案】 【分析】令，将原函数转化为关于t的二次函数，求出二次函数值域即得. 【详解】令，，显然在上单调递增，因此，， 则原函数化为：，而在上单调递增， 于是当，即时，，当，即时，， 所以原函数的值域为. 故答案为： 2．函数的值域为_______________. 【答案】 【分析】先求出，再结合二次函数的内容求解. 【详解】由得，， 故当时，有最小值，当时，有最大值. 故答案为：. 3．函数，的值域为______． 【答案】 【分析】由的范围求出的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为，所以， ， 则当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【题型5 由正切型函数的最值或值域求参数】 1．已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性分析的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数，，即可求出. 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. 2．函数在的最大值为7，最小值为3，则ab为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据区间的定义以及的有界性确定的范围，然后再利用正切函数的单调性得到的单调性，再代入相应端点值及对应的最值得到相应的方程，解出即可. 【详解】，，， 根据函数在的最大值为7,最小值为3， 所以，即，根据正切函数在为单调增函数， 则，在上单调减函数， ，， 则，，，， ， 故选：B. 3．设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 4．函数在上的最大值为4，则实数的值为______. 【答案】 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 【题型6 由正切型函数的奇偶性求参数】 1．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，根据函数图象关于原点对称的性质可列方程，得，再结合即可得解. 【详解】的图象向左平移个单位长度， 可得，若图象关于原点对称， 则满足，得， 因为，故当时，取得最小值， 故选：C. 2．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函数的性质列式，化简求值，即得答案. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后， 所得的图象对应的函数为， 由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数， 故， 即， 故， 即， 因为，故当时，m取最小值. 另解：由题意知的图象关于原点对称， 故，即， 因为，故当时，m取最小值， 故选：A 3．若函数为奇函数，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据奇函数的定义,求得,再根据,即可得答案. 【详解】因为函数为奇函数,所以 由得,, 即,所以, 解得,,因为,取,得,所以的最小值为. 故答案为: 4．已知函数的最小正周期为，写出满足“将函数的图象向左平移个单位后为奇函数”的的一个值______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先求得，然后求得图象变换后的解析式，根据奇偶性求得正确答案. 【详解】函数的最小正周期为， 所以，向左平移个单位后， 得到， 所得函数为奇函数，所以， 故可取的一个值为. 故答案为：（答案不唯一） 【题型7 求正切型三角函数的最小正周期】 1．函数的最小正周期为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的最小正周期为. 2．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切的二倍角公式化简整理原式，再结合正切函数的性质和函数定义域判断周期. 【详解】在定义域内，有，且且. 若：取（在定义域内），不在定义域内，因此不是周期； 若：对任意定义域内的，满足定义域要求， 且， 所以最小正周期为. 3．函数的最小正周期为_________． 【答案】 【详解】由正切函数周期公式得：. 4．函数的最小正周期为________. 【答案】 【详解】在函数中，，代入公式得． 【题型8 由正切型函数的周期性求参数】 1．已知函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【详解】设的最小正周期为T，由函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，解得，由，解得 2．已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据正切型函数的周期公式可得，求解即得. 【详解】由题意知，是该函数的周期的整数倍，即，， 解得，， 又，故的最小值为． 3．函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 【答案】4 【分析】正切函数相邻两支截平行于轴的直线所得线段长等于函数周期，代入正切函数周期公式即可求解. 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 4．设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据正切函数的周期计算即可. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为， 所以，解得. 故答案为：3. 【题型9 求正切型三角函数的对称中心】 1．函数的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因的对称中心为， 令，解得， 当时，， 则函数的一个对称中心为． 2．已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据最小正周期求出，然后根据正切函数的性质求出对称中心. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 3．函数距离轴最近的对称中心为__________． 【答案】 【分析】结合正切函数的图象求出其对称中心坐标，再结合距离轴最近计算即得. 【详解】因， 由可得，即函数的对称中心为， 故当时，点为函数距离轴最近的对称中心. 故答案为： 4．函数的一个对称中心为___________． 【答案】（不唯一） 【分析】根据正切型三角函数的对称性求解即可. 【详解】令（）， 解得，当时，， 所以的一个对称中心为. 故答案为：（不唯一） 【题型10 由正切型函数的对称中心求参数】 1．函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 【答案】5或8 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，所以，因为， 所以，或. 2．若点（）为函数的图象的一个对称中心，则的最小值为______. 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求出函数图象的对称中心，再求出最小值. 【详解】由，，得，; 因此函数的图象的对称中心为（） 而，则，，，， ，，， 所以的最小值为. 故答案为：. 3．若的一个对称中心为，则________． 【答案】 【分析】根据对称中心求出a的表达式，代入中求解即可． 【详解】正切函数的对称中心为， 对于函数，其对称中心满足， 解得对称中心的横坐标， 所以，， 所以． 故答案为：． 4．函数的图象的一个对称中心为，则实数的最大值为______. 【答案】 【分析】根据正切函数的对称中心公式求解. 【详解】若的图象的一个对称中心为， 根据正切函数的性质，，得到， 显然是关于的增函数， 令，解得，又，则， 即的最大值是. 故答案为： 1．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【分析】对A直接由正切函数的性质可得函数的定义域并判断可得；对B可将函数化简为，再结合正弦函数的性质可得函数的值域；对C直接根据正弦函数的最小正周期判断可得；对D直接用对称的定义验证可得. 【详解】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 2．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的图象，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 3．函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直线与图象相邻交点的距离求出周期，进而得到的值，再结合正切函数对称中心的性质推导的表达式，求得正实数的最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以的最小正周期， 所以，由，得，解得， 因为正切函数的对称中心满足，函数的图象关于点对称， 所以，将代入得： ， 整理得， 因为 所以，取，得，即为满足条件的最小正实数值，即正实数的最小值为. 4．函数，如图，则___________. 【答案】 【详解】由图可知，正切函数的周期 . 根据周期公式 ，得 ，解得 . 正切函数的零点满足 ，图中零点为 ，代入得， 由，得 时，，符合条件. 由图可知函数过点，代入得， 所以. 5．关于x的不等式：的解集为______． 【答案】 【分析】先将正切的平方不等式转化为正切函数的取值范围，再结合正切函数的周期性和单调性求解集. 【详解】由可得，即. 因函数在每个区间（）上单调递增. 而在区间内，由可得. 由正切函数的周期性，可得原不等式的解集为. 6．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，若，则的最大值为___________. 【答案】 【分析】先利用两角终边关于轴对称推出,再由正切诱导公式得,结合在上单调递增求出的取值范围,进而得到的区间,最终得出的最大值. 【详解】因为角与角的终边关于轴对称，所以，. 由正切函数的周期性与诱导公式得. 已知，函数在该区间上单调递增. 所以，则. 故的最大值为. 7．已知函数，. (1)若函数是偶函数，求实数的值； (2)若函数有3个零点，求实数的取值范围； (3)若方程在区间上有两个不同的实根，且，证明：. 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义，代入求解，即可得答案. （2）令，分别讨论和两种情况，根据一次函数、二次函数的性质，分析求解，即可得答案. （3）令，根据条件及二次函数的性质，可得各参数的范围，结合韦达定理，分析即可得证. 【详解】（1）由偶函数定义，可得， 即， 化简得， 即，因为，所以不恒为零， 故. （2）令，则，由题意有3个不同的实根， 当时，， 当时，， 若，则当时，，没有零点， 当时，，令，解得，只有2个零点，不符合题意； 当时，当时，为一次函数，令，解得， 则，解得且， 当时，令，即，判别式， 则方程必有2个不相等的实根，且，（一正根一负根）， 要使零点总数为3，即有3个不同的实根， 需在时有1个根且在时有2个根，且均在内， 根据二次函数的性质得，解得， 综上，实数m的取值范围是. （3）令，对应， 则，即， 当时，，最多只有1个根，不符合题意； 当时，方程转化为，且，（一正根一负根）， 要使2个根均在内，则，解得， 由，得， 则左边， 因为，所以，则， 右边， 因为，，所以， 所以. 8．已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可. 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 1．如图，正方形的边长为1，分别为边长上的动点.已知，且.    (1)用表示的面积，并求的最小值； (2)记点到直线的距离为，求的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）结合三角函数与三角形中的角度关系可得，，从而利用三角形面积公式求得的面积的表达式，结合三角恒等变换与正弦型函数性质即可得的最小值； （2）根据三角函数与三角形中的角度关系可得，的关系式，根据三角形等面积求解，根据三角恒等变换结合基本不等式求解最值即可得结论. 【详解】（1）依题有， 又，所以， 故， 所以 ， 又因为 ， 所以， 因为，可得， 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的面积，的最小值为. （2）由题有，从而， 又， 故， 由，可知， 因此， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 2．记锐角的内角，，的对边分别为，，． (1)若，求证：； (2)当，时，求面积的最大值； (3)若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）应用角的范围结合正弦函数单调性及诱导公式计算证明； （2）根据已知化简，再应用两角和正切公式求出角，再应用余弦定理结合基本不等式计算得出面积的最大值； （3）结合新定义及角的范围计算求值. 【详解】（1）由是锐角三角形，得，，， 则，因为在上单调递增， 所以， 又在上单调递减，所以． （2）由， 得， 则， 又，所以． 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以． 即面积的最大值为． （3）因为，所以， 又因为， 所以， 所以，，均为整数． 因为，所以， 所以，所以，，所以． 3．某景区有一座山峰，山顶有一个端坐在天然石峰上的少女石像，石峰与石像的高度均为50m，游客从山底A处向山顶C处爬山，在P处观赏石像的视角为，坡长. (1)设，用表示； (2)已知在A处观赏石像的视角为，， （i）求坡度的大小； （ii）若在山腰P处建一座凉亭，使最大，求凉亭P与山底A的距离. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）利用直角三角形边角关系求出关系式. （2）（i）由（1）的结论，利用差角的正切求解；（ii）利用差角的正切、基本不等式及正切函数的性质求解. 【详解】（1）在中，，， 连接，， 所以. （2）（i）连接，由（1）知，， 两边取平方，化简得：， 即，因为锐角， 故，则. （ii）过作于，由（i）得，设， 则， 则 ，当且仅当时取等号，此时， 因函数在上单调递增，又是锐角，故最大时，也最大， 即当，时，最大，此时凉亭P与山底A的距离为. 4．已知函数. (1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心. (2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围. (3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围． 【详解】（1）由于，且， 所以的最小正周期为， 令，求得，， 故的图象的对称中心为，，． （2）若函数在区间上严格递增， 则只需保证，求得，且， 即的范围为． （3）函数的最小正周期为， 关于的方程在区间上至少存在2024个根， 故当时，关于的方程至少有2024个根， 即关于的方程，，至少有2024个根， 即当时，关于的方程，，至少有2024个根． 且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024， 故至少包含2023个周期，即， 所以． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $