第8讲 三角函数的性质- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第8讲 三角函数的性质 考点一 三角函数性质的基础内容 【例1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是的一个周期 B． C．的值域为R D．的图象关于点对称 【例1-2】（24-25高一下·四川德阳·期中）（多选）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数的对称轴 D．在上的最小值为 【变式】 1．（24-25高一下·四川成都·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的一个对称中心为 D．的定义域为 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 3．（2025·湖北武汉·三模）（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 考点二 【例2-1】（24-25高一下·江西·阶段练习）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C．直线为图象的一条对称轴 D．直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，使得 【变式】 1．（2025·山东）（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于原点对称 2．（24-25高一下·江苏苏州·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的值为 B．的值为 C．函数在区间上单调递增 D．当时，取最大值 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）函数的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 考点三 三角函数的伸缩平移 【例3-1】（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二下·广东深圳·期末）（多选）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【变式】 1．（24-25高一下·湖南·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上有最大值 D．在上单调递增 3．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 考点四 w的求法 【例4-1】（24-25 河南鹤壁）已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（   ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【变式】 1．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，若在上有且仅有3个零点，则正整数的取值为 . 6．（24-25高二下·河南周口·期末）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为 . 考点五 三角函数性质求参数 【例5-1】（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为 . 考点六 三角函数性质的综合运用 【例6】（四川省德阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测考试数学试题）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若α是的一个零点，求的值． 【变式】 1．（四川省达州市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 2．（24-25高一下·湖北荆州·期末）已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设 (1)求的最小正周期； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 1． 单选题 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期的最小值为 B．的最小正周期的最大值为 C．的最小正周期的最小值为 D．的最小正周期的最大值为 2．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（    ） A．向上平移个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移个单位 D．向左平移个单位 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高三下·云南·期中）已知函数 的一个对称中心为 ，一条对称轴为 ，且 在 上单增，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江西抚州·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 8．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 2． 多选题 9．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知函数的最小正周期为，则（  ） A． B．曲线的一个对称中心为 C．的单调递增区间 D．将正弦曲线向左平移个单位长度可得到曲线 10．（四川省达州市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）下列说法正确的是（   ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数的定义域为 10．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．若将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则是奇函数 C．在区间上单调递增 D．若方程在上有且只有6个实数根，则的取值范围是 3． 填空题 11．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知函数（），有下列结论： ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数ω的最小值为2 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数 ④若在上有且仅有3个零点，则 其中所有正确的结论为 ． 12．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为 . 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确的是 ． ①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 ② ③在上有且仅有两条对称轴 ④不存在，使得在上单调递减 4． 解答题 15．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 16．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 17．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 18．（24-25高一下·湖北十堰·期末）已知函数，，是的两个零点，且的最小值是π. (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 19．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 三角函数的性质 考点一 三角函数性质的基础内容 【例1-1】（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是的一个周期 B． C．的值域为R D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【解析】因为函数的最小正周期为π，故是的一个周期，故A正确；因为，所以，故B错误；由函数的图象知函数的值域为R，故C正确；结合图象可得的图象关于点对称，D正确． 【例1-2】（24-25高一下·四川德阳·期中）（多选）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．是函数的对称轴 D．在上的最小值为 【答案】ACD 【解析】函数的图象向左平移个单位长度后得函数的解析式，从而可求出它的最小正周期、对称轴等．函数的图象向左平移个单位长度后得： ，最小正周期为，A正确； 时，单调递减. 为的单调递减区间， 当时，递减区间为，故B错误；令，得， 当时，，故C正确； ，，，最小值为，故 D正确.故选：. 【变式】 1．（24-25高一下·四川成都·期中）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递减 C．的一个对称中心为 D．的定义域为 【答案】AD 【解析】对A，由周期公式得，正确； 对B，由令，因为函数无单调递减区间，且函数为增函数， 所以无单调递减区间，错误； 对C，由，得， 所以的对称中心为，错误； 对D，由，得， 所以的定义域为，正确. 故选：AD 2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】因为函数，所以函数的最小正周期，故A正确；因为，曲线关于点对称， 所以函数的图象关于点对称，故B正确； 因为，曲线不关于直线对称， 所以函数的图象不关于直线对称，故C错误； 若，则， 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，故D正确． 故选：ABD． 3．（2025·湖北武汉·三模）（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的一个对称中心为 D．图象上所有的点向左平移个单位长度后关于轴对称 【答案】ABC 【解析】对于A，由周期公式可得最小正周期为，正确， 对于B，由，则，由正弦函数的单调性可知在区间上单调递增，正确； 对于C，当时，，正确； 对于D，图象上所有的点向左平移个单位长度后，得到，显然图像关于轴不对称，错误，故选：ABC 考点二 【例2-1】（24-25高一下·江西·阶段练习）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．将的图象向右平移个单位长度，得到的图象 C．直线为图象的一条对称轴 D．直线与的图象相交，存在两个交点的横坐标，使得 【答案】ABD 【解析】由图知，，即，所以. 将代入，得，解得， 又，当时，，所以. A，，正确； B，将的图象向右平移个单位长度，得的图象，正确； C，，所以直线不是对称轴，错误； D，由三角函数的性质知，或， 所以，显然存在两个交点的横坐标使，正确. 故选：ABD 【变式】 1．（2025·山东）（多选）函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．在上的值域为 C．在上单调递增 D．的图象关于原点对称 【答案】AD 【解析】由图象可知：，，得，所以， 即， 再由五点作图法可得：，得， 所以， 对于A，当时，，故的图象关于直线对称，正确； 对于B，当时，， 则，错误； 对于C：当时，， 正弦函数在不单调，故C错误； 对于D，，易知是奇函数，D正确， 故选：AD 2．（24-25高一下·江苏苏州·期中）（多选）函数的部分图象如图所示，则（   ） A．的值为 B．的值为 C．函数在区间上单调递增 D．当时，取最大值 【答案】AD 【解析】对于选项，由图可知，故正确； 对于选项，由图可知是该函数单调递减区间上的一个零点，故，则，又，可知，故错误； 对于选项，由前两选项可知，，令，可得, ，故错误； 对于选项，由，令，则，故正确. 故选：. 3．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）函数的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 【答案】ABD 【解析】对A：由点M、N关于点C对称，则，故A正确； 对B：，又，则， ，则， 又，则，故， 当时，， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 对C：当时，， 由不在上单调递增， 故不在上单调递增，故C错误； 对D：， 定义域为，且， 故为奇函数，故D正确. 故选：ABD. 考点三 三角函数的伸缩平移 【例3-1】（24-25高一下·天津和平·期末）已知函数，将的图象向左平移（）个单位后，得到函数的图象，若与的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得 ， 所以， 因为与的图象关于轴对称， 所以，即， 所以，解得， 又由可得的最小值为， 故选：A 【例3-2】（24-25高二下·广东深圳·期末）（多选）将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则（    ） A．为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】BC 【解析】将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到， 再将向左平移个单位长度得到， A选项，因为，所以为偶函数，A错误； B选项，当时，，故的图象关于直线对称，B正确； C选项，当时，， 而在区间上单调递增， 故在上单调递增，C正确； D选项，当时，， 故函数的图象关于点对称，D错误.故选：BC. 【变式】 1．（24-25高一下·湖南·期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有， 又为奇函数，所以， 解得，当时，， 故选：A. 2．（24-25高一下·四川泸州·期末）（多选）将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则下列说法正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上有最大值 D．在上单调递增 【答案】ACD 【解析】由题知， 对于A，令，得到， 当时，，所以A正确， 对于B，因为，的图象不关于点对称，所以B错误， 对于C，当时，， 当，即时，，所以C正确， 对于D，由，解得， 令，得到，又，在上单调递增，所以D正确， 故选：ACD. 3．（24-25高一下·湖南永州·开学考试）已知函数的部分图象如图所示，则正确的有 ． ①的最小正周期为 ②当时，的值域为 ③将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 ④将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】①④ 【解析】对于①：由图可知：，故①正确； 由，知， 因为，所以，所以，即，， 又因为，所以， 所以函数为； 对于②：当时，，所以，故②错误； 对于③，由题意得到的图象，故③错误； 对于④：由题意得到的图象， 因为当时，，可得到的图象关于点对称，故④正确． 故选：①④． 考点四 w的求法 【例4-1】（24-25 河南鹤壁）已知函数，若且在区间内恰有个零点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，当时，， 因为函数在区间内恰有个零点，则，解得， 因为，所以，可得， 由，解得，因为，故，则. 故选：B. 【例4-2】（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【解析】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8．故选：C． 【变式】 1．（24-25高一下·江西吉安·期末）已知函数，且在上是单调函数，其图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称，则可能的取值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】设函数的最小正周期为， 因为函数在上单调， 则，可得，又，所以，， 因为函数的图象向左平移个单位之后与的图象关于轴对称． 则，即， 因为，所以或6，满足条件，A正确． 故选：A 2．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 解得且，， 又，则，，则， 故且，故. 故选：A. 3．（24-25高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上单调递增，且对，在上都不单调，则ω的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得即， 因为，所以，可得， 将函数图象上所有的点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 由得， 所以的单调递增区间为， 可得，则， 解得，又因为对，在上都不单调， 所以，解得， 综上，. 故选：B. 4．（24-25高一下·贵州·阶段练习）已知函数，若在区间内有且仅有3个零点和2条对称轴，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴， 根据函数的图像： 所以，整理得：． 故选：A． 5．（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数，若在上有且仅有3个零点，则正整数的取值为 . 【答案】3 【解析】由可得， 因在上有且仅有3个零点，故需使， 解得，又，故. 故答案为：3. 6．（24-25高二下·河南周口·期末）将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在区间内恰有3个最值点，则的最大值为 . 【答案】 【解析】，则. 因为在区间内恰有3个最值点，根据正弦曲线的伸缩变化的特点， 当满足条件且取最大值时，一定是的一个最值点， 令，得. 从往左数4个最值点依次为，，，， 则，解得，所以当时，取得最大值. 故答案为： 考点五 三角函数性质求参数 【例5-1】（24-25高一下·山东淄博·期末）已知函数，若将曲线向左平移个单位长度后，再向上平移个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不相等实根，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 则 将向左平移个单位，得： 再向上平移个单位，得 当时， 令，则 方程即 作出函数在的图象： 要使有两个解，结合图象可知，解得， 因此，当时，有两个不等实根. 故选：C.    【变式】 1．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知函数，若函数为奇函数，且函数在区间上单调，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则，故， 故， 又由函数的图象关于原点对称，得，解得， 则 ， 当时，，若函数在区间上单调， 则，则． 故选：A． 2．（24-25高一下·广东佛山·期中）已知函数，且对任意，都有恒成立，若函数在单调递减，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由条件可知，，则， 且，所以， 所以， 当，则， 若函数在单调递减，则，得， 所以的最大值为. 故选：B 3．（24-25高一下·湖北·期中）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数是奇函数，则的值为 ，若函数在区间上存在最大值2，则实数的取值范围为 . 【答案】 5 【解析】由题设， 所以为奇函数，则， 所以，又，故， 所以，若，则， 又函数在区间上存在最大值2，则. 故答案为：5， 考点六 三角函数性质的综合运用 【例6】（四川省德阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测考试数学试题）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)若α是的一个零点，求的值． 【答案】(1)函数的单调递增区间为. (2). 【解析】（1）利用降幂公式和诱导公式化简原函数： 函数的单调递增区间为. 令： 解得： 故函数的单调递增区间为. （2）根据零点条件： 利用倍角公式： ， 所以 【变式】 1．（四川省达州市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）简谐运动可以用函数，表示，其中，．已知某简谐运动图象如图所示． (1)指出该简谐运动的振幅、周期、初相： (2)把图象上所有点的纵坐标缩短到原米的（横坐标不变），得到的图象；然后把曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象． （ⅰ）讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1)振幅为2，周期为，初相为 (2)（i）递增区间为，递减区间为；（ii） 【解析】（1）由图象可得，， 当时代入可得， 又时，，所以取，则. 综上，振幅为2，周期为，初相为. （2）（i）由题意可得， 令， 即时函数单调递增；时函数单调递减， 取，可得递增区间为，递减区间为. （ii）， 因为， 所以. 2．（24-25高一下·湖北荆州·期末）已知函数（其中），将的图象向右平移个单位长度后得到的函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)当时，求函数的单调增区间； (3)记方程在上有五个实根，，，，，其中，求的取值范围及的值. 【答案】(1) (2) (3)， 【解析】（1）， 由的图象向右平移个单位长度，得， 此函数是偶函数，则， 因为，所以当时，，. （2）法一 由，得 因为，所以当时， 所以的单调增区间为 法二 由，得 由，得 所以的单调增区间为 （3）由，可得 令，作出函数在上的图象，如图所示， 由方程在上有五个实数根，可得函数与直线在上有五个交点. 当时，；当时，， 则由图象可得当时，函数与直线在上有五个交点，设为，不妨设， ，，，， 所以，， ，， 解得，，，， 故，. 3．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设 (1)求的最小正周期； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1） ， ； （2）在上恒成立，在上恒成立， 即在上恒成立， ，，， ，实数的取值范围是； （3）函数在上有两个零点， 令，，则， 即，即直线与曲线有两个交点， ，，， 结合正弦函数的图象可得， 实数的取值范围是. 1． 单选题 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）若函数的图象关于直线对称，则（    ） A．的最小正周期的最小值为 B．的最小正周期的最大值为 C．的最小正周期的最小值为 D．的最小正周期的最大值为 【答案】B 【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，解得.又，所以， 则的最小正周期，所以的最小正周期的最大值为. 故选：B 2．（四川省绵阳市2024-2025学年高一下学期期末教学质量测试数学试卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点（    ） A．向上平移个单位 B．向右平移个单位 C．向下平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】B 【解析】要得到函数的图象，只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位. 故选：B 3．（24-25高一下·四川乐山·期末）函数的图象的一个最高点坐标为，相邻的一个最低点坐标为，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意函数的图象的一个最高点坐标为， 相邻的一个最低点坐标为，可得函数最小正周期为， 故，且， 即，将代入得，即， 则，即，结合选项可知， 故选：D 4．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数在上单调递减，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】令，因为，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 根据余弦函数在上是单调递减的。 则有，解得，所以的最大值为． 故选：A. 5．（24-25高三下·云南·期中）已知函数 的一个对称中心为 ，一条对称轴为 ，且 在 上单增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因在单增，可知函数的周期满足，即； 又，所以有，则，所以，则； 又因一条对称轴为，则，故有()， 解得()，由于，所以. 所以. 故选：D． 6．（24-25高一下·江西抚州·期末）函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的图象向左平移个单位得到函数的图象， 可得. 因为函数的定义域为，且是奇函数， 所以，即， 即， 即，所以. 故选：B 7．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】设的最小正周期为，根据题意有，， 由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 8．（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，， ，， ，， 又，，，， ，． 故选：B. 2． 多选题 9．（24-25高二下·广西南宁·期末）已知函数的最小正周期为，则（  ） A． B．曲线的一个对称中心为 C．的单调递增区间 D．将正弦曲线向左平移个单位长度可得到曲线 【答案】BC 【解析】对于A：因为，所以，故A不正确； 对于B：，令，得曲线的对称中心为， 当时，对称中心为，所以B正确； 对于C：令，得的单调递增区间为， 所以C正确； 对于D：将正弦曲线向左平移个单位长度得到曲线，所以D不正确. 故选：BC 10．（四川省达州市普通高中2024-2025学年高一下学期期末教学质量监测数学试题）下列说法正确的是（   ） A．函数的周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象关于点对称 D．函数的定义域为 【答案】AB 【解析】对于A，由正切函数的周期可得函数的周期为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题意可得，解得，故D错误. 故选：AB. 10．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的表达式可以写成 B．若将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则是奇函数 C．在区间上单调递增 D．若方程在上有且只有6个实数根，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】由函数的图象，可得，即， 因为，可得，所以， 又由，可得， 结合五点对应法，可得，即， 又因为，所以，所以， 对于A中，由，所以A正确； 对于B中，将的图象向右平移个单位长度后， 得到， 因为，所以函数是奇函数，所以B正确； 对于C中，由，可得， 令，则在上单调递减， 所以在区间上单调递减，所以C错误； 对于D中，方程在上有且只有6个实数根， 即方程在上有且只有6个实数根， 因为，可得，则满足， 解得，即实数的取值范围是，所以D不正确. 故选：AB. 3． 填空题 11．（24-25高一下·北京朝阳·期中）已知函数（），有下列结论： ①若，则在上单调递增 ②若，则正整数ω的最小值为2 ③若，函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．则为奇函数 ④若在上有且仅有3个零点，则 其中所有正确的结论为 ． 【答案】①②④ 【解析】①，，则， 所以在 上单调递增，故①正确； ②若，则函数关于对称， 则，,得，且，所以正整数ω的最小值为2，故②正确； ③的图象向右平移个单位长度后，得到，，所以不是奇函数，故③错误； ④，， 若在上有且仅有3个零点，则， 得，故④正确. 故答案为：①②④ 12．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变， 得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象， 即， 若在上单调递减， 则的周期，， 即，得， 由，， 得，， 即， 所以的单调递减区间为，， 若在上单调递减，则，， 即，，又， 所以，此时，即的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确的是 ． ①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 ② ③在上有且仅有两条对称轴 ④不存在，使得在上单调递减 【答案】②③④ 【解析】对①： 当时，的图象向右平移个单位， 得的图象，故①错； 对于②：当时，． 余弦函数在的零点依次是， 在上恰有两个零点， 所以（i）． 由，解得， 所以函数的单调递减区间为 因为已知函数在上递减， 所以存在实数使得，整理的. 又，所以，解得， 又因为，所以，所以（ii）， 由（i）（ii）得，故②正确； 对③：由于余弦函数的零点为, 所以函数的零点对应，解得，. 由，得，所以， 当时，； 当时，， 当时， ， 所以函数在上有2条对称轴，故③正确； 对④：若函数在区间上单调递减， 则存在整数使得成立， 整理的. 所以，解得，又因为，所以. ，解得，又因为又因为，所以. 所以，所以：， 因为，所以与②的结论矛盾． 满足条件的不存在，故④正确． 故答案为：②③④. 4． 解答题 15．（24-25高一下·江西宜春·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象.若对任意的，，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)，， (2) 【解析】（1）设的最小正周期为，所以，解得， 所以，解得. 由题意知，所以， 又，所以，， 即，，又， 所以，所以. 令，，解得，， 即的单调递减区间为，. （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为. 当，， 所以，， 若对任意的，，都有，则， 解得，即的取值范围是. 16．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知函数 (1)求的最小值； (2)若将的图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象，求函数的对称轴和对称中心； (3)当时，的值域为，求的值. 【答案】(1) (2)， (3)或 【解析】（1）由题意可得：. 因为，所以的最小值为. （2）由平移变换知， 又因为，则，解得， 又因为，可得，所以， 令，对称轴为， 令，对称中心为 （3）当时，则，此时的值域为， 因为，可知， 且，可得， 则，解得，可得， 由可知，解得， 且，或，解得，或，所以的值为或. 17．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知． (1)将化成． (2)求函数在区间上的单调减区间； (3)将函数的图象向右移动个单位，再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． (3) 【解析】（1） （2）对于，令， 求得， 可得函数的单调减区间为，， 故函数在区间上的单调减区间为，． （3）将函数的图象向右移动个单位，可得的图象； 再将所得图象的上各点的横坐标缩短到原来的倍得到的图象，若在区间上至少有100个最大值， 根据当时，在区间上正好有100个最大值， ，求得，故实数的取值范围为． 18．（24-25高一下·湖北十堰·期末）已知函数，，是的两个零点，且的最小值是π. (1)求的值； (2)求在上的值域； (3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). (3). 【解析】（1）由题意可得. 由于，是的两个零点， 所以，是的两个零点， 因为的最小值是，且，所以最小正周期，解得. （2）由（1）知. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，； 当，即时，取得最大值，. 故在上的值域为. （3）设，，由（2）可知. 不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立， 即不等式在上恒成立，即. 因为，当且仅当时，等号成立. 所以a的取值范围是. 19．（24-25高一下·重庆·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若不等式在时恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1） ， 令，解得，， 所以函数的单调递减区间为. （2）函数的图象向右平移个单位，可得， 再将所得图象上每一点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象,则 ， 所以在时恒成立， 令，则， 由，可得，所以，故， 则原不等式可化为， 即在上恒成立， ⑴当时，不等式为，显然恒成立； ⑵当时，不等式恒成立需满足，解得； ⑶当时，的对称轴， ①当，即时，则不等式恒成立只需，解得， 所以； ②当，即时，不等式恒成立只需， 即，解得， 所以. 综上，可得实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$