暑假作业06 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像（8种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 聚焦函数y＝Asin（ωx+φ）图像，构建“图像性质-变换规则-综合应用”三阶方法体系，提炼平移伸缩核心技巧及易错点，逻辑链清晰。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数图像与性质综合|涵盖3类题型|五点作图法、由图求参四步法（最值-周期-相位-验证）|从图像特征（零点、最值）到性质（周期、对称），再到实际应用建模| |三角函数伸缩平移变换|涵盖5类题型|“左加右减”平移规则、横向/纵向伸缩口诀、变换顺序易错点辨析|以基本变换规则为基础，通过不同变换顺序组合，实现解析式与图像的互化|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像 【知识点1 三角函数图像与性质综合】 1. 图像特征：五点作图法、图像走势、零点、最值点、升降区间 2. 由图求参：看图求 3. 性质对应图像： · 最高点最低点→最值 · 相邻零点/最值点→周期 · 对称轴、对称中心直接从图像读取 4. 图像交点、区间值域、不等式解集 【知识点2 三角函数伸缩平移变换与性质综合】 1. 平移规则：左加右减，上加下减（只针对 本身） 2. 伸缩变换 · 横向伸缩： 变大变瘦，变小变胖 · 纵向伸缩： 决定上下拉伸压缩 3. 易错点：先平移后伸缩 / 先伸缩后平移 平移长度不同 4. 变换后依旧考查：周期、单调、最值、对称、奇偶性 【题型1 相位变换及解析式特征】 1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照和对图象变换的影响写出相应的解析式即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到， 即所得到的图象的函数解析式是. 2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】A选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再向右平移个单位长度，得到，A正确； B选项，先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度，得到，B错误； C选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再向左平移个单位长度，得到，C错误； D选项，先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到， 再向右平移个单位长度，得到，D错误； 3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数解析式为______． 【答案】 【分析】首先用辅助角公式进行化简，然后根据图像平移的结论即可求解. 【详解】，将函数沿轴平移向右平移个单位， 平移后的解析式为. 故答案为： 4．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则___________ 【答案】 【分析】根据三角函数的图象的周期变换和平移变换可得，进而可得函数值. 【详解】因函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）， 再向右平移个单位长度，得到函数的图象， 所以，得. 故答案为：. 【题型2 周期变换及解析式特征】 1．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的（横坐标不变） 【答案】A 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），即. 2．为了得到新函数的图象，只需把原函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【分析】利用正弦函数的图象变换判断即得. 【详解】函数的图象由函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），A正确. 故选：A 3．将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数_____________的图象． 【答案】 【分析】利用三角函数伸缩变换法则，即可得到函数解析式. 【详解】将横坐标变为原来的，则会得到函数的图象． 故答案为：. 4．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________. 【答案】 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为： 【题型3 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 1．为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可以得到， 再向右平移个单位，得到. 2．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】由的最小正周期，， 得， 即， 因此它的图像可由的图像向左平移个单位长度得到． 3．把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______. 【答案】 【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解. 【详解】函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象， 则； 把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象， 则. 4．把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 【答案】 【分析】根据三角函数平移变换和伸缩变换即可得出函数的解析式. 【详解】把函数的图象向右平移个单位， 则得到的图象， 即解析式为，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象，即函数的解析式为：， 故答案为：. 【题型4 求图象变化前（后）的解析式】 1．函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 将的图象向左平移个单位长度，得， 再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. 2．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将的图象向右平移个单位长度，得到， 根据诱导公式可得 . 3．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________. 【答案】 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应函数为， 所以. 4．如图是函数的部分图象，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________． 【答案】0 【分析】根据函数的图象及性质，求得，结合三角函数的图象变换，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得， 所以，可得，所以， 又由，可得，即， 可得，解得， 因为，所以，所以， 将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，可得 再将其向左平移个单位长度，得到， 所以. 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 1．已知函数. (1)求函数的对称中心； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）根据题意，利用三角函数的图象变换，求得，由，得到，可得，即可求解. 【详解】（1）解：由函数 ， 令，解得， 所以函数的对称中心为； （2）解：函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 可得， 再将所得函数图象向右平移个单位长度，可得， 因为，所以， 又由， 可得 所以在的值域为. 2．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 【答案】(1)，对称中心为，. (2). 【分析】（1）先按照三角函数图象变换规则，依次对做横坐标缩短、纵坐标伸长、向右平移变换，逐步化简求出解析式，再利用余弦函数对称中心的性质，令相位等于解出，即可写出对称中心坐标. （2）先代入方程化简得到余弦等式，确定在给定区间内对应相位的范围，利用余弦函数在该区间内的轴对称性，得出两根满足的关系式，求出的值，再代入余弦公式算出结果. 【详解】（1）①横坐标缩短到原来的：将中替换为，得. ②纵坐标伸长到原来的2倍：将函数值乘以2，得. ③向右平移个单位：根据“左加右减”，得. 令，，解得，， 所以对称中心为，. （2）由，得，即. 令 已知，则. 方程的解关于函数直线对称，即，即. 化简得，故. 3．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)设函数，，若，求t的最小值； (3)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），最后将所得图象向上平移3个单位长度，得到函数的图象.若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由图求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式； （2）根据条件求出，根据，分类讨论的情况，求最小值即可； （3）根据三角函数图象变换规律求出，根据条件得知，由，求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其最小值，再利用指数函数的性质求取值范围即可. 【详解】（1）由图可得，，则， 所以，所以， 即，所以，， 则，，又，所以， 所以. （2）由（1）知，所以，                 因为，所以， 所以，或，， 解得，或，， 因为，所以对于，，当时，t的最小值为； 对于，，当时，t的最小值为， 因为，所以t的最小值为. （3）将的图象向左平移个单位长度，得到， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到， 最后将所得图象向上平移3个单位长度，得到. 若存在，使得不等式成立， 只需，当时，， 则，所以，所以，                 所以，即， 又，所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 4．已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值． (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，；， (3) 【分析】（1）先根据最值得出，再根据周期得出，最后代入点结合求值得出解析式； （2）应用换元法结合正弦函数最值求解； （3）先根据平移得出解析式，再结合正弦函数图象及方程的解列式计算求解. 【详解】（1）由图知，，函数的最小正周期满足， 则，所以， 又因为图象过点，所以，可得； 而，则， 于是． （2）因为，所以， 则当时，即当时，， 当时，即当时，； （3）的图象向右平移个单位长度得到， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到. 由，可得， 因为在上有两个解，所以与在上有两个交点， 作出函数的图象. 由图知,，解得， 即a的取值范围为． 【题型6 由图象确定正（余）弦型函数解析式】 1．函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)求方程在内所有解的和． 【答案】(1) (2)和，和为． 【分析】（1）利用函数最值列方程组求出,由两点横坐标差得半周期进而求出,代入最高点坐标结合范围确定,再根据正弦函数递减区间解出的单调递减区间. （2）换元化简绝对值方程,分类讨论求得,再解三角方程,找出区间内所有解并求和. 【详解】（1）由题意，最高点和最低点，得，. 解得，. ，故. 由得.所以. 代入：，即. 又，得，故. 解析式为. 令，解得. 故单调递减区间为. （2）令，方程. 当时，（舍去）； 当时，. 故，即，. 得，解得. 在内的解为和，和为. 2．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 【答案】(1)，对称轴方程为，. (2)，最小值，最大值 【分析】（1）根据图象可得，再由周期可求出，再代入点坐标可求得解析式，即可求得对称轴方程； （2）利用图象平移规则求出的解析式，再由函数单调性可求得最大值和最小值. 【详解】（1）由图象可知，设函数的最小正周期为， 则，故，又，所以， 将点代入，得，即， 所以，，即，， 又，故， 所以， 令，，得的对称轴方程为，. （2）先把的图象向右平移个单位得到的图象对应的解析式为， 再向下平移1个单位，得到的图象对应的解析式为， ，则， ∴当，即时，取得最小值，此时； ∴当，即时，取得最大值，此时； 3．如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出即可. （2）由的三角函数表示，再列式并利用辅助角公式求解. 【详解】（1）观察函数图象，得函数的最小正周期，而， 解得，由，得， 又，则， 所以函数的解析式是. （2）设， 由函数的图象知，， 则， 则， 由，得， 整理得，即，则， 又，因此，解得， 所以. 4．设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间及对称中心； (3)求的解集． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为， 的对称中心为 (3) 【详解】（1）由图知，， 由，得， 又，所以， 因为的图象过点， 所以，解得， 又，所以， 所以； （2）由， 得， 所以的单调递增区间为， 由，得， 所以的对称中心为； （3）因为，所以， 所以， 解得， 所以的解集为． 【题型7 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）】 1．已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 【答案】(1) (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【详解】（1）①，由，得； ②，由是的对称中心，得， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，，， 则，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. （2）由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 2．已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在. 【分析】先利用两角和的正弦公式将函数化简为，代入得到关于的三角函数方程，结合的取值范围即可求解. 先根据的单调性、的条件，得到的取值范围与、的等式关系，再结合所选补充条件建立方程，联立求解验证是否能得到唯一的、 值即可. 【详解】（1）由两角和的正弦公式，可得 . ∵ ，且， ∴ . （2）由题意 ， ∴ ，即 ，. 又在区间上单调递减，该区间长度为， 正弦函数的单调区间长度不超过半周期，故，其中，解得. 选择条件①：在区间上单调递增， 同理该区间长度为，符合的范围，且为递增区间的右端点、递减区间的左端点，即在处取最大值， ∴ ，即 ，. 联立， 两式相减得，其中 ；当 时满足要求，此时解得， 代入 得， 因为，解得. 此时，当时，，满足单调递减要求，所以此时函数存在且唯一确定. 选择条件②： ， 已知 ，由得： ，即 ， ---（1） 又在上单调递减，区间长度为，故正弦函数半周期，结合得. 由条件② 得： ，即 ， ---（2） （1）-（2）得 ，即， . 结合，仅时符合要求，代入（1）得，解， 因为，解得，此时同选条件①，由上可知，函数存在且唯一确定. 选择条件③： 由条件③得 ，即 ， ---（3） 联立（1）和（3），（1）-（3）得 ，即 ， . 结合： 时，不符合要求； 时，代入（3）得，因为，所以， 此时，当时，，不满足单调递减的要求； 时，不符合的要求，故条件③不满足要求. 3．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据条件，确定函数的最值，周期，求函数的解析式； （2）首先求，再根据三角恒等变换求函数的解析式，再根据正弦函数的性质求最值； （3）首先根据二倍角公式，转化为关于的二次函数，再令，得，再根据复合函数的零点个数，求的取值范围. 【详解】（1）由题意，最小正周期，则， 由，可得 又，所以，，所以， 令，,解得：，， 所以函数的单调递减区间是. （2）由题意得， ， 所以的最小值为，当，即； （3）， 令，可得，令，得， 由于，故方程必有两个不同的实数根，，且，故异号， 不妨设， 若，则，无解，在内有四个零点，不符题意； 若，则在内有2个零点，在内有4个零点，符合题意， 此时； 若在有4个零点，故在内应恰有2个零点， ，此时， 综上所述，或． 4．已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出和的值，进而得到函数的解析式； （2）先求出函数的单调递增区间，再结合给定区间确定的最大值； （3）令，将问题转化为关于的不等式恒成立问题，再借助二次函数性质求解的取值范围. 【详解】（1）由，且，得，相邻对称轴距离为，故周期. 由，得. 因此，函数解析式为：. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 已知函数在区间上单调递增，令，可得单调递增区间为， 所以，即实数的最大值为. （3）当时，，故. 令，则不等式对所有恒成立. 设，这是开口向上的二次函数，只需端点满足不等式： 当时： 当时： 综上，的取值范围为. 【题型8 正、余弦型三角函数图象的应用】 1．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】（1）根据角速度，结合三角函数的定义，即可列式求解； （2）根据（1）的结果，利用“五点法”作图； （3）根据（1）的结果，解不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设 由，即， ，， 所以 故函数 （2）由知， 根据题意列表如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3）由（1）知 易知的最小正周期, 根据函数的周期性，取第一圈内的数据进行分析即可， 所以水车旋转一圈，水车上点的纵坐标大于等于时， 则有，且， 所以， 解得， 水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间， 故水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间为． 2．如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)； (2)6h． 【分析】（1）利用图象得到函数的值域、最小正周期以及特殊值点，根据正弦型函数的性质计算求出，即可得到函数解析式； （2）根据题意，利用已知函数解析式构造不等式，求解即可. 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以， 所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即， 因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以. 所以，允许该船进出港口的时长为. 3．如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 【答案】(1) (2)作图见解析 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设点的坐标为，可得，设，可得，由周期可得，进而求解即可； （2）根据函数表达式画出图象即可. 【详解】（1）如图，以为原点，过点的圆的切线为轴，建立平面直角坐标系. 过点作轴的垂线段，垂足为，连接. 设点的坐标为，则. 设，则，所以. 又，即，所以， 则. （2）函数的大致图象如图所示. 4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？ (3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 【答案】(1)，答案见解析 (2)该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港 (3)6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域. 【分析】（1）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解； （2）在涉及三角不等式时，可利用图象求解； （3）表示出x时刻的吃水深度，结合题意得，利用图像，数形结合，即可求得答案. 【详解】（1）以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，    则由已知数据结合图象可得，，，， 故. 由表中数据可知在0:00,6:00,9:00,12:00,15:00,18:00,21:00,24:00等时刻的水深分别是 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m,7.5m,5.0m,2.5m, 5.0m； 在整点时的水深近似为；1:00，5:00，13:00，17:00为6.3m； 2:00，4:00，14:00，16:00为7.2m； 7:00，11:00，19:00，23:00为3.7m；8:00，10:00，20:00，22:00为2.8m. （2）由，得， 画出的图象（如图），    由图象可得或. 故该船在0:24至5:36和12:24至17:36期间可以进港. （3）若，x时刻的吃水深度为， 由，得. 画出和的图象（如上图）， 由图象可知当时，即6:42时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域. 1．将的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上没有零点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过图象变换得到的解析式，再根据的范围结合正弦函数的图象即可求解. 【详解】由题意得，，因为在上没有零点， 所以，解得， 当时，，所以， 解得， 又因为，所以的取值范围是. 2．设函数向左平移个单位后得到函数，若点是函数与的图象上从左至右依次相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数平移变换求得，令，求得，代入求得纵坐标，进而得到相邻两点在轴方向上的距离，根据得到的距离，结合三角函数求解即可. 【详解】函数向左平移个单位后得到， 又，所以， 因为，，所以，取，则. 令，则（无解）或， 解得，即. 将代入中，得， 当为偶数时，； 当为奇数时，； 过作，则相邻两点在轴方向上的距离为. 又，则相邻交点的横坐标间隔为，则. 根据对称性可知，为等腰三角形. 又，所以. 在中，，即，所以. 则. 故. 3．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________. 【答案】 【分析】结合型函数图象的几何意义，求解出，由图象变换得到表达式，根据函数图象在恰有一个最大值，一个最小值求解出的范围. 【详解】因为，点在的图象上， 所以，即， 因为，所以，即， 由，可得，所以， 而在轴左侧，所以，即，因此， 由图象可知，，则， 因为且，所以， 设将图象上每个点的横坐标变为原来的倍后得到的函数为， 所以，， 当时，， 当时，，故， 而的最大值为，最小值为， 所以，即， 因此的取值范围为 4．已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________． 【答案】 【分析】根据题意由三角函数的周期性得出的长，并用的横坐标之差表示，再结合的中点函数值取最值即可求解． 【详解】由题意设，， 因为，所以， 所以，所以， 点和点的中点坐标为， 所以， 所以，即， 解得，所以， 所以， 所以 ． 5．已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）结合图象先求的解析式，再根据求解即可； （2）利用整体思想，求出函数的所有递减区间，再求出函数在上的单调递减区间； （3）根据函数的周期为4，可得两相邻零点之间的距离为2，求出2026、2028个零点之间最短距离，即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，解得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 所以， 由题意可得； （2）由（1）可知， 令， 解得， 当时，的单调递减区间为， 所以在上的单调递减区间为； （3）因为，最小正周期为4， 所以相邻两个零点之间的距离为2， 又因为在区间上恰有2026个零点， 设第一个零点为，则第2026个零点为， 则2026个零点之间最短距离为， 由2028个零点之间最短距离为， 所以 6．在条件①：对任意的，都有；条件②：最小正周期为；条件③：在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答.已知，若____________，则唯一确定. (1)求的解析式； (2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）考查正弦函数的性质，选择不同的条件会得到对称性，周期性和单调性的条件，利用性质求解； （2）由化简出 ，求出，将分离得到，只需求在的最大值即可. 【详解】（1）选择②③： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由，可得， 因为函数在为单调递增函数，则满足， 解得，结合， 所以，所以； 若选择①②： 由函数最小正周期为，可得，可得，即， 又由对任意的，都有，可得关于对称， 所以 ，即 ， 因为，可得或，由于不唯一，所以不能选①② 若选择①③： 由对任意的，都有，可得关于对称. 所以 ，即 ， 又由函数在为单调增函数，可得，解得， 又由，可得， 因为函数在为增函数，则满足 ， 解得 ，所以，即，即 综上知，所以无法确定，则无法确定，所以不能选①③. （2）由 ， 因为，可得，所以，即， 又由对任意的，不等式 恒成立， 即不等式 恒成立，即恒成立， 令，即恒成立， 令，因为在上为单调递增函数， 则，所以， 即实数的取值范围为. 7．设，函数. (1)当时，求函数的值域； (2)讨论函数的零点个数； (3)若函数恰有两个零点，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）化简函数，令，利用二次函数的性质计算值域； （2）化简函数，令，得到，结合，得到，分类讨论，结合余弦函数的性质，即可求解； （3）由有两个零点可得，再结合余弦函数的性质即可证明. 【详解】（1）， 令，则， 因为的值域为， 即的值域为； （2）易知， 令，则， 令，则. 当或，即或时，（*）无解，故无零点； 当，即时，（*）仅一解，故仅有一个零点； 当，即时，（*）有两解， ，故有两个零点. （3）若恰有两个零点，令， 所以为方程的两个根，所以， 所以，由于，所以， 所以，所以， 即，而， 所以，因为在上单调递减， 所以，即. 8．已知函数，定义域为． (1)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角公式将化简，将方程两个实数解问题转化成函数有两个交点问题，利用换元将函数转化成正弦函数求解； （2）由对任意的，总存在，使得成立，本质上是两个函数在给定区间上的值域包含问题，利用换元法求值域即可. 【详解】（1）由 ， 由，即，则， 令，，则， 则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图 由，解得，即实数a的取值范围； （2）将函数的图象向右平移个单位长度 得 函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 得 当，则，可得， 从而； 当，则，可得， 从而， 当，， 当，， 由对任意的，总存在，使得成立， 则或 解得或， 实数m的取值范围为． 1．已知函数的定义域为，点在函数的图象上，若满足，则称为函数的点，函数的所有点组成的集合称为函数的集． (1)设，分别判断和是否为函数的点（不必说明理由）； (2)设，记函数的集为，求； (3)设，且存在，使得函数的集为，求的最大值． 【答案】(1)是点；是点． (2) (3) 【分析】（1）根据点的定义计算即可； （2）结合以及余弦函数的性质化简即可； （3）令，将问题转化为对于任意，，分、、三种情况，结合正弦函数的性质求解. 【详解】（1）因为，所以， 则，故是点；是点． （2）由题意知，， 因为，所以． 又因为，所以，所以恒成立． 故. （3）由题意，对于任意，都有． 令，则对于任意，， 若，则对于任意恒成立， 因为，所以， 则，则； 若，则对于任意恒成立， 因为，所以，则， 则，则； 若，则恒成立， 若，则取，此时对于任意，恒成立， 故的最大值为. 2．如图所示，某区有一块空地△AOB，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安装防护网．    (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小； (3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)当时，面积最小，最小面积为 【分析】（1）在中由余弦定理求出，进而得到，然后在中求出即可； （2）设，在和运用正弦定理表示出，然后利用面积关系结合面积公式即可求解； （3）写出的表达式，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的性质即可求解. 【详解】（1）在中，，由余弦定理： 得， 且，故，， 又，在中： ，， 的周长即防护网总长度为：， （2）设，，对由正弦定理得： ， 同理对，，由正弦定理得： ， 面积关系，代入面积公式： ， 化简得：，结合，得，即. 故. （3）由前述推导，， 化简分母： ， 所以， ， 由，得，，当且仅当， 即时取到最大值，此时最小： 最小值， 故当时，面积最小，最小面积为. 3．定义：存在一个正常数L，对于任意的x都有且，则称函数为“L伴随函数”. (1)是否存在正常数L，使得是“L伴随函数”?若存在，请求出一个L的值；若不是，请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且当时，. （i）当时，求的解析式； （ii）若（）为方程（）在上的根，求的值． 【答案】(1)存在一个的值为 (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据以及即可根据“伴随函数”的定义求解， （2）（i）根据“伴随函数”的定义可得是周期为的函数，即可利用周期性以及对称性求解，（ii）作出在上的图象如图所示，根据周期性结合图象，对进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：存在正常数，使得是“伴随函数”， 因为，所以， 因为，所以， 所以存在一个的值为； （2）（i）由，得， 所以是周期为的函数， 由，得，所以为的一条对称轴， 当时， 所以， 所以当； （ii）易知在上的图象如图所示， 根据周期性结合图象， 当时，； 当，或，或时，； 当时，； 当或时，． 4．对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，或. 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）利用换元法再对分类讨论即可. 【详解】（1）由已知得存在实数， 使得. 所以. （2）假设存在，由， 得，， ，令， 即方程，有个根. ①当，即，有个根，不符合； ②当，即，有个根，不符合； ③当，即，有个根，所以； ④当，即，有个根，所以. ⑤当，即，有个根，不符合. 综上，存在实数和正整数使得函数在上有个“跃点”， 符合条件的和的值为或. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业06 函数y＝Asin（ωx+φ）的图像 【知识点1 三角函数图像与性质综合】 1. 图像特征：五点作图法、图像走势、零点、最值点、升降区间 2. 由图求参：看图求 3. 性质对应图像： · 最高点最低点→最值 · 相邻零点/最值点→周期 · 对称轴、对称中心直接从图像读取 4. 图像交点、区间值域、不等式解集 【知识点2 三角函数伸缩平移变换与性质综合】 1. 平移规则：左加右减，上加下减（只针对 本身） 2. 伸缩变换 · 横向伸缩： 变大变瘦，变小变胖 · 纵向伸缩： 决定上下拉伸压缩 3. 易错点：先平移后伸缩 / 先伸缩后平移 平移长度不同 4. 变换后依旧考查：周期、单调、最值、对称、奇偶性 【题型1 相位变换及解析式特征】 1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 B．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 C．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 3．将函数的图象沿轴向右平移个单位，得到的函数解析式为______． 4．将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则___________ 【题型2 周期变换及解析式特征】 1．为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的（横坐标不变） 2．为了得到新函数的图象，只需把原函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 3．将图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数_____________的图象． 4．把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________. 【题型3 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】 1．为了得到函数的图像，可以将函数的图象上（   ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 2．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．把函数的图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象，则此时______；把函数的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得到函数的图象.则此时______. 4．把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 【题型4 求图象变化前（后）的解析式】 1．函数，将的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象上所有的点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________. 4．如图是函数的部分图象，将函数图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则__________． 【题型5 结合三角函数的图象变换求三角函数的性质】 1．已知函数. (1)求函数的对称中心； (2)将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在的值域. 2．将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. (1)求函数的解析式和对称中心； (2)若方程在上的解为，，求. 3．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)设函数，，若，求t的最小值； (3)将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），最后将所得图象向上平移3个单位长度，得到函数的图象.若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围. 4．已知函数在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大最小值及相应的值． (3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在上有两个解，求的取值范围． 【题型6 由图象确定正（余）弦型函数解析式】 1．函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)求方程在内所有解的和． 2．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式，并求出的对称轴； (2)先把的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，请写出的解析式，并求出在上的最大值和最小值. 3．如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 4．设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间及对称中心； (3)求的解集． 【题型7 由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）】 1．已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 2．已知函数，其中. (1)若，求值； (2)已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 3．已知函数图像上一个最高点的坐标为，与之相邻的一个最低点坐标为,将函数的图像向右平移个单位得到曲线C，把曲线C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作. (1)求函数的解析式，并写出函数单调递减区间； (2)求函数的最小值； (3)若函数 在内恰有6个零点，求的值. 4．已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，，求的取值范围． 【题型8 正、余弦型三角函数图象的应用】 1．如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 2．如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数． (1)依据图中的信息确定函数的解析式； (2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 3．如图，某大风车的半径为，按逆时针方向匀速转动，每旋转一周，它的最低点离地面.风车圆周上一点从最低点开始，运动后与地面的距离为. (1)求函数的关系式； (2)画出函数的大致图象. 4．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.下面给出了某港口在某天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0:00 5.0 9:00 2.5 18:00 5.0 3:00 7.5 12:00 5.0 21:0 2.5 6:00 5.0 15:00 7.5 24:00 5.0 (1)选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出在整点时的水深的近似数值； (2)一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4m，安全条例规定至少要有1.5m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？ (3)若船的吃水深度为4m，安全间隙为1.5m，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3m的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？ 1．将的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来倍，纵坐标不变，得到的图象，若在上没有零点，则取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设函数向左平移个单位后得到函数，若点是函数与的图象上从左至右依次相邻的三个交点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象如图所示，点在的图象上，且，若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍，得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则m的取值范围是___________. 4．已知直线与函数的图象相交，若自左至右的三个相邻交点满足，则实数__________． 5．已知函数的部分图象如下图所示，若函数的图象上所有点的纵坐标不变，把横坐标扩大到原来的两倍，得到函数的图象． (1)求的解析式； (2)求在上的单调递减区间； (3)若在区间上恰有2026个零点，求的取值范围． 6．在条件①：对任意的，都有；条件②：最小正周期为；条件③：在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答.已知，若____________，则唯一确定. (1)求的解析式； (2)设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 7．设，函数. (1)当时，求函数的值域； (2)讨论函数的零点个数； (3)若函数恰有两个零点，证明：. 8．已知函数，定义域为． (1)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围． 1．已知函数的定义域为，点在函数的图象上，若满足，则称为函数的点，函数的所有点组成的集合称为函数的集． (1)设，分别判断和是否为函数的点（不必说明理由）； (2)设，记函数的集为，求； (3)设，且存在，使得函数的集为，求的最大值． 2．如图所示，某区有一块空地△AOB，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在△OAM地带上形成假山，剩下的△OBN地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖△OMN的周围安装防护网．    (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地△OMN的面积是堆假山用地△OAM的面积的倍，试确定∠AOM的大小； (3)为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使△OMN的面积最小？最小面积是多少？ 3．定义：存在一个正常数L，对于任意的x都有且，则称函数为“L伴随函数”. (1)是否存在正常数L，使得是“L伴随函数”?若存在，请求出一个L的值；若不是，请说明理由； (2)已知是“伴随函数”，且当时，. （i）当时，求的解析式； （ii）若（）为方程（）在上的根，求的值． 4．对于函数，若在其定义域内存在实数，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $