暑假作业05 余弦函数的图像与性质（10种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 聚焦余弦函数图像与性质，以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过10类题型系统提炼五点法、整体代换、换元法等解题方法，培养数学推理与模型应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点（3个）|含图像画法、性质、最值|五点法画图像、性质判定流程|从图像基础到性质推导，构建概念体系| |题型（10类）|覆盖单调性、参数等10类|整体代换求单调区间、换元法解最值|从基础应用到参数综合，形成问题解决链|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 余弦函数的图像与性质 【知识点1 余弦函数和余弦函数图像的画法】 1. 周期 ，优先五点法，一个周期 五点： 1. 步骤：描五点→平滑连线→左右平移 延伸全图； 1. 图像：余弦曲线可由 向左平移 得到。 定义域 ，值域 【知识点2 余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性】 1. 奇偶性：，偶函数，图像关于 轴对称。 1. 周期性：最小正周期 ，。 1. 单调性 · 递增： · 递减： 1. 对称性 · 对称轴： · 对称中心： 【知识点3 余弦函数的最值问题】 1. 无区间限制： 时，； 时，。 1. 余弦型： 1. 限定 ：换元 ，由 范围确定 最值。 【题型1 求余弦型三角函数的单调性】 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2．函数，的单调性是（   ） A．在上是增函数，在上是减函数 B．在，上是增函数，在上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．在上是增函数，在，上是减函数 3．函数的单调增区间为_______． 4．已知函数，则函数的单调递减区间是__________ 【题型2 由余弦型函数的单调性求参数】 1．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 3．若函数在上单调，则的取值范围是__________． 4．已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 【题型3 求余弦型三角函数的最值或值域】 1．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的最小值等于（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域是________. 4．函数的最大值与最小值之差为_______. 【题型4 求含余弦型三角函数的二次式的最值】 1．已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 2．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．函数的最小值是__________. 4．函数的值域是__________． 【题型5 由余弦型函数的最值或值域求参数】 1．函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 3．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 4．已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 【题型6 由余弦型函数的奇偶性求参数】 1．“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 4．若函数的图象关于轴对称，则实数__________． 【题型7 求余弦型三角函数的最小正周期】 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 2．函数 的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 3．函数的最小正周期是__________. 4．函数的最小正周期是__________. 【题型8 由余弦型函数的周期性求参数】 1．已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 3．已知函数的周期为，则当时，的取值范围是________． 4．若函数的最小正周期为，则常数__________． 【题型9 求余弦型三角函数的对称轴与对称中心】 1．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 3．函数在上的零点个数为___________． 4．写出函数的一个对称中心_____________． 【题型10 由余弦型函数的对称轴与对称中心求参数】 1．若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 2．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 4．函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 1．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 3．设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．的单调递减区间为______． 5．已知，，满足，则________． 6．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 7．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围． 8．已知函数，. 0 3 0 0 (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表； (2)若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值； (3)当时，求直线与的交点个数. 1．如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 2．若函数满足且（），则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间； (3)在（2）条件下： ①写出函数（）的解析式； ②当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值. 3．对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，． (1)证明是以为余弦周期的余弦周期函数； (2)设，证明对任意 ，存在，使得 ； (3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有． 4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间. 5．对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并证明； (2)已知余弦周期函数在区间上仅存在2026个不同的实数， 使得，求实数的取值范围； 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业05 余弦函数的图像与性质 【知识点1 余弦函数和余弦函数图像的画法】 1. 周期 ，优先五点法，一个周期 五点： 1. 步骤：描五点→平滑连线→左右平移 延伸全图； 1. 图像：余弦曲线可由 向左平移 得到。 定义域 ，值域 【知识点2 余弦函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性】 1. 奇偶性：，偶函数，图像关于 轴对称。 1. 周期性：最小正周期 ，。 1. 单调性 · 递增： · 递减： 1. 对称性 · 对称轴： · 对称中心： 【知识点3 余弦函数的最值问题】 1. 无区间限制： 时，； 时，。 1. 余弦型： 1. 限定 ：换元 ，由 范围确定 最值。 【题型1 求余弦型三角函数的单调性】 1．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦函数的单调区间直接求解即可． 【详解】， 令，则． 所以函数的单调递减区间是. 2．函数，的单调性是（   ） A．在上是增函数，在上是减函数 B．在，上是增函数，在上是减函数 C．在上是增函数，在上是减函数 D．在上是增函数，在，上是减函数 【答案】A 【分析】首先得出函数的单调区间，由此确定正确选项. 【详解】函数的单调递减区间是，单调递增区间是． ，在上是增函数，在上是减函数． 故选：A 3．函数的单调增区间为_______． 【答案】 【分析】先求出函数的增区间，再与取交集即可解出． 【详解】令，解得， 所以的增区间为， 又，所以在上的单调增区间为. 故答案为：. 4．已知函数，则函数的单调递减区间是__________ 【答案】 【分析】采用整体代换的方式，结合的单调性可求得结果. 【详解】因为函数， 所以， 由得：， 的单调递减区间为. 故答案为：. 【题型2 由余弦型函数的单调性求参数】 1．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定的取值范围，根据余弦函数的单调性列出不等式即可求解. 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 2．若函数在上单调，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】先由求出的范围，然后由余弦函数的单调性建立不等式求解即可. 【详解】，则， 函数在上单调， 所以，解得：， 所以的最大值为. 故选：D 3．若函数在上单调，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得，再通过整体法确定的取值范围，最后求解取值范围即可. 【详解】由题意函数的最小正周期为，因为函数在区间上单调，可得，则. 因为，所以. 因为，所以. 因为在上单调，所以或， 解得，或， 因为，所以或． 4．已知函数在区间上是严格减函数，则的最大值为________. 【答案】 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是严格减函数， 所以，因此的最大值为. 【题型3 求余弦型三角函数的最值或值域】 1．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 2．函数的最小值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式化简即可求解. 【详解】， 因为,所以的最小值为， 故选：C. 3．函数的值域是________. 【答案】 【分析】由，可得，然后求出值域即可. 【详解】因为，∴， ∴， 即函数的值域是. 4．函数的最大值与最小值之差为_______. 【答案】4 【分析】对原函数变换得到，结合余弦函数的值域得到，进而求出值域. 【详解】. 因为，则，所以 所以最大值与最小值之差为4. 【题型4 求含余弦型三角函数的二次式的最值】 1．已知函数，当时有最大值为2，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】根据同角的平方关系，利用换元法（令），结合二次函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】， 令，由得， 设， 其图象是一条开口向下的抛物线，对称轴为， 因为在上取得最大值2， 所以，解得. 2．函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的基本关系式，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 当且仅当时，取得最大值，最大值为. 3．函数的最小值是__________. 【答案】 【分析】先根据二倍角的余弦公式化简函数，然后根据二次函数的性质确定最小值. 【详解】.设， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值为. 4．函数的值域是__________． 【答案】 【分析】由诱导公式和余弦二倍角公式，通过换元转换成二次函数求值域即可. 【详解】利用诱导公式 ，二倍角公式 ， 代入原函数得： 换元转化为二次函数： 令 ， 由余弦函数性质得 ，函数转化为：， 该二次函数开口向上，对称轴为 ​， 因此二次函数在 上单调递减， 当 时，取最小值 ， 当 时，取最大值 ， 因此 的值域为. 【题型5 由余弦型函数的最值或值域求参数】 1．函数在上有最小值，没有最大值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用换元法结合余弦函数值域计算求解参数. 【详解】函数中，当时，， 函数在上有最小值，没有最大值， 得，解得， 所以的取值范围是. 2．当时，函数的最小值为，最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域可得，结合复合函数单调性分别确定函数与函数的单调性，从而得在上的单调性，从而得最值，于是求得的值. 【详解】因为，所以函数在处无定义，所以， 又函数在上单调递减，且，且函数在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以，解得， 再由，得， 由，可解得． 故选：D. 3．若对任意的，有（）恒成立，则的取值范围为______． 【答案】 【详解】因为，所以， 即或， 又因为，所以， 所以，即， 所以的取值范围为． 4．已知函数的图象在区间上有且只有4个最高点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】结合三角函数图象性质可列出与有关不等式，结合为整数计算即可得解. 【详解】当时，， 则有，， 解得，， 当时，，，则不等式组无解； 当时，有，即； 当时，由，，则不等式组无解； 综上可得. 【题型6 由余弦型函数的奇偶性求参数】 1．“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合余弦函数性质及充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 2．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为奇函数，所以， 又，故. 3．已知函数是偶函数，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由函数是偶函数，可得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 4．若函数的图象关于轴对称，则实数__________． 【答案】0 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】因为为偶函数，. 所以，即恒成立，解得. 故答案为：0 【题型7 求余弦型三角函数的最小正周期】 1．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得，代入最小正周期公式为 . 2．函数 的最小正周期是（    ） A． B． C．π D．2π 【答案】A 【详解】， 所以最小正周期. 3．函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】，故最小正周期为. 4．函数的最小正周期是__________. 【答案】 【详解】由题设，已知函数的最小正周期是. 【题型8 由余弦型函数的周期性求参数】 1．已知奇函数的最小正周期为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的最小正周期为，所以，又函数为奇函数，所以，得．又因为，所以，故． 2．若函数的最小正周期为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期得到方程，求出. 【详解】因为的最小正周期为，所以，得. 故选：D 3．已知函数的周期为，则当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式可得，根据周期可得，再以为整体，结合余弦函数有界性分析求解. 【详解】由题意得：， 因为的周期为，且，可得，即， 所以， 当时，则，可得， 所以． 故答案为：. 4．若函数的最小正周期为，则常数__________． 【答案】 【分析】直接利用三角函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得. 故答案为：. 【题型9 求余弦型三角函数的对称轴与对称中心】 1．函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】令求解. 【详解】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 2．函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 3．函数在上的零点个数为___________． 【答案】4 【分析】列方程得到的零点，然后确定零点个数即可. 【详解】令，得， 所以， 由，可得的取值可以是0，1，2，3，故零点个数为4． 故答案为：4. 4．写出函数的一个对称中心_____________． 【答案】（答案不唯一，） 【分析】根据给定条件，利用余弦函数的图象性质求出对称中心. 【详解】函数中，令，解得， 取，则该函数的一个对称中心为. 故答案为： 【题型10 由余弦型函数的对称轴与对称中心求参数】 1．若函数的图象关于直线对称，则（   ） A．0 B．1 C． D．-1 【答案】A 【分析】法一，由对称性通过特殊值，列出等式求解，法二，通过对称性的定义，列出等式求解. 【详解】解法一：若函数的图象关于直线对称，则， 所以，解得. 解法二：若函数的图象关于直线对称， 则恒成立，， 所以， 化简得，恒成立，所以. 2．若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 3．设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【分析】求出相位的取值范围，再由对称轴情况列出不等式求解. 【详解】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 4．函数（其中）的图象关于直线对称，若在上有且只有两个零点，则的范围为___________． 【答案】 【分析】利用余弦函数的对称性求出参数，再利用余弦函数的零点分布可确定参数的范围. 【详解】由函数的图象关于直线对称， 可得， 又因为，所以，则， 当时，， 在上有且只有两个零点， 所以，解得. 故答案为： 1．函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先利用三角函数平方关系化简函数表达式，再通过换元法将其转化为二次函数，最后根据二次函数性质求出原函数最小值. 【详解】因为， ， 所以． 令，设，则． 当时，，所以的最小值为． 2．已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据题意，分析函数的最小正周期、对称轴、对称中心，单调减区间，再分别验证即可得解. 【详解】对于①，函数的最小正周期为， 则函数恒满足，故①正确； 对于②，由， 则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确； 对于③，由， 则点不是函数图象的一个对称中心，故③错误； 对于④，令，即， 当时，函数的单调减区间为，故④正确. 3．设甲：，乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分性、必要性及余弦函数的单调性求解. 【详解】对于充分性，因为在上单调递减， 且，所以，充分性成立； 对于必要性，取可知，但不满足，必要性不成立， 所以甲是乙的充分不必要条件. 4．的单调递减区间为______． 【答案】 【详解】令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增，在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 5．已知，，满足，则________． 【答案】 【详解】已知，则， 整理得， 因，，则，即， ，即， ， ． 6．已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由余弦及正弦函数的性质可知，从而得在上恰有3个实数根，可得，，由正弦函数的性质可知，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以函数在区间上恰有3个零点， 即在上恰有3个实数根， 所以，， 又， 所以在上恰有3个实数根， 所以， 解得， 即的取值范围是． 7．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．若函数在上恰有三个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【详解】（1）由函数的最大值为，最小值为，结合，得. 由图象知，最小值点到零点的距离为，对应个周期，即，解得. 由周期公式，得，故， 将最小值点代入，得，解得， 结合，取得，故. （2）令，解得， 故的单调递减区间为. （3）由图像左移​个单位得. 在上恰有三个零点，等价于在上恰有三个解， 令，当时，， 的通解为或， 在范围内，从小到大的解为，要恰有三个解，需满足​，解得​， 故实数的取值范围为. 8．已知函数，. 0 3 0 0 (1)写出决定在上形状的关键的五个点，在答题卡上完成上表； (2)若，且是函数的一个零点，直线是函数的一条对称轴，求的值； (3)当时，求直线与的交点个数. 【答案】(1)个关键的点为：，，，，. 完善题设中的表格如下： 0 3 0 0 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据五点法可得关键的个关键的点，从而可完善表格； （2）利用整体法求出零点和对称轴可求的值； （3）先讨论函数在上的单调性，再画出相应的函数图象，数形结合后可得交点个数. 【详解】（1）个关键的点为，，，，. 完善题设中的表格如下： 0 3 0 0 （2）因为是函数的一个零点，且， 所以，解得， 即，又因为，所以. 又因为直线是函数的一条对称轴 所以，解得, 又因为，所以,所以 （3）因为，所以， 令，则， 因为在为增函数，故在上为增函数， 同理在上为减函数，故在的图象如下图所示： 由图可得当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点；当时，有1个交点； 当或时，有2个交点. 1．如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 【答案】(1) (2)最小值是，所对应的的值是或． 【分析】（1）根据题意，过作，分别表示出、，结合矩形的面积公式代入计算，即可得到的表达式，再将的解析式化简，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）由解析式可得，即可得到时，取得最小值，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】（1） 过作，垂足为，由题意可得：，， 所以， 所以矩形的面积， 当时， ， 令，因为，所以， 则函数，其对称轴为， 当时，， 当或时，，所以，即函数的值域为. （2）因为， 当时， 当且仅当，即 ，解得或时，等号成立． 所以的最小值是，当取得最小值时，所对应的的值是或． 2．若函数满足且（），则称函数为“函数”. (1)试判断是否为“函数”，并说明理由； (2)函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间； (3)在（2）条件下： ①写出函数（）的解析式； ②当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值. 【答案】(1)不是“函数” (2)；在上的单调增区间为， (3)①；② 【分析】（1）根据题干条件代入检验即可求解； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【详解】（1）不是“函数”，理由如下： 由， ， ， 所以， 所以不是“函数”； （2）因为，所以的周期为， 又，所以， 当时， ， 当时， ， 当时， ，， 所以， 由 ，， 当时， ，所以在上单调递增， 由 ，， 当时， ，， 所以在上单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调增区间为，； （3）①由（2）得：， ②当，函数的图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 3．对于定义域为R的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R，设为R上的严格增函数，，． (1)证明是以为余弦周期的余弦周期函数； (2)设，证明对任意 ，存在，使得 ； (3)证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据余弦周期函数的定义，利用正弦函数周期性和余弦函数周期性证明结论； （2）利用严格增函数和值域为的条件，通过上确界证明在任意闭区间上具有介值性质． （3）先由余弦周期的定义证明解集平移对应，再利用第（2）问的介值结论和严格单调性，先证明，再比较方程在与上的解的顺序，得到． 【详解】（1）， ， 存在正常数使得对一切成立， 故是以为余弦周期的余弦周期函数． （2）若或，分别取或即可． 下设． 构造集合 因为，所以非空；又，所以有上界． 设 下面证明． 若，由于的值域为，存在，使得 由严格增性可知． 又因为，所以，这与是的上确界矛盾． 若，由于的值域为，存在，使得 由严格增性可知． 根据上确界的定义，在内存在． 于是，从而，这与矛盾． 因此只能有，命题得证． （3）先证明充要条件．若为方程在上的解，则，且 由于是以为周期的函数，所以 又，所以为方程在上的解． 反过来，若为方程在上的解，则 由周期性得且，所以为方程在上的解．充要条件得证． 下面证明． 由第（2）问可知，在上能取遍中的所有值． 又严格递增，所以方程在上的解恰好对应， 因此它在上有且只有个解． 由上面已证的充要条件，方程在上也有且只有个解． 因为且，所以存在整数，使得 又由第（2）问可知，在上能取遍中的所有值． 于是方程在上的解对应，共有个． 因此，即，所以 任取，令 设方程在上的全部解依次为 由于严格递增，正好是在区间内满足的所有值，并且按从小到大排列． 由周期性可知，是方程在上的全部解，且仍按从小到大排列． 又因为在上严格递增且取遍， 所以该方程在上的全部解对应的函数值应为 于是对每个，都有 由于是上述某个，所以 故对任意，都有 4．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某地区的摩天轮的最高点距离地面的高度约为125米，最低点距离地面约为15米，摩天轮上均匀设置了48个座舱.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周大约需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时. (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，求的解析式； (2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为42.5米？ (3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔7个座舱（即座舱位置差为8），从甲进入座舱开始计时，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为米，求的最大值及此时的时间. 【答案】(1) (2)分钟或分钟 (3)当或分钟时，的最大值为米 【分析】（1）设，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式； （2）令，由余弦函数的性质及的范围计算可得； （3）设经过分钟后甲距离地面的高度为，则乙距离地面的高度为，表示出，再由三角恒等变换公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）设，则， 又，故， ， ，可取，， ， 故解析式为． （2）令，则， ， ， 或，解得或， 故游客甲坐上摩天轮后分钟或分钟时，距离地面的高度恰好为米． （3）由于乙与甲的座舱位置差为（因间隔座舱对应个位置差）， 所以乙与甲间隔的时间为分钟， 因此乙开始进入需要分钟，因此时间要满足， 设经过分钟后，甲距离地面的高度为， 此时乙距离地面的高度， 则两人的高度差 ， 令，解得，又， 所以，当分钟或分钟时，的最大值为米. 5．对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并证明； (2)已知余弦周期函数在区间上仅存在2026个不同的实数， 使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)是，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据“余弦周期函数”的定义证明，判断即可； （2）利用二倍角公式对进行化简，并求出，即时方程的解，再根据余弦周期函数的周期性，将函数在区间上仅存在2026个不同的解的问题，转化为在区间上方程仅存在2个不同的解的问题，由此列出不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】（1）是，证明如下： 因为，都有， 因此，是以为周期的周期函数， 所以函数是“余弦周期函数”，是它的一个余弦周期； （2）因为 所以当且仅当时，. 因为， 可知函数的一个周期为， 因为在一个周期内，方程有2个不同的解， ，. 所以在内，方程有个不同的解， 所以函数在区间上仅存在2026个不同的解， 就转化为在区间上，方程仅存在2个不同的解， 所以须满足，即， 即， 所以实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $