暑假作业04 正弦函数的图像与性质（10种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 以“图像-性质-应用”为逻辑主线，系统整合正弦函数核心知识点与10类典型题型，提炼五点描图法、最值分步求解等实用方法，强化数学直观与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|3个核心知识点（含步骤化方法）|五点描图法（建系-描点-平移）、最值问题分步求解（内层范围→三角函数值→原式结果）|从图像基础（定义域、周期）到性质深化（奇偶、单调、对称）再到综合应用（正弦型函数）| |题型突破|10类题型（含选择、填空、解答）|单调性参数问题转化、二次式最值换元法、对称性方程求解|题型与知识点一一对应，从基础应用到综合探究（如筒车实际模型）|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 正弦函数的图像与性质 【知识点1 正弦函数和正弦函数图像的画法】 1. 定义域、周期 ，最小正周期 ，先画一个周期 ，再左右平移延展。 2. 五点描图法（必考） 取周期内5个关键点：，，， 步骤： （1）建坐标系，标出五点； （2）用光滑曲线顺次连接五点，得到 上正弦曲线； （3）向左、向右每隔 重复平移图像，得到完整正弦曲线。 3. 图像特征 · 值域 ； · 波浪形、连续光滑。 【知识点2 正弦函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性】 1.奇偶性 ，奇函数，图像关于原点对称。 2.周期性 最小正周期 。 3.单调性（） · 单调递增区间： · 单调递减区间： 4.对称性（） · 对称轴： · 对称中心： 【知识点3 正弦型函数的最值问题】 1.基础公式（，） - 取最大值条件： - 取最小值条件： 2.限定自变量范围 1. 先求内层： 的取值区间； 1. 根据 的范围看 能取到的最大、最小值； 1. 代入原式算出函数最值。 【题型1 求正弦型三角函数的单调性】 1．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递减区间为______. 4．函数的单调增区间为______. 【题型2 由正弦型函数的单调性求参数】 1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是______. 4．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 【题型3 求正弦型三角函数的最值或值域】 1．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．函数的值域是______________． 4．函数，的值域为________. 【题型4 求含正弦型三角函数的二次式的最值】 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则______，的值域为______. 4．函数的最大值与最小值之和为___________． 【题型5 由正弦型函数的最值或值域求参数】 1．已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 4．已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 【题型6 由正弦型函数的奇偶性求参数】 1．已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 2．已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 3．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 4．函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【题型7 求正弦型三角函数的最小正周期】 1．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 2．函数的最小正周期为（   ） A．4π B．2π C．π D． 3．函数的最小正周期是___________. 4．函数的最小正周期是______． 【题型8 由正弦型函数的周期性求参数】 1．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 2．若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为________. 4．函数，的频率是，则______. 【题型9 求正弦型三角函数的对称轴与对称中心】 1．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 2．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 3．函数图像的对称轴方程为_____________． 4．函数的图象的对称中心和对称轴方程分别为_____________． 【题型10 由正弦型函数的对称轴与对称中心求参数】 1．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 4．已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________． 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 3．已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C．5 D．9 4．已知，则在上的解集为______． 5．若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 6．的值域为___________． 7．已知函数. (1)求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 8．已知函数． (1)将函数化为的形式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 1．已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 2．已知函数． (1)若，且，求角； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 3．（1）求证：． （2）若对任意的、、满足、、都有，则称为上的阶三角形函数．已知是上的阶三角形函数． （ⅰ）若，求的最大值． （ⅱ）若，求的最大值． 4．对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． (1)若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； (2)证明：“分离比”； (3)试求出“分离比”f的最小值． 5．已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为． (1)若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离； (2)若，求作业协同区的最小值． 6．如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业04 正弦函数的图像与性质 【知识点1 正弦函数和正弦函数图像的画法】 1. 定义域、周期 ，最小正周期 ，先画一个周期 ，再左右平移延展。 2. 五点描图法（必考） 取周期内5个关键点：，，， 步骤： （1）建坐标系，标出五点； （2）用光滑曲线顺次连接五点，得到 上正弦曲线； （3）向左、向右每隔 重复平移图像，得到完整正弦曲线。 3. 图像特征 · 值域 ； · 波浪形、连续光滑。 【知识点2 正弦函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性】 1.奇偶性 ，奇函数，图像关于原点对称。 2.周期性 最小正周期 。 3.单调性（） · 单调递增区间： · 单调递减区间： 4.对称性（） · 对称轴： · 对称中心： 【知识点3 正弦型函数的最值问题】 1.基础公式（，） - 取最大值条件： - 取最小值条件： 2.限定自变量范围 1. 先求内层： 的取值区间； 1. 根据 的范围看 能取到的最大、最小值； 1. 代入原式算出函数最值。 【题型1 求正弦型三角函数的单调性】 1．函数在上是（    ） A．增函数 B．减函数 C．先增后减 D．先减后增 【答案】C 【详解】根据正弦函数的单调性可知：在内单调递增，在内单调递减， 所以函数在上是先增后减. 2．下列区间中，函数单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 3．函数的单调递减区间为______. 【答案】 【详解】令 ， 解得， 因此原函数的单调递减区间为 4．函数的单调增区间为______. 【答案】 【详解】 . 由，得， 所以函数的单调增区间为. 【题型2 由正弦型函数的单调性求参数】 1．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求出的取值范围，根据函数的单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以，解得， 由可得， 又因为，所以可得，即， 又因为，所以，故，所以的取值范围是. 2．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用诱导公式和二倍角正弦公式化简得，然后利用换元法及正弦函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】， 当时，， 因为在上单调递增，则，解得，所以． 3．已知函数（）在上单调递增，则的取值范围是______. 【答案】 【详解】由题设，即在上单调递增， 所以，可得. 4．已知函数在上单调递增，则的取值范围为_____________． 【答案】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的单调性及已知列不等式求参数范围. 【详解】，且，则， ，所以，则， 由且， 所以或，故或. 【题型3 求正弦型三角函数的最值或值域】 1．已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式化简函数，由，可得，从而得到答案. 【详解】，即． 因为，所以， 即，即， 所以函数的值域为． 3．函数的值域是______________． 【答案】 【详解】因为，所以，其中， 因此的值域为. 4．函数，的值域为________. 【答案】 【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域. 【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数有最小值，当时，函数有最大值. 所以函数在上值域为. 【题型4 求含正弦型三角函数的二次式的最值】 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 由于，故. 2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， 所以当时取到最大值，当时取到最小值， 所以的值域为． 3．已知，则______，的值域为______. 【答案】 1 【详解】对于空1，，， 当时，. 对于空2，，可得 令，，，即， 则函数转化为， 对于二次函数，其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为， 时，; 当时，; 当时，; ，的最小值为，最大值为，即的值域为 4．函数的最大值与最小值之和为___________． 【答案】 【分析】通过换元将三角函数转化为二次函数，结合二次函数的对称轴与区间的位置关系，判断函数在闭区间上的单调性，从而由端点取得最值. 【详解】令，已知，由正弦函数的性质可得： 在该区间的最小值为，最大值为，因此， 故原式化为：，开口向上，对称轴为，因此函数在上单调递增， 时，，时， 最大值与最小值之和为：. 【题型5 由正弦型函数的最值或值域求参数】 1．已知函数在区间上不存在最值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合周期公式列不等式确定，再求出函数在上存在最值时的的范围，从而在范围内去掉这些范围，即可得答案. 【详解】由题意得，在区间上不存在最值， 若，则区间的长度大于函数半个周期，此时函数在区间内必然存在最值，故必有， 又函数的最值满足，即， 若，则， 因为，故，则时，， 时，，结合得， 由于在区间上不存在最值， 故在的范围内去除和， 则， 故选：D 2．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，作出的图象，数形结合可得答案. 【详解】令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：， 解得：. 故选：C 3．若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【分析】求出命题的否定对应的参数，其补集即所求. 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 4．已知函数在上的值域为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】整体法求得的取值范围，根据值域可得到右侧端点的范围，解不等式即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 又函数在上的值域为，， 结合正弦曲线可知，解得. 【题型6 由正弦型函数的奇偶性求参数】 1．已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 由函数为偶函数，得，而， 则，所以的值为. 2．已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，所以，解得：，又因为，故取，得. 3．若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得， 所以的最小正周期，当且仅当时等号成立. 所以最小正周期的最大值为4. 4．函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【详解】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 【题型7 求正弦型三角函数的最小正周期】 1．函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦型函数最小正周期求解即可. 【详解】由题意得. 2．函数的最小正周期为（   ） A．4π B．2π C．π D． 【答案】C 【分析】使用二倍角公式化简即可. 【详解】，所以. 3．函数的最小正周期是___________. 【答案】 【分析】根据恒等变换得，再求最小正周期即可. 【详解】由题意知， 所以函数的最小正周期是 4．函数的最小正周期是______． 【答案】 【详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【题型8 由正弦型函数的周期性求参数】 1．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】根据最小正周期公式及条件，可得的表达式，根据x的范围，可得，根据存在零点，可得的范围，即可得答案. 【详解】函数，设函数的最小正周期为T， 由可得，（）， 所以，即， 又函数在上存在零点， 且当时，，所以≥，解得， 综上，的最小值为4. 2．若函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为1，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：函数的最小正周期为2， 且，则，解得. 3．若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为________. 【答案】 【详解】正弦函数相邻两个零点之间的距离为半个周期 ， 因此：， 即： ， 根据周期公式 ， ， 解得： ． 4．函数，的频率是，则______. 【答案】4 【分析】根据频率列式即可求出对应的参数. 【详解】由函数，的频率是，所以函数周期为，则，解得. 【题型9 求正弦型三角函数的对称轴与对称中心】 1．函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 的对称中心为, 的对称中心为. 2．函数的一条对称轴为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到，再通过整体代换即可求解. 【详解】 ， 令，， 可得， 即函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 结合选项只有B符合， 故选：B 3．函数图像的对称轴方程为_____________． 【答案】 【分析】利用两角和的余弦公式和辅助角公式可得，再利用整体法可求得对称轴方程. 【详解】 ， 令，解得， 即函数图像的对称轴方程为． 故答案为：. 4．函数的图象的对称中心和对称轴方程分别为_____________． 【答案】；，． 【分析】利用正弦型函数的图象和性质，结合对称轴和对称中心的概念求解． 【详解】令，， 则，， 的对称中心为； 令，，解得，， 的对称轴方程为，． 故答案为：；，． 【题型10 由正弦型函数的对称轴与对称中心求参数】 1．已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意可知函数在处取最值，代入求解即可. 【详解】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 2．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 3．已知函数，在上恰有3条对称轴，3个对称中心，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】采用整体代入法，求出当时，的范围，由正弦函数图象特征确定满足的临界条件，解不等式即可求解. 【详解】当时，，因为此时对应3条对称轴，3个对称中心，画出函数图象，如图： 故必满足，解得. 4．已知函数，若为的图象的一条对称轴，则_________． 【答案】 【分析】借助辅助角公式结合正弦型函数性质可得，计算即可得解. 【详解】，其中为辅助角， 由为的图象的一条对称轴，则为最大或最小值， 即，即， 整理得，即. 1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 所以的值域为． 2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【详解】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 3．已知函数的最小正周期为，若存在，使得成立，则实数的取值不可能是（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】D 【分析】先根据正弦型函数的周期公式求得，可得，再根据正弦函数的性质求得时，，进而结合题设可得，进而求解即可. 【详解】，， ∵当时，，则， ， 若存在，使得成立， 只需，解得， 结合选项，实数的取值不可能是9． 4．已知，则在上的解集为______． 【答案】 【分析】先利用正弦函数的图象与性质，求得，结合，即可求得不等式的解集. 【详解】由不等式，可得， 因为，令，可得， 所以不等式的解集为. 5．若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】方程在上有两个实根，即函数的图象与的图象有两个交点，作出函数图象，由图即可得解. 【详解】在同一直角坐标系中作出的图象，的图象， 由图象可知，当，即时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即方程在上有两个实根， 故的取值范围为. 故答案为：. 6．的值域为___________． 【答案】 【分析】首先根据的正负去掉绝对值符号，将整理为分段函数形式，再利用辅助角公式求出的整体取值范围，最后结合分段函数的表达式即可得到的值域. 【详解】设，化简得， 因此，当时：， 当时：，此时， 合并两种情况，可得的所有取值范围是. 7．已知函数. (1)求函数的最小正周期和曲线的对称轴方程； (2)若关于x的方程在上有两个不同的实根，求实数m的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求解. （2）确定函数在上的单调性及对应函数值变化情况，再利用直线与函数的上的图象有两个交点求出范围. 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为； 由，得， 所以曲线的对称轴方程为. （2）当时，，由，得， 由，得，因此函数在上单调递减， 函数值从递减到；函数在上单调递增，函数值从增大到， 由方程在上有两个不同的实根， 得直线与函数的上的图象有两个不同交点，因此， 所以实数m的取值范围是. 8．已知函数． (1)将函数化为的形式； (2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围； (3)若有且只有一个，使得函数取得最小值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换可化简函数的解析式； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围即为函数在区间上的值域，利用正弦型函数的基本性质求解即可； （3）求出函数，由可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1） . （2）由可得，可得， 令，其中， 由题意可知，实数的取值范围即为函数在区间上的值域， 由可得，所以， 故，故实数的取值范围是. （3）， 当时，，且， 因为正弦函数在上从小到大的第一个最小值点为，第二个最小值点为， 因为有且只有一个，使得函数取得最小值， 则，解得， 故实数的取值范围是. 1．已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【答案】(1)，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的性质得且，结合已知求出函数解析式，进而求其递增区间； （2）根据已知有且，利用平方关系求余弦值，再由和差角余弦公式求值即可. 【详解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 2．已知函数． (1)若，且，求角； (2)在（1）的条件下，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围； (3)已知函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用和差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再由给定函数值求出. （2）由（1）求出在上的范围，再利用换元法，结合函数单调性求出范围. （3）分别求出函数在上的值域、函数在的值域，再按分类，结合集合的包含关系列式求出范围. 【详解】（1）函数 ，由，得， 由，得，则，所以. （2）由（1）知，，不等式 ， 令，由，得，则， ，， 函数在上单调递增， 当时，，，因此， 所以实数的取值范围为. （3）函数，而，则， 即函数在上的值域为，由（1）知， 由，得，， 则函数在的值域为， 由对任意，总存在，使得成立， 得函数在的值域包含于函数在上的值域， 当时，，则，解得； 当时，成立，因此； 当时，，则，解得， 所以实数的取值范围是. 3．（1）求证：． （2）若对任意的、、满足、、都有，则称为上的阶三角形函数．已知是上的阶三角形函数． （ⅰ）若，求的最大值． （ⅱ）若，求的最大值． 【答案】（1）由正弦和角公式得： （2）（i）（ii） 【分析】（1）利用正弦的和角公式证明即可； （2）（ⅰ）根据阶三角形函数定义，利用换元法把问题转化为证明是上的阶三角形函数，进而通过证明时不是上的阶三角形函数；进而证明是上的1阶三角形函数，从而得出的最大值；（ⅱ）根据阶三角形函数定义，结合（i）对问题进行分情况讨论求解． 【详解】（1）证明： ； （2）（ⅰ）令，是上的阶三角形函数， 等价于是上的阶三角形函数， 先证：当时，不是上的阶三角形函数： 取，取， ， 此时，，， 但， 不是上的阶三角形函数， 再证：是上的1阶三角形函数： 令，其中， ， 在上单调递增， 即， 任意、、，且， 由在上单调递增， ， 是上的1阶三角形函数， 综上：． （ⅱ）是上的1阶三角形函数： 先证：当时，不是上的1阶三角形函数， 取，， 此时，，， 但， 当时，不是上的1阶三角形函数； 再证：当时，是上的1阶三角形函数， 是上的1阶三角形函数， 等价于是上的1阶三角形函数， 任意、、，，，， ①若，则， 同理，， 此时、、， 、、， ； ②若，则， （1）若，则，故； （2）若，则， 故， 而， ， 由（1）知：， 是上的1阶三角形函数． 综上：． 4．对于给定，设其外接圆半径为R，内切圆半径为r，定义的值为的“分离比”． (1)若为等腰直角三角形，求的“分离比”f； (2)证明：“分离比”； (3)试求出“分离比”f的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据等腰直角三角形及其内切圆、外接圆的性质，结合三角形面积公式求出，进而根据“分离比”定义求解； （2）根据正弦定理，结合三角形面积公式求出相应边角关系，进而利用“分离比”定义证明结论； （3）运用两角和与差的正余弦公式，结合二倍角公式化简为，再利用换元法，结合两角差的余弦公式及余弦函数的有界性得出，再利用换元法结合二次函数的性质求出的最大值，进而求出的最大值，从而求出“分离比”f的最小值． 【详解】（1）设等腰直角三角形的直角边长为，则斜边长为， 直角三角形外接圆直径即为斜边，则， 由面积公式得，解得， ． （2）由正弦定理得， 三角形面积， 又， ， ． （3）， ， ， ， ， ， ， 令，则，即， 则， ， ，故， 令，则， 则转化为，函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值，最大值为， 此时，则，又， ，则，即为等边三角形时， 取最大值， ． 5．已知两座平行的高架轨道，（足够长），，分别是两座轨道上的固定检修点，点在线段上，，，，分别为轨道，上的巡检车，两车均在直线的同一侧作业，已知，设，区域为两车的作业协同区，面积记为． (1)若，作业协同区面积，求此时巡检车与检修点的距离； (2)若，求作业协同区的最小值． 【答案】(1)2 (2)当时，取到最小值 【分析】（1）由已知结合正弦定理及三角形面积公式得出的值，即可求解巡检车与检修点的距离； （2）利用正弦定理及三角形面积公式得出，再结合三角恒等变换和正弦函数的性质即可求解最小值． 【详解】（1）因为，则，， 若，则， 在中，由正弦定理， 可得， 在中，由正弦定理， 可得， 则， 由已知得，得，则或， 所以或， 又因为，解得，所以， 所以，即为等边三角形，所以． （2）与（1）同理可得，， 在中，由正弦定理， 可得， 由（1）得，， 则， ， 因为，解得，则， 则， 所以当时，取到最小值． 6．如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． (1)当时，求防护网的总长度； (2)若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； (3)为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)时，面积取最小值为 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【详解】（1）在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. （2）设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. （3）设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $