暑假作业03 解三角形（9种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 以正弦定理、余弦定理及面积公式为核心，通过9大题型系统构建解三角形方法体系，强化知识逻辑与实际应用，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|3个核心公式|明确公式变形及适用场景（如正弦定理用于两角一边等）|从定理推导到面积公式，形成“定理-变形-应用”逻辑链| |题型1-9|各题型含3-4题|针对不同条件选择定理（如边角互化、判断三角形形状）|基础应用到综合拓展，覆盖高考高频考法与易错点|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 解三角形 【知识点1 正弦定理】 在，内角对边： ：外接圆半径 1. 变形： 2. 用途：①已知两角一边；②已知两边及其中一边对角；边角互化。 【知识点2 余弦定理】 在，内角对边： 求角变式： 用途：①已知三边求角；②已知两边及夹角求第三边；判断三角形锐角/钝角。 【知识点3 三角形面积公式】 1. （底乘高） 1. （高频） 1. （外接圆）。 【题型1 正弦定理解三角形】 1．在中，已知，则（    ） A． B．2 C．3 D． 2．中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．在中，若，，，则___________ 4．在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 【题型2 余弦定理解三角形】 1．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 2．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 3．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 4．在中，已知，，，则_________． 【题型3 正余弦定理的综合应用】 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________． 4．在中，，，锐角C满足，则____. 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 1．在中，内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值． 2．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B的大小； (2)若，求. 【题型5 余弦定理边角互化的应用】 1．的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 2．设内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的面积. 3．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 4．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【题型6 三角形面积公式及其应用】 1．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 2．设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若，，求的面积. 3．在△中，. (1)求； (2)若，且△的面积为，求的值. 4．在中，内角的对边分别为，若，且． (1)求角； (2)若点为线段上的一点，且，，求的面积． 【题型7 正弦定理求外接圆半径】 1．在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 2．在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 3．内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 4．在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【题型8 判断三角形解的个数】 1．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 2．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 3．若，且有两解，则的取值范围是______． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【题型9 判断三角形的形状】 1．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 2．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 3．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 1．位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南，且与观测站相距6海里的处的救援船，救援船收到消息立即前往救援.若救援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（参考数据：取）（   ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 2．如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和；  ②测出和；  ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（    ） A．①、④ B．②、④ C．③、④ D．④ 3．下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设，当________时才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小． 5．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． (1)设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 6．某动物园要为刚入园的小动物建造活动区域为四边形，形状如图，设想在其中规划出两个功能区：为动物乐园区，为动物探险区．已知，． (1)若，求的周长（结果精确到）； (2)若，求的大小（结果精确到0.1度）； (3)求动物乐园区面积的最大值． 7．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 8．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 1．在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 2．函数满足：对任意实数恒成立． (1)求函数的解析式； (2)当时，的最大值为，求的值； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 3．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 4．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 5．（1）求函数的最小值. （2）在非等腰中，内角A，B，C满足，若关于x的不等式对任意恒成立，求角A的取值范围. 6．在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 解三角形 【知识点1 正弦定理】 在，内角对边： ：外接圆半径 1. 变形： 2. 用途：①已知两角一边；②已知两边及其中一边对角；边角互化。 【知识点2 余弦定理】 在，内角对边： 求角变式： 用途：①已知三边求角；②已知两边及夹角求第三边；判断三角形锐角/钝角。 【知识点3 三角形面积公式】 1. （底乘高） 1. （高频） 1. （外接圆）。 【题型1 正弦定理解三角形】 1．在中，已知，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【详解】由正弦定理，得 . 2．中内角所对的边分别为，若，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 由正弦定理可得， 所以， 又因为， 所以. 3．在中，若，，，则___________ 【答案】 【分析】利用正弦定理直接求解即可. 【详解】由正弦定理得到：， 即. 4．在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 【答案】或 【详解】在中，由正弦定理得， 又，，，所以，所以， 又因为，所以或. 【题型2 余弦定理解三角形】 1．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，且，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【详解】由余弦定理，，将代入， 整理得，解得或. 因，则. 2．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 3．在中，分别为角所对的边，若，，，则____________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，再利用余弦定理求即可． 【详解】由余弦定理，， ， 故． 4．在中，已知，，，则_________． 【答案】或 【分析】利用余弦定理建立关于边的一元二次方程，求解方程得到的可能值后验证是否符合三角形的构成条件. 【详解】对于，由余弦定理得：， 代入已知条件，，，， 可得：， 整理为一元二次方程：，解得：， 故为或. 【题型3 正余弦定理的综合应用】 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用三角形面积公式、正余弦定理求边长，代入目标式化简即可得. 【详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 2．在中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化结合余弦定理可得答案. 【详解】因，由正弦定理边角互化可得： ，设， 则. 3．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则___________． 【答案】 【详解】由，根据正弦定理得，而， 则. 4．在中，，，锐角C满足，则____. 【答案】 【详解】因为，且C为锐角，所以， 由余弦定理， 可得，得， 由正弦定理可得. 【题型4 正弦定理边角互化的应用】 1．在中，内角的对边分别为，已知． (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合三角形的三角关系以及正弦定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得， 又，所以 ， 则， 化简得， ， 在中，，所以， 又因为，所以． （2）由三角形面积公式得：，解得， 由余弦定理得，， 所以，又，所以． 2．已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若，的面积为，的角平分线交于点，求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角互化结合可得，据此可得答案； （2）由（1）结合可得答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 又因所以， 即， 又因，所以 又因，所以， （2）由题，，所以，又因，所以， ， 整理得. 3．在中，内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若的面积为，且. ①求的周长； ②求. 【答案】(1) (2)① ② 【详解】（1）由正弦定理得，， 由，得， ，，又，所以. （2）①由，得. 由及正弦定理，得，所以， 所以，又，所以. 所以的周长为. ②根据上述分析可知，，， 由正弦定理，因为，所以是锐角， 所以， 可得， 计算可得． 4．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)求角B的大小； (2)若，求. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）由正弦定理边角互化可得，即可求得角； （2）利用正弦定理即可求解. 【详解】（1）已知，由正弦定理得 ， 因为，，则，即， 又因为是的内角，所以，所以. （2）已知，由（1）知， 由正弦定理知，所以. 【题型5 余弦定理边角互化的应用】 1．的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角,接着代入条件求出,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角的值. （2）由三角形面积公式结合已求角算出关系式,设正弦定理比值为参数,利用内角和与两角和正弦公式求出,用表示出后代入等式解出,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长. 【详解】（1）由， 又，所以．即， 由余弦定理得，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． （2）因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以，，． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 2．设内角的对边分别为，已知. (1)求角； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理对已知式进行边角互化，可得，结合余弦定理即可求得； （2）结合已知条件求得，从而求得的面积. 【详解】（1）由，得， 即， 即， 所以. 又，所以. （2）由，得， 所以. 所以的面积为. 3．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)（或） (2) 【分析】（1）先利用正弦定理将已知三角函数等式转化为边的关系，结合余弦定理求解角；（2）将已知条件代入余弦定理可得的值，进而求出的值，即可得到三角形周长. 【详解】（1）展开已知等式，得： ， 移项化简得. 设外接圆的半径为R，由正弦定理可将上式中的角化边，得：. 根据余弦定理可得，代入得. 又，故. （2）将，，代入余弦定理得： ，即，解得. 则， 由得， 故的周长为. 4．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由余弦定理可得，再与已知等式比较，即可求出的值． （2）先由第（1）问求出，再由得到，利用正弦定理把表示为，最后用二倍角公式和两角和的正弦公式计算即可． 【详解】（1）在中，由余弦定理得. 又因为，所以. 因为，是三角形的边长，所以，故. 解得. （2）由第（1）问知. 因为是三角形内角，所以，且，于是. 由，得. 由正弦定理得. 又因为，所以. 由二倍角公式得. 因为，所以. 由二倍角公式得. 因此. 所以. 故的值为． 【题型6 三角形面积公式及其应用】 1．在中，它的内角，，的对边分别为，，，且，. (1)若，求； (2)若，求的面积. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先利用正弦定理求出角的正弦值，再结合角的取值范围确定角的值； （2）先根据三角形内角和定理将用和表示出来，再结合已知条件求出的值，最后利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，，， 所以由正弦定理得：， 因为，所以或. 所以当时，，符合题意； 所以当时，，符合题意. （2）在中，因为， 所以， 把，， 代入得， 又因为， 所以，，所以， 所以， 所以的面积为. 2．设的内角的对边分别为，且. (1)求角的大小; (2)若，，求的面积. 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简得，即得结果； （2）由三角形面积公式结合（1）得解. 【详解】（1），由正弦定理得， 在中，， ，即. （2）由（1）得，所以的面积为. 3．在△中，. (1)求； (2)若，且△的面积为，求的值. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）在△中，由及正弦定理，得， 而，则，又，所以. （2）由及的面积为，得，解得， 因此，即为正三角形，所以. 4．在中，内角的对边分别为，若，且． (1)求角； (2)若点为线段上的一点，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化后，再由三角恒等变换后求解； （2）利用中线的向量表示，平方后求出，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）依题意由正弦定理得， 即． 因为，所以． 所以，即． （2）因为， , 所以，两边平方， 得, 即 ， 可得， 又，所以代入方程，可解得． 所以的面积. 【题型7 正弦定理求外接圆半径】 1．在△ABC中，，，则△ABC的外接圆半径为（   ） A．6 B．12 C． D． 【答案】A 【详解】因为，， 所以. 设外接圆的半径为，， 则， 所以外接圆的半径为. 2．在圆内接六边形中，，，则其外接圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆心角关系，结合弦长公式列方程并平方化简求半径即可. 【详解】 因为，，相等弦对应圆心角相等， 设对应的圆心角为，对应的圆心角为. 整个圆周角和为，因此，得. 弦长（为半圆心角），因此， ，由， 展开得，两边乘以代入得， 整理得， 对上式两边平方，结合， 以及， 代入化简后得，因此外接圆半径为. 3．内角的对边分别为，则的外接圆的面积为______． 【答案】 【分析】利用三角形内角正切恒等式，结合题设求出角C，再通过正弦定理求出外接圆半径，最后求出面积 【详解】由三角形内角和得，故． 由正切和角公式， 代入得：，整理得． 结合题设，联立得． 因，故． 已知，设的外接圆半径为R，则   外接圆面积 4．在中，内角所对的边分别为，且，且，那么外接圆的半径为________. 【答案】 【分析】根据题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，求得，求得，结合正弦定理，即可求得外接圆的半径，得到答案. 【详解】因为，由正弦定理得， 即， 又因为，可得， 所以， 所以， 可得， 因为，可得，所以，即， 又因为，所以， 设外接圆的半径为，因为，可得， 所以，即外接圆的半径为. 【题型8 判断三角形解的个数】 1．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 2．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 3．若，且有两解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形有两解的充要条件建立不等式求解. 【详解】如图所示，过点作边上的高，高为， 以为圆心、为半径画弧，要使弧与边（的同侧）有两个交点，需满足： 半径大于高，且小于的长度，即：. 代入得. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则使有两解的k的取值范围是__________. 【答案】 【详解】在中，由正弦定理及有两解， 得且，解得， 所以所求的取值范围是. 【题型9 判断三角形的形状】 1．在中，角所对的边分别为，若，则的形状是（    ） A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【详解】由及正弦定理，得， 因为，所以， 代入得，即， 因为，所以，故，因为，所以， 即的形状为直角三角形． 2．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理和三角恒等变换得到或，得到三角形形状 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 3．已知分别为三个内角的对边，若，则的形状为 （    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】借助正弦定理、三角形内角和、诱导公式及两角和的正弦公式计算即可得. 【详解】由正弦定理将边化为角可得， 又， 故，故， 由，故，则，故， 即的形状为直角三角形. 4．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 1．位于某海域处的观测站获悉，在其正东方向相距15海里的处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援.观测站立即将消息告知位于观测站西偏南，且与观测站相距6海里的处的救援船，救援船收到消息立即前往救援.若救援船要在1.5小时之内赶至渔船遇险处，则救援船的航行速度不低于（参考数据：取）（   ） A．海里/小时 B．海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】A 【详解】如图，由题可知，，海里，海里，则. 因为，所以，则， 所以，则海里. 设救援船的航行速度为海里/小时，则，得. 2．如图，，，为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶的仰角分别为，，，计划沿直线开通隧道，设，，的长度分别为，，. 为了测出隧道的长度，现给出下列四种方案： ①测出和；  ②测出和；  ③测出和； ④测出，，三者. 则能够测出隧道的长度的方案是（    ） A．①、④ B．②、④ C．③、④ D．④ 【答案】D 【分析】根据正余弦定理解三角形. 【详解】先要测出，则可利用正弦定理求出，再利用正弦定理求出，最后由余弦定理求出，则需测出，才能求出，即测出，，三者. 3．下列是有关的几个命题： ①若，则是锐角三角形． ②若，则是等腰三角形； ③若，则是等腰三角形； ④若，则是直角三角形，其中所有正确命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用两角和的正切公式变形后判断①，由正弦定理化边为角后变形求解判断②③，结合诱导公式判断④. 【详解】①， 由得， 所以， 中最多只有一个钝角，中最多只有一个负数， 因此，从而均为锐角，①正确； ②若，则由正弦定理得，从而，而三角形中，所以或,所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，②错； ③若，由正弦定理得， 即，在中，，故恒成立， 因此，条件对任意三角形都成立，不能据此判断是等腰三角形，故③错误； ④若，则， 又由知为锐角，所以或， 即或，则不一定是直角三角形，④错，因此正确的命题有1个， 故选：A. 4．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂直，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设，当________时才能使制造路灯灯柱AB与灯杆BC所用材料的总长度最小． 【答案】/ 【详解】因为与地面垂直，，所以， 在中，因，则， 由正弦定理，得，得， 在中， ， 由正弦定理，得，得， 又由正弦定理，可得，得 ， 所以 ， 因为，所以， 则当，即时，取得最小值. 5．如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，BC长80米．设A、B在同一水平面上，从A、B看D的仰角分别为． (1)设计中CD是铅垂方向，若要求，求CD的长（结果精确到0.01米）； (2)施工完成后CD与铅垂方向有偏差，现实际测得＝39.82°，＝19.48°，求CD的长和∠ACD的大小（结果精确到0.01米和0.01°）． 【答案】(1)28.28米； (2)CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 【详解】（1）根据题意可知，AC长35米，BC长80米， 设CD的长为x米，则，∵， ∴，则，即， 解得：米，故CD的长为28.28米. （2）由题设， 根据正弦定理得，则米， ∴由余弦定理得：， 所以米，又因为， 代入数据解得：米， 又因为， 代入数据得：， 则， 故CD的长为28.57米，∠ACD≈88.50°. 6．某动物园要为刚入园的小动物建造活动区域为四边形，形状如图，设想在其中规划出两个功能区：为动物乐园区，为动物探险区．已知，． (1)若，求的周长（结果精确到）； (2)若，求的大小（结果精确到0.1度）； (3)求动物乐园区面积的最大值． 【答案】(1)35.18米； (2)或； (3)为正三角形，最大面积为平方米． 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理直接计算即得． （2）利用直角三角形边角关系求出，再利用正弦定理求解即得． （3）利用余弦定理建立关系，再借助均值不等式求解即得． 【详解】（1）在中，由正弦定理得： ， 所以的周长为（米）． （2）在中，由，得，， ，又，则， 在中，由正弦定理得，而， 所以或． （3）在中，由余弦定理得： 则，即， 当且仅当时取等号， 所以， 所以当， 即是正三角形时，面积取得最大值平方米． 7．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【详解】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 8．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 1．在中，内角的对边分别是. (1)求的值； (2)若，求周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）利用两角和差的正弦公式化简得到，从而求出，利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，从而得到周长的最大值. 【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，所以； （2）因为， 所以， ， ， ， 解得， 因为，所以， 所以， 则， 因为， 所以， 所以，所以， 所以，当且仅当时，取等号， 所以周长的最大值为. 2．函数满足：对任意实数恒成立． (1)求函数的解析式； (2)当时，的最大值为，求的值； (3)把曲线向右平移个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线．试问当时，能否作为三边长？若能，给出证明，并探究的外接圆的半径是否为定值？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 能作为三角形三边长，外接圆半径为定值，理由见解析 【分析】（1）利用辅助角公式化简原函数，结合是最大值点的条件求出参数，从而得到的解析式； （2）结合的周期性，分析长度为的区间上的最值差，根据已知最值差为列三角方程求解，得到的值； （3）根据图象变换规则得到的解析式，通过验证三角形三边不等关系判断能否作为三角形三边长，最后利用正弦定理探究外接圆半径是否为定值. 【详解】（1）由题意，是的最大值点，对，其中， 代入得，所以，解得， 利用辅助角公式整理得. （2）周期为，当，令，则，区间长度为. 的最大值等于区间内的最大值减最小值，由题该值为，仅当最大值为、最小值为时满足， 因此 解得（等价形式）. （3）将向右平移得： ，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得. ，则，均为正，验证三边关系： ，成立； 同理可证，，均成立。 因此可以作为的三边长. 设三边长，对角， 由余弦定理： 得， 由正弦定理，代入，得，为定值. 3．《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块四边形ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，经测量，．    (1)霍尔顿发现无论BD多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值； (2)霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关（正相关描述的是两个变量之间的一种关系：当一个变量增大时，另一个变量也倾向于增大；反之，当一个变量减小时，另一个变量也倾向于减小），记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求的最大值； (3)霍尔顿发现麦田的维护成本与分割线BD的长度平方成正比，比例系数为k，而总收益与成正比，比例系数为m（其中，）若净收益为总收益减去维护成本，请求出使净收益最大的BD长度，并写出此时的最大净收益表达式． 【答案】(1)验证见解析， (2) (3)， 【分析】（1）根据余弦定理表示出，再化简即可. （2）根据三角形的面积公式以及（1）结论，利用二次函数的最值求解. （3）根据题意列出解析式，再根据（1）（2）问的结论化简，利用二次函数的最值求解. 【详解】（1）在△ABD中，由余弦定理得， 即. 在△BCD中，由余弦定理得， 即，所以， 即，所以无论BD多长，． （2），， 则， 由（1）知，，即，代入上式， 得， 配方得， 当时，取到最大值为． （3）设，净收益为y，则， 由（1）知，， 则. 由（2）知， 所以， 令，则， 所以， 即当时，净收益最大，. 4．如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且.    (1)若为锐角三角形，求的取值范围； (2)若，，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理得，又，进而得，即可求，由为锐角三角形，即可求解； （2）设得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即，利用三角恒等变换即可得最大值，进而求解. 【详解】（1）由，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以， 故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得， 所以的取值范围为. （2）因为， 所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 5．（1）求函数的最小值. （2）在非等腰中，内角A，B，C满足，若关于x的不等式对任意恒成立，求角A的取值范围. 【答案】； 【分析】（1）利用三倍角公式对式子化简得，利用辅助角公式化简得即可求解； （2）利用三角恒等变换化简得，由正弦定理得，即，则，对处理得，利用基本不等式得，再解三角不等式即可求解. 【详解】（1）由 ， ， 所以 ， 所以， 当，即时，， （2）由， 又非等腰三角形，所以，即，又， 所以 ，即， 由正弦定理得，所以为直角三角形，即，所以， 由对任意恒成立， 所以， 当或时，上式恒成立， 当不等于零时，两边同除，得在恒成立， 由，所以， 所以, 即，又，所以，所以，即， 又非等腰三角形，所以， 所以或， 所以. 6．在平面四边形ABCD中，，，，． (1)若A，B，C，D四点共圆，求AC； (2)若为锐角，且四边形ABCD的面积为，求； (3)求BD的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理可得，即可根据共圆的性质求解，由余弦定理即可求解， （2）利用等面积法以及余弦定理即可求解， （3）根据正余弦定理，结合辅助角公式可得，即可利用三角函数的性质求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得, 结合，，故， 由于为的内角，所以， 因此， 由于A，B，C，D四点共圆，故, 因此在中， （2）由（1）知，，，， 设，，则， 则四边形的面积为， 又， 因此， 故，结合， 可得，结合为锐角， 故，因此， 故, 因此,且,, 故‘ （3）由（2）可知， 由正弦定理可得， 所以， 在中，， 结合，故， 由于，所以， 故， 因此 7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，再结合余弦定理即可得到结果； （2）由题意可得，结合向量的数量积运算化简，再由余弦定理代入计算，即可得到结果； （3）分别在与中，结合正弦定理表示出，列出方程，在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由， 得． 由正弦定理，得，整理得． 由余弦定理，得． 又，所以． （2）由题知，所以． 则，所以． 由（1）得，，又，所以，联立，得， 故的面积为． （3）如图，设，因为，所以，      由（1）知，，所以， 在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，， 由正弦定理，得所以， 所以，则，整理，得， 所以，，解得，． 又，所以， 则，因此为等边三角形． 在中， 由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 8．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. (1)若，求A的大小； (2)若BC边上的高等于，且，求的取值范围； (3)求实数t的取值范围，使得对任意实数x和任意角A（），恒有. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理边化角可得，可求； （2）由三角形面积公式和余弦定理可得，进而可得，利用辅助角公式可求最大值； （3）利用二次函数的最小值可得，进而转化为①或②，利用基本不等式与对勾函数的最值可求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 整理得，即， 因为，， 所以，因为，所以； （2）因为边上的高等于， 由三角形面积公式得，即， 又由余弦定理可得，， 从而有， 所以， 因为，所以，所以， ，所以的取值范围为. （3）令 ， 所以当时， ， 所以 所以， 所以， 所以①或②， 因为，又， 所以， 由①可得， ， 所以， 所以， 由②可得， 所以， 由对勾函数性质可知，所以. 综上所述：实数的取值范围为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $