精品解析：吉林省长春高新技术产业开发区尚德学校2025-2026学年下学期5月中考模拟九年级数学

九年级数学阶段性练习试卷 一、单选题 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B. 在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C. 画一条直线，使它的长度为 D. 射线和射线是同一条射线 4. 若关于x的一元二次方程无实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 5. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. ρ与V的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，ρ的变化范围是 二、填空题 9. 使代数式有意义的取值范围是___________． 10. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 11. 因式分解： ____________． 12. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是______． 13. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 14. 如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号） ①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力，如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内，求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率 17. 某校举行人文知识竞赛，初赛题目共25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果初赛分数不低于70分就能进入复赛，那么进入复赛的选手至少选对了多少道题？ 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： （1）在图1中作出的中点P； （2）在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 19. 如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 20. 某校团委开展“关爱残疾儿童“爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共4800本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A艺术类；B文学类；C科普类；D其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）这次统计共抽取了_________本书籍，扇形统计图中的_________，___________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍？ 21. 某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 （1）根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求与之间的函数关系式； （3）当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 22. 阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点＋定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点C、D必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到______． ②类型二，“定角＋定弦”： 如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵，∴， 请补全缺失过程 ∴点P在以（定弦）为直径的上， ∴连接交于点P，此时最小． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M， 直接写出线段的最小值为______，并利用无刻度的直尺及圆规确定使线段的长度最小时的点M的准确位置； 23. 如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以点为圆心，长为半径的与对角线交于、两点，交于、两点． （1）当为中点时，求的长； （2）①连接，当与相切于点时，求的长； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； （3）当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点，点A在抛物线上，且点A的横坐标为，点B的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标； （2）过点A作轴于点C，以、为邻边作： ①当时，求的面积； ②当的面积被x轴平分时，求m的值； （3）若，当抛物线在内部的点的纵坐标y随着x的增大而减小，或者y随着x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段性练习试卷 一、单选题 1. 手机信号的强度通常采用负数来表示．绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，只需比较各选项数的绝对值大小，绝对值越小信号越强，即可得到答案. 【详解】解：∵ ，，，， 且 ， ∴ 的绝对值最小，根据题意得信号最强的是 2. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 用两个钉子把木条固定在墙上，数学原理是“两点确定一条直线” B. 在高速公路的建设中，通常从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这是因为两点确定一条直线 C. 画一条直线，使它的长度为 D. 射线和射线是同一条射线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何基本概念，包括直线的性质、射线的定义以及公理的应用．选项A正确应用了“两点确定一条直线”的原理；选项B混淆了“两点确定一条直线”和“两点之间线段最短”；选项C错误地认为直线有长度；选项D错误地认为方向相反的射线是同一条射线． 【详解】解：∵两点确定一条直线，选项A中用两个钉子固定木条符合这一原理，∴A正确． ∵选项B中缩短路程是基于“两点之间线段最短”的公理，而非“两点确定一条直线”，∴B错误． ∵直线是无限延伸的，没有固定长度，∴C错误． ∵射线是以A为端点向B方向延伸，射线是以B为端点向A方向延伸，方向相反，不是同一条射线，∴D错误． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程无实数根，则a的值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴ 解得， 故D符合题意． 5. 如图，已知直线，现将含角的直角三角板放入平行线之间，两个锐角顶点B、C分别落在直线a、b上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件得出，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数与一元一次不等式之间的关系，结合图像进行分析即可． 【详解】解：因为当时，直线在直线的上方， 所以，不等式的解集为． 7. 图1为武术动作机器人，图2为其示意图．机器人上半身垂直于地面水平线，手臂．已知，则该机器人拳头（点）到地面的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图：过C作于G，解直角三角形可得，再根据线段的和差以及点到直线的距离求解即可． 【详解】解：如图：过C作于G， ∵， ∴， ∴， ∵机器人上半身垂直于地面水平线，手臂， ∴该机器人拳头（点）到地面的高度为． 8. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A. ρ与V的函数关系式是 B. 当时， C. 当时， D. 当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【解析】 【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出V，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D. 【详解】选项A：设，把代入函数关系式，则，正确，不符合题意； 选项B：将代入​，得，结论正确，不符合题意； 选项C：反比例函数中， ，在时，随增大而减小． 当时，对应，不是，结论错误，符合题意； 选项D：当时，，当时，， ∴当时，，结论正确，不符合题意． 二、填空题 9. 使代数式有意义的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数， 解得． 10. 比较大小：______（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【详解】解：，，且， ∴． 11. 因式分解： ____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据提公因式法可对原式进行因式分解． 【详解】解：． 12. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是______． 【答案】0.78 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故答案为：0.78． 13. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和公式与任意多边形外角和为，结合题目条件列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 14. 如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号） ①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④． 【详解】解：连接OM， ∵PE为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即AM平分，故①正确； ∵AB为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为，故③错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由①可得， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式除法的运算法则进行化简，再将代入计算即可求解． 【详解】， ， ， ， 当时，原式． 16. 深空探测是人类探索宇宙的重要窗口，中国航天事业不断突破，从“天问”探火到“天宫”遨游（图1），彰显了大国科技实力，如图2，一圆环被4条线段等分成4个区域，现有火星探测模型和空间站模型各一个，将这两个模型随机放在任意两个不同区域内，求火星探测模型和空间站模型放在相邻两个区域的概率 【答案】 【解析】 【分析】画出树状图，列举出所有等可能的情况，并找出符合题意的情况数，进而根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的情况数，其中火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域有8种， 所以火星探测模型和空间站模型放在相邻的两个区域的概率是． 17. 某校举行人文知识竞赛，初赛题目共25道题，每道题都给出4个答案，其中只有一个答案正确，每道题选对得4分，不选或选错倒扣2分，如果初赛分数不低于70分就能进入复赛，那么进入复赛的选手至少选对了多少道题？ 【答案】进入复赛的选手至少选对了20道题． 【解析】 【分析】关键描述语：得分不低于70分，即选对题的总分减去不选或选错题的总分应大于等于70，列出不等式求解即可． 【详解】解：设选对道题，则不选或选错的有道题，依题意得 ，解得. ∵为整数， ∴最小为20，即至少应选对20道题． 答：进入复赛的选手至少选对了20道题． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 18. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺作出符合要求的图形： （1）在图1中作出的中点P； （2）在图2中的线段上取一点H，连接，使点H满足． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点E，F，连接交于点P，则点P即为所求作的点； （2）取格点E，F，连接交于点H，则点H即为所求作的点． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求作的点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴点P是的中点； 【小问2详解】 解：如图所示，点H即为所求作的点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与同高， ∴． 19. 如图，点在的边上，，．求证：为矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及矩形的判定，解题的关键是利用已知条件证明，进而得到． 利用平行四边形对边相等及邻角互补的性质，结合与，通过证明，得到，再由推出，从而判定平行四边形为矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， 又， ， 为矩形． 20. 某校团委开展“关爱残疾儿童“爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共4800本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A艺术类；B文学类；C科普类；D其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）这次统计共抽取了_________本书籍，扇形统计图中的_________，___________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍？ 【答案】（1）200；40；36 （2）见解析 （3）1440本 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用艺术类的书籍数量除以其占比可得到共抽取的书籍的数量，求出科普类的书籍的占比即可得到m的值，用360度乘以其他类的书籍的占比可得的度数； （2）求出文学类的书籍的数量，再补全统计图即可； （3）用4800乘以样本中文学类的书籍的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：本， ∴这次统计共抽取了200本书籍； ∴，即，； 【小问2详解】 解：由（1）得B文学类的数量为本， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：本， 答：估计全校师生共捐赠了1440本文学类书籍． 21. 某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深入探究，探究过程如下： 【设计实验方案】 如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间和运动速度的数据． 【收集整理数据】 运动时间 运动速度 【数学建模分析】 （1）根据表格中的数据在图的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求与之间的函数关系式； （3）当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是多少？ 【答案】（1）见解析，一次； （2）； （3）当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据分别在图2的平面直角坐标系中描点、连线，即可得出图象，再结合图象即可得解； （2）利用待定系数法求函数解析式并验证即可得解； （3）将代入（2）中解析式即可求解． 【小问1详解】 解：描点、连线如图所示： ； 由图象可知，该函数可能是二次函数关系； 【小问2详解】 设与之间的函数关系式为， 将，代入中，得 解得 ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 令，则． ∴当弹珠在水平轨道上的运动时间为时，其运动速度是． 22. 阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点＋定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点C、D必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到______． ②类型二，“定角＋定弦”： 如图2，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵，∴， 请补全缺失过程 ∴点P在以（定弦）为直径的上， ∴连接交于点P，此时最小． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M， 直接写出线段的最小值为______，并利用无刻度的直尺及圆规确定使线段的长度最小时的点M的准确位置； 【答案】（1）①28；②见解析； （2）； 【解析】 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得；②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为；作法：用直尺连接点A、点C，得到线段．以点A为圆心，的长度为半径，用圆规画圆，该圆经过点B．线段与相交于一点，此交点就是使长度最小的点M； 【小问1详解】 解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． 【小问2详解】 解：如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为． 作图如下 23. 如图，在平行四边形中，，，，点在边上运动，以点为圆心，长为半径的与对角线交于、两点，交于、两点． （1）当为中点时，求的长； （2）①连接，当与相切于点时，求的长； ②当时，通过计算比较弦和的大小关系； （3）当与平行四边形的边恰好有一个公共点时，直接写出的值或取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）根据，解直角三角形求出，在中求出，进而求得的长； （2）①如图：连接，过P作，则， ，利用平行四边形的性质以及解直角三角形可得，进而得到；再根据切线的性质以及已知条件运用勾股定理构造关于的方程求解即可；②如图4：连接，，由①可得：，再利用等边对等角、三角形外角的性质、弧长公式可得，最后比较大小即可； （3）分当与相切时，分点C在内和外，两种情况讨论，分别画出图形求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在平行四边形中， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①如图：连接，过P作，则， ∵在平行四边形中， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵与相切于点， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：或0（不合题意舍去）． ②如图4：连接，， 当时，由①可得：， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴； 【小问3详解】 解：①如图3，当与相切时，设切点为G， 由上述结果可知，，， ∴，解得：， 即当，与相切，与平行四边形的边的公共点的个数为1； ②如图4：过点C， 与平行四边形的边的公共点的个数为2， ∵在平行四边形中， ∴， ∴ ∴是直径，此时， 当时，点C在圆P内，与平行四边形的边的公共点的个数为1． 综上，的值的取值范围是或． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b是常数）经过点，点A在抛物线上，且点A的横坐标为，点B的坐标为． （1）求该抛物线对应的函数解析式及顶点坐标； （2）过点A作轴于点C，以、为邻边作： ①当时，求的面积； ②当的面积被x轴平分时，求m的值； （3）若，当抛物线在内部的点的纵坐标y随着x的增大而减小，或者y随着x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）， （2）①，② （3）或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可，将求得的解析式化成顶点式，即可得顶点坐标； （2）①当时，先求出A、B、C三点的坐标，再求，由即可求得的面积； ②由②的面积被x轴平分可得A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等．即A点与B点的纵坐标互为相反数，由此可得，求出m的值即可； （3）点B的坐标为，则，解得∶，因此在直线上运动再分情况讨论，当时，当时，当时，当时，当时，当时，当时，分别作出图像即可得解． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得，解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为． ∴顶点坐标为． 【小问2详解】 解：①当时，， 点A坐标为． ，， 点B坐标为． 轴于点C， ． 如图 四边形是平行四边形， ，，，． ②∵的面积被x轴平分， ∴A点与B点位于x轴两侧，且距x轴的距离相等． ∴A点与B点的纵坐标互为相反数． ∵A点的横坐标为m， ∴A点的纵坐标为． ，解得． 【小问3详解】 解：∵点B的坐标为， ． 解得． ∴B在直线上运动． ， ． 当时，， 如图 ∴此时抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 当时，点A与点C重合，不存在； 当时，如图， 此时，． 不符合题意，舍去； 当时， ，如图， 此时不符合题意，舍去； 当时，，如图， 此时D为顶点，抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，符合题意； 当时，如图， 抛物线在内部的点的纵坐标y随x的增大而增大，符合题意． 当时，如图， 此时不符合题意，舍去． 综上，当抛物线在内部的点的纵坐标y随着x的增大而减小，或者y随着x的增大而增大时，m的取值范围为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $